Задача механики разрушения для биматериала с круговой межфазной трещиной под воздействием волны растяжения-сжатия
The paper is devoted to the solution of a fracture mechanics problem for a penny-shaped crack located in the interface of two dissimilar media under the action of a tension-compression wave propagating normally to the interface. The stress intensity factors (the opening mode and the transverse shear...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3551 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача механики разрушения для биматериала с круговой межфазной трещиной под воздействием волны растяжения - сжатия / В.А. Меньшиков // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 71-75. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859834497731657728 |
|---|---|
| author | Меньшиков, В.А. |
| author_facet | Меньшиков, В.А. |
| citation_txt | Задача механики разрушения для биматериала с круговой межфазной трещиной под воздействием волны растяжения - сжатия / В.А. Меньшиков // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 71-75. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The paper is devoted to the solution of a fracture mechanics problem for a penny-shaped crack located in the interface of two dissimilar media under the action of a tension-compression wave propagating normally to the interface. The stress intensity factors (the opening mode and the transverse shear mode) are obtained in terms of the strain and displacements fields, which are numerically calculated for the vicinity of the crack front.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:34:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
7. Ложкин В.Н. Определение упругих и пластических перемещений в изгибаемой изотропной полосе с
круговым отверстием // Там само. – 1997. – № 9. – С. 73–77.
8. Ложкин В.Н. Упругопластическое равновесие изотропной плоскости с круговым отверстием при
неравномерном внешнем нагружении // Там само. – 1998. – № 1. – С. 87–91.
9. Ложкин В.Н. Развитие пластической области в изотропной полосе с круговым отверстием при ли-
нейном внешнем нагружении // Там само. – 2001. – № 1. – С. 60–64.
Поступило в редакцию 06.04.2007Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
УДК 539.3
© 2007
В.А. Меньшиков
Задача механики разрушения для биматериала
с круговой межфазной трещиной под воздействием
волны растяжения — сжатия
(Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем)
The paper is devoted to the solution of a fracture mechanics problem for a penny-shaped crack
located in the interface of two dissimilar media under the action of a tension-compression wave
propagating normally to the interface. The stress intensity factors (the opening mode and the
transverse shear mode) are obtained in terms of the strain and displacements fields, which are
numerically calculated for the vicinity of the crack front.
Численное решение задачи теории упругости для составного тела с круговой межфазной
трещиной под действием гармонической нагрузки получено в [1]. В настоящей работе рас-
считаны коэффициенты интенсивности напряжений нормального отрыва и поперечного
сдвига в биматериальном теле с круговой трещиной в плоскости раздела упругих сред,
находящегося под воздействием волны растяжения — сжатия, которая падает перпенди-
кулярно к плоскости раздела материалов. Коэффициенты получены на основе численного
определения полей напряжений и перемещений вблизи фронта трещины.
Постановка задачи. В трехмерном пространстве рассматривается бесконечное тело,
состоящее из двух упругих сред, соединенных вдоль общей поверхности Γ∗, которая явля-
ется плоскостью. Каждое из полупространств однородно, изотропно и характеризуется ра-
зными упругими постоянными и плотностями. В теле между полупространствами имеется
круговая трещина с границами-берегами Γ1, Γ2, характеризующаяся тем, что поверхности
берегов принадлежат разным средам, а ее фронт находится на плоскости Γ∗. В составном
теле с трещиной распространяется волна растяжения — сжатия в направлении, перпенди-
кулярном к межфазной плоскости. На поверхности Γ∗ полагается полное сцепление мате-
риалов, т. е. непрерывность перемещений и напряжений. Фронт трещины неподвижен, ее
берега перемещаются без взаимного контакта.
Пусть напряженно-деформированное состояние биматериального тела с тещиной опи-
сывается уравнениями линейной динамической теории упругости. Тогда, с учетом принципа
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 71
суперпозиции, задача сводится к анализу состояния тела с межфазной трещиной, к берегам
которой приложена компенсирующая нагрузка, непрерывностью перемещений и напряже-
ний на общей поверхности раздела сред.
