Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрального типа
Розглянуто задачу побудови достатніх умов абсолютної інтервальної стійкості. Побудовано оцінки експоненціального згасання розв'язків систем регулювання з аргументом, що відхиляється, нейтрального типу у вигляді алгебраїчних нерівностей. Апаратом дослідження обрано прямий метод Ляпунова з функці...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37208 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрального типа / А.В. Шатырко // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 18-23. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37208 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шатырко, А.В. 2012-09-30T15:16:37Z 2012-09-30T15:16:37Z 2011 Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрального типа / А.В. Шатырко // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 18-23. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37208 517.929 Розглянуто задачу побудови достатніх умов абсолютної інтервальної стійкості. Побудовано оцінки експоненціального згасання розв'язків систем регулювання з аргументом, що відхиляється, нейтрального типу у вигляді алгебраїчних нерівностей. Апаратом дослідження обрано прямий метод Ляпунова з функціоналом Ляпунова–Красовського. By using the direct Lyapunov's method with a Lyapunov–Krasovsky functional, the problem of the construction of sufficient conditions for absolute interval stability is considered. Estimates of the exponential decay of solutions of the neutral-type regulator systems with a delay argument are obtained in the form of algebraic inequalities. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрального типа Absolute interval stability of neutral-type regulator systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрального типа |
| spellingShingle |
Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрального типа Шатырко, А.В. Математика |
| title_short |
Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрального типа |
| title_full |
Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрального типа |
| title_fullStr |
Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрального типа |
| title_full_unstemmed |
Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрального типа |
| title_sort |
абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрального типа |
| author |
Шатырко, А.В. |
| author_facet |
Шатырко, А.В. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Absolute interval stability of neutral-type regulator systems |
| description |
Розглянуто задачу побудови достатніх умов абсолютної інтервальної стійкості. Побудовано оцінки експоненціального згасання розв'язків систем регулювання з аргументом, що відхиляється, нейтрального типу у вигляді алгебраїчних нерівностей. Апаратом дослідження обрано прямий метод Ляпунова з функціоналом Ляпунова–Красовського.
By using the direct Lyapunov's method with a Lyapunov–Krasovsky functional, the problem of the construction of sufficient conditions for absolute interval stability is considered. Estimates of the exponential decay of solutions of the neutral-type regulator systems with a delay argument are obtained in the form of algebraic inequalities.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37208 |
| citation_txt |
Абсолютная интервальная устойчивость систем регулирования нейтрального типа / А.В. Шатырко // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 18-23. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT šatyrkoav absolûtnaâintervalʹnaâustoičivostʹsistemregulirovaniâneitralʹnogotipa AT šatyrkoav absoluteintervalstabilityofneutraltyperegulatorsystems |
| first_indexed |
2025-11-25T22:31:23Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:31:23Z |
| _version_ |
1850564918677340160 |
| fulltext |
УДК 517.929
© 2011
А.В. Шатырко
Абсолютная интервальная устойчивость систем
регулирования нейтрального типа
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины С.И. Ляшко)
Розглянуто задачу побудови достатнiх умов абсолютної iнтервальної стiйкостi. Побу-
довано оцiнки експоненцiального згасання розв’язкiв систем регулювання з аргументом,
що вiдхиляється, нейтрального типу у виглядi алгебраїчних нерiвностей. Апаратом до-
слiдження обрано прямий метод Ляпунова з функцiоналом Ляпунова–Красовського.
В работе рассмотрены нелинейные системы дифференциально-разностных уравнений ней-
трального типа. Нелинейность имеет заранее заданный “секторный” вид. Асимптотическая
устойчивость в целом нулевого решения такого вида систем называется абсолютной устой-
чивостью. Исследование абсолютной устойчивости систем регулирования проводится в двух
направлениях. Одно из них известно как частотный метод и получило развитие в рабо-
тах [1, 2]. Вторым является метод функций Ляпунова. Причем функция ищется в виде
суммы квадратичной формы и интеграла от нелинейности [3, 4]. Как правило, системам
регулирования присущ фактор запаздывания, обусловленный техническими особенностя-
ми. Поэтому более адекватными моделями систем являются дифференциальные уравне-
ния с последействием [5, 6]. В последнее время появились работы по интервальной абсо-
лютной устойчивости [7]. Достаточно хороший обзор последних результатов исследования
задач абсолютной устойчивости содержится в работах [8, 9]. В настоящей работе рассмат-
риваются системы прямого регулирования, описываемые дифференциальными уравнения-
ми с интервально заданными параметрами с отклоняющимся аргументом нейтрального
типа. Исследование абсолютной устойчивости проводится с использованием функционала
Ляпунова–Красовского [10].
