Об экспоненциальной устойчивости комплекснозначной нейронной сети на временной шкале
Отримано достатні умови рівномірної експоненціальної стійкості в цілому стану рівноваги нейронної комплекснозначної системи на часовій шкалі. Наведено достатні умови регресивності функції системи. Ефективність отриманих достатніх умов проілюстровано на прикладі. We present new stability results for...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37209 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об экспоненциальной устойчивости комплекснозначной нейронной сети на временной шкале / А.А. Мартынюк, Т.А. Лукьянова // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 11-17. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860267683569729536 |
|---|---|
| author | Мартынюк, А.А. Лукьянова, Т.А. |
| author_facet | Мартынюк, А.А. Лукьянова, Т.А. |
| citation_txt | Об экспоненциальной устойчивости комплекснозначной нейронной сети на временной шкале / А.А. Мартынюк, Т.А. Лукьянова // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 11-17. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Отримано достатні умови рівномірної експоненціальної стійкості в цілому стану рівноваги нейронної комплекснозначної системи на часовій шкалі. Наведено достатні умови регресивності функції системи. Ефективність отриманих достатніх умов проілюстровано на прикладі.
We present new stability results for the complex-valued neural systems on time scales. The sufficient conditions of regressivity are given. The efficiency of the obtained sufficient conditions is tested by the numerical example.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:02:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
© 2011
Академик НАН Украины А.А. Мартынюк, Т. А. Лукьянова
Об экспоненциальной устойчивости комплекснозначной
нейронной сети на временной шкале
Отримано достатнi умови рiвномiрної експоненцiальної стiйкостi в цiлому стану рiв-
новаги нейронної комплекснозначної системи на часовiй шкалi. Наведено достатнi умо-
ви регресивностi функцiї системи. Ефективнiсть отриманих достатнiх умов проiлю-
стровано на прикладi.
Комплекснозначные нейронные сети широко используются для решения прикладных задач
в различных областях современных технологий, таких как оптоэлектроника, воспроизве-
дение изображений, синтез речи, машинное зрение, дистанционный сбор данных, кванто-
вые аппараты, пространственно-временной анализ физиологических нейронных аппаратов
и систем [1, 2]. Поэтому исследованию комплекснозначных нейронных сетей посвящена об-
ширная литература (см. [3, 4] и приведенную там библиографию). Задача о динамике такой
сети на временной шкале (как и задача о динамике вещественнозначной нейронной сети
на временной шкале [5–8]) является новой областью исследований и начала развиваться
только в последние годы [9]. Исследование комплекснозначной нейронной сети на времен-
ной шкале позволяет дать одновременное описание динамики таких систем в непрерывном
и дискретном случаях. Кроме того, такой подход позволяет получать новые результаты
для дискретных комплекснозначных нейронных систем, аналогичные уже известным для
непрерывного случая.
В данной работе исследуется экспоненциальная устойчивость комплекснозначной ней-
ронной сети на временной шкале. Подход, предложенный в работе [3], распространяется на
случай таких систем.
Основные определения и обозначения. Временной шкалой T называется прои-
звольное непустое замкнутое подмножество множества вещественных чисел R. Основные
понятия и теоремы математического анализа на временной шкале, такие как определения
производной и интеграла, правила дифференцирования и интегрирования, определение эк-
споненциальной функции, регрессивной, rd-непрерывной функций и пространства R+ по-
дробно изложены в работах [10, 11]. Ниже приведем только некоторые самые необходимые
понятия и определения.
Обозначим через C множество комплексных чисел. ∆-производной комплексно значной
функции z = Re z+ i Im z : T → C
n на временной шкале T будем называть функцию z∆(t) =
= (Re z(t))∆ + i(Im z(t))∆.
Функция f : T×C
n → C
n называется регрессивной, если оператор I+µ(t)f(t, ·) при всех
t ∈ T
k обратим. Здесь I : Cn → C
n — единичный оператор.
