Листи з минулого. Дванадцять листів Василя Єрмакова до Бориса Букреєва
Листи професора Єрмакова дають нам відчути атмосферу університетського життя понадстолітньої давнини. Проте в них є чисто математичні міркування, які не всі зрозуміють. На наше прохання випускник Київського університету 1966 року, член-кореспондент Національної академії наук України Юрій Анатолійови...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Україна. Наука і культура |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут української археографії та джерелознавства ім. М.С.Грушевського НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37074 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Листи з минулого. Дванадцять листів Василя Єрмакова до Бориса Букреєва // Україна. Наука і культура. — 2009. — Вип 35. — С. 135-150. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860242400403783680 |
|---|---|
| citation_txt | Листи з минулого. Дванадцять листів Василя Єрмакова до Бориса Букреєва // Україна. Наука і культура. — 2009. — Вип 35. — С. 135-150. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Україна. Наука і культура |
| description | Листи професора Єрмакова дають нам відчути атмосферу університетського життя понадстолітньої давнини. Проте в них є чисто математичні міркування, які не всі зрозуміють. На наше прохання випускник Київського університету 1966 року, член-кореспондент Національної академії наук України Юрій Анатолійович Дрозд прочитав листи як математик.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:31:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
Äâàíàäöÿòü ëèñò³â
Âàñèëÿ ªðìàêîâà äî Áîðèñà Áóêðåºâà
Лист перший
Милостивый Государь Борис Яковлевич!
Зачем Вы так далеко заехали? Вам бы следовало сидеть в Универси�
тетском городке и штудировать математику. Неужели Вы будете си�
деть все над одною темою. Нужно больше разносторонности. Следует
по разнообразным частям математики написать несколько статей и
поместить их в разных журналах.
Вот Вам верный путь для успеха. Достижения сей цели я готов спо�
собствовать всеми моими силами. Вы знаете, что за Вас в Киеве только
я и Захарченко. О командировках ничего не известно.
Стряхните с себя болезнь, поправляйтесь и принимайтесь за дело.
Извините, что так поздно отвечаю. Так занят, что и присланные пись�
ма читаю в сокр.[ащенном] виде и потому не заметил, что в конце Вы
просите прислать ¹¹ Ж.[урнала]. Посылаю. Захарченко1 тоже удивил�
ся Вашему исчезновению из Киева.
В.Ермаков
1886
Февр.16 дня
Лист другий
Милостивый Государь Борис Яковлевич!
Странное дело, что Ваши первые письма мною не получены. Вероят�
но цензура (тайная) сочла нужным не допустить их по назначению. Из
иностранных газет Вы уже более подробно знаете, что у нас в Универ�
ситетах творится то, что немыслимо в заграничных Университетах.
За границею на студентов смотрят, как на юношей, которым нужны
развлечения, и потому им разрешили verеin’ы2 и удешевленные билеты
в театры. У нас на них смотрят как на опасную силу и потому решили
держать в строгой субординации.
135
1 Âàùåíêî-Çàõàð÷åíêî Ìèõàéëî Þð³éîâè÷ (1825–1912) — óêðà¿íñüêèé ìàòåìàòèê. Íàðîäèâñÿ
â ñåë³ Ìà볿âêà (òåïåð Ïîëòàâñüêà îáëàñòü). Íàâ÷àâñÿ â Êè¿âñüêîìó óí³âåðñèòåò³
(1845–1846), â Ïàðèæ³ — â Ñîðáîíí³ ³ Êîëåæ äå Ôðàíñ, äå ñëóõàâ ëåêö³¿ Î.Ë.Êîø³
³ Æ.˳óâ³ëëÿ.  1852 ð. ñêëàâ ³ñïèòè çà âåñü êóðñ ó Êè¿âñüêîìó óí³âåðñèòåò³. Ïðàöþâàâ òóò,
ç 1868 — ïðîôåñîð. Îñíîâí³ ðîáîòè ïðèñâÿ÷åí³ òåî𳿠ë³í³éíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü,
ñèìâîë³÷íèì ìåòîäàì, òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé òà ³ñòî𳿠ìàòåìàòèêè. Ìàâ âåëèêèé âïëèâ íà
ðîçâèòîê ìàòåìàòè÷íîãî ïðîñâ³òíèöòâà â Óêðà¿í³ òà Ðîñ³¿.
2 Verein (í³ì.) — ñï³ëêà, òîâàðèñòâî. — Ðåä.
Вы говорите, что Kroneker3 Вам не нравится, но это потому, что он
читает обрывки высшей теории. Но не следует пренебрегать теорией
чисел, хотя и изучение ее можно отложить на долгое время. Потом еще
предстоит Вам знакомство с трудами петербургских ученых. Я враг
узкой специальности. Надо понемногу следить за всем и какой�нибудь
отдел избрать главным — чтобы состряпать диссертацию.
У нас скоро выслуживают Рахманинов и Ромер и потому нужны два
новых преподавателя. Я не пользуюсь влиянием и не имею в высших сфе�
рах знакомств; хотел ехать в Петербург, но по болезни не могу. Но если
Вы желаете, то могу о Вас написать официальное письмо Любимову или
министру, чтобы при назначении имели ввиду Вас.
Забыл Вам написать, что на вступительной лекции Максимовича
было множество студентов и профессоров; никто ничего не понял и по�
тому решили, что Максимович должно быть великий математик. Лек�
ция должна была появиться в печати, но что�то до сих пор нет. Речь на
акте будет читать Максимович о системе баллов на экзаменах Поли�
технической школы в Париже и о поверке на них закона больших чисел.
Признак сходимости помещен во 2�ом томе Bulletin Darboux4 первой
серии за 1872 год.
Первая часть задачи, посланной Вам, известна в науке под названием
теоремы Клебша, что я узнал из недавно появившихся лекций по гидро�
динамике Жуковского.