Абсолютная устойчивость систем прямого регулирования. Будем рассматривать
системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений с отклоняющимся аргумен-
том нейтрального типа
d
dt
[x(t)−Dx(t− τ)] = Ax(t) +Bx(t− τ) + bf(σ(t)), σ(t) = cTx(t), t > 0. (1)
Здесь x(t) ∈ R
n, A, B, D — квадратные матрицы с постоянными коэффициентами, b ∈ R
n,
τ > 0 — постоянное запаздывание, f(σ) — непрерывная функция, удовлетворяющая усло-
вию Липшица и f(0) = 0. Под решением системы будем понимать кусочно-непрерывно
дифференцируемую функцию x(t), которая тождественно удовлетворяет системе (1) и на-
чальным условиям x(t) = ϕ(t),
•
x(t) = ψ(t), где ϕ(t), ψ(t) — произвольные непрерывные
функции, определенные при −τ 6 t 6 0.
Определение 1. Будем говорить, что нулевое решение системы нейтрального типа
экспоненциально устойчиво в метрике C0, если существуют постоянные Ni > 0, i = 1, 2,
и γ > 0 такие, что для любого решения x(t) уравнения при t > 0 выполняется неравенство
|x(t)| 6 [N1‖x(0)‖τ +N2‖
•
x(0)‖τ ] exp
{
−
1
2
γt
}
, t > 0. (2)
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Определение 2. Будем говорить, что нулевое решение уравнения нейтрального типа
экспоненциально устойчиво в метрике C1, если оно устойчиво в метрике C0 и существуют
постоянные Ri > 0, i = 1, 2, и η > 0 такие, что для любого решения x(t) уравнения при
t > 0 выполняются неравенства
|
•
x(t)| 6 [R1‖x(0)‖τ +R2‖
•
x(0)‖τ ] exp
{
−
1
2
ηt
}
, t > 0. (3)
Здесь и в дальнейшем используются следующие векторные и матричные нормы
|A| = {λmax(A
TA)}1/2, |x(t)| =
{
n
∑
i=1
x2i (t)
}1/2
, ‖x(t)‖τ = max
−τ6s60
{|x(s + t)|},
‖x(t)‖τ,ς =
{ t
∫
t−τ
e−ς(t−s)x2(s) ds
}1/2
, ‖
•
x(t)‖τ,ς =
{ t
∫
t−τ
e−ς(t−s) •x
2
(s) ds
}1/2
,
(4)
λmax(•), λmin(•) — наибольшее и наименьшее собственные числа соответствующих симмет-
ричных, положительно определенных матриц.
Определение 3. Будем говорить, что система (1) абсолютно устойчива, если ее нулевое
решение экспоненциально устойчиво при произвольной функции f(σ), удовлетворяющей
“условиям сектора”
[kσ − f(σ)]σ > 0, k > 0. (5)
Широко используемым методом исследования устойчивости функционально-дифферен-
циальных систем является метод функционалов Ляпунова–Красовского. Как правило, при
исследовании систем регулирования нейтрального типа используются функционалы вида
суммы квадратичной формы от левой части системы (1), интеграла от нелинейности и квад-
ратичной формы от предыстории [9]
V [x(t)] = [x(t)−Dx(t− τ)]TH[x(t)−Dx(t− τ)] +
+
t
∫
t−τ
xT (s)Gx(s) ds + β
σ(t)
∫
0
f(σ) dσ, σ(t) = cTx(t), β > 0.
Однако с использованием функционалов такого вида можно получить только утверждение
об асимптотической устойчивости в интегральной метрике.
