О безграничной делимости смеси по параметру рассеяния гауссовского распределения
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/36982 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О безграничной делимости смеси по параметру рассеяния гауссовского распределения / А.И. Ильинский // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 13-16. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859519224745033728 |
|---|---|
| author | Ильинский, А.И. |
| author_facet | Ильинский, А.И. |
| citation_txt | О безграничной делимости смеси по параметру рассеяния гауссовского распределения / А.И. Ильинский // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 13-16. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| first_indexed | 2025-11-25T20:53:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
© 2011
А.И. Ильинский
О безграничной делимости смеси по параметру
рассеяния гауссовского распределения
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Доведено, що якщо безмежно подiльна характеристична функцiя виду
∞
∫
0
e−σt
2
dS(σ), де
S(σ) — функцiя розподiлу, має обмежений пуассонiвський спектр, то вона дорiвнює
exp(−σ0t2) при деякому σ0 > 0.
Будем использовать терминологию, принятую в [1]. В частности, термин характеристичес-
кая функция означает преобразование Фурье–Стилтьеса функции распределения
f(t) =
∞
∫
−∞
exp(itx) dF (x). (1)
Характеристическая функция f(t) называется безгранично делимой, если при всяком нату-
ральном n она является степенью некоторой характеристической функции: f = (fn)
n, fn —
характеристическая функция. Гауссовской называется характеристическая функция вида
exp(−γt2). Рассмотрим множество характеристических функций вида
f(t) =
∞
∫
0
exp(−σt2) dS(σ), (2)
где S(σ) — произвольная функция распределения такая, что S(0) = 0. Функция распреде-
ления F (x), соответствующая по формуле (1) характеристической функции f(t) вида (2),
является смесью по параметру σ гауссовских функций распределения со средним 0 и дис-
персией
√
2σ. Хорошо известно, что функция распределения F безгранично делима, если
безгранично делима функция распределения S [2, с. 642]. Однако условие безграничной
делимости функции распределения S не является необходимым для безграничной делимос-
ти F [3].
Класс безгранично делимых характеристических функций f(t) вида (2) описывается
формулой
f(t) = exp
( ∞
∫
0
cos tx− 1
x2
dν(x)
)
, (3)
где ν(x) — функция на полуоси [0,∞), удовлетворяющая условиям: 1) ν(x) — неубывающая;
2) ν(x) непрерывна слева в каждой точке луча (0,∞); 3)
∞
∫
1
x−2dν(x) <∞. Отметим, что если
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №1 13
функция ν(x) имеет скачок в точке 0 величиной γ, то он дает вклад −γt2/2 в интеграл (2).
Множество
{x > 0: ∀δ > 0, ν(x+ δ)− ν(x− δ) > 0}
положительных точек роста функции ν(x) из формулы (3) называется пуассоновским
спектром характеристической функции f(t). Если пуассоновский спектр характеристичес-
кой функции f(t) пуст, то f(t) = exp(−γt2/2), где γ = ν(0 + 0) − ν(0) — величина скачка
функции ν в точке 0.
С. Вольф [4] получил следующее необходимое условие безграничной делимости характе-
ристической функции f вида (2) в терминах функции распределения S. Чтобы сформули-
ровать его, введем обозначение εa(σ) для функции распределения с единственной точкой
роста a, т. е. εa(σ) = 0 при σ 6 a и εa(σ) = 1 при σ > a.
Теорема А. Если характеристическая функция f вида (2) является безгранично дели-
мой и функция распределения S(σ) не является функцией вида εa(σ), то для всех доста-
точно больших σ выполняется неравенство
1− S(σ) > exp(−λσ log2 σ) (4)
с некоторой положительной постоянной λ.
