Про розв’язання двовимiрних крайових задач статики некругових цилiндричних оболонок в уточненiй постановцi iз застосуванням сплайн-функцiй
The aspects of applications of the spline method and the discrete orthogonalization method to the solution of 2D boundary-value problems on a stress-strain state of noncircular cylindrical shells in a refined formulation are analyzed. The accuracy of solutions is estimated.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3549 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про розв'язання двовимірних крайових задач статики некругових циліндричних оболонок в уточненій постановці із застосуванням сплайн-функцій / С.М. Яремченко // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 75-80. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859558990498758656 |
|---|---|
| author | Яремченко, C.M. |
| author_facet | Яремченко, C.M. |
| citation_txt | Про розв'язання двовимірних крайових задач статики некругових циліндричних оболонок в уточненій постановці із застосуванням сплайн-функцій / С.М. Яремченко // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 75-80. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | The aspects of applications of the spline method and the discrete orthogonalization method to the solution of 2D boundary-value problems on a stress-strain state of noncircular cylindrical shells in a refined formulation are analyzed. The accuracy of solutions is estimated.
|
| first_indexed | 2025-11-26T14:57:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
1. Меньшиков В.А. Круговая трещина в плоскости раздела упругих материалов под действием нор-
мальной гармонической нагрузки // Теорет. и прикл. механика. – 2006. – Вып. 42. – С. 166–170.
2. Меньшиков В.А., Меньшиков А. В. Гранично-контактные интегральные уравнения динамической
задачи теории упругости о трещине на поверхности раздела полупространств // Доп. НАН України. –
2006. – № 6. – С. 51–56.
3. Меньшиков В.А. Сингулярные ядра интегральных уравнений в задаче о трещине на границе раздела
полупространств при гармоническом нагружении // Там само. – № 11. – С. 58–62.
4. Гузь А.Н., Зозуля В.В. Хрупкое разрушение материалов при динамических нагрузках: Некласси-
ческие проблемы механики разрушения: В 4 т. / Под ред. А.Н. Гузя. – Т. 4. Кн. 2. – Киев: Наук.
думка, 1993. – 236 с.
5. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – Москва: Наука, 1974. – 640 с.
6. Вайншельбаум В.М., Гольдштейн Р. В. Осесимметричная задача о трещине на границе раздела слоев
в многослойной среде // Механика тв. тела. – 1976. – № 2. – С. 130–143.
Поступило в редакцию 07.06.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 539.3
© 2007
C.M. Яремченко
Про розв’язання двовимiрних крайових задач статики
некругових цилiндричних оболонок в уточненiй
постановцi iз застосуванням сплайн-функцiй
(Представлено академiком НАН України Я.М. Григоренком)
The aspects of applications of the spline method and the discrete orthogonalization method to
the solution of 2D boundary-value problems on a stress-strain state of noncircular cylindrical
shells in a refined formulation are analyzed. The accuracy of solutions is estimated.
З розвитком комп’ютерної технiки все частiше для дослiдження фiзичних явищ застосову-
ються сплайн-функцiї [1]. На першому етапi розвитку основним завданням сплайнiв, яке во-
ни успiшно виконують i зараз, було наближення кривих i поверхонь. Пiзнiше через зручнiсть
у використаннi сплайн-апроксимацiя все частiше стає однiєю зi складових частин рiзних ме-
тодiв розв’язання задач механiки деформiвного твердого тiла, серед таких можна назвати
методи скiнченних та граничних елементiв та метод колокацiй [2]. Також розроблено пiд-
ходи, що дозволяють звести двовимiрнi крайовi задачi до одновимiрних, використовуючи
апроксимацiю сплайнами в одному з координатних напрямкiв, а в iншому провести чисельне
iнтегрування. Зокрема, можна вiдзначити роботи, де проводилися розрахунки напружено-
го стану [3], а також розв’язувалися задачi про власнi коливання [4] пластин i оболонок за
допомогою такого пiдходу.
У данiй роботi викладаються основнi аспекти застосування методу сплайн-апроксимацiї
разом з методом дискретної ортогоналiзацiї до розв’язання двовимiрних задач про напруже-
ний стан некругових цилiндричних оболонок в уточненiй постановцi [5] та дається оцiнка
точностi одержаних результатiв.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 75
Вiднесемо серединну поверхню оболонки до ортогональної системи координат s, θ, де
s — довжина твiрної, а θ — координата по напрямнiй цилiндра. Нехай γ — координата,
нормальна до серединної поверхнi оболонки. В цьому випадку перша квадратична форма
серединної поверхнi має такий вигляд:
dS2 = ds2 +A2
2(θ)dθ
2 (0 6 s 6 L, 0 6 θ 6 2π, l = L/2). (1)
Рiвняння поперечного перерiзу оболонки запишемо в параметричнiй формi
x = b cos θ; z = a sin θ, (2)
тодi A2 =
√
b2 sin2 θ + a2 cos2 θ.