Если Вы слушаете Фукса5, то вот Вам и тема для диссертации. При�
мените его теорию к уравнению 2�го порядка. Чтобы было ясно для чи�
тателей, Вы можете и первоначальные доказательства провести
только для 2�го порядка. Далее займитесь условиями, при которых час�
тный интеграл, или полный интеграл, будут алгебраическими. При ка�
ких условиях частный интеграл или полный могут быть выражены от�
ношением двух рядов, сходящихся для всех значений переменных. Если и
эта задача покажется обширною, то ограничьтесь случаем алгебраи�
ческих рациональных коэффициентов. Примените все исследования
к уравнению
( ) ( )ax bx c
y
x
dx e
y
x
fy2
2
2
0� �
�
�
� �
�
�
� � .
Литературу по сему предмету найдете достаточную, даже обширную.
В.Ермаков
12 Декабря
1887 года
136
3 Êðîíåêåð Ëåîïîëüä (1823–1891) — í³ìåöüêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Áåðë³íñüêî¿ ÀÍ (1861)
âèêëàäà÷ Áåðë³íñüêîãî óí³âåðñèòåòó (1888 – ïðîôåñîð). Îñíîâí³ ðîáîòè — ç òåî𳿠÷èñåë,
òåî𳿠êâàäðàòè÷íèõ ôîðì ³ òåî𳿠ãðóï, à òàêîæ ç òåî𳿠åë³ïòè÷íèõ ôóíêö³é.
4 Äàðáó Æàí Ãàñòîí (1842–1917) — ôðàíöóçüêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ïàðèçüêî¿ ÀÍ (ç 1884),
÷ëåí-êîðåñïîíäåíò Ïåòåðáóðçüêî¿ ÀÍ (ç 1895). Îñíîâí³ ïðàö³ ïðèñâÿ÷åí³ àíàë³çó, òåîð³¿
äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü, äèôåðåíö³àëüí³é ãåîìåòð³¿, àíàë³òè÷í³é ìåõàí³ö³.  1870
çàñíóâàâ «Bulletin des sciences math�matiques».
5 Ôóêñ ²ììàíóåëü Ëàçàðóñ (1833–1902) — í³ìåöüêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Áåðë³íñüêî¿ ÀÍ (ç 1884).
Îñíîâí³ äîñë³äæåííÿ — â òåî𳿠äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ç àíàë³òè÷íèìè êîåô³ö³ºíòàìè.
Ñòâîðèâ øêîëó ë³í³éíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü.
Лист третій
Милостивый Государь Борис Яковлевич!
Прошу извинить меня, я не желал Вас обидеть. Но я сам был в Вашем
положении и также думал, что необходимо залезть в большую глубину
премудрости. К тому же я не имел советников и руководителей и не
знал, за что взяться. Вам же в общих чертах знакомы все направления в
науке. Я никоим образом не против того, чтобы изучать самые труд�
ные вещи — именно это и нужно изучать. Я только желал бы, чтобы Вы
в диссертации не ударились в слишком большие обобщения, чтобы пред�
варительно были исследованы подробно частные случаи. Чтобы именно
Ваши сочинения не были похожи на труды Ли (или Лье)6, который и про�
стую вещь запутывает. Но еще хуже, если в погоне за обобщениями ма�
тематик врет и сам того не замечает. Живой пример Максимович, две
работы которого содержат вранье. Магистерская диссертация Ваша
была совсем уместною, и детскою работою ее никто не называет.
Конечно, от докторской ожидается больше.
Брошюра Дарбу о задаче Пфаффа7 очень хороша, но изложена сжато,
так что ее могут читать лишь немногие. А много ли у нас хороших ма�
тематиков? Вот почему выбирайте хотя и самый трудный предмет,
но излагайте возможно проще, возможно яснее. Наметьте тему, со�
ставьте план и несколько раз переделайте и переработайте.
Во всем университете лекции начаты и страхи прошли. На праздни�
ках в СПБ действительно начальство растерялось, но теперь все успо�
коились. Рахманинов сверх выслуги 35 лет оставлен еще на один год.
Это для него несколько обидно, потому обыкновенно оставляют на 5
лет. В этом месяце и Ромер выслуживает 30 лет (место будет свобод�
но), но его, вероятно, оставят еще на 5 лет с жалованьем 1200. Далее
выслуживают сроки Авенариус и Феофилактов. Ромер назначен
цензором. Я уже утвержден ординарным.
Преданный Вам В.Ермаков
1888
2�го февраля
Не разыщете ли Вы мне указатель (Verzeichniss) статей помещен�
ных в журнале Крелля.8 У меня есть уже Verzeichniss der Abhandlungen der
ËÈÑÒÈ Ç ÌÈÍÓËÎÃÎ 137
6 ˳ Ìàð³óñ Ñîôóñ (1842–1899) — íîðâåçüêèé ìàòåìàòèê. Àâòîð òåî𳿠ãðóï (ãðóïè ˳) òà ¿õ
³íâàð³àíò³â. Ðîçâèíóâ òåîð³þ ïðîñòîðó Ãåëüìãîëüöà.
7 Ïôàôô Éîãàí ³ëüãåëüì Àíäðåàñ (1774–1835) — í³ìåöüêèé ìàòåìàòèê ³ àñòðîíîì. Îñíîâí³
äîñë³äæåííÿ ñòîñóþòüñÿ òåî𳿠ëîãàðèôì³â ³ íåáåñíî¿ ìåõàí³êè. Ðîçâèíóâ òåîð³þ
ïåðòóðáàö³¿ ³ òåîð³þ ðóõó êîìåò. ×ëåí-êîðåñïîíäåíò Ïåòåðáóðçüêî¿ ÀÍ (ç 1807).
8 «Journal f��ur reine und angewandte Mathematik» («Æóðíàë ÷èñòî¿ ³ ïðèêëàäíî¿ ìàòåìàòèêè»), ÿêèé
çàñíóâàâ 1826 ð. í³ìåöüêèé ìàòåìàòèê òà ³íæåíåð Àâãóñò Ëåîïîëüä Êðåëëü (1780–1855).
Kais. K��on. Akademie; есть также указатель для журнала Liouville. Но
это указатели старые. Если найдете подобные указатели для главных
журналов Крелля, Лиувилля9, Политехнической школы, то пришлите;
стоимость немедленно уплачу.
Лист четвертий
Милостивый государь Борис Яковлевич!