С. Вольф [4] высказал предположение, что в теореме А неравенство (4) можно заменить
таким неравенством:
1− S(σ) > exp(−λσ log σ). (5)
С.Н. Антонов [5] заметил, что если предположение С. Вольфа справедливо, то из результа-
тов [4, 6] вытекает, что в классе безгранично делимых характеристических функций вида (2)
нет характеристических функций с непустым ограниченным пуассоновским спектром. Це-
лью настоящей работы является прямое (не опирающееся на предположение С. Вольфа и на
результаты С.Н. Антонова и X. Охкубо) доказательство последнего утверждения.
Теорема 1. Пусть f — безгранично делимая характеристическая функция вида (2)
с ограниченным пуассоновским спектром. Тогда пуассоновский спектр характеристичес-
кой функции f пуст, и, таким образом, f(t) = exp(−σ0t2) для некоторого σ0 > 0.
Доказательство. По условию
f(t) = exp(ψ(t)), ψ(t) =
a
∫
0
cos tx− 1
x2
dν(x), (6)
где a < ∞. Надо показать, что функция ν(x) не имеет положительных точек роста, т. е.
ν(x) = γε0(x), где γ > 0. Предположим противное. Тогда характеристическая функция f(t)
имеет представление (6), где a > 0 и a является точкой роста функции ν(x). Интеграл,
определяющий функцию ψ(t) (см. (6)), сходится абсолютно и равномерно на любом ком-
пакте комплексной t-плоскости, поэтому характеристическая функция f(t) является целой
функцией. Известна следующая оценка в комплексной плоскости функции ψ(t) (см. [1],
лемма 5.2.4.):
ψ(t) = O(|t|2ea| Im t|), t→ ∞.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1
Значит, функция ψ(t) является целой функцией экспоненциального типа и ее индикатор-
ная диаграмма совпадает с отрезком [−bi, bi] мнимой оси (мы воспользовались четностью
функции ψ(t)). Заметим, что b = a. Это вытекает из следующей оценки функции ψ(t) на
мнимой оси: при всяком δ > 0 и любом r > 0
ψ(ir) > C1 + C2 ch(a− δ)r,
где Cj = Cj(δ) — постоянные, причем C2(δ) > 0. Действительно,
ψ(ir) =
a
∫
0
(ch rx− 1)
dν(x)
x2
>
a
∫
a−δ
(ch rx− 1)
dν(x)
x2
>
> −
a
∫
a−δ
dν(x)
x2
+
a
∫
a−δ
ch r(a− δ)
dν(x)
x2
= C1 + C2 ch(a− δ)r.
Таким образом, индикатор hψ(θ) : = lim
r→∞
r−1 log |ψ(reiθ)| функции ψ(t) равен a| sin θ|.
В частности,
lim
r→∞
log |ψ(reiπ/8)|
r
> 0. (7)
С другой стороны, поскольку |e−σt2 | 6 1 в угле {t : | arg t| 6 π/4}, то каждая целая
функция f(t) вида (1) удовлетворяет в этом угле неравенству |f(t)| 6 1. Таким образом,
Reψ(t) 6 0 в указанном угле. Покажем, что тогда |ψ(t)| не может иметь на луче {t : arg t =
= π/8} рост больший, чем полиномиальный.
Фиксируем точку t0 на луче {t : arg t = π/8} и число ̺, 0 < ̺ < γ|t0|, где γ = sin(π/8).
Для n = 1, 2, . . . положим tn := t0 + ̺nγ, Rn := |tn|γ. Применим неравенство Каратеодори
к функции ψ(t) в круге {t : |t − tn| 6 Rn}. Учитывая неравенства
A(Rn, ψ) := max{Reψ(t) : |t− tn| 6 Rn} 6 0, |Reψ(tn)| 6 |ψ(tn)|,
для всякого t ∈ {t : |t − tn| 6 ̺} получим
|ψ(t)| 6 2̺
Rn − ̺
(A(Rn, ψ) − Reψ(tn)) + |ψ(tn)| 6 |ψ(tn)|
(
1 +
2
γn
)
. (8)
В частности, при t = tn+1
|ψ(tn+1)| 6 |ψ(tn)|
(
1 +
2
γn
)
. (9)
Из (9) следует, что при всех n = 2, 3, . . . имеет место неравенство
|ψ(tn)| 6 |ψ(t1)|
n−1
∏
k=1
(
1 +
2
γk
)
< |ψ(t1)| exp
(
2
γ
n−1
∑
k=1
1
k
)
< Cn2/γ (10)
с некоторой постоянной C. Комбинируя неравенства (8) и (10), получаем, что при всяком
t ∈ {t : |t − tn| 6 ̺} выполняется неравенство |ψ(t)| 6 C1n
2/γ . Значит,
|ψ(reiπ/8)| = O(r2/γ), r → ∞. (11)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №1 15
Неравенство (11) противоречит неравенству (7), поэтому функция ν(x) не может иметь
положительные точки роста. Теорема 1 доказана.
