О страгивании трещины, расположенной на границе раздела упругих сред
В умовах плоскої деформації у рамках комплексної моделі зони передруйнування біля кінця тріщини, що розташована на гладкій межі поділу двох ізотропних пружних середовищ, яка враховує контактну зону і вузьку бічну зону передруйнування, пропонується метод визначення розкриття тріщини в її кінці та фор...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/36984 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О страгивании трещины, расположенной на границе раздела упругих сред / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 38-43. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860250520357175296 |
|---|---|
| author | Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. |
| author_facet | Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. |
| citation_txt | О страгивании трещины, расположенной на границе раздела упругих сред / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 38-43. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | В умовах плоскої деформації у рамках комплексної моделі зони передруйнування біля кінця тріщини, що розташована на гладкій межі поділу двох ізотропних пружних середовищ, яка враховує контактну зону і вузьку бічну зону передруйнування, пропонується метод визначення розкриття тріщини в її кінці та формулюється умова зрушення тріщини.
A method of the crack-tip opening determination is proposed, and a crack start condition is formulated under the plane strain. To solve the problem, a complex model of the process zone near the crack tip on the smooth interface of two isotropic elastic media is used. According to this model, it is assumed that there are the contact zone and the narrow side prefracture zone in a vicinity of the crack tip.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:42:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2011
МЕХАНIКА
УДК 539.375
© 2011
А.А. Каминский, Л. А. Кипнис
О страгивании трещины, расположенной на границе
раздела упругих сред
(Представлено академиком НАН Украины Я.М. Григоренко)
В умовах плоскої деформацiї у рамках комплексної моделi зони передруйнування бiля кiн-
ця трiщини, що розташована на гладкiй межi подiлу двох iзотропних пружних середо-
вищ, яка враховує контактну зону i вузьку бiчну зону передруйнування, пропонується
метод визначення розкриття трiщини в її кiнцi та формулюється умова зрушення
трiщини.
В [1] для осуществления в условиях плоской деформации расчета зоны предразрушения
вблизи конца трещины, расположенной на границе раздела упругих сред, предлагается
использовать комплексную модель данной зоны. Эта модель учитывает наличие зоны кон-
такта берегов трещины в окрестности ее конца (зона контактного проскальзывания), ко-
торая моделируется линией разрыва касательного смещения [2, 3], а также существование
узкой боковой зоны ослабленных связей, развивающейся из конца трещины. Преимуще-
ственные деформации в боковой зоне предразрушения развиваются по механизму отрыва.
Поэтому указанная зона моделируется прямой линией, на которой допускается разрыв лишь
нормального смещения, а нормальное напряжение равно заданной постоянной материала σ
(сопротивление отрыву). Скачок касательного смещения на этой линии разрыва считается
приблизительно равным нулю. Такая модель боковой зоны предразрушения представляет
собой обобщение модели Леонова–Панасюка [4].
Граничные условия соответствующей задачи линейной теории упругости в случае кра-
евой трещины имеют следующий вид (рис. 1):
y = 0, x > 0, 〈σy〉 = 〈τxy〉 = 0, 〈v〉 = 〈u〉 = 0;
y = 0, −s < x < 0, 〈σy〉 = 〈τxy〉 = 0, 〈v〉 = 0, τxy = 0;
y = 0, x < −s, 〈σy〉 = 〈τxy〉 = 0, σy = τxy = 0;
θ = α, r < l, 〈σθ〉 = 〈τrθ〉 = 0, 〈ur〉 = 0, σθ = σ
(1)
(〈a〉 — скачок a); на линии A1BA2 заданы произвольные граничные условия.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1
Рис. 1
Длина s + l узкой зоны предразрушения, состоящей из зоны контактного проскаль-
зывания и зоны ослабленных связей, определяется из условий ограниченности напряжений
вблизи точек O′ и O′′ путем приравнивания к нулю коэффициента интенсивности напря-
жений в точке O′ и коэффициента интенсивности напряжений в точке O′′. Угол наклона
боковой зоны предразрушения α устанавливается из условия максимума потенциальной
энергии, сосредоточенной в этой зоне.
С ростом внешней нагрузки длина боковой зоны предразрушения увеличивается. При
некотором значении нагрузки вдоль этой узкой зоны ослабленных связей происходит раз-
рыв сплошности и образование трещины.
