Теорема сравнения решений квазилинейных СДУЧП параболического типа со слабыми источниками
Доведено теорему порівняння розв'язків задачі Коші для СДРЧП параболічного типу. Головна частина рівняння є лінійною. Коефіцієнти дрейфу та дифузії містять в собі нелінійні члени степеневого виду. Показники степенів додатні, але менші за одиницю. Таким чином, рівняння містить в собі слабке дете...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/36987 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Теорема сравнения решений квазилинейных СДУЧП параболического типа со слабыми источниками / С.А. Мельник // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 17-22. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859901943715987456 |
|---|---|
| author | Мельник, С.А. |
| author_facet | Мельник, С.А. |
| citation_txt | Теорема сравнения решений квазилинейных СДУЧП параболического типа со слабыми источниками / С.А. Мельник // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 17-22. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доведено теорему порівняння розв'язків задачі Коші для СДРЧП параболічного типу. Головна частина рівняння є лінійною. Коефіцієнти дрейфу та дифузії містять в собі нелінійні члени степеневого виду. Показники степенів додатні, але менші за одиницю. Таким чином, рівняння містить в собі слабке детерміноване та слабке стохастичне джерело.
The comparison theorem for a nonlinear stochastic heat equation is proved. Factors of drift and diffusion contain nonlinear members of a power kind. Indices of degrees are positive numbers less than one.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:57:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
© 2011
С.А. Мельник
Теорема сравнения решений квазилинейных СДУЧП
параболического типа со слабыми источниками
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
Доведено теорему порiвняння розв’язкiв задачi Кошi для СДРЧП параболiчного типу.
Головна частина рiвняння є лiнiйною. Коефiцiєнти дрейфу та дифузiї мiстять в собi
нелiнiйнi члени степеневого виду. Показники степенiв додатнi, але меншi за одиницю.
Таким чином, рiвняння мiстить в собi слабке детермiноване та слабке стохастичне
джерело.
Теоремы сравнения решений играют важную роль в теории дифференциальных уравнений,
так как позволяют отслеживать динамику решений и устанавливать единственность реше-
ния. Теоремы сравнения решений СДУЧП параболического типа доказывались многими
авторами (напр., [1, 2]). Одним из ключевых условий, налагаемых на коэффициенты урав-
нения, является условие Липшица. Коэффициенты уравнения, рассматриваемого в данной
работе, не являются липшицевыми. В то же время такие уравнения активно изучаются, так
как являются моделями, описывающими динамику популяций, процессы распространения
тепла в нелинейной среде, процессы диффузии газов и т. д.
1. Определения и обозначения. На полном вероятностном пространстве (Ω, Im,P)
рассмотрим задачу Коши
du(t, x) = auxx(t, x)dt+ c|u(t, x)|β−1u(t, x)dt + b|u(t, x)|γ−1u(t, x)dw(t),
t ∈ [0;T ], x ∈ R
1, u(0, x) = u0(x).
(1)
Здесь a > 0, b > 0, c > 0, β ∈ (0; 1), γ ∈ (0; 1), ux = ∂u/∂x, w(t) — стандартный винеровский
процесс, u0(x) — неслучайная функция.
Определение 1. Случайный процесс u(t, x) называется решением задачи (1), если он
согласован с винеровским процессом и с вероятностью 1 при каждом t ∈ [0;T ] и произволь-
ной функции g ∈ W 1
2 (R
1) удовлетворяет равенству
∫
u(t, x)g(x) dx =
∫
u0(x)g(x) dx − a
t∫
0
∫
ux(s, x)gx(x) dxds +
+ c
t∫
0
∫
|u(s, x)|β−1u(s, x)g(x) dxds + b
t∫
0
∫
|u(s, x)|γ−1u(s, x)g(x) dxdw(s).
Здесь W 1
2 (R
1) — пространство Соболева.
Определенные таким образом решения принято называть сильными (в стохастическом
смысле) обобщенными (в смысле С.Л. Соболева) решениями задачи (1). Наряду с силь-
ными решениями мы будем рассматривать слабые (в стохастическом смысле) обобщенные
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №1 17
решения, которые определены на специально построенном вероятностном пространстве [3,
c. 122].
Для доказательства теоремы сравнения нам потребуются некоторые срезывающие и сре-
занные функции [4, c. 37]. Определим срезывающую функцию следующим равенством:
ζ(u, h) =
0, u 6 0,5h,
k
1∫
3−4uh−1
exp
(
− 1
1− r2
)
dr, 0,5h < u 6 h,
1, h < u.
