Про резонансні коливання пластинчатих п'єзоелектричних вібраторів
Вперше на прикладі коливань пластинчатого п'єзоелектричного вібратора проаналізовані резонансні і антирезонансні частоти при підведенні до електродів електричної напруги (резонанс напруг) або електричного струму (резонанс струму). Виявлена інверсійність резонансних і антирезонансних частот. By...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/36985 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про резонансні коливання пластинчатих п'єзоелектричних вібраторів / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 52-56. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-36985 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шульга, М.О. 2012-08-29T15:13:14Z 2012-08-29T15:13:14Z 2011 Про резонансні коливання пластинчатих п'єзоелектричних вібраторів / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 52-56. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/36985 539.3:537.228.1:538.6 Вперше на прикладі коливань пластинчатого п'єзоелектричного вібратора проаналізовані резонансні і антирезонансні частоти при підведенні до електродів електричної напруги (резонанс напруг) або електричного струму (резонанс струму). Виявлена інверсійність резонансних і антирезонансних частот. By the example of vibrations of a laminar piezoelectric vibrator, the resonance and antiresonance frequencies are analyzed in the cases where the electrodes are supplied by an electric voltage (voltage resonance) or an electric current (current resonance). The inversion of resonance and antiresonance frequencies is revealed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Про резонансні коливання пластинчатих п'єзоелектричних вібраторів On resonance vibrations of laminar piezoelectric vibrators Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про резонансні коливання пластинчатих п'єзоелектричних вібраторів |
| spellingShingle |
Про резонансні коливання пластинчатих п'єзоелектричних вібраторів Шульга, М.О. Механіка |
| title_short |
Про резонансні коливання пластинчатих п'єзоелектричних вібраторів |
| title_full |
Про резонансні коливання пластинчатих п'єзоелектричних вібраторів |
| title_fullStr |
Про резонансні коливання пластинчатих п'єзоелектричних вібраторів |
| title_full_unstemmed |
Про резонансні коливання пластинчатих п'єзоелектричних вібраторів |
| title_sort |
про резонансні коливання пластинчатих п'єзоелектричних вібраторів |
| author |
Шульга, М.О. |
| author_facet |
Шульга, М.О. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On resonance vibrations of laminar piezoelectric vibrators |
| description |
Вперше на прикладі коливань пластинчатого п'єзоелектричного вібратора проаналізовані резонансні і антирезонансні частоти при підведенні до електродів електричної напруги (резонанс напруг) або електричного струму (резонанс струму). Виявлена інверсійність резонансних і антирезонансних частот.
By the example of vibrations of a laminar piezoelectric vibrator, the resonance and antiresonance frequencies are analyzed in the cases where the electrodes are supplied by an electric voltage (voltage resonance) or an electric current (current resonance). The inversion of resonance and antiresonance frequencies is revealed.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/36985 |
| citation_txt |
Про резонансні коливання пластинчатих п'єзоелектричних вібраторів / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 52-56. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT šulʹgamo prorezonansníkolivannâplastinčatihpêzoelektričnihvíbratorív AT šulʹgamo onresonancevibrationsoflaminarpiezoelectricvibrators |
| first_indexed |
2025-11-25T20:34:11Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:34:11Z |
| _version_ |
1850522580159561728 |
| fulltext |
УДК 539.3:537.228.1:538.6
© 2011
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга
Про резонанснi коливання пластинчатих
п’єзоелектричних вiбраторiв
Вперше на прикладi коливань пластинчатого п’єзоелектричного вiбратора проаналiзо-
ванi резонанснi i антирезонанснi частоти при пiдведеннi до електродiв електричної на-
пруги (резонанс напруг) або електричного струму (резонанс струму). Виявлена iнвер-
сiйнiсть резонансних i антирезонансних частот.
В роботi розглянуто резонанснi коливання пластинчатого п’єзоелектричного вiбратора при
заданих на електродах електричнiй напрузi (резонанс напруг) або при заданому на елект-
родах електричному струмi (резонанс струму). Одержано i проаналiзовано рiвняння ре-
зонансних частот i рiвняння частот антирезонансу струму (в першому випадку) i частот
антирезонансу напруги (у другому випадку).
Розглянемо поляризовану по товщинi тонку п’єзокерамiчну пластину з електродовани-
ми площинами z = ±h/2. Механiчнi напруження σr, σθ при осесиметричнiй деформацiї
визначаються [1–3] через перемiщення ur i напруженiсть електричного поля Ez
σr =
1
sE
11
(1− ν2E)
(
∂ur
∂r
+ νE
ur
r
− (1 + νE)d31Ez
)
,
σθ =
1
sE
11
(1− ν2E)
(
νE
∂ur
∂r
+
ur
r
− (1 + νE)d31Ez
)
,
(1)
в яких використанi формули для деформацiй в цилiндричних координатах i vE = −sE
12
/sE
11
.