Чтобы установить указанную разрушающую нагрузку, при которой происходит началь-
ный поворот трещины, расположенной на границе раздела упругих сред, необходимо опре-
делить раскрытие трещины в ее конце O. Однако граничные условия (1) рассматриваемой
задачи линейной теории упругости (см. рис. 1) таковы, что вектор смещения в точке O
на верхнем берегу разреза OO′ и вектор смещения в точке O на нижнем берегу разреза
OO′ совпадают. Поэтому раскрытие трещины в ее конце O оказывается равным нулю, чего
быть не может при наличии зоны предразрушения. Таким образом, формулировка гранич-
ных условий требует некоторых изменений.
Для внесения изменений в граничные условия (1) воспользуемся результатами экспе-
риментальных исследований [5, 6]. Из этих результатов следует, что часть боковой зоны
предразрушения, находящаяся вблизи конца трещины, представляет собой область деструк-
ции материала, которая отличается максимально высоким уровнем деформаций. Нельзя
утверждать, что преимущественные деформации в области деструкции материала развива-
ются по механизму отрыва (данное утверждение справедливо для остальной части боковой
зоны предразрушения), поскольку здесь проявляют себя как отрывный, так и сдвиговый
механизмы развития деформаций. Поэтому при моделировании области деструкции мате-
риала линией разрыва скачок касательного смещения нельзя считать пренебрежимо ма-
лым.
Учитывая сказанное, узкую боковую зону предразрушения будем моделировать прямой
линией разрыва, состоящей из двух участков. На участке, примыкающем к концу трещи-
ны, длина которого в значительной степени меньше длины всей линии разрыва, терпят
разрыв нормальное и касательное смещения, а нормальное и касательное напряжения рав-
ны заданным постоянным материала σ и τ (сопротивление отрыву и сопротивление сдвигу).
На втором участке терпит разрыв лишь нормальное смещение, а нормальное напряжение
равно σ.
Таким образом, граничные условия задачи линейной теории упругости, моделирую-
щей в условиях плоской деформации процесс развития зоны предразрушения вблизи кон-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №1 39
Рис. 2
Рис. 3
ца трещины, расположенной на границе раздела упругих сред, имеют следующий вид
(рис. 2):
y = 0, x > 0, 〈σy〉 = 〈τxy〉 = 0, 〈v〉 = 〈u〉 = 0;
y = 0, −s < x < 0, 〈σy〉 = 〈τxy〉 = 0, 〈v〉 = 0, τxy = 0;
y = 0, x < −s, 〈σy〉 = 〈τxy〉 = 0, σy = τxy = 0;
θ = α, r < d, 〈σθ〉 = 〈τrθ〉 = 0, σθ = σ, τrθ = τ ;
θ = α, d < r < l, 〈σθ〉 = 〈τrθ〉 = 0, 〈ur〉 = 0, σθ = σ;
на линии A1BA2 заданы произвольные граничные условия.
Поскольку длина d области деструкции материала в значительной степени меньше дли-
ны l всей боковой зоны предразрушения, длины s зоны контактного проскальзывания и ра-
змеров тела, для определения длины полной зоны предразрушения и угла α по-прежнему
служит задача, изображенная на рис. 1.
Для определения раскрытия трещины в ее конце O, а также длины d области деструкции
материала служит задача линейной теории упругости о полубесконечных линиях разрыва,
граничные условия которой таковы (рис. 3):
θ = 0, 〈σθ〉 = 〈τrθ〉 = 0, 〈uθ〉 = 〈ur〉 = 0;
σθ(r, π) = σθ(r,−π), τrθ(r, π) = τrθ(r,−π),
uθ(r, π) = uθ(r,−π), τrθ(r, π) = 0;
θ = α, 〈σθ〉 = 〈τrθ〉 = 0; θ = α, σθ = σ; (2)
θ = α, r < d, τrθ = τ ; θ = α, r > d, 〈ur〉 = 0. (3)
При r → ∞ главные члены разложений напряжений в асимптотические ряды совпадают
с главными членами разложений напряжений в асимптотические ряды в задаче, изображен-
ной на рис. 1, при r → 0 и представляют собой решение задачи K, аналогичной рассматри-
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1
ваемой (см. рис. 3) в случае d = 0, которое порождается единственным на интервале ]−1; 0[
корнем λ0 ее характеристического уравнения
∆(−λ− 1) = 0,
∆(z) = (1 + κ1)[(e+ κ1)
2δ1(z) + (e+ κ1)(1 + eκ2)δ2(z) + (1 + eκ2)
2δ3(z)] +
+ e(1 + κ2)(e+ κ1)(1 + eκ2)δ4(z),
δ1(z) = cos2 α− sin2 z(π − α),
δ2(z) = z sin 2α sin 2zα+ cos 2α cos 2zα + cos 2zπ,
δ3(z) = cos2 α− sin2 z(π − α) + 4z2 sin2 α cos2 zα− z sin 2α sin 2zα −
− 4 sin zα cos zπ sin z(π − α),
δ4(z) = 2 cos zπ[2z2 sin2 α cos z(π−2α)+z sin 2α sin z(π−2α)−2 sin zα sin z(π−α)],
e =
1 + ν2
1 + ν1
E1
E2
, κ1,2 = 3− 4ν1,2.