Итак, на поверхностях трещины задаются усилия
p1(x, t) = g1(x, t), x ∈ Γ1, p2(x, t) = g2(x, t), x ∈ Γ2, t ∈ T;
на границе сцепления полагаются условия плотного механического контакта
u1(x, t) = u2(x, t), p1(x, t) = −p2(x, t), x ∈ Γ∗, t ∈ T,
где p(x, t) = {p1, p2, p3}T , u(x, t) = {u1, u2, u3}T — векторы поверхностных сил и переме-
щений.
На бесконечности потребуем выполнение условий, которые обеспечивают конечность
энергии упругого тела, занимающего неограниченную область.
Гармонический во времени характер нагружения дает возможность представить пара-
метры задачи в виде
p(x, t) = Re{p(x) exp(−iωt)}, u(x, t) = Re{u(x) exp(−iωt).
Здесь u(x) и p(x) — комплексные амплитуды перемещений и поверхностных сил, соответ-
ственно; ω = 2π/T — круговая частота.
Для численного решения рассматриваемой задачи используется метод граничных эле-
ментов, при реализации которого строятся интегральные уравнения на границе составного
тела с трещиной на основе соотношений Сомильяны.
Система граничных интегральных уравнений относительно комплексных амплитуд пе-
ремещений и усилий имеет следующий вид [2]:
1
2
g1
j (y) −
∫
Γ1
g1
i (x)K1
ij(x, y, ω) dx = −
∫
Γ1
u1
i (x)F 1
ij(x, y, ω) dx −
∫
Γ∗
p∗i (x)K1
ij(x, y, ω) dx +
+
∫
Γ∗
u∗
i (x)F 1
ij(x, y, ω) dx, y ∈ Γ1,
1
2
g2
j (y) −
∫
Γ2
g2
i (x)K2
ij(x, y, ω) dx = −
∫
Γ2
u2
i (x)F 2
ij(x, y, ω) dx +
∫
Γ∗
p∗i (x)K2
ij(x, y, ω) dx −
−
∫
Γ∗
u∗
i (x)F 2
ij(x, y, ω) dx, y ∈ Γ2,
∫
Γ1
g1
i (x)K1
ij(x, y, ω) dx −
∫
Γ2
g2
i (x)K2
ij(x, y, ω) dx =
∫
Γ1
u1
i (x)F 1
ij(x, y, ω) dx −
−
∫
Γ2
u2
i (x)F 2
ij(x, y, ω) dx +
∫
Γ∗
p∗i (x)(K1
ij(x, y, ω) + K2
ij(x, y, ω)) dx −
−
∫
Γ∗
u∗
i (x)(F 1
ij(x, y, ω) + F 2
ij(x, y, ω))dx, y ∈ Γ∗,
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
∫
Γ1
g1
i (x)U1
ij(x, y, ω) dx −
∫
Γ2
g2
i (x)U2
ij(x, y, ω) dx =
∫
Γ1
u1
i (x)W 1
ij(x, y, ω) dx −
−
∫
Γ2
u2
i (x)W 2
ij(x, y, ω) dx +
∫
Γ∗
p∗i (x)(U1
ij(x, y, ω) + U2
ij(x, y, ω)) dx −
−
∫
Γ∗
u∗
i (x)(W 1
ij(x, y, ω) + W 2
ij(x, y, ω))dx, y ∈ Γ∗,
где Uij(x, y, ω), Wij(x, y, ω), Kij(x, y, ω), Fij(x, y, ω) — фундаментальные решения динамиче-
ской теории упругости [3], имеющие различный порядок сингулярности; x, y — точки наблю-
дения и нагружения, верхние индексы 1, 2, *соответствуют полупространствам и участкам
границ, нижние индексы i, j = 1, 2, 3.
В системе уравнений неизвестными являются компоненты комплексных амплитуд пе-
ремещений на берегах трещины, а также перемещений и усилий на поверхности сцепления
материалов.
Результаты расчетов. Для численного решения используется прямой вариант метода
граничных элементов с постоянной аппроксимацией параметров в пределах элементов.