В настоящее время я изучаю произведения петербургских
математиков: Чебышева10, Маркова11 и Поссе12. Они трактуют вопросы о
приближенном вычислении интегралов и о разложении функций в ряды по
знаменателям подходящих дробей. Ряды Фурье (по синусам) представляют
частный случай такого разложения. Но и тут встречаются весьма
запутанные вопросы. Так я никак не могу освоиться с задачею: по данным
F x dx
a
b
( )� , xF x dx
a
b
( )� , x F x dx
a
b
2 ( ) , ...� , x F x dxm
a
b
( )� найти наибольшую и
наименьшую величину F x dx
a
z
( )� , если F x( ) всегда положительна и a z b� � .
Марков и Поссе дали решение этой задачи, но с какой стороны я не
подойду к этой задаче, всегда оказывается, что без длинных
рассуждений обойтись нельзя. Самый же результат может быть
выражен в краткой форме.
Если пришлете Verzeichniss, то напишите, сколько он стоит и как
переслать Вам деньги.
Шиллер мне сказал, что Вы для диссертации поменяли тему: об
обращении интегралов от произвольных функций. Не знаю, быть
может и можно сделать интересные обобщения, но все сведется
в конце концов на обращение элл.[иптических], ультраэл.[липтических]
и абелевых интегралов. Для диссертации могут годиться и вопросы
138
9 ˳óâ³ëëü (1809–1882) — ôðàíöóçüêèé ìàòåìàòèê, íàóêîâ³ ³íòåðåñè ÿêîãî îõîïëþâàëè ìàéæå
âñ³ ãàëóç³ ìàòåìàòèêè. Áàãàòî ðîê³â âèäàâàâ «Jouurnal de math�matiques pure et appliqu�e»
(«Æóðíàë ˳óâ³ëëÿ»).
10 ×åáèøåâ Ïàôíóò³é Ëüâîâè÷ (1821–1894) ðîñ³éñüêèé ìàòåìàòèê ³ ìåõàí³ê, àêàäåì³ê
Ïåòåðáóðçüêî¿ ÀÍ, îñíîâîïîëîæíèê ïåòåðáóðçüêî¿ ìàòåìàòè÷íî¿ øêîëè.
11 Ìàðêîâ Àíäð³é Àíäð³éîâè÷ (1856–1922) ðîñ³éñüêèé ìàòåìàòèê, îðäèíàðíèé àêàäåì³ê
Ïåòåðáóðçüêî¿ ÀÍ (ç 1896, àä’þíêò ç 1886, åêñòðàîðäèíàðíèé àêàäåì³ê — ç 1890). Ó÷åíü
Ï.Ë.×åáèøåâà. Îñíîâí³ ðîáîòè — ç òåî𳿠÷èñåë, òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé, ìàòåìàòè÷íîãî
àíàë³çó. ³í óïåðøå äàâ ñòðîãå äîâåäåííÿ ãðàíè÷íî¿ òåîðåìè ³ ïîøèðèâ îòðèìàí³
ðåçóëüòàòè íà ïîñë³äîâíîñò³ çàëåæíîñòåé âåëè÷èí, ùî ïðèâåëî éîãî äî çàãàëüíî¿ ñõåìè
«âèïðîáóâàíü, ïîâ’ÿçàíèõ â ëàíöþã» (ëàíöþãè Ìàðêîâà). Çà äîïîìîãîþ ö³º¿ ñõåìè â³í
óñòàíîâèâ íèçêó çàêîíîì³ðíîñòåé, ùî ïîêëàëè ïî÷àòîê ñó÷àñíî¿ òåî𳿠ìàðêîâñüêèõ
ïðîöåñ³â.
12 Ïîññå Êîñòÿíòèí Îëåêñàíäðîâè÷ (1847–1928) — ðîñ³éñüêèé ìàòåìàòèê, ïî÷åñíèé ÷ëåí
Ïåòåðáóðçüêî¿ ÀÍ (ç 1916). Îñíîâí³ ðîáîòè ïðèñâÿ÷åí³ ìàòåìàòè÷íîìó àíàë³çó ³ òåîð³¿
ôóíêö³é.
частные, даже решение отдельных задач, если только почему�либо это
решение заслуживает внимания.
У нас уже получены программы для государственного экзамена;
довольно краткие. По астрономии есть такой вопрос: определение дня
недели для данного года, месяца и числа.
За сим в Киеве все благополучно, а если есть какие�нибудь страхи и
волнения, то они исходят из Вашего Берлина.
Преданный Вам
В.Ермаков
21 апреля
1888
Лист п’ятий
Милостивый Государь Борис Яковлевич!
Я пред Вами виноват, что так долго не отвечал Вам. Verzeichniss я
получил. Сначала думал, что Вы присылаете за 50 томов и потому был
на Вас сердит. Но недавно вскрыл и очень обрадовался, что Вы
разыскали за 100 номеров. Быть может найдется Verzeichniss и к
Mathematische Annalen. Суслов только магистр и прислан
исправляющим должность экстраординарного. Диссертация его
никуда не годится, хотя быть может и не содержит вранья. Ваш
отчет так понравился, что решили его напечатать в Журнале
М.[инистерства] Н.[ародного] Пр.[освещения]. Зачем же мне еще давать
отзыв? Да и факультет мне этого не поручал. Начиная с меня многие
русские желали одолеть премудрость Вейерштрасса, но никому не
удавалось. Вот по этой то причине Ваш отчет и произвел такое хорошее
впечатление. Весьма приятно будет, если Вы поймете и изучите
Вейерштрасса, тогда и я от Вас кое�чему научусь. На днях у нас будет
Министр с Любимовым. Я постараюсь побывать у Любимова и буду
говорить ему об Вас. Я прямо заявлю, что Министерство делает худо,
присылая новых профессоров (Максимович и Суслов), не отбирая мнения о
них от профессоров того университета, куда они посылаются. Желаю
Вам всего хорошего и главным образом здоровья.
В.Ермаков
1888
Сентября 16 дня
P.S.Краткое изложение свойств интегралов без доказательства
можно поместить впереди. После этого изложите без доказательств
результаты Вашей диссертации и укажите на то, что сделано Вами.
