Экстремальные задачи для лучевых систем с переменным количеством точек на лучах
У роботi розв’язано екстремальну задачу по знаходженню максимуму функцiонала, який складається iз добутку внутрiшнiх радiусiв областей, у випадку рiзної кiлькостi точок на променях вiдповiдної променевої системи. The extremal problem on maximizing a functional which consists of the products of the i...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37207 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Экстремальные задачи для лучевых систем с переменным количеством точек на лучах / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 7-10. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859909138397528064 |
|---|---|
| author | Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. |
| author_facet | Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. |
| citation_txt | Экстремальные задачи для лучевых систем с переменным количеством точек на лучах / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 7-10. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | У роботi розв’язано екстремальну задачу по знаходженню максимуму функцiонала, який складається iз добутку внутрiшнiх радiусiв областей, у випадку рiзної кiлькостi точок на променях вiдповiдної променевої системи.
The extremal problem on maximizing a functional which consists of the products of the inner radii of domains for different numbers of points on rays of an appropriate ray system is solved.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:02:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2011
МАТЕМАТИКА
УДК 517.54
© 2011
А.К. Бахтин, А. Л. Таргонский
Экстремальные задачи для лучевых систем
с переменным количеством точек на лучах
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Ю. Трохимчуком)
У роботi розв’язано екстремальну задачу по знаходженню максимуму функцiонала,
який складається iз добутку внутрiшнiх радiусiв областей, у випадку рiзної кiлькостi
точок на променях вiдповiдної променевої системи.
Экстремальные задачи о неналегающих областях составляют хорошо известное, классичес-
кое направление современной геометрической теории функций комплексного переменного
(см., напр., [1–15]). В данной работе исследуется экстремальная задача с целью получения
точных оценок произведений внутренних радиусов наборов взаимно неналегающих областей
относительно некоторых систем точек плоскости при минимальных требованиях к таким
системам (см. также работы [7–11].
Определения и обозначения. Пусть N, R — множества натуральных и вещественных
чисел соответственно, C — плоскость комплексных чисел, C = C
⋃
{∞} — ее одноточечная
компактификация или сфера Римана, R+ = (0,∞).
Пусть n,m, d ∈ N, m = nd. Рассмотрим все возможные наборы натуральных чисел
{mk}
n
k=1 такие, что
n
∑
k=1
mk = m. (1)
Систему точек An,d = {ak,p ∈ C : k = 1, n, p = 1,mk}, где {mk}
n
k=1 — произвольный
набор вида (1), назовем обобщенной (n, d)-лучевой системой точек, если при всех k = 1, n,
p = 1,mk выполняются соотношения
0 < |ak,1| < · · · < |ak,mk
| < ∞;
arg ak,1 = arg ak,2 = · · · = arg ak,mk
=: θk;
0 = θ1 < θ2 < · · · < θn < θn+1 := 2π.
(2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 7
Для таких систем точек рассмотрим следующие величины:
αk =
1
π
[θk+1 − θk], k = 1, n, αn+1 := α1, α0 := αn,
n
∑
k=1
αk = 2.
Если mk = d, k = 1, n, то обобщенная система точек совпадает с обычной (n, d)-лучевой сис-
темой. При n = m (d = 1,mk = 1, k = 1, n) получаем n-лучевую систему точек (см. [7–11]).
При выполнении условий αk = 2/n, k = 1, n, систему точек An,d будем называть равно-
угольной.
Рассмотрим систему угловых областей:
Pk = {w ∈ C : θk < argw < θk+1}, k = 1, n.
Умножение обобщенной (n, d)-лучевой системы An,d = {ak,p} на число t ∈ R+ опреде-
лим следующим образом: t · An,d = {t · ak,p}. Для произвольной обобщенной (n, d)-лучевой
системы рассмотрим “управляющий” функционал
µ := µ(An,d) :=
n
∏
k=1
mk
∏
p=1
[
χ
(
|ak,p|
1/αk
)
· χ
(
|ak,p|
1/αk−1
)
]1/2
· |ak,p|,
где χ(t) =
1
2
(
t+
1
t
)
, t ∈ R+.