Расчеты выполнены для круговой трещины радиусом R в плоскости соединения матери-
алов сталь — алюминий при гармоническом нагружении берегов трещины волной растяже-
ния — сжатия. При этом приняты следующие характеристики материалов: для стали — мо-
дуль упругости E = 207 ГПа, коэффициент Пуассона ν = 0,288, плотность ρ = 7860 кг/м3;
для алюминия — модуль упругости E = 70 ГПа, коэффициент Пуассона ν = 0,347, плот-
ность ρ = 2700 кг/м3. Продольная волна была направлена по нормали к плоскости сцепле-
ния металлов, приведенное волновое число k2R = ωR/c2 изменяется в диапазоне 0 6 k2R 6
6 2,0 (здесь c2 — скорость поперечных волн в стали). Поверхности трещины и плоскость
сцепления материалов за ее фронтом аппроксимировались граничными элементами, кото-
рые сгущались у фронта. Наименьший поперечный относительный размер h/R = 0,0625
имели элементы, примыкающие непосредственно к фронту трещины с разных сторон.
Характерными чертами решения динамической задачи для межфазной трещины яв-
ляются разные амплитуды нормальных перемещений и наличие разрыва в тангенциаль-
ных смещениях противоположных берегов [1], что принципиально отличает ее от трещины
в однородной среде [4].
На рис. 1, 2 представлены распределения нормальных и тангенциальных компонент
перемещений противоположных берегов на сечении, проходящем по диаметру трещины,
в течение периода нагружения.
Приведенные рисунки хорошо иллюстрируют отмеченные особенности напряженно-де-
формированного состояния межфазной трещины. Нормальный и тангенциальный разрывы
перемещений противоположных берегов трещины порождают соответствующие коэффици-
енты интенсивности напряжений (КИН).
По полученным параметрам напряженно-деформированного состояния в окрестности
фронта трещины рассчитаны КИН нормального отрыва K1 и поперечного сдвига K2 с ис-
пользованием асимптотических соотношений из [5]
K1 = max lim
r→0
σ(x, t)
√
2πr, K2 = max lim
r→0
τ(x, t)
√
2πr.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 73
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
На рис. 3 и 4 представлены относительные величины КИН в зависимости от параметра
нагрузки k2R.
Видно, что обе моды КИН имеют выраженные максимумы, которые достигаются при
близких значениях приведенного волнового числа. Относительная максимальная величина
КИН второй моды в условиях рассматриваемой задачи выше величины КИН первой моды
на 15%.
Относительные величины получены делением расчетных значений КИН для рассматри-
ваемой динамической задачи на соответствующий КИН для биматериального тела [6] при
статическом нагружении:
Kстат
1 =
2√
π
P0(1 − 0,7023β2), Kстат
2 =
2√
π
P0(1 − 2 ln 2)β,
где P0 — усилие статического нагружения; β — биупругая постоянная.
Таким образом, на основе решения динамической задачи теории упругости для бимате-
риального тела с межфазной трещиной рассчитаны коэффициенты интенсивности напря-
жений нормального отрыва и поперечного сдвига для круговой трещины под действием
нормальной продольной волны при меняющемся параметре нагружения.
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №11
1. Меньшиков В.А. Круговая трещина в плоскости раздела упругих материалов под действием нор-
мальной гармонической нагрузки // Теорет. и прикл. механика. – 2006. – Вып. 42. – С. 166–170.
2. Меньшиков В.А., Меньшиков А. В. Гранично-контактные интегральные уравнения динамической
задачи теории упругости о трещине на поверхности раздела полупространств // Доп. НАН України. –
2006. – № 6. – С. 51–56.
3. Меньшиков В.А. Сингулярные ядра интегральных уравнений в задаче о трещине на границе раздела
полупространств при гармоническом нагружении // Там само. – № 11. – С. 58–62.
4. Гузь А.Н., Зозуля В.В. Хрупкое разрушение материалов при динамических нагрузках: Некласси-
ческие проблемы механики разрушения: В 4 т. / Под ред. А.Н. Гузя. – Т. 4. Кн. 2. – Киев: Наук.
думка, 1993. – 236 с.
5. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – Москва: Наука, 1974. – 640 с.