Не только вначале каждой главы, но и вначале каждого параграфа
говорите предварительно: о чем будет речь. Вообще нужно, чтобы
результаты бросались в глаза, а то во многих сочинениях только после
больших усилий разыщешь результаты.
ËÈÑÒÈ Ç ÌÈÍÓËÎÃÎ 139
24�го сентября (стар.стиля) Коркину исполнится 30 лет службы.
Может быть по сему поводу у Вас найдутся охотники послать ему при�
ветственную телеграмму.
Лист шостий
Милостивый Государь Борис Яковлевич!
Зачем Вы оправдываетесь, что писали ко мне четыре раза? Попрос�
ту я Вам больше не нужен и потому Вы и не вспомнили обо мне, а писали
Шиллеру, Ромеру, Захарченку и Ренненкампфу.
В Берлин Вы попали в хорошее время, постарайтесь воспользовать�
ся всем, чем можно. Если есть время, то не упускайте и физики, хотя бы
тех теоретических отделов, которые Вам мало известны.
Вы знаете, что Рахманинов учредил премию в 500 р. за лучшее сочи�
нение по физико�математическому факультету. Эта премия назначена
только для бывших воспитанников Киевского университета и выдает�
ся через два года. Два года назад премию получил Бобрецкий. Теперь пре�
мия предложена мне, но я отказался, мотивируя тем, что я член той
коллегии, которая присуждает премию, что таким образом, как будто
я присуждаю премию самому себе, — по этой причине считаю для себя
неприличным получать премию. Напишите хороший увраж13 и Вы може�
те рассчитывать на получение этой премии.
Прочтите в математическом Обществе о моем признаке сходимос�
ти, так как, вероятно, он неизвестен там.
В настоящее время я занят задачею Пфаффа. Оказывается, что все
способы интегрирования в простом и изящном виде заканчиваются в
этой задаче, т.е. в интегрировании уравнения
X dx X dx s X dxm m1 1 2 2 0� �� � � .
По сему поводу я послал в Харьков в Матем.[атическое] Общество следу�
ющую задачу. Даны три функции трех переменных P ,Q и R, требуется най�
ти такую поверхность, чтобы на ней интеграл � � �( )Pdx Qdy Rdz не зависел
от промежуточного пути. Иначе нужно найти такую зависимость между
переменными, при которой Pdx Qdy Rdz� � обращается в полный интеграл.
Легко показать, что задача приводится к совокупности уравнениям
dx
Q
z
R
y
dy
R
x
P
z
dz
P
y
Q
x
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Если U C� и V C� суть интегралы, то произвольная зависимость
между U и V будет искомою функциею. Но интерес задачи заключается
в том, чтобы доказать следующие два предложения:
1. Если дана одна функция U , то другая функция V находится при по�
мощи квадратуры.
140
13 Ouvrage (ôð.) — òâ³ð. — Ðåä.
2. Если формулы преобразования содержат произвольное постоян�
ное, которое не входит ни в данный интеграл, ни в преобразованный, то
обе функции U и V находятся при помощи одних дифференцирований и
квадратур.
Предложите эту задачу в математическом обществе.
Пишите подробно, чем Вы занимаетесь, что Вас интересует, какие
именно слушаете лекции.
Кроме одного пустяка у Шпачинского, я по неевклидовой геометрии
ничего не писал.
Нечего удивляться, что курс жизни падает и будет падать, пока у
нас много казнокрадов и воров, на которых вешают кресты; пока вся
эта сволочь в силе, до тех пор внутреннее и внешнее положение будет
ухудшаться. Берегитесь и Вы, не свихнитесь, будьте честным и истин�
ным патриотом, а то и теперь у Вас замечают Ромеровские приемы,
а там пожалуй и Ренненкампфовские.
Преданный Вам
В.Ермаков
P.S. Супруге Вашей передайте нижайший поклон.
Лист сьомий
Милостивый Государь Борис Яковлевич!
Я готов держать корректуру, но при существовании одного из двух
условий: или Ваша рукопись написана четко, или корректируемое мне
понятно. Вы занимаетесь вопросом об изображении. Вероятно Вы
решаете задачу: по данным двум площадям и их контурам найти f z( )
так, чтобы при помощи Z f z� ( )одна площадь превращалась в другую. Но
быть может изображение является у Вас только главным средством
для изучения Фуксовых функций, тогда я буду спорить и протестовать
против способа изложения Poincar�. Вот почему
Если F
ax b
cx d
F x
�
�
�
�
�
� � ( ), то такая функция называется Фуксовою, или
Клейновою. Для существования такой функции необходимо, чтобы ряд
z z z z, ( ), ( ), ( ),� � �2 3
� (1)
где �( )z
az b
cz d
�
�
�
, был прерывный, т.е. нельзя подобрать так, чтобы
�m z z( ) � было различно от нуля и имело весьма малый модуль.
Ряд (1) может быть непрерывным только в одном случае: если корни
уравнения �( )z z� различны, то
� �
� �
�
�
( )
( )
z
z
K
z
z
�
�
�
�
�
; если при этом модуль
K �1, и само K не есть 1n . Во всех других случаях ряд (1) прерывный.
ËÈÑÒÈ Ç ÌÈÍÓËÎÃÎ 141
Администратор
Note
Администратор
Note
Далее пусть Q z
a z b
c z d
( ) �
�
�
не заключается в (1) ряду, и положим, для
существования такой функции необходимо, чтобы ряд, общий член
которого
� � � � � �a a b b m m z
� ( ) (2)
был прерывный, т.е. чтобы в нем не было членов весьма мало
разнящихся от z. При каких условиях ряд (2) прерывный?
Вот задача простая и достойная внимания; от ее решения зависит
многое. Poincar� не решает этой задачи, а переходит к весьма сложным
и запутанным соображениям о делении части плоскости на клетки. Так
поступать нельзя; вопрос должен быть решен всесторонне,
следовательно и аналитически.
Если � и � не могут быть перемещаемы, т.е. ��( )z � 0 на ��( )z , то я силь�
но сомневаюсь в том, чтобы ряд (2) был прерывен. Но если я и неправ, то в
таком случае F x( ), обладающая свойствами F yx F x( ) ( )� , F x F x( ) ( )� � имеет
бесчисленное множество существенно особенных точек.