Здесь k =
( 1∫
−1
exp
(
− 1
1− r2
)
dr
)−1
, h > 0.
Определим срезанную функцию σ(u, h, γ) = ζ(u, h)|u|γ−1u, h > 0. Функция σ(u, h, γ)
обладает следующими свойствами:
1) |σ(u, h, γ)| 6 |u|γ ;
2) |σ(u, h, γ)| 6 K(γ)(1+|u|), K(γ) = γγ(1−γ)1−γ , т. е. функция линейно ограничена по u;
3) функция σ(u, h, γ) удовлетворяет условию Липшица по переменной u с константой
L(h) = hγ−1(γ21−γ + 4K(γ)e−1);
4) σ(u, h, γ) непрерывно дифференцируема по u ∈ (0;+∞) при каждом h > 0.
Обозначим ϕ(x) = 0,5λe−λ|x|, x ∈ R
1, λ > 0, ‖v‖p =
∫
|v(y)|pdy, Lp(R
1) = {v(y) : ‖v‖p <
< +∞}, ‖v‖pϕ,p =
∫
|v(y)|pϕ(y) dy, Lϕ
p (R
1) = {v(y) : ‖v‖pϕ,p < +∞}.
Буквой C с индексами будем обозначать различные константы. Там, где это важно,
будем указывать, от каких параметров зависит эта константа. E — символ математического
ожидания по мере P.
2. Основной результат.
Теорема 1. Пусть u(i)(t, x), i = 1, 2, — единственные решения задачи (1), соответст-
вующие начальным функциям u
(i)
0 (x), i = 1, 2, и коэффициентам c1 и c2 вместо c. Если
0 6 c1 < c2 и начальные функции u
(i)
0 ∈ L2(R
1), i = 1, 2, таковы, что 0 6 u
(1)
0 (x) 6 u
(2)
0 (x)
при всех x ∈ R
1, то
P{u(1)(t, x) 6 u(2)(t, x),∀t ∈ [0;T ],∀x ∈ R
1} = 1.
Следствие 1. Если u0(x) > 0, то решение задачи (1) почти наверное неотрицательно.
3. Вспомогательные результаты. Обозначим u(t, x, h) решение задачи
du(t, x, h) = auxx(t, x, h)dt + cσ(u(t, x, h), h, β)dt + bσ(u(t, x, h), h, γ) dw(t),
t ∈ [0;T ], x ∈ R
1, u(0, x, h) = u0(x).
(2)
Задача (2) является вспомогательной при доказательстве основной теоремы. Вначале до-
казывается существование и единственность сильного решения задачи (2). Затем строятся
равномерные по h оценки норм решения задачи (2), после чего обосновывается возмож-
ность предельного перехода в задаче (2). Это позволяет доказать теорему сравнения реше-
ний задачи (1), применив известную теорему сравнения решений задачи (2). Следствием
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1
полученных результатов является доказательство существования и единственности слабого
решения задачи (1).
Замечание 1. Поскольку функция σ(u, h, γ) линейно ограничена и удовлетворяет усло-
вию Липшица по переменной u, то согласно [5, c. 93, теорема 2.1] при любой u0 ∈ L2(R
1)
существует единственное сильное решение задачи (2), которое с вероятностью 1 непрерывно
по (t, x) ∈ (0;+∞)×R
1. Непрерывность по x следует из компактности вложения пространст-
ва W 1
2 (R
1) в пространство C(R1).
Построим равномерные по h оценки норм решения задачи (2). Доказательство лемм 1
и 2 проводится традиционным способом. Вначале применяется формула Ито для квадрата
нормы решения задачи (2) в пространстве Lϕ
2 (R
1). Затем, применение неравенств Гельдера,
Юнга, Буркхольдера и леммы Гронуолла дает желаемый результат.
Лемма 1. Если‖u0‖2 < +∞, то
E sup
06t6T
‖u(t, ·, h)‖2ϕ,2 6 C1(β, γ, a, b, c, T, ‖u0‖2, k, λ), (3)
E
T∫
0
‖ux(t, ·, h)‖2ϕ,2ds 6 C2, (4)
E
T∫
0
‖u(t, ·, h)‖β+1
ϕ,β+1ds 6 C3, E
T∫
0
‖u(t, ·, h)‖2γϕ,2γds 6 C4. (5)
Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1, то
E sup
|t2−t1|6ε
‖u(t2, ·, h) − u(t1, ·, h)‖2ϕ,2 6 C5ε,
где C5 = C1(aλδ
−1 + b2K(γ) + 2cK(0,5(β + 1))) + b2K(γ) + 2cK(0,5(β + 1)).