6. Вайншельбаум В.М., Гольдштейн Р. В. Осесимметричная задача о трещине на границе раздела слоев
в многослойной среде // Механика тв. тела. – 1976. – № 2. – С. 130–143.
Поступило в редакцию 07.06.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 539.3
© 2007
C.M. Яремченко
Про розв’язання двовимiрних крайових задач статики
некругових цилiндричних оболонок в уточненiй
постановцi iз застосуванням сплайн-функцiй
(Представлено академiком НАН України Я.М. Григоренком)
The aspects of applications of the spline method and the discrete orthogonalization method to
the solution of 2D boundary-value problems on a stress-strain state of noncircular cylindrical
shells in a refined formulation are analyzed. The accuracy of solutions is estimated.
З розвитком комп’ютерної технiки все частiше для дослiдження фiзичних явищ застосову-
ються сплайн-функцiї [1]. На першому етапi розвитку основним завданням сплайнiв, яке во-
ни успiшно виконують i зараз, було наближення кривих i поверхонь. Пiзнiше через зручнiсть
у використаннi сплайн-апроксимацiя все частiше стає однiєю зi складових частин рiзних ме-
тодiв розв’язання задач механiки деформiвного твердого тiла, серед таких можна назвати
методи скiнченних та граничних елементiв та метод колокацiй [2]. Також розроблено пiд-
ходи, що дозволяють звести двовимiрнi крайовi задачi до одновимiрних, використовуючи
апроксимацiю сплайнами в одному з координатних напрямкiв, а в iншому провести чисельне
iнтегрування. Зокрема, можна вiдзначити роботи, де проводилися розрахунки напружено-
го стану [3], а також розв’язувалися задачi про власнi коливання [4] пластин i оболонок за
допомогою такого пiдходу.
У данiй роботi викладаються основнi аспекти застосування методу сплайн-апроксимацiї
разом з методом дискретної ортогоналiзацiї до розв’язання двовимiрних задач про напруже-
ний стан некругових цилiндричних оболонок в уточненiй постановцi [5] та дається оцiнка
точностi одержаних результатiв.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №11 75
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3551 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:34:20Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Меньшиков, В.А. 2009-07-08T08:54:28Z 2009-07-08T08:54:28Z 2007 Задача механики разрушения для биматериала с круговой межфазной трещиной под воздействием волны растяжения - сжатия / В.А. Меньшиков // Доп. НАН України. — 2007. — № 11. — С. 71-75. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3551 539.3 The paper is devoted to the solution of a fracture mechanics problem for a penny-shaped crack located in the interface of two dissimilar media under the action of a tension-compression wave propagating normally to the interface. The stress intensity factors (the opening mode and the transverse shear mode) are obtained in terms of the strain and displacements fields, which are numerically calculated for the vicinity of the crack front. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Задача механики разрушения для биматериала с круговой межфазной трещиной под воздействием волны растяжения-сжатия Article published earlier |
| spellingShingle | Задача механики разрушения для биматериала с круговой межфазной трещиной под воздействием волны растяжения-сжатия Меньшиков, В.А. Механіка |
| title | Задача механики разрушения для биматериала с круговой межфазной трещиной под воздействием волны растяжения-сжатия |
| title_full | Задача механики разрушения для биматериала с круговой межфазной трещиной под воздействием волны растяжения-сжатия |
| title_fullStr | Задача механики разрушения для биматериала с круговой межфазной трещиной под воздействием волны растяжения-сжатия |
| title_full_unstemmed | Задача механики разрушения для биматериала с круговой межфазной трещиной под воздействием волны растяжения-сжатия |
| title_short | Задача механики разрушения для биматериала с круговой межфазной трещиной под воздействием волны растяжения-сжатия |
| title_sort | задача механики разрушения для биматериала с круговой межфазной трещиной под воздействием волны растяжения-сжатия |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3551 |
| work_keys_str_mv | AT menʹšikovva zadačamehanikirazrušeniâdlâbimaterialaskrugovoimežfaznoitreŝinoipodvozdeistviemvolnyrastâženiâsžatiâ |