Даже и в том случае, когда функции перемещаемы, т.е. �� � �( ) ( ( ))z z� ,
ряд (2) может быть непрерывен. Если и Вы занимаетесь Фуксовыми
функциями и не решаете основного вопроса, на который я указываю,
а занимаетесь Пуанкаревскими соображениями, то я, вероятно, не в со�
стоянии буду осилить Вашей диссертации.
Если � и � перемещаемы, то корни уравнений �( )z z� , �( )z z� одинако�
вы. Если корни уравнения равны, то ряд (2) прерывен. Если же корни
различны, то
� �
� �
�
�
� �
� �
�
�
( )
( )
;
( )
( )
z
z
K z
z
z
z
K z
z
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Если между K и K нет зависимости: mod( )K Km n �1, то ряд непре�
рывный. При существовании этой зависимости ряд также непрерыв�
ный, если K Km n не есть �
В.Ермаков.
Лист восьмий
Милостивый Государь Борис Яковлевич!
Если в наборе оказались ошибки, то я в этом не виноват. Шиллер взял
всю корректуру на себя и мне не захотел присылать. В настоящее время
я уже настолько овладел предметом, что я полагаю грубых ошибок не сде�
лаю. Благодарю за указание на Stouff’a и Rausenberger’a. Прочту их. Я уже те�
перь не боюсь чертежей, и то, что Вы пишете, давно знаю. Первый мемуар
Пуанкаре14 уже я изучил без всяких пропусков. Возвращаюсь опять к своему
простейшему вопросу.
142
14 Ïóàíêàðå Àíð³ (1854–1912) — ôðàíöóçüêèé ìàòåìàòèê, ô³çèê, àñòðîíîì ³ ô³ëîñîô, ÷ëåí
Ïàðèçüêî¿ ÀÍ (ç 1887), ÷ëåí Ôðàíöóçüêî¿ àêàäå쳿 (ç 1908), ÷ëåí-êîðåñïîíäåíò Ïåòåðáóðçüêî¿
ÀÍ (ç 1895). Âåëèêèé öèêë ðîá³ò Ïóàíêàðå ñòîñóºòüñÿ òåî𳿠äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü.
ËÈÑÒÈ Ç ÌÈÍÓËÎÃÎ 143
Даны две действительные подстановки z
az b
cz d
, ,
�
�
�
�
�
� z
a z b
c z d
,
�
�
�
�
�
� . Тре�
буется узнать, дают ли они прерывную группу и как в этом случае раз�
делить плоскость на клетки. Вы раньше утверждали, да и теперь веро�
ятно станете утверждать, что этот вопрос решен у Пуанкаре. На
мой же взгляд — нет. Действительно, по теории Пуанкаре можно най�
ти неравенства, которым должны удовлетворять коэффициенты (что
удается с большим трудом). Но вот курьез: коэффициенты двух данных
подстановок могут не удовлетворять никаким неравенствам, вытека�
ющим из теории Пуанкаре; на самом же деле подстановки дают прерыв�
ную группу. Дело в том, что неравенства Пуанкаре применимы только
к редуцированной системе подстановок. Я ставлю теперь указанный
выше вопрос и стараюсь решить прежде вопрос:
Заменить систему двух подстановок другою системою простейше�
го ей равносильного (isomorphe et holoedrique).
Я нашел способ приведения, при котором прерывные группы исключа�
ются. Способ этот весьма простой, он зависит не от всех коэффициен�
тов, а лишь от трех инвариантов. Я прихожу таким образом только
к шести различным случаям. Приведенные таким образом подстановки во
всех шести случаях дают прерывные группы. Это доказывается тем, что
в каждом случае плоскость делится на клетки. Вот какой простой вопрос
меня интересует. Я не люблю залезать далеко, прежде чем не обработаны
частности. А Вы не хотите меня понять и все лезете в более высокие об�
ласти. Но Stouff’a u Rausenberqer’a нужно прочесть.
Ну а Вы же в конце хотели заехать в Петербург. Следовало бы хотя
для того, чтобы побывать у Любимова, у Министра и других. Впрочем
как знаете.
В.Ермаков.
NB. О циклах Вы имеете смутное понятие, в том , о котором Вы пи�
шете один цикл со всеми углами. Значит и Фукс не помог Вам добраться
до полной глубины.
Лист дев’ятий
Милостивый Государь Борис Яковлевич!
Куда Вам ехать в Петербург при осложнившихся обстоятельствах.
Теперь Вам нужно поскорее готовить диссертацию и защищать, что
едва ли Вы успеете сделать до лета. Если поспешность не повредит со�
держанию диссертации, то хорошо. Но если по Вашим соображениям
нужно повременить, тогда нужно ехать в Питер. К Любимову я не могу
144
Вам дать рекомендательного письма, ибо таковое дается только к
лицу равному по положению. Но и без этого Вы должны к нему явиться,
если конечно будете в Питере. И к министру нужно явиться на 10 ми�
нут. Я мог бы дать лишь письмо к какому�нибудь математику,
напр.Маркову — это Петербургский Пуанкаре. Опять повторяю, что
напрасно Вы браните меня за плохой набор: я не виноват, ибо Шиллер,
вероятно по Вашему желанию, корректуры мне не присылал. Беду
можно поправить несколькими рублями — перепечатать снова или все,
или последние две страницы.
Опять по части математики Вы пишете глупости. Замена пере�
менного и подстановки( , ( ))z f z в( , ( ))z F fF z�1 есть у Пуанкаре. Далее Вы го�
ворите, что Rausenberger таким путем привел две подстановки к фор�
ме ( , ), ( , )x x x x� �� .
Такой ошибки Rausenberger не мог сделать, ибо две эти подстановки
дают непрерывную группу.
Отсюда я вижу, что Ваш предмет 0�го рода имеет лишь малую
связь с мемуарами Пуанкаре. Но в чем состоит задача об изображении,
которую Вы решили всесторонне, я не знаю. Если это самая общая зада�
ча о преобразовании произвольной фигуры в другую, то какую связь она
имеет с предметом Вашего сочинения.