Замечание. Как сообщил автору И.В. Островский, утверждение теоремы 1 сохраняет
силу, если предположение ограниченности пуассонова спектра заменить предположением
lim
r→∞
logM(r, ψ)
r2
= 0
(M(r, ψ) = max{|ψ(t)| : |t| = r}).
Автор выражает глубокую благодарность И.В. Островскому за постановку вопроса и обсуж-
дение результата.
1. Линник Ю.В., Островский И.В. Разложения случайных величин и векторов. – Москва: Наука,
1972. – 480 с.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. – Москва: Мир, 1984. – 752 с.
3. Kelker D. Variance mixtures of normal distributions // Ann. Math. Statist. – 1971. – 42. – P. 802–808.
4. Wolfe S. J. On the infinite divisibility of variance mixtures of normal distribution functions // Nederl.
Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. – 1978. – 81, №1. – P. 154–156.
5. Антонов С.Н. Об одном классе предельных распределений // Вероятностные распределения и ма-
тематическая статистика. – 1986. – С. 40–48.
6. Ohkubo H. On the asymptotic tail behaviors of infinitely divisible distributions // Yokohama Math. J. –
1979. – 27, No 2. – P. 77–89.
Поступило в редакцию 31.05.2010Харьковский национальный
университет им. В.Н. Каразина
A. I. Il’inskii
On the infinite divisibility of variance mixtures of Gaussian distributions
We prove that an infinitely divisibile characteristic function of the form
∞
∫
0
e−σt
2
dS(σ), where S(σ) is
a distribution function, with bounded Poissonian spectrum is equal to exp(−σ0t2) for some σ0 > 0.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-36982 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T20:53:01Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ильинский, А.И. 2012-08-29T15:03:12Z 2012-08-29T15:03:12Z 2011 О безграничной делимости смеси по параметру рассеяния гауссовского распределения / А.И. Ильинский // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 13-16. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/36982 519.21 Автор выражает глубокую благодарность И.В. Островскому за постановку вопроса и обсуждение результата. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О безграничной делимости смеси по параметру рассеяния гауссовского распределения On the infinite divisibility of variance mixtures of Gaussian distribution Article published earlier |
| spellingShingle | О безграничной делимости смеси по параметру рассеяния гауссовского распределения Ильинский, А.И. Математика |
| title | О безграничной делимости смеси по параметру рассеяния гауссовского распределения |
| title_alt | On the infinite divisibility of variance mixtures of Gaussian distribution |
| title_full | О безграничной делимости смеси по параметру рассеяния гауссовского распределения |
| title_fullStr | О безграничной делимости смеси по параметру рассеяния гауссовского распределения |
| title_full_unstemmed | О безграничной делимости смеси по параметру рассеяния гауссовского распределения |
| title_short | О безграничной делимости смеси по параметру рассеяния гауссовского распределения |
| title_sort | о безграничной делимости смеси по параметру рассеяния гауссовского распределения |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/36982 |
| work_keys_str_mv | AT ilʹinskiiai obezgraničnoidelimostismesipoparametrurasseâniâgaussovskogoraspredeleniâ AT ilʹinskiiai ontheinfinitedivisibilityofvariancemixturesofgaussiandistribution |