Следствие 2. Если выполнены условия леммы 1, то
lim
ε→0
lim
h→0
sup
|t2−t1|6ε
P{‖u(t2, ·, h) − u(t1, ·, h)‖2ϕ,2 > ǫ} = 0
при любом ǫ > 0.
Справедливость следствия вытекает из неравенства Чебышева и леммы 2.
Лемма 3. Пусть ‖u0‖2 < +∞ и u(t, x, h) является решением задачи (2). Тогда су-
ществует подпоследовательность значений переменной h → 0 (вновь обозначаемая h)
такая, что u(t, x, h) сходится к слабому решению задачи (1) при всех t ∈ [0;T ] и x ∈ R
1
с вероятностью 1.
Доказательство. Из оценок, полученных в лемме 1, следует, что последователь-
ность функций
√
ϕ(x)u(t, x, h) при h → 0 слабо компактна в пространстве L1(Ω, C([0;T ];
L2(R
1)))
⋂
L2(Ω × [0;T ];W 1
2 (R
1)). Выделим из нее подпоследовательность (которую будем
снова обозначать
√
ϕ(x)u(t, x, h)), слабо сходящуюся в указанном пространстве. Теперь
используем известный результат А.В. Скорохода о предельном переходе [6, с. 13, теоре-
ма, с. 17, замечание 2]. Из леммы 1 следует оценка
sup
h>0
sup
t∈[0;T ]
P{‖u(t, ·, h)‖2ϕ,2 > ε} 6 C1ε
−1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №1 19
Значит,
lim
ε→+∞
sup
h>0
sup
t∈[0;T ]
P{‖u(t, ·, h)‖2ϕ,2 > ε} = 0
и выполнено условие (6.2) [6, c.17]. Следствие 2 из леммы 2 обеспечивает выполнение усло-
вия (6.1) [6, c.13]. Тогда, согласно упомянутой теореме А.В. Скорохода, существует под-
последовательность значений переменной h → 0 и вероятностное пространство (Ω̃, Ĩm, P̃)
с винеровским процессом w̃(t) такие, что последовательность
√
ϕ(x)ũ(t, x, h) при каждом
t ∈ [0;T ] с вероятностью 1 слабо сходится в пространстве W 1
2 (R
1) к некоторому преде-
лу
√
ϕ(x)ũ(t, x). При этом процессы ũ(t, x, h) и u(t, x, h) имеют одинаковые конечномер-
ные распределения. Согласно теореме вложения, пространство W 1
2 (R
1) компактно вложено
в пространство C(R1). Значит, построенная последовательность ũ(t, x, h) сходится к ũ(t, x)
при всех t ∈ [0;T ], x ∈ R
1, P̃ — почти наверное при h → 0.
Полученные результаты позволяют нам перейти в уравнении (2) к пределу по h → 0.
Согласно [7, c. 337, предложение 3.2] уравнение (2) можно записать в форме
u(t, x, h) =
∫
p(t, x− y)u0(y) dy + c
t∫
0
∫
p(t− s, x− y)σ(u(s, y, h), h, β) dyds +
+ b
t∫
0
∫
p(t− s, x− y)σ(u(s, y, h), h, γ) dydw(s). (6)
Здесь p(t, x) =
1√
4πat
exp
(
− x2
4at
)
.
Так как lim
h→0
ũ(t, x, h) = ũ(t, x) при каждом t ∈ [0;T ] и каждом x ∈ R
1 с вероятностью 1
(по мере P̃), то в левой части уравнения (6) в пределе получаем ũ(t, x). Покажем, что
стохастический интеграл, стоящий в правой части уравнения (6), сходится с вероятностью 1
при всех t ∈ [0;T ], x ∈ R
1 к
t∫
0
∫
p(t− s, x− y)|ũ(s, y)|γ−1ũ(s, y) dydw(s). Рассмотрим
I(h) =
∫
ϕ(x)
( t∫
0
∫
p(t− s, x− y)(σ(ũ(s, y, h), h, γ) − |ũ(s, y)|γ−1ũ(s, y)) dydw(s)
)2
dx.