В.Ермаков
Рукописи до сих пор нет.
Лист десятий
Милостивый Государь Борис Яковлевич!
Совершенно верно, что я от науки отстал и многих мемуаров по
фуксовым функциям не читал. Этого я и не желаю скрывать, особенно
пред Вами, чтобы ясно и отчетливо Вы понимали, для каких профанов
Вы пишете диссертацию. Заставить таких профанов понять Вашу
диссертацию — дело весьма трудное. Не знаю, как Вы справитесь с ним?
Конечно, многие стыда ради притворятся понимающими Вашу диссер�
тацию, и Вы подобно Максимовичу приобретете славу великого учено�
го. Ведь помните мы с Вами Максимовича не поняли, но пред его назна�
чением Ромер (сам мне говорил), по просьбе Ренненкампфа, читал его дис�
сертацию и очень хвалил. Извините за сравнение с Максимовичем, но это
делается для того, чтобы немного возвратить Вас из заоблачных высот
на землю, чтобы Вы поняли, что недостаточно что�нибудь усвоить, что
самый главный труд состоит еще в том, чтобы Вас поняли другие.
По разным причинам я много лет не следил за высшей математикой
и отстал. Недавно я принялся читать Пуанкаре. Но прежде всего я дол�
жен сознаться, что я еще не вошел во вкус функций с бесчисленным мно�
жеством существенно особенных точек. Далее… но прежде всего я пони�
мал Фуксовы и Клейновы функции такими, что могут иметь какие
угодно особенные точки, и в каком угодно числе, но не точки разветвле�
ния. Далее я приступил к чтению массы геометрических рассуждений,
из которых я понял, что плоскость (или её часть) может быть разделена
на клетки, чтобы каждой точке одной клетки соответствовала только
одна точка другой. Вопрос этот сходен и обобщает собою вопрос о числе
периодов однозначной функции. Якоби показал, что функция не может
иметь трех периодов (Казаратти с этим не согласен). Тогда я оставил
дальнейшее чтение, так как у меня явились некоторые вопросы.
Может ли существовать Фуксова (Клейнова) такая функция, чтобы
F ax b
cx d
F x�
�
�
�
�
�
� � ( ).
Этот вопрос я могу решить. Так, нет функции, удовлетворяющей
условию:
F
x
x
F x
�
�
�
�
�
� �
2
1
( ).
Может быть такая функция:
F x
x
F x�
�
�
�
�
� �
2
1
( )
Верно ли?
2. Далее вместо многих подстановок, как у Пуанкаре, я беру только
две и задаю вопрос: существует ли такая функция F x( ), чтобы
F ax b
cx d
F x F a x b
c x d
F x�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �( ), ( ). (А)
Этого вопроса я не могу решить. Между тем искомый критерий за�
висит только от 8 постоянных a b c d a b c, , , , , , и d . У Пуанкаре конечно
решен более общий случай. Но мне трудно добиться до него через массу
предварительных рассуждений. Будьте так добры приноровите крите�
рий к интересующему меня случаю (А) двух подстановок и сообщите, в
чем он состоит.
Чтобы лучше Вы могли меня понять, я обращу Ваше внимание на
частный случай: нет однозначной функции, удовлетворяющей двум
уравнениям:
F x K F x F x K F x( ) ( ), ( ) ( )� � � � ,
если отношение
K
K
есть число действительное. Что�нибудь подобное
должно быть и для уравнений (A).
Между тем вопрос о двух подстановках должен быть основным
в вопросе, опирающемся на многие подстановки.
ËÈÑÒÈ Ç ÌÈÍÓËÎÃÎ 145
Если и Вы и теперь меня не поняли и не удовлетворите моего пре�
ждевременного любопытства, то я приду в отчаяние, и с отчаяния
опять примусь за Пуанкаре.
Конечно я полагаю, что при корректировании я научусь чему�ни�
будь.
Что Вас так заботит то, что скажет Максимович о Вашем отче�
те, который уже печатается? Неужели Вы полагаете, что члены Ми�
нистерства, давшие одобрительный отзыв, считают себя мало компе�
тентными и нуждаются в подтверждении своего мнения. Отчет с мне�
нием ученого Комитета прислан нам просто для сведения и никаких
подтверждений от нас не требовалось.
Но быть может мои рассуждения покажутся Вам наивными, быть
может я не понимаю самых простых вещей, в таком случае прямо ука�
жите, в чем кроются мои недоразумения.
Преданный Вам
В.Ермаков.
Лист одинадцятий
Милостивый Государь Борис Яковлевич!
На мой вопрос Вы не дали ответа. Пуанкаре тоже его не решает. Вы
только приводите некоторые теоремы Пуанкаре. Сей ученый показал,
какими свойствами обладают многоугольники, на которые делится
плоскость; далее показал, как по одному многоугольнику найти основ�
ные подстановки группы.
Но обратного вопроса Пуанкаре и не думает решать, а этот вопрос
состоит в следующем:
Если даны несколько подстановок, то как узнать, могут ли они об�
разовать фуксову (прерывную — discontini) группу подстановок, и как
тогда разделить плоскость?
Вот какова должна быть аналитическая задача:
Даны несколько подстановок:
a z b
c z d
ii i
i i
�
�
�( , , , )12 3 � .
Требуется решить следующие вопросы:
1. Найти между этими подстановками зависимости, если таковые
существуют.
2. Узнать, может ли другая подстановка
Az B
Cz D
�
�
быть комбинацией
данных подстановок.
3. Могут ли быть данные подстановки выражены через меньшее чис�
ло других подстановок.
146
4. Может ли в числе комбинаций данных подстановок быть такая
Az B
Cz D
�
�
, чтобы модуль
1
2
A D
AD BC
�
�
�
��
�
�� был бы весьма близок к единице, но
ей не равен. Тогда группа непрерывна (contina) т.е. не годится.
Все это весьма ясные аналитические вопросы. Решение их в значитель�
ной степени могло бы выяснить теорию фуксовых функций и упростить
результаты. А то теперь Вы сами видите, что эта теория настолько
сложна, что Вы сочли возможным заняться только частным случаем.