Обозначим через r(B; a) внутренний радиус области B ⊂ C относительно точки a ∈ B
(см. [4–6, 14]). Для произвольных n, d ∈ N, n > 2, пусть A
(1)
n,d обозначает (n, d)-луче-
вую равноугольную систему точек, образованную полюсами квадратичного дифференци-
ала Q(w)dw2, где
Q(w) = −
wn−2(1 + wn)2d−2
[
(1− iwn/2)2d + (1 + iwn/2)2d
]2 . (3)
Для системы A
(1)
n,d в соотношениях (2) выполняется условие mk = d, k = 1, n. Более того,
система точек A
(1)
n,d обладает симметрией относительно окружности |w| = 1. Эти свойства
не трудно получить из общей теории квадратичных дифференциалов [15].
Предметом изучения нашей работы является следующая задача.
Задача 1. Пусть n,m, d ∈ N, m = nd, n > 2. Определить максимум величины
J =
n
∏
k=1
mk
∏
p=1
r(Bk,p; ak,p),
где An,d = {ak,p} — любая обобщенная (n, d)-лучевая система точек вида (2) такая, что
µ(An,d) = µ(A
(1)
n,d), а {Bk,p} — произвольный набор попарно непересекающихся областей,
ak,p ∈ Bk,p ⊂ C, и описать все экстремали (k = 1, n, p = 1,mk).
Ясно, что данная задача обобщает соответствующие постановки задач, рассмотренных
в [7–11].
Основной результат. Справедлива следующая теорема.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Теорема 1. Пусть n, m, d ∈ N, m = nd, n > 2. Тогда для любой обобщенной (n, d)-лу-
чевой системы точек An,d = {ak,p}, µ(An,d) = µ(A
(1)
n,d) и произвольного набора взаимно
непересекающихся областей {Bk,p}, ak,p ∈ Bk,p ⊂ C выполняется неравенство
n
∏
k=1
mk
∏
p=1
r(Bk,p; ak,p) 6
(
4
nd
)nd
· µ(A
(1)
n,d). (4)
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда точки ak,p и области Bk,p являют-
ся соответственно полюсами и круговыми областями квадратичного дифференциала (3).
Неравенство (4) дает равномерную оценку функционала J на всем классе систем точек,
рассмотренных в задаче 1. Для обобщенных (n, d)-лучевых систем с учетом конкретики
условия (1) получен несколько более сильный результат.
Теорема 2. Пусть n, m, d ∈ N, m = nd, n > 2. Тогда для произвольной обобщен-
ной (n, d)-лучевой системы точек An,d = {ak,p}, µ(An,d) = µ(A
(1)
n,d), имеющей конкретную
совокупность чисел {mk}
n
k=1 вида (1), и произвольного набора попарно непересекающихся
областей {Bk,p}, ak,p ∈ Bk,p ⊂ C справедливо неравенство
J 6
(
2
d
)nd
·
n
∏
k=1
α
(mk+mk+1)/2
k · µ(A
(1)
n,d),
где mn+1 := m1. Знак равенства в этом неравенстве достигается при тех же условиях,
что и в теореме 1.
Из теоремы 1 при m = n (d = 1) получаем такое утверждение для n-лучевых систем
точек [7–10].
Следствие 1. Пусть n ∈ N, n > 2. Для произвольной n-лучевой системы точек An =
= {ak}
n
k=1 такой, что
n
∏
k=1
[
χ
(
|ak|
1/αk
)
· χ
(
|ak|
1/αk−1
)
]1/2
· |ak| = 1
и любого набора взаимно непересекающихся областей {Bk,p}, ak,p ∈ Bk,p ⊂ C, k = 1, n,
справедливо неравенство
n
∏
k=1
r(Bk; ak) 6
(
4
n
)n
.
Знак равенства достигается, когда ak и Bk являются полюсами и круговыми областями
квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −
wn−2
(wn − 1)2
dw2.
Из теоремы 2 при m = n (d = 1, mk = 1, k = 1, n) получаем следующий результат.
Следствие 2. При выполнении условий следствия 1 справедливо неравенство
n
∏
k=1
r(Bk; ak) 6 2n
n
∏
k=1
αk.