Рiвняння коливань вiдносно механiчного перемiщення ur(r, t) має вигляд
∂2ur
∂r2
+
1
r
∂ur
∂r
−
ur
r2
= (1− ν2E)s
E
11ρ
∂2ur
∂t2
. (2)
Для кiльцевої пластини r0 < r < r1 при гармонiчних коливаннях f(r, t) = Re fa(r) exp iωt
розв’язок рiвняння (2) виражається [3, 4] через цилiндричнi функцiї Бесселя першого i дру-
гого роду першого порядку
uar(r) = ARJ1(kEr) +BRY1(kEr), (3)
де k2E = (1 − ν2E)s
E
11
ρω2.
Користуючись (1), (3), знаходимо вирази для напружень
σr = Re
1
sE
11
(1− ν2E)
(Aa1(kEr) +Bb1(kEr)− (1 + vE)d13E
a
z )e
iωt,
σθ = Re
1
sE
11
(1− ν2E)
(Aa2(kEr) +Bb2(kEr)− (1 + vE)d13E
a
z )e
iωt,
(4)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1
в яких Ea
z — амплiтуда напруженостi електричного поля Ez = ReEa
z exp iωt. Тут викорис-
товуються позначення
a1(kEr) = kERJ0(kEr)− (1− νE)
R
r
J1(kEr),
b1(kEr) = kERY0(kEr)− (1− νE)
R
r
Y1(kEr),
a2(kEr) = νEkERJ0(kEr) + (1− νE)
R
r
J1(kEr),
b2(kEr) = νEkERY0(kEr) + (1− νE)
R
r
Y1(kEr).
(5)
При внутрiшньому жорстко закрiпленому краї i зовнiшньому вiльному краї кiльця повиннi
виконуватись умови
ur(r0, t) = 0, σr(r1, t) = 0. (6)
У цьому разi при заданiй амплiтудi електричної напруги Ea
z невiдомi сталi A, B визна-
чаються з системи рiвнянь
AJ1(kEr0) +BY1(kEr0) = 0, Aa1(kEr1) +Bb1(kEr1) = (1 + νE)d13E
a
z (7)
i дорiвнюють
A = −(1 + νE)d13EzaY1(kEr0)∆
−1
uσ ,
B = (1 + νE)d13EzaJ1(kEr0)∆
−1
uσ ,
(8)
де визначник
∆uσ = J1(kEr0)b1(kEr1)− Y1(kEr0)a1(kEr1). (9)
З формул (3), (4), (8) випливає, що резонанснi частоти визначаються з частотного рiвняння
J1(kEr0)b1(kEr1)− Y1(kEr0)a1(kEr1) = 0. (10)
При високих частотах, користуючись асимптотичними формулами для цилiндричних функ-
цiй [4]
Jn(z) ∼=
√
2
πz
cos
(
z −
nπ
2
−
π
4
)
, Yn(z) ∼=
√
2
πz
sin
(
z −
nπ
2
−
π
4
)
, (11)
для частотного рiвняння (10) знаходимо асимптотичний вираз
2R
π
√
r0r1
cos kE(r1 − r0) ≈ 0. (12)
Це значить, що зi збiльшенням частот вiльних коливань їх можна визначити за асимпто-
тичною формулою
kER =
R(2n+ 1)
π
2
r1 − r0
, (13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №1 53
в якiй цiле число n ≫ 1. Частотний спектр (13) вiдповiдає коливанням за радiальними
формами, коли на ширинi кiльця r1 − r0 вкладається непарне число чвертей хвилi (чверть-
хвильовi коливання).
Для струму через електродоване кiльце r0 < r < r1, користуючись формулами [1–3]
I =
dQ
dt
, Q = −
2π
∫
0
R
∫
0
Dzrdrdθ, Dz = d13(σr + σθ) + εT33Ez, (14)
знаходимо вираз
Ia = −ω
2πRd13
sE
11
(1−νE)
[
A(r1J1(kEr1−r0J1(kEr0)) +B(r1Y1(kEr1−r0Y1(kEr0))
]
+
+ ωπ(r2
1
− r2
0
)εT
33
(1− k2p)E
a
z . (15)
У формулi (15) для амплiтуди струму врахована рiзниця фаз шляхом I = Re Iai exp iωt i ви-
користаний вираз k2p = 2d2
13
/(1 − νE)s
E
11
εT
33
для статичного планарного коефiцiєнта зв’язку.
Така процедура аналогiчна резонансу напруг в електричному колi [5] при послiдовному
з’єднаннi резистора R, конденсатора C, котушки iндуктивностi L
L
d2I
dt2
+R
dI
dt
+
1
C
I =
dξ(t)
dt
. (16)
При гармонiчному збуреннi напругою ξ(t) = ξ0 sinωt i R = 0 резонансна частота визна-
чається за формулою Томпсона ωr = 1/
√
CL.
При заданому струмi I = Re Iai exp iωt з граничних умов (6) i формули (15) маємо
систему рiвнянь
AJ1(kEr0) +BY1(kEr0) = 0,
Aa1(kEr1) +Bb1(kEr1)− (1 + νE)d13E
a
z = 0,
ω
2πRd13
sE
11
(1− νE)
[A(r1J1(kEr1)− r0J1(kEr0)) +B(r1Y1(kEr1)− r0Y1(kEr0))] +
+ ωπ(r2
1
− r2
0
)εT
33
(1− k2p)E
a
z = −Ia
(17)
для визначення сталих A, B, Ea
z i резонансних частот.