Решение поставленных мною вопросов может быть приведет к ре�
шению задачи:
Можно ли определить целые числа m m m n, , , так, чтобы
A C Dm m m
n� � � � ��( ) 0.
Если Вы взятый Вами частный случай рассмотрите во всей его пол�
ноте, с его важнейшими приложениями, то диссертация будет хороша,
но и для этого потребуется большой объем.
Я не считаю Вас ни лежачим ни нележачим и не знаю на что Вы наме�
каете. Но дело в том, что Вы можете о себе быть высокого мнения, что
было бы худо. Во�вторых дело в том, что Вам путь�дорога открыта и не я
стану Вам мешать, скорее готов способствовать. (Может быть думаете
обратно, так [как] я отказался писать ненужную рецензию). Так вот,
чтобы быстрое повышение не вскружило Вам головы, чтобы и т.д.
Преданный Вам,
В.Ермаков
P.S. Со временем, я полагаю, Вы не откажетесь попробовать ре�
шить поставленные здесь вопросы и будем решать вместе. Надеюсь,
что получивши доктора, Вы не будете считать себя всезнающим, а по�
читаете еще Чебышева и других.
Лист дванадцятий
Милостивый Государь Борис Яковлевич!
16 страниц напечатано, наборщики требуют далее, но нет. Шиллер
держал корректуру, а мне не давал. Я осилил три мемуара Пуанкаре, но
не вполне. Действительно нужно счастливое стечение обстоятельств,
чтобы создать эти мемуары. Бесконечное разнообразие случаев трудно
подвести под общую теорию, а в геометрическом доказательстве лег�
ко не то чтобы ошибиться, но не принять во внимание частных всех
случаев, что и встречается у Пуанкаре. Ряд возникающих вопросов при
чтении этих мемуаров требует решения. Меня интересует самый про�
стой вопрос: прерывность группы, происшедшей из двух действи�
ËÈÑÒÈ Ç ÌÈÍÓËÎÃÎ 147
тельных подстановок. Вы советовали обратиться к чертежам. Если нет
сторон второго рода, то чертеж четыреугольник. При существовании
сторон второго рода, чертеж может быть шести и восьмиугольником. Но
и здесь случаев так много, что трудно в них разобраться. Но желательно
хотя бы для этого простого случая найти аналитические доказательства.
Ведь всё дело сводится к тому, чтобы показать, при каких условиях в каж�
дой производной подстановке
a z b
c z d
i i
i i
�
�
выражение ( )a di i� �2
� � � � � � �2 2 2 42 2 2 2b c a d b ci i i i i i( ) ( ) не может быть сделано бесконечно ма�
лым. Но и к решению этого вопроса я не знаю как приступить.
Не сердитесь на меня, если я иногда пишу глупости. Я желаю Вам
только добра и очень желаю, чтобы Вы попали в Киевский универси�
тет. Теперь же есть и место свободное, так как у нас только 2 экстра�
ординарных и то исправляющие должность.
В.Ермаков
ý
³ä ðåäàêö³¿: Ëèñòè ïðîôåñîðà ªðìàêîâà äàþòü íàì â³ä÷óòè àòìîñôåðó
óí³âåðñèòåòñüêîãî æèòòÿ ïîíàäñòîë³òíüî¿ äàâíèíè. Ïðîòå â íèõ º ÷èñòî
ìàòåìàòè÷í³ ì³ðêóâàííÿ, ÿê³ íå âñ³ çðîçóì³þòü. Íà íàøå ïðîõàííÿ âèïóñêíèê
Êè¿âñüêîãî óí³âåðñèòåòó 1966 ðîêó, ÷ëåí-êîðåñïîíäåíò Íàö³îíàëüíî¿ àêàäå쳿
íàóê Óêðà¿íè Þð³é Àíàòîë³éîâè÷ Äðîçä ïðî÷èòàâ ëèñòè ÿê ìàòåìàòèê.
Листи Єрмакова цікаві, перш за все, тим, що в них обговорюється нова для того
часу галузь математики, яка зараз зветься теорією автоморфних функцій. Нага$
даємо деякі поняття цієї теорії. (Дивись, наприклад, книгу — Р.Форм.
Автоморфные функции. Москва–Ленинград. 1936, яка й досі залишається
зразковим підручником з даної тематики.
Дробово$лінійним перетворенням розширеної комплексної площини
� �� � �{ } зветься відображення z
az b
cz d
�
�
�
, де ad bc– � 0. Позначимо L множи$
ну всіх таких перетворень. Групою дробово$лінійних перетворень зветься
підмножина � � L , яка разом з кожним перетворенням містить обернене, а раз$
ом з кожними двома — їхню композицію. Група дробово$лінійних перетворень �
зветься розривною (discontinuous)1, якщо існує точка z0 в деякому околі якої
немає точок вигляду g z( )0 , де g �� — нетотожне перетворення. Наприклад,
148
1 ªðìàêîâ çâå òàê³ ãðóïè «ïðåðûâíûìè»; ó Ð.Ôîðìà âîíè çâóòüñÿ «ñîáñòâåííî ðàçðûâíûìè».
такою буде довільна скінченна група � � L . Аналітична функція f z( ) зветься
автоморфною відносно групи �, якщо f g z f z( ( )) ( )� для всіх перетворень g ��
і всіх z з області визначення функції f z( ). Непостійні автоморфні функції мо$
жуть існувати лише відносно розривної групи. Наприклад, тригонометричні
функції з періодом T — це автоморфні функції відносно групи зсувів
z z nT� �2 , де n пробігає цілі числа. Так звані еліптичні (або двоперіодичні)
функції — це автоморфні функції відносно подвійної групи зсувів
z z na mb� � � , де m n, пробігають цілі числа, a і b — фіксовані ненульові
комплексні числа такі, що відношення a b/ не є дійсним. Розривна група
зветься фуксовою, якщо існує круг (або напівплощина) на комплексній пло$
щині, який переводиться в себе всіма перетвореннями групи.