Знак равенства достигается при тех же условиях, что и в следствии 1.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 9
Для случая n-лучевых систем точек, расположенных на окружности |w| = 1, следствия 1
и 2 представляют известные результаты В.Н. Дубинина [4, 6, 9].
Метод доказательства использует разделяющее преобразование и усовершенствует тех-
нику, развитую в [7–11].
1. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. –
5. – С. 159–245.
2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
3. Бахтина Г.П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих
областях: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1975. – 11 с.
4. Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап.
науч. семиноров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48–66.
5. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного //
Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1(295). – С. 3–76.
6. Дубинин В.Н. Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения //
Зап. науч. семинаров Ст.-Петербург. отд. Мат. ин-та РАН. – 1997. – 237. – С. 56–73.
7. Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-алгебраические структуры и геометриче-
ские методы в комплексном анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 73. – 308 с.
8. Бахтiн О.К. Нерiвностi для внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей та вiдкритих множин //
Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 5. – С. 596–610.
9. Дубинин В.Н. О квадратичных формах, порожденных функциями Грина и Робена // Мат. сборник. –
2009. – 200, № 10. – С. 25–38.
10. Бахтин А.К., Таргонский А.Л. Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы // Нелiнiйнi
коливання. – 2005. – 8, № 3. – С. 298–303.
11. Таргонский А.Л. Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере //
Доп. НАН України. – 2008. – № 9. – С. 31–36.
12. Кузьмина Г. В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы // Зап. науч. семинаров Ст.-
Петербург. отд. Мат. ин-та РАН. – 2001. – 276. – С. 253–275.
13. Емельянов Е. Г. К задаче о максимуме произведения степеней конформных радиусов неналегающих
областей // Там же. – 2002. – 286. – С. 103–114.
14. Хейман В.К. Многолистные функции. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1960. – 180 с.
15. Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображения. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
Поступило в редакцию 07.06.2010Институт математики НАН Украины, Киев
A.K. Bahtin, A. L. Targonskii
Extremal problems for ray systems with variable number of points on
rays
The extremal problem on maximizing a functional which consists of the products of the inner radii
of domains for different numbers of points on rays of an appropriate ray system is solved.
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37207 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:02:14Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. 2012-09-30T15:15:15Z 2012-09-30T15:15:15Z 2011 Экстремальные задачи для лучевых систем с переменным количеством точек на лучах / А.К. Бахтин, А.Л. Таргонский // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 7-10. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37207 517.54 У роботi розв’язано екстремальну задачу по знаходженню максимуму функцiонала, який складається iз добутку внутрiшнiх радiусiв областей, у випадку рiзної кiлькостi точок на променях вiдповiдної променевої системи. The extremal problem on maximizing a functional which consists of the products of the inner radii of domains for different numbers of points on rays of an appropriate ray system is solved. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Экстремальные задачи для лучевых систем с переменным количеством точек на лучах Extremal problems for ray systems with variable number of points on rays Article published earlier |
| spellingShingle | Экстремальные задачи для лучевых систем с переменным количеством точек на лучах Бахтин, А.К. Таргонский, А.Л. Математика |
| title | Экстремальные задачи для лучевых систем с переменным количеством точек на лучах |
| title_alt | Extremal problems for ray systems with variable number of points on rays |
| title_full | Экстремальные задачи для лучевых систем с переменным количеством точек на лучах |
| title_fullStr | Экстремальные задачи для лучевых систем с переменным количеством точек на лучах |
| title_full_unstemmed | Экстремальные задачи для лучевых систем с переменным количеством точек на лучах |
| title_short | Экстремальные задачи для лучевых систем с переменным количеством точек на лучах |
| title_sort | экстремальные задачи для лучевых систем с переменным количеством точек на лучах |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37207 |
| work_keys_str_mv | AT bahtinak ékstremalʹnyezadačidlâlučevyhsistemsperemennymkoličestvomtočeknalučah AT targonskiial ékstremalʹnyezadačidlâlučevyhsistemsperemennymkoličestvomtočeknalučah AT bahtinak extremalproblemsforraysystemswithvariablenumberofpointsonrays AT targonskiial extremalproblemsforraysystemswithvariablenumberofpointsonrays |