Вибравши за невiдомi функцiї компоненти вектора перемiщення серединної поверхнi
оболонки u, v, w та повнi кути повороту ψs, ψθ, розв’язувальну систему рiвнянь у частинних
похiдних 10-го порядку можна записати у виглядi
∂C11
∂s
∂u
∂s
+ C11
∂2u
∂s2
+
(
1
A2
2
∂C66
∂θ
− C66A
′
2
A3
2
)
∂u
∂θ
+
C66
A2
2
∂2u
∂θ2
+
1
A2
C66
∂θ
∂v
∂s
+
+
1
A2
∂C12
∂s
∂v
∂θ
+
C66 + C12
A2
∂v
∂s∂θ
+
∂C12
∂s
kw + C12k
∂w
∂s
+ qs = 0;
1
A2
∂C12
∂θ
∂u
∂s
+
1
A2
(
∂C66
∂s
− k2 ∂D66
∂s
)
∂u
∂θ
+
C66 + C12 − k2D66
A2
∂2u
∂s∂θ
− k2K2v +
+
∂C66
∂s
∂v
∂s
+ C66
∂2v
∂s2
+
(
1
A2
2
∂C22
∂θ
− C22A
′
2
A3
2
)
∂2v
∂s∂θ
+
C22
A2
2
∂2v
∂θ2
+
+
1
A2
(
∂C22
∂θ
k +C22k
′
)
w +
k(K2 +C22)
A2
∂w
∂θ
+
k
A2
∂D66
∂s
∂ψs
∂θ
+
kD66
A2
∂2ψs
∂s∂θ
+
+ kK2ψθ + k
∂D66
∂s
∂ψθ
∂s
+ kD66
∂2ψθ
∂s2
+ qθ = 0;
−kC12
∂u
∂s
− 1
A2
(
k′K2 + k
∂K2
∂θ
)
v − k(K2 + C22)
A2
∂v
∂θ
− k2C22w +
∂K1
∂s
∂w
∂s
+
+K1
∂2w
∂s2
+
(
1
A2
2
∂K2
∂θ
− K2A
′
2
A3
2
)
∂w
∂θ
+
K2
A2
2
∂2w
∂θ2
+
∂K1
∂s
ψs +K1
∂ψs
∂s
+
+
1
A2
∂K2
∂θ
ψθ +
K2
A2
∂ψθ
∂θ
+ qγ = 0; (3)
(
kD66A
′
2 − k′D66A2
A3
2
− k
A2
2
∂D66
∂θ
)
∂u
∂θ
− kD66
A2
2
∂2u
∂θ2
− k
A2
∂D12
∂s
∂v
∂θ
− kD12
A2
∂2v
∂s∂θ
−
− k2∂D12
∂s
w − (k2D12 +K1)
∂w
∂s
−K1ψs +
∂D11
∂s
∂ψs
∂s
+D11
∂2ψs
∂s2
+
+
(
1
A2
2
∂D66
∂θ
− D66A
′
2
A3
2
)
∂ψs
∂θ
+
D66
A2
2
∂2ψs
∂θ2
+
1
A2
∂D66
∂θ
∂ψθ
∂s
+
1
A2
∂D12
∂s
∂ψθ
∂θ
+
+
D12 +D66
A2
∂2ψθ
∂s∂θ
= 0;
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
− k
A2
∂D66
∂s
∂u
∂θ
− kD66
A2
∂2u
∂sθ
+ kK2v +
(
kD22A
′
2 − k′D22A2
A3
2
− k
A2
2
∂D22
∂θ
)
∂v
∂θ
−
− kD22
A2
∂2v
∂θ2
− k
A2
(
2k′D22 + k
∂D22
∂θ
)
w − k2D22 +K2
A2
∂w
∂θ
+
1
A2
∂D12
∂θ
∂ψs
∂s
+
+
1
A2
∂D66
∂s
∂ψs
∂θ
+
D12 +D66
A2
+
∂2ψs
∂s∂θ
−K2ψθ +
∂D66
∂s
∂ψθ
∂s
+D66
∂2ψθ
∂s2
+
+
(
1
A2
2
∂D22
∂θ
− D22A
′
2
A3
2
)
∂ψθ
∂θ
+
D22
A2
2
∂2ψθ
∂θ2
= 0,
де
C11 =
Esh
1 − νsνθ
, C12 = νθC11, C22 =
Eθh
1 − νsνθ
, C66 = Gsθh,
D11 =
Esh
3
12(1 − νsνθ)
, D12 = νθD11, D22 =
Eθh
3
12(1 − νsνθ)
,
D66 =
Gsθh
3
12
, K1 =
5
6
hGsγ , K2 =
5
6
hGθγ ,
(4)
k — кривина поперечного перерiзу серединної поверхнi; qs, qθ, qγ — компоненти вектора
навантаження. В (4) Es, Eθ, νs, νθ — модулi пружностi i коефiцiєнти Пуассона в напрямках
твiрної i напрямної; Gsθ, Gsγ , Gθγ — модулi зсуву; h = h(s, θ) — товщина оболонки.