Під час навчання в Німеччині Букреєв особливо цікавився теорією авто$
морфних функцій. На цей час видатний французький математик Анрі Пуанка$
ре розвинув загальну теорію автоморфних функцій, яка грунтувалася на по$
будованій ним моделі площини Лобачевського. Саме, він пов’язав з кожною
фуксовою групою розбиття площини Лобачевського на конгруентні много$
кутники («полігони» в термінології, яку застосовував Букреєв), які перево$
дяться один в одний перетвореннями групи, і показав, що кожен з цих много$
кутників повністю визначає групу. Пуанкаре також дав спосіб побудови, для
фуксових груп, всіх автоморфних функцій.
У своїх листах Єрмаков висловлює невдоволення підходом Пуанкаре. На$
томість він формулює цілком природне питання: коли даний набір дробо$
во$лінійних перетворень породжує розривну групу. Єрмаков звертає увагу
на те, що з конструкції Пуанкаре виводяться лише деякі достатні умови, які не
є необхідними навіть для двох перетворень. Знаходження достатніх умов
є складною задачею. У листі 7 Єрмаков фактично вимагає, щоб, якщо Букреєв
присвятить свою дисертацію автоморфним функціям, він насамперед розв’я$
зав цю задачу принаймні для двох перетворень. На мій погляд, це занадто
амбіційна вимога, тим більше, що сам Єрмаков, наскільки можна зрозуміти
з його листів, не знайшов шляхів для її розв’язання. Правда, в листі 8 він
стверджує, що начебто звів пару перетворень до простішої форми, після чого
одержав 6 можливих випадків і всі вони дають розривні групи. Але вже в листі
10 він каже, що задачу для двох перетворень він розв’язати не може. Напев$
не, у своїх викладках Єрмаков знайшов пробіли.
Єрмаков також висловлює деякі свої думки з цього приводу. На жаль, деякі з
них виявляються хибними. Так, у листі 7 він сумнівається, що два некомутуючі
перетворення (тобто, такі, що g g g g1 2 2 1� ) можуть породжувати розривну гру$
пу �. Він також твердить, що, навіть якщо ця група виявиться розривною,
відповідні автоморфні функції матимуть безліч істотних особливих точок. Це
твердження насправді є неправильним. Наприклад, перетворення z z�1� та
z z�
�1 породжують скінчену групу. Ця група напевно є розривною, а особли$
вими точками відповідних автоморфних функцій може бути лише скінченна
кількість полюсів. Більш того, деякі з еліптичних функцій (які теж мають лише
ËÈÑÒÈ Ç ÌÈÍÓËÎÃÎ 149
полюси та єдину істотну особливу точку �) є автоморфними відносно більшої
групи, ніж подвійна група зсувів, яка включає некомутуючі перетворення.
У згадуваній книзі Р.Форма (§§ 57 і 59) дано повний опис скінченних груп
дробово$лінійних перетворень, а також скінченних розширень групи зсувів
та подвійної групи зсувів. З цих параграфів та § 58 випливає, зокрема, опис
всіх розривних груп, які породжені двома комутуючими перетвореннями. Це
дає часткову відповідь на питання Єрмакова.
Насправді, Букреєв справді присвятив свою дисертацію теорії автоморфних
функцій, але він розглянув зовсім інший клас задач. Вже з назви дисертації
«О фуксовых функциях нулевого ранга с симметрическим основным полигоном»
видно, що він обмежився спеціальним класом функцій. Накладені обмеження
дали йому можливість явно побудувати перетворення, які породжують групу,
детально вивчити аналітичні властивості цих функцій та знайти клас дифе$
ренціальних рівнянь («фуксових рівнянь»), які можуть бути проінтегровані за до$
помогою цього класу функцій. Ця дисертація, яку Букреєв блискуче захистив
у 1889 році, була першим науковим дослідженням в Російській імперії, в якому
було одержано глибокі результати в одній з найновіших галузей математики
того часу. На жаль (для теорії автоморфних функцій), невдовзі по тому го$
ловні наукові інтереси Букреєва перейшли в диференціальну геометрію.
Можливо, це було обумовлено тим, що колеги не змогли належно оцінити
його здобутки в теорії функцій. Дослідження автоморфних функцій в Київ$
ському університеті продовжив П.М.Покровський, але потому, на жаль, вони
практично припинилися.
Юрій ДРОЗД,
член�кореспондент Національної академії наук України
150
��
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts false
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <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>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37074 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0206-8001 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:31:31Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут української археографії та джерелознавства ім. М.С.Грушевського НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | 2012-09-05T10:12:09Z 2012-09-05T10:12:09Z 2009 Листи з минулого. Дванадцять листів Василя Єрмакова до Бориса Букреєва // Україна. Наука і культура. — 2009. — Вип 35. — С. 135-150. — укp. 0206-8001 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37074 Листи професора Єрмакова дають нам відчути атмосферу університетського життя понадстолітньої давнини. Проте в них є чисто математичні міркування, які не всі зрозуміють. На наше прохання випускник Київського університету 1966 року, член-кореспондент Національної академії наук України Юрій Анатолійович Дрозд прочитав листи як математик. uk Інститут української археографії та джерелознавства ім. М.С.Грушевського НАН України Україна. Наука і культура Університетська мозаїка Листи з минулого. Дванадцять листів Василя Єрмакова до Бориса Букреєва Article published earlier |
| spellingShingle | Листи з минулого. Дванадцять листів Василя Єрмакова до Бориса Букреєва Університетська мозаїка |
| title | Листи з минулого. Дванадцять листів Василя Єрмакова до Бориса Букреєва |
| title_full | Листи з минулого. Дванадцять листів Василя Єрмакова до Бориса Букреєва |
| title_fullStr | Листи з минулого. Дванадцять листів Василя Єрмакова до Бориса Букреєва |
| title_full_unstemmed | Листи з минулого. Дванадцять листів Василя Єрмакова до Бориса Букреєва |
| title_short | Листи з минулого. Дванадцять листів Василя Єрмакова до Бориса Букреєва |
| title_sort | листи з минулого. дванадцять листів василя єрмакова до бориса букреєва |
| topic | Університетська мозаїка |
| topic_facet | Університетська мозаїка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37074 |