В настоящей работе будем использовать функционал Ляпунова–Красовского квадра-
тичного вида как от текущих координат, так и от производных
[x(t)] = xT (t)Hx(t) +
t
∫
t−τ
e−ς(t−s){xT (s)G1x(s) +
•
x
T
(s)G2
•
x(s)} ds + β
σ(t)
∫
0
f(σ) dσ,
σ(t) = cTx(t), β > 0,
(6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 19
с положительно определенными матрицами H,G1,G2. Как следует из введенных векторных
и матричных норм и условия (5), накладываемого на функцию f(σ), для функционала (6)
справедлива следующая двусторонняя оценка
λmin(H)|x(t)|2 +
t
∫
t−τ
e−ς(t−s){xT (s)G1x(s) +
•
x
T
(s)G2
•
x(s)} ds 6 V [x(t)] 6
6
{
λmax(H) +
1
2
βk|c|2
}
|x(t)|2 +
t
∫
t−τ
e−ς(t−s){xT (s)G1x(s) +
•
x
T
(s)G2x(s)} ds. (7)
Обозначим
S1[β, ς, ν,H,G1, G2] =
S1
11 S1
12 S1
13 S1
14
(S1
12)
T S1
22 Θ S1
24
(S1
13)
T Θ S1
33 S1
34
(S1
14)
T (S1
24)
T (S1
34)
T S1
44
,
S1
11 = −ATH −HA−G1 −ATG2A, S1
12 = −HB −ATG2B,
S1
13 = −HD − (A+B)TD, S1
14 = −Hb−ATG2b−
1
2
(βAT + νI)c,
S1
22 = e−ςτG1 −BTG2B, S1
24 = −BT
(
G2b+
1
2
βc
)
,
S1
33 = e−ςτG2 −DTG2D, S1
34 = −DT
(
G2b+
1
2
βc
)
,
S1
44 = −bTG2b− βcT b+
k
ν
,
ν > 0 — положительная постоянная, Θ — нулевая матрица, I — единичная матрица,
ϕ11(H) =
λmax(H) + 1
2βk|c|
2
λmin(H)
, ϕ12(H,G1) =
λmax(G1)
λmin(H)
, ϕ13(H,G2) =
λmax(G2)
λmin(H)
. (8)
Приведем утверждение об устойчивости нулевого решения системы (1) и, соответствен-
но, оценки сходимости решений, полученные с использованием функционала Ляпунова–
Красовского (6).
Теорема 1. Пусть |D| < 1 и существуют положительно определенные матрицы H,
G1, G2 и параметры β > 0, ς > 0, ν > 0, при которых матрица S1[β, ς, ν,H,G1, G2]
положительно определенная. Тогда нулевое решение системы (1) абсолютно устойчиво
в метрике C1. Причем для произвольного решения x(t), t > 0, справедлива следующая
оценка сходимости
|x(t)| 6
[
√
ϕ11(H)|x(0)| +
√
ϕ12(H,G1)‖x(0)‖
2
τ,ξ +
√
ϕ13(H,G2)‖
•
x(0)‖2τ,ς
]
e−γt/2,
|
•
x(t)| 6M
√
ϕ11(H)|x(0)| +
[
M
√
ϕ12(H,G1) +
|B|
|D|
]
‖x(0)‖τ +
+ (1 +M
√
ϕ13(H,G2))‖
•
x(0)‖τ e
−γt/2,
(9)
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
M = [|A|+ |D||b|k|c|] +
[|DA+B|+ |D||b|k|c|]
|D|[1− |D|eγτ/2]
, (10)
γ < min
ς,
2
τ
ln
1
|D|
,
λmin(S1[β, ς, ν,H,G1, G2])
λmax(H) +
1
2
βk|c|2
,
. (11)
Абсолютная интервальная устойчивость систем прямого регулирования. Как
правило, параметры систем точно не известны. Они принимают свои значения из некоторых
заранее определенных промежутков. Рассмотрим систему прямого регулирования, которая
описывается системой дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа с ин-
тервально заданными коэффициентами
d
dt
[x(t)−Dx(t− τ)] = (A+∆A)x(t) + (B +∆B)x(t− τ) + bf(σ(t)),
σ(t) = cTx(t), x(t) ∈ R
n, t > 0.
(12)
Здесь матрицы ∆A и ∆B могут принимать свои значения из некоторых заданных фикси-
рованных промежутков
∆A = {∆aij}, ∆B = {∆bij}, |∆aij | 6 αij , |bij | 6 βij , i, j = 1, n. (13)
Системы такого типа называются интервальными системами. Нелинейная функция f(σ),
как и в предыдущем пункте, удовлетворяет условию (5). Обозначим
‖∆A‖ = max
∆aij
{|∆A|}, ‖∆B‖ = max
∆aij
{|∆B|}.
Определение 4. Будем говорить, что система (1) абсолютно инервально устойчива,
если ее нулевое решение экспоненциально устойчиво при произвольной функции f(σ), удов-
летворяющей “условиям сектора” (5) для произвольных матриц ∆A, B, удовлетворяющих
условиям (13).
Получим условия абсолютной интервальной устойчивости системы (1), аналогичные
приведенным для системы без интервальных возмущений.