Нехай торцi оболонки жорстко закрiпленi, тодi на контурах s = 0 та s = L задаються
такi умови:
u = v = w = ψs = ψθ = 0. (5)
Якщо поперечний перерiз оболонки має симетрiю, то у вiдповiдних двох точках θ = const
виконуються умови
∂u
∂θ
= v =
∂w
∂θ
=
∂ψs
∂θ
= ψθ = 0. (6)
Якщо ж геометрiя оболонки бiльш складна, то потрiбно скористатися умовами перiодич-
ностi [5].
Система рiвнянь (3) разом з граничними умовами (5), (6) утворюють двовимiрну кра-
йову задачу.
Двовимiрну крайову задачу зведемо до одновимiрної за допомогою методу сплайн-апро-
ксимацiї. Розв’язувальнi функцiї наведемо у виглядi
u =
N
∑
i=0
ui(θ)ϕ1i(s); v =
N
∑
i=0
vi(θ)ϕ1i(s); w =
N
∑
i=0
wi(θ)ϕ1i(s);
ψs =
N
∑
i=0
ψsi(θ)ϕ1i(s); ψθ =
N
∑
i=0
ψθi(θ)ϕ1i(s),
(7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 77
якщо сплайн-апроксимацiя проводиться у напрямку твiрної, або
u =
N
∑
i=0
ui(s)ϕ2i(θ); v =
N
∑
i=0
vi(s)ϕ1i(θ); w =
N
∑
i=0
wi(s)ϕ2i(θ);
ψs =
N
∑
i=0
ψsi(s)ϕ2i(θ); ψθ =
N
∑
i=0
ψθi(s)ϕ1i(θ),
(8)
якщо сплайн-апроксимацiя проводиться у напрямку напрямної.
У рiвняннях (7), (8) ui, vi, wi, ψsi, ψθi — невiдомi функцiї, a ϕ1i i ϕ2i — лiнiйнi комбiнацiї
B-сплайнiв третього степеня на рiвномiрнiй сiтцi, що задовольняють граничнi умови (5)
i (6) [3].
Наприклад, у випадку, коли сплайн-апроксимацiя проводиться вздовж напрямної, ви-
рази (8) пiдставляються у розв’язувальну систему (3) i граничнi умови (5). При цьому
граничнi умови (6) задовольняються за рахунок вибору функцiй ϕ1i i ϕ2i на сiтцi θ−3 <
< θ−2 < · · · < θk < · · · < θN+2 < θN+3, ∆θ = θk − θk−1 = const. Далi вимагаємо, щоб
отримана система i граничнi умови точно виконувались в N + 1 точцi колокацiї ξi, якi ви-
бираються так: ξ2j = θ2j + (1/2 −
√
3/6)∆θ, ξ2j+1 = θ2j + (1/2 +
√
3/6)∆θ (j = 0, (N − 1)/2).
Як результат одержимо одновимiрну крайову задачу, яку можна подати у виглядi
dN
ds
= AN + f ;
B1N = b1 (s = 0), B2N = b2 (s = L),
(9)
де N = {u0, . . . , uN , u
′
0, . . . , u
′
N , v0, . . . , vN , v
′
0, . . . , v
′
N , w0, . . . , wN , w
′
0, . . . , w
′
N , ψs0, . . . , ψsN ,
ψ′
s0, . . . , ψ
′
sN , ψθ0, . . . , ψθN , ψ
′
θ0, . . . , ψ
′
θN}T — вектор-функцiя вiд s; f — вектор правих час-
тин; A — квадратна матриця, елементи якої залежать вiд s; B1 та B2 — матрицi граничних
умов, b1 i b2 — вiдповiднi вектори. Отримана одновимiрна крайова задача (9) розв’язується
стiйким чисельним методом дискретної ортогоналiзацiї [3].