(4)
В частности,
θ = α, r → ∞, τrθ = f1(α, e0, ν1, ν2)σ + Cf2(α, e0, ν1, ν2)r
λ0 + o(1/r) (5)
(f1, f2 определяются из решения задачи K, а C — из решения задачи, изображенной на
рис. 1).
Задача K решается методом разделения переменных. Уравнение (4), а также соответ-
ствующее уравнение в случае, когда при θ = α расположена линия разрыва касательного
смещения, получены в [7, 8].
В силу общих положений о поведении напряжений вблизи угловых точек упругих
тел [9, 10], в точке O′′′ имеет место корневая особенность напряжений.
Решение рассматриваемой задачи линейной теории упругости (см. рис. 3) с граничными
условиями (2), (3) и описанным условием на бесконечности представляет собой сумму ре-
шений следующих двух задач. Первая отличается от нее тем, что вместо последнего усло-
вия (2) и первого условия (3) имеем
θ = α, σθ = 0; θ = α, r < d, τrθ = τ − f1σ − Cf2r
λ0 , (6)
а на бесконечности напряжения затухают как o(1/r). Вторая задача — задача K.
Для построения точного решения первой задачи используется метод Винера–Хопфа в со-
четании с аппаратом интегрального преобразования Меллина [11–13]. В результате приме-
нения преобразования Меллина к уравнениям равновесия, условию совместности деформа-
ций, закону Гука, условиям (2) с учетом второго условия (3) и условий (6) задача сводится
к функциональному уравнению Винера–Хопфа следующего вида:
Φ+(p) +
τ1
p+ 1
+
τ2
p+ λ0 + 1
=
F1(p)
F2(p)
Φ−(p),
Φ+(p) =
∞
∫
1
τrθ(ρd, α)ρ
pdρ, Φ−(p) =
E1
4(1 − ν2
1
)
1
∫
0
〈
∂ur
∂r
〉
∣
∣
∣
∣
r=ρd
θ=α
ρpdρ,
τ1 = τ − f1σ, τ2 = −Cf2d
λ0 .
(7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №1 41
Здесь −ε1 < Re p < ε2, ε1,2 — достаточно малые положительные числа; F1,2(p) — целые
функции, представляющие собой суммы произведений функций типа sin pa, cos pa, p, a
(a — действительная постоянная).
Уравнение (7) допускает точное решение, выражаемое через интегралы типа Коши
и гамма-функции. Подобные уравнения решены, например, в [14, 15].
На основе решения уравнения (7) находится коэффициент интенсивности напряжений
в точке O′′′ в задаче, изображенной на рис. 3. Путем приравнивания этого коэффициента
к нулю определяется длина d области деструкции материала. С использованием решения
уравнения (7) и техники интегрального преобразования Меллина выводится формула для
раскрытия трещины в ее конце O, равного lim
x→−0
|〈u〉y=0|. При этом выражение для рас-
крытия содержит величину C (см. (5)), зависящую от внешней нагрузки.
Согласно деформационному критерию разрушения [4], трещина страгивается тогда, ког-
да ее раскрытие в конце O достигает своего критического значения, представляющего собой
заданную постоянную материала. Путем приравнивания выражения для раскрытия к за-
данной постоянной выводится уравнение, служащее для определения искомой разрушаю-
щей нагрузки.
Аналогично определяются раскрытие трещины в ее конце O и длина области деструк-
ции материала в случаях, когда взаимодействие берегов трещины описывается законом
кулонова трения или законом кулонова трения со сцеплением.
1. Каминский А.А., Кипнис Л.А. О комплексной модели зоны предразрушения в конце трещины на
границе раздела упругих сред // Доп. НАН України. – 2010. – № 2. – С. 60–64.
2. Comninou M. The interface crack // J. Appl. Mech. – 1977. – 44. – P. 631–633.
3. Гузь А.Н. О физически некорректных результатах механики разрушения // Прикл. механика. –
2009. – 45, № 10. – С. 4–22.
4. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. – Киев: Наук. думка, 1968. –
246 с.
5. Каминский А.А., Усикова Г.И., Дмитриева Е.А. Экспериментальное исследование распределения
пластических деформаций в окрестности вершины трещины при статическом нагружении // Прикл.
механика. – 1994. – 30, № 11. – С. 69–75.
6. Каминский А.А., Нижник С.Б. Исследование закономерностей изменения пластической зоны у края
трещины и характеристик трещиностойкости металлических материалов в зависимости от их струк-
туры (обзор) // Там же. – 1995. – 31, № 10. – С. 3–27.
7. Каминский А.А., Дудик М.В., Кипнис Л.А. Начальная зона предразрушения в конце межфазной
трещины с гладким контактом берегов // Теорет. и прикл. механика. – 2007. – 43. – С. 63–68.
8. Дудик М.В. Влияние трения берегов межфазной трещины на развитие начальной пластической зо-
ны // Там же. – 2009. – 46. – С. 81–90.
9. Партон В. З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. – Москва: Наука, 1981. –
688 с.
10. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. – Москва: Наука, 1974. – 640 с.
11. Нобл Б. Применение метода Винера–Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных
производных. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1962. – 279 с.
12. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – Ленинград: Наука, 1967. –
402 с.
13. Кипнис Л.А. Краевая трещина на границе различных сред // Прикл. математика и механика. –
1978. – 42, № 2. – С. 350–354.
14. Кипнис Л.А. Линии скольжения в угловой точке границы раздела различных сред // Там же. –
1989. – 53, № 6. – С. 1028–1033.
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1
15. Каминский А.А., Дудик М.В., Кипнис Л.А. О начальном повороте трещины, расположенной на
границе раздела двух упругих сред // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 10. – С. 28–41.
Поступило в редакцию 14.04.2010Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Уманский педагогический университет
A.A. Kaminsky, L. A. Kipnis
On the start of a crack on the interface of elastic media
A method of the crack-tip opening determination is proposed, and a crack start condition is formu-
lated under the plane strain. To solve the problem, a complex model of the process zone near the
crack tip on the smooth interface of two isotropic elastic media is used. According to this model,
it is assumed that there are the contact zone and the narrow side prefracture zone in a vicinity
of the crack tip.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №1 43
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-36984 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:42:42Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. 2012-08-29T15:11:42Z 2012-08-29T15:11:42Z 2011 О страгивании трещины, расположенной на границе раздела упругих сред / А.А. Каминский, Л.А. Кипнис // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 38-43. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/36984 539.375 В умовах плоскої деформації у рамках комплексної моделі зони передруйнування біля кінця тріщини, що розташована на гладкій межі поділу двох ізотропних пружних середовищ, яка враховує контактну зону і вузьку бічну зону передруйнування, пропонується метод визначення розкриття тріщини в її кінці та формулюється умова зрушення тріщини. A method of the crack-tip opening determination is proposed, and a crack start condition is formulated under the plane strain. To solve the problem, a complex model of the process zone near the crack tip on the smooth interface of two isotropic elastic media is used. According to this model, it is assumed that there are the contact zone and the narrow side prefracture zone in a vicinity of the crack tip. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О страгивании трещины, расположенной на границе раздела упругих сред On the start of a crack on the interface of elastic media Article published earlier |
| spellingShingle | О страгивании трещины, расположенной на границе раздела упругих сред Каминский, А.А. Кипнис, Л.А. Механіка |
| title | О страгивании трещины, расположенной на границе раздела упругих сред |
| title_alt | On the start of a crack on the interface of elastic media |
| title_full | О страгивании трещины, расположенной на границе раздела упругих сред |
| title_fullStr | О страгивании трещины, расположенной на границе раздела упругих сред |
| title_full_unstemmed | О страгивании трещины, расположенной на границе раздела упругих сред |
| title_short | О страгивании трещины, расположенной на границе раздела упругих сред |
| title_sort | о страгивании трещины, расположенной на границе раздела упругих сред |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/36984 |
| work_keys_str_mv | AT kaminskiiaa ostragivaniitreŝinyraspoložennoinagranicerazdelauprugihsred AT kipnisla ostragivaniitreŝinyraspoložennoinagranicerazdelauprugihsred AT kaminskiiaa onthestartofacrackontheinterfaceofelasticmedia AT kipnisla onthestartofacrackontheinterfaceofelasticmedia |