Така процедура аналогiчна резонансу струму в електричному колi [5] при паралельному
з’єднаннi резистора R, конденсатора C, котушки iндуктивностi L
C
d2U
dt2
+
1
R
dU
dt
+
1
L
U =
dIg(t)
dt
. (18)
При гармонiчному збуреннi струмом Ig(t) = I0 sinωt i провiдностi Y = 1/R = 0 резонансна
частота також визначається за формулою Томпсона ωr = 1/
√
CL.
У випадку суцiльної круглої пластини в розв’язку (3) i т. д. треба покласти сталу B = 0.
При заданiй електричнiй напрузi з граничної умови σr(R, t) = 0 одержимо алгебраїчне
рiвняння
Aa1(kER)− (1 + νE)d13E
a
z = 0 (19)
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1
для визначення сталої A i частотне рiвняння для визначення резонансних частот
a1(kER) = 0. (20)
Заряд на електродi Qa = CПЕU при Ea
z = −U/h, де U — рiзниця напруг на електродах,
i ємностi п’єзоелектрика товщиною h
CПЕ = CT
[
1− k2p + (1 + νE)k
2
p
J1(kER)
a1(kER)
]
. (21)
Ємнiсть дiелектрика товщиною h без п’єзоефекту CT = εT
33
πR2/h.
Очевидно, що частоти антирезонансного струму знаходяться з частотного рiвняння
(1− k2p)a1(kER) + (1 + νE)k
2
pJ1(kER) = 0. (22)
При заданому струмi I = Re Iai exp iωt з граничної умови σr(R, t) = 0 i формули для струму
через п’єзоелемент одержимо систему алгебраїчних рiвнянь
a1(kER)A− (1 + νE)d13E
a
z = 0,
ω
2d13
sE
11
(1− νE)
J1(kER)A+ ωεT
33
(1− k2p)E
a
z = −
Ia
πR2
(23)
для визначення сталих A, Ea
z i резонансних частот.
З системи (23) знаходимо
A = −
1
∆r(kER)
(1 + νE)d13I
a
ωπR2εT
33
,
Ea
z = −
a1(kER)
∆r(kER)
Ia
ωπR2εT
33
,
(24)
в яких
∆r(kER) = (1− k2p)a1(kER) + (1 + νE)k
2
pJ1(kER).
Отже, при заданому струмi на електродах резонанснi частоти будуть визначатися з часто-
тного рiвняння
(1− k2p)a1(kER) + (1 + νE)k
2
pJ1(kER) = 0, (25)
а частоти антирезонансу напруги — з частотного рiвняння
a1(kER) = 0. (26)
Звернемо увагу на таке: при заданiй на електродах напрузi резонанснi частоти визна-
чаються з частотного рiвняння (20), яке збiгається з (26), а частоти антирезонансу струму —
з частотного рiвняння (22), яке збiгається з (25); при заданому на електродах струмi резо-
нанснi частоти визначаються з рiвняння (25), яке збiгається з (22), а частоти антирезонансу
напруги — з рiвняння (26), яке збiгається з (20). Таким чином, рiвняння резонансних i анти-
резонасних частот при заданiй на електродах напрузi i при заданому на електродах струмi
є iнверсними одне до одного. Цей факт випливає також з того, що струм через вiбратор
Ia = Y Ua, де Y = R−1 — провiднiсть, R — опiр. Дiйсно, при заданiй напрузi на електродах
резонанс буде при Y = ∞ (R = 0), а антирезонанс струму — при Y = 0 (R = ∞), тодi
як при заданому струмi резонанс буде при Y = 0 (R = ∞), а антирезонанс напруг — при
Y = ∞ (R = 0).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №1 55
1. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций.
Т. 5. Электроупругость. – Киев: Наук. думка, 1989. – 280 с.
2. Шульга Н.А., Болкисев А.М. Колебания пьезоэлектрических тел. – Киев: Наук. думка, 1990. – 228 с.
3. Шульга М.О., Карлаш В.Л. Резонанснi електромеханiчнi коливання п’єзоелектричних пластин. –
Київ: Наук. думка, 2008. – 270 с.
4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – Москва: Наука, 1972. – 736 с.
5. Павловський М.А. Теоретична механiка. – Київ: Технiка, 2002. – 512 с.
Надiйшло до редакцiї 08.04.2010Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Corresponding Member of the NAS of Ukraine M. O. Shulga
On resonance vibrations of laminar piezoelectric vibrators
By the example of vibrations of a laminar piezoelectric vibrator, the resonance and antiresonance
frequencies are analyzed in the cases where the electrodes are supplied by an electric voltage (voltage
resonance) or an electric current (current resonance). The inversion of resonance and antiresonance
frequencies is revealed.
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1
|