Аналогiчнi перетворення виконуються i при апроксимацiї сплайнами в напрямку твiрної.
На основi викладеного пiдходу проведемо розв’язання задач статики некругових ци-
лiндричних оболонок з елiптичним поперечним перерiзом. Спочатку дослiдимо замкнену
iзотропну оболонку сталої товщини, пiвосi поперечного перерiзу якої a = 12,5; b = 8, модуль
Юнга E0, коефiцiєнт Пуасона ν = 0,3. Довжина оболонки L = 30, товщина h = 1, а торцi
жорстко закрiпленi, тобто на контурах s = 0 та s = L виконуються умови (5). Оскiльки
в даному випадку товщина вздовж напрямної не змiнюється, то при θ = 0 i θ = π/2 будуть
мати мiсце умови симетрiї (6). На оболонку дiє рiвномiрно розподiлене навантаження qγ =
= q0.
Задача розв’язувалася при апроксимацiї сплайнами вздовж як твiрної, так i напрямної.
В табл. 1 показано, як змiнюються значення одержаних прогинiв w в серединному перерiзi
s = L/2 залежно вiд напрямку сплайн-апроксимацiї i кiлькостi точок колокацiї. Як видно
з таблицi, при апроксимацiї вздовж твiрної одержане значення максимального прогину, що
спостерiгаються при θ = 0, вже при 10 точках колокацiї (N = 9) в чотирьох значущих
цифрах збiгається зi значенням прогину, отриманого при 20 точках колокацiї. Уточнення
розв’язку зi збiльшенням точок колокацiї можна спостерiгати в точцi θ = π/2, де мають
мiсце прогини, протилежнi напрямку дiї сили. Проте рiзниця мiж прогинами, одержаними
при N = 9 i N = 19, становить менше 1%.
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
Рис. 1. Розподiл прогинiв вздовж твiрної при θ = 0
Рiзниця у значеннях, одержаних для рiзної кiлькостi точок колокацiї при апроксимацiї
вздовж напрямної, бiльш помiтна. Але для максимальних прогинiв результати, отриманi
при 20 i 10 точках колокацiї, вiдрiзняються менш нiж на 2%. Також варто вiдзначити,
що вже при N = 19 наведенi значення прогинiв майже збiгаються для обох напрямкiв
апроксимацiї.
Як видно з табл. 1, для оболонки сталої товщини апроксимацiя сплайнами вздовж твiр-
ної дає бiльш точнi результати при меншiй кiлькостi точок колокацiї. Це можна пояснити
тим, що в даному випадку коефiцiєнти розв’язувальної системи рiвнянь (3) залежать тiль-
ки вiд змiнної θ.
Також було розв’язано задачу про напружено-деформований стан трансверсально-iзо-
тропної оболонки змiнної вздовж твiрної товщини, виготовленої зi склопластику, що має
такi пружнi характеристики: Es = E, Eθ = 4,07E, νθ = 0,277, Gsθ = Gθγ = 0,407E,
Gsγ = 0,357E [6]. У цьому випадку площиною iзотропiї є площина sγ, тобто волокна ком-
позиту направленi вздовж напрямної цилiндра. Товщина оболонки змiнюється за законом
h = 1 + α[3(s/l − 1)2 − 1], i вага оболонки не залежить вiд параметра α. Всi iншi характе-
ристики такi ж, як i в попереднiй задачi.