Теорема 2. Пусть |D| < 1 и существуют положительно определенные матрицы H,
G1, G2 и параметры β > 0, ς > 0, ν > 0, при которых матрица S1[β, ς, ν,H,G1, G2]
положительно определенная и выполняются неравенства
|∆A| 6
1
R2
√
[|H|+ |ATG2|]2 + (1− ξ2)(1 − η2)λmin(S1[β, ς, ν,H,G1, G2])R2 −
− [|H|+ |ATG2|],
|∆B| 6 min
{
√
1− ξ2
2
λmin(S1[β, ς, ν,H,G1, G2])
|D|
η,
1
R1
[
√
|G2B|2 + (1− ξ2)λmin(S1[β, ς, ν,H,G1, G2])R1 − |G2B|
]}
, (14)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 21
R1 =
|H +G2B|+ 2ξ2
∣
∣
∣
∣
G2b+
1
2
βc
∣
∣
∣
∣
2
ξ2λmin(S1[β, ς, ν,H,G1, G2])
+ |G2|
(
1 +
1
α2
)
,
R2 =
|G2B|+ 2ξ2
(
|D|2 +
∣
∣
∣
∣
G2b+
1
2
βc
∣
∣
∣
∣
2)
ξ2λmin(S1[β, ς, ν,H,G1, G2])
+ |G2|+ α2.
0 < ξ < 1, 0 < η < 1, α — произвольные постоянные. Тогда система (1) абсолютно интер-
вально устойчива в метрике C1. Причем для произвольного решения x(t), t > 0, справед-
лива следующая оценка сходимости:
|x(t)| 6
[
√
ϕ11(H)|x(0)| +
√
ϕ12(H,G1)‖x(0)‖
2
τ,ς +
√
ϕ13(H,G2)‖
•
x(0)‖2τ,ς
]
e−γt/2,
|
•
x(t)| 6M
√
ϕ11(H)|x(0)| +
[
M
√
ϕ12(H,G1) +
|B +∆B|
|D|
]
‖x(0)‖τ +
+ (1 +M
√
ϕ13(H,G2))‖
•
x(0)‖τ e
−γt/2,
(15)
M = [|A+∆A|+ |D||b|k|c|] +
[|D(A+∆A) + (B +∆B)|+ |D||b|k|c|]
|D|[1− |D|eγτ/2]
, (16)
γ < min
γ,
2
τ
ln
1
|D|
,
θ[•]
λmax(H) +
1
2
βk|c|2
, (17)
θ[•] 6 (1− ξ2)(1− η2)λmin(S1[β, ς, ν,H,G1, G2])− 2[|H|+ |ATG2|]|∆A| −
−
|G2|+
|G2B|2 + 2ξ2
(
|D|2 + |G2b+
1
2
βc|2
)
ξ2λmin(S1[β, ς, ν,H,G1, G2])
+ α2
|∆A|2.
1. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоя-
нием равновесия. – Москва: Наука, 1978. – 400 с.
2. Нелинейные системы, частотные и матричные неравенства / Под ред. А.Х. Гелига, Г.А. Леонова,
А.Л. Фрадкова. – Москва: Физматлит, 2008. – 608 с.
3. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. – Москва; Ле-
нинград: Гостехиздат, 1951. – 251 с.
4. Айзерман М.А., Гантмахер Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. – Москва: Изд-во
АН СССР, 1963. – 261 с.
5. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Ал-
гебраические критерии. – Киев: Наук. думка, Институт математики АН УССР, 1989. – 208 с.
6. Хусаинов Д.Я., Шатырко А. В. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости дифферен-
циально-функциональных систем. – Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1997. – 236 с.
7. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: Гарантированные результаты в задачах
управления и идентификации. – Киев: Наук. думка, 2006. – 264 с.
8. El-Kebir Boukas, Zi-Kuan Liu. Deterministic and stochastic time delay systems. – Boston; Basel; Berlin:
Birkhäuser, 2002. – 423 p.
9. Liao X., Yu P. Absolute stability of nonlinear control systems. – New York: Springer Science + Business
Media B. V., 2008. – 390 p.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
10. Liu Mei-gin. Stability analysis of neutral-type nonlinear delayed systems: An LMI approach // J. Zhejiang
University. Sci. A. – 2006. – No 7. – P. 237–244.
Поступило в редакцию 31.05.2010Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
A.V. Shatyrko
Absolute interval stability of neutral-type regulator systems
By using the direct Lyapunov’s method with a Lyapunov–Krasovsky functional, the problem of
the construction of sufficient conditions for absolute interval stability is considered. Estimates of
the exponential decay of solutions of the neutral-type regulator systems with a delay argument are
obtained in the form of algebraic inequalities.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 23
|