Докажем, вначале, что P̃. lim
h→0
I(h) = 0. Обозначим U = sup
h>0
sup
s∈[0;T ]
‖ũ(s, ·, h)‖2ϕ,2. При любых
ǫ > 0, N > 0 справедливо неравенство
P̃{I(h) > ǫ} 6 P̃{U > N}+ ǫ−1Ẽ{I(h)|U 6 N}. (7)
В силу оценки (3) и неравенства Чебышева lim
N→+∞
P̃{U > N} = 0. Применив неравенство
Коши–Буняковского и лемму 4.2 [8], получаем
Ẽ{I(h) | U 6 N} 6
6 C5(T, λ)Ẽ
{ t∫
0
∫
(σ(ũ(s, y, h), h, γ) − |ũ(s, y)|γ−1ũ(s, y))2ϕ(y) dyds|U 6 N
}
.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1
Так как (σ(ũ(s, y, h), h, γ) − |ũ(s, y)|γ−1ũ(s, y))2 6 2K(γ)(2 + ũ2(s, y, h) + ũ2(s, y)), то
∫
(σ(ũ(s, y, h), h, γ) − |ũ(s, y)|γ−1ũ(s, y))2ϕ(y) dyds 6
6 2K(γ)
(
2 + sup
s∈[0;t]
‖ũ(s, ·, h)‖2ϕ,2 + sup
s∈[0;t]
‖ũ(s, ·)‖2ϕ,2
)
.
Таким образом, функция, стоящая под знаком условного математического ожидания и ин-
теграла по переменной s, ограничена сверху интегрируемой функцией и по теореме Ле-
бега мы можем перейти к пределу под знаками этих интегралов. Теперь докажем, что
lim
h→0
∫
(σ(ũ(s, y, h), h, γ) − |ũ(s, y)|γ−1ũ(s, y))2ϕ(y) dyds = 0 при всех s ∈ [0;T ] с вероят-
ностью 1. Поскольку функция σ(u, h, γ) непрерывна по (u, h), то справедливо равенство
lim
h→0
σ(ũ(t, x, h), h, γ) = |ũ(t, x)|γ−1ũ(t, x) при всех t ∈ [0;T ], x ∈ R
1 с вероятностью 1. Те-
перь покажем, что рассматриваемый интеграл равномерно непрерывен относительно меры
Φ(A) =
∫
A
ϕ(x) dx.
0 6
∫
A
(σ(ũ(s, y, h), h, γ) − |ũ(s, y)|γ−1ũ(s, y))2ϕ(y) dyds 6 2(Nγ + ‖ũ(s, ·)‖2γϕ,2)Φ1−γ(A).
Правая часть полученного неравенства стремится к нулю равномерно по h при Φ(A) → 0.
Указанная сходимость имеет место при всех s ∈ [0;T ] с вероятностью 1. Таким образом,
lim
h→0
EΦ(σ(ũ(s, ·, h), h, γ) − |ũ(s, ·)|γ−1ũ(s, y))2 = 0 при всех s ∈ [0;T ] с вероятностью 1 по
мере P̃. В итоге получаем lim
h→0
Ẽ{I(h)|U 6 N} = 0.
Перейдем в неравенстве (7) вначале к пределу по h → 0, а затем к пределу по N → +∞,
получим: P̃. lim
h→0
I(h) = 0. Выбрав подпоследовательность, сходящуюся почти наверное, за-
вершаем обоснование сходимости стохастического интеграла в правой части уравнения (6).
Обоснование сходимости интеграла Лебега в правой части уравнения (6) производится ана-
логично.
Все сказанное дает возможность перейти в уравнении (6) к пределу по h → 0 и убеди-
ться, что предельный процесс ũ(t, x) также удовлетворяет уравнению (6) и, следовательно,
является слабым решением задачи (1). Лемма 3 доказана.
Следствие 3. Если выполнены условия леммы 1, то существует слабое (в стохасти-
ческом смысле) решение задачи (1).
4. Доказательство теоремы 1. Коэффициенты уравнения (2) удовлетворяют усло-
виям теоремы 5 [2]. Следовательно,
P̃{0 6 ũ(1)(t, x, h) 6 ũ(2)(t, x, h),∀ t ∈ [0;T ],∀x ∈ R
1} = 1. (8)
Согласно лемме 3
P̃{ lim
h→0
ũ(i)(t, x, h) = ũ(i)(t, x),∀ t ∈ [0;T ],∀x ∈ R
1} = 1, i = 1, 2.
Перейдя в (8) к пределу по h → 0 убеждаемся, что неравенство 0 6 ũ(1)(t, x) 6 ũ(2)(t, x)
справедливо при всех t ∈ [0;T ], x ∈ R
1 с вероятностью 1 по мере P̃. Теорема доказана.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №1 21
Замечание 2. Требование неотрицательности коэффициента c в уравнении (1) является
необязательным. Его легко избежать, если в полученных выше оценках заменить c на |c|.