На рис. 1, 2 показано розподiл прогину w вздовж твiрної при θ = 0 та напружень σθ в се-
рединнiй площинi оболонки вздовж напрямної при s = L/2 залежно вiд параметра α. Для
Таблиця 1. Порiвняння результатiв, одержаних при рiзнiй кiлькостi точок колокацiї залежно вiд напрямку
апроксимацiї
Напрямок
апроксимацiї
θ
wE0/q0
N
9 11 13 15 17 19
Вздовж твiрної 0 1226 1225 1224 1225 1225 1226
π/2 −559,8 −560,6 −561,4 −562,1 −562,6 −563,0
Вздовж напрямної 0 1203 1213 1218 1221 1223 1224
π/2 −546,8 −554,7 −558,5 −560,5 −561,6 −562,3
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 79
Рис. 2. Розподiл напружень σθ вздовж напрямної при s = L/2
контролю точностi наведено результати розв’язання задач, коли апроксимацiя сплайнами
проводилася вздовж напрямної цилiндра при N = 19 (суцiльна лiнiя) та коли апроксимацiя
проводилася вздовж твiрної при N = 19 (трикутники), N = 39 (кружки). Для α = 0 та
α = 0,3, як видно з рис. 1, значення як прогинiв, так i напружень збiгаються при N = 19
для рiзних напрямкiв апроксимацiї (тому результати для N = 39 не наведено), а коли
α = −0,3, вiдмiнностi мiж значеннями прогинiв, одержаними при рiзиних напрямках апро-
ксимацiї при N = 19, бiльш помiтнi. Зi збiльшенням точок колокацiї вздовж твiрної до 40
точнiсть результатiв зростає. Схожу залежнiсть розв’язку вiд кiлькостi точок колокацiї та
вiд напрямку апроксимацiї можна спостерiгати i для напружень (див. рис. 2). Але рiзни-
ця у значеннях напружень, отриманих при апроксимацiї вздовж напрямної при N = 19
i N = 39 для α = −0,3, не така значна, як для прогинiв.
Таким чином, оскiльки коефiцiєнти системи рiвнянь (3) в цьому випадку залежать вiд s
i θ, то бiльш точними при меншiй кiлькостi точок колокацiї є результати, отриманi при iнтег-
руваннi за змiнною s. Отже, якщо характеристики оболонки значно змiнюються, доцiльно
застосовувати метод сплайн-колокацiї в обох напрямках для контролю точностi результату.
1. Алберг Дж., Нильсен Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. – Москва: Мир, 1972. – 320 с.
2. Завьялов Ю.С., Квасов Ю.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. – Москва: Наука,
1980. – 352 с.
3. Григоренко Я.М., Шевченко Ю.Н., Василенко А.Т. и др. Численные методы. – Киев: «А.С.К. »,
2002. – 448 с. – (Механика композитов: В 12-ти т. Т. 11).
4. Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л. Исследование свободных колебаний прямоугольных пластин пере-
менной толщины в уточненной постановке // Доп. НАН України. – 2006. – № 8. – С. 39–46.
5. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Голуб Г.П. Статика анизотропных оболочек с конечной сдвиговой
жесткостью. – Киев: Наук. думка, 1987. – 216 с.
6. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – Москва: Наука, 1977. – 416 с.
Надiйшло до редакцiї 26.04.2007Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3549 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-26T14:57:10Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Яремченко, C.M. 2009-07-08T08:52:17Z 2009-07-08T08:52:17Z 2007 Про розв'язання двовимірних крайових задач статики некругових циліндричних оболонок в уточненій постановці із застосуванням сплайн-функцій / С.М. Яремченко // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 75-80. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3549 539.3 The aspects of applications of the spline method and the discrete orthogonalization method to the solution of 2D boundary-value problems on a stress-strain state of noncircular cylindrical shells in a refined formulation are analyzed. The accuracy of solutions is estimated. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Про розв’язання двовимiрних крайових задач статики некругових цилiндричних оболонок в уточненiй постановцi iз застосуванням сплайн-функцiй Article published earlier |
| spellingShingle | Про розв’язання двовимiрних крайових задач статики некругових цилiндричних оболонок в уточненiй постановцi iз застосуванням сплайн-функцiй Яремченко, C.M. Механіка |
| title | Про розв’язання двовимiрних крайових задач статики некругових цилiндричних оболонок в уточненiй постановцi iз застосуванням сплайн-функцiй |
| title_full | Про розв’язання двовимiрних крайових задач статики некругових цилiндричних оболонок в уточненiй постановцi iз застосуванням сплайн-функцiй |
| title_fullStr | Про розв’язання двовимiрних крайових задач статики некругових цилiндричних оболонок в уточненiй постановцi iз застосуванням сплайн-функцiй |
| title_full_unstemmed | Про розв’язання двовимiрних крайових задач статики некругових цилiндричних оболонок в уточненiй постановцi iз застосуванням сплайн-функцiй |
| title_short | Про розв’язання двовимiрних крайових задач статики некругових цилiндричних оболонок в уточненiй постановцi iз застосуванням сплайн-функцiй |
| title_sort | про розв’язання двовимiрних крайових задач статики некругових цилiндричних оболонок в уточненiй постановцi iз застосуванням сплайн-функцiй |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3549 |
| work_keys_str_mv | AT âremčenkocm prorozvâzannâdvovimirnihkraiovihzadačstatikinekrugovihcilindričnihobolonokvutočneniipostanovciizzastosuvannâmsplainfunkcii |