Как известно, из справедливости теоремы сравнения следует единственность решения.
Таким образом, условия, наложенные нами на исходные данные задачи (1), обеспечивают
существование и единственность слабого решения задачи (1). Кроме того, из доказанной
теоремы сравнения вытекает справедливость для задачи (1) принципа максимума: если
u0(x) > 0, ∀x ∈ R
1, то решение задачи (1) остается неотрицательным в течение всего
времени существования с вероятностью 1. Отметим также, что доказанная теорема остается
справедливой и в случае, когда задача (1) имеет сильное решение. Это следует из того, что
согласно теореме А.В. Скорохода при переходе к специальному вероятностному пространст-
ву конечномерные распределения процессов сохраняются.
1. Dalang R.C., Khoshnevisan D., Mueller C. et al. A minicourse of SPDE. – Salt Lake City, Utah., 2006. –
36 p.
2. Denis L., Matoussi A., Stoica L. Maximum principle and comparison theorem for quasi-linear SPDE’s //
Electron. J. Probab. – 2009. – 14, No 19. – P. 500–530.
3. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. – Москва: Наука, 1977. – 400 с.
4. Треногин В.А. Функциональный анализ. – Москва: Наука, 1985. – 495 с.
5. Pardoux Е. Equations aux derivees partielles stochastiques non lineaires monotones: These doct. math. –
Paris, 1975. – 520 p.
6. Скороход А. В. Исследования по теории случайных процессов. – Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1961. –
216 с.
7. Mueller С., Perkins Е.A. The compact support property for solutions to the heat equation with noise //
Probab. Theory and Relat. Fields. – 1992. – 93. – P. 325–358.
8. Sturm A. On convergence of population processes in random environments to the stochastic heat equation
with colored noise // Electron. J. Probab. – 2003. – 8, No 6. – P. 1–39.
Поступило в редакцию 06.05.2010Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
S.A. Melnik
Comparison theorem for solutions of quasi-linear parabolic SPDEs with
weak sources
The comparison theorem for a nonlinear stochastic heat equation is proved. Factors of drift and
diffusion contain nonlinear members of a power kind. Indices of degrees are positive numbers less
than one.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-36987 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:57:41Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мельник, С.А. 2012-08-29T15:19:11Z 2012-08-29T15:19:11Z 2011 Теорема сравнения решений квазилинейных СДУЧП параболического типа со слабыми источниками / С.А. Мельник // Доп. НАН України. — 2011. — № 1. — С. 17-22. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/36987 519.21 Доведено теорему порівняння розв'язків задачі Коші для СДРЧП параболічного типу. Головна частина рівняння є лінійною. Коефіцієнти дрейфу та дифузії містять в собі нелінійні члени степеневого виду. Показники степенів додатні, але менші за одиницю. Таким чином, рівняння містить в собі слабке детерміноване та слабке стохастичне джерело. The comparison theorem for a nonlinear stochastic heat equation is proved. Factors of drift and diffusion contain nonlinear members of a power kind. Indices of degrees are positive numbers less than one. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Теорема сравнения решений квазилинейных СДУЧП параболического типа со слабыми источниками Comparison theorem for solutions of quasi-linear parabolic SPDEs with weak sources Article published earlier |
| spellingShingle | Теорема сравнения решений квазилинейных СДУЧП параболического типа со слабыми источниками Мельник, С.А. Математика |
| title | Теорема сравнения решений квазилинейных СДУЧП параболического типа со слабыми источниками |
| title_alt | Comparison theorem for solutions of quasi-linear parabolic SPDEs with weak sources |
| title_full | Теорема сравнения решений квазилинейных СДУЧП параболического типа со слабыми источниками |
| title_fullStr | Теорема сравнения решений квазилинейных СДУЧП параболического типа со слабыми источниками |
| title_full_unstemmed | Теорема сравнения решений квазилинейных СДУЧП параболического типа со слабыми источниками |
| title_short | Теорема сравнения решений квазилинейных СДУЧП параболического типа со слабыми источниками |
| title_sort | теорема сравнения решений квазилинейных сдучп параболического типа со слабыми источниками |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/36987 |
| work_keys_str_mv | AT melʹniksa teoremasravneniârešeniikvazilineinyhsdučpparaboličeskogotipasoslabymiistočnikami AT melʹniksa comparisontheoremforsolutionsofquasilinearparabolicspdeswithweaksources |