Ниже будем использовать следующие обозначения: [a,+∞)T = [a,+∞)
⋂
T при a ∈
∈ T, |ω| — модуль комплексного числа ω, ω — число, комплексно сопряженное к ω. Если
z = (z1, z2, . . . , zn)
T — вектор с комплексными компонентами, то z∗ = (z1, z2, . . . , zn), ‖z‖
2 =
= z∗z = |z1|
2+ |z2|
2 + · · ·+ |zn|
2. Если A = {aij} — матрица с комплексными элементами, то
|A| = {|aij |}, A
T = {aji}, A
∗ = {aji}, λm(A), λM (A) — наименьшее и наибольшее собствен-
ные значения матрицы A соответственно, ‖A‖ = (λM (A∗A))1/2.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 11
Рассмотрим комплекснозначную нейронную сеть, динамика которой описывается урав-
нениями вида
z∆(t) = −Bz(t) + Ts(z(t)) + u, t ∈ Tτ . (1)
Решение z(t; t0, z0) при t = t0 принимает значение z0, т. е.
z(t0; t0, z0) = z0, t0 ∈ Tτ , z0 ∈ C
n, (2)
где Tτ = [τ,+∞)T, τ ∈ T, T — произвольная временная шкала для которой supT = +∞.
В системе (1) z∆(t) — ∆-производная на временной шкале T, вектор z ∈ C
n характеризует
состояние нейронов, T = {tij} ∈ C
n×n, компоненты tij описывают связи между i-м и j-м
нейронами, s : Cn → C
n, s(z) = (s1(z1), s2(z2), . . . , sn(zn))
T, функция si описывает ответ
i-го нейрона, B = diag{b1, b2, . . . , bn} ∈ R
n×n, bi > 0, i = 1, 2, . . . , n, u ∈ C
n — постоянный
вектор внешнего входа.
Если T = R, то z∆ = dz/dt и начальная задача (1), (2) эквивалентна начальной задаче
для непрерывной комплекснозначной нейронной системы типа Хопфилда [3]
dz(t)
dt
= −Bz(t) + Ts(z(t)) + u, t > τ,
z(t0; t0, z0) = z0, t0 > τ, z0 ∈ C
n.
Если T = Z, то z∆(k) = z(k + 1) − z(k) = ∆z(k), Tτ = {τ, τ + 1, τ + 2, . . .} и начальная
задача (1), (2) эквивалентна следующей [3]:
z(k + 1) = −Bz(k) + Ts(z(k)) + u, t ∈ {τ, τ + 1, τ + 2, . . .},
z(k0; k0, z0) = z0, k0 ∈ {τ, τ + 1, τ + 2, . . .}, z0 ∈ C
n.
Относительно системы (1) введем следующие предположения.
Предположение 1. Функция f(z) = −Bz + Ts(z) + u является регрессивной.
Предположение 2. Существуют положительные постоянные li > 0, i = 1, 2, . . . , n,
такие, что при всех ̺, ω ∈ C выполнены неравенства
|si(̺)− si(ω)| 6 li|̺− ω|, i = 1, 2, . . . , n.
Если выполняются условия предположений 1 и 2, то при любых начальных данных
(t0, z0) ∈ Tτ × C
n задача (1), (2) имеет точно одно решение на [t0,+∞)T.
Условия существования единственного состояния равновесия системы (1) приведены
в работе [9].
Лемма 1. Предположим, что функция s : Cn → C
n такая, что s(0) = 0 и существует
положительная постоянная L > 0 такая, что |s(z) − s(ς)| 6 L|z − ς| при всех z, ς ∈ C
n.
Определим постоянную β = ‖I − B‖ + L‖T‖. Если β ∈ (0, 1), то система (1) имеет
единственнoе состояние равновесия.
Обозначим γ(t) = µ(t)(b + L‖T‖), b = max{b1, b2, . . . , bn}, L = max{l1, l2, . . . , ln} и дока-
жем следующее утверждение.
Лемма 2. Пусть выполненo предположениe 2 и s(0) = 0. Если γ(t) < 1 при всех t ∈ T,
то функция f(z) = −Bz + Ts(z) + u регрессивна для любого u ∈ C
n.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Доказательство. Для доказательства леммы 2 требуется показать, что отображение
F : Cn → C
n, заданное формулой F (z) = z + µ(t)(−Bz + Ts(z) + u), обратимо при каждом
фиксированном t ∈ T, т. е. что при любом фиксированном t ∈ T уравнение F (z) = w имеет
единственное решение при всех w ∈ C
n.
Зафиксируем t ∈ T. Если µ(t) = 0, то уравнение F (z) = w имеет единственное решение
z = w. Пусть теперь µ(t) 6= 0. В этом случае уравнение F (z) = w имеет единственное
решение, если и только если отображение G : Cn → C
n, заданное формулой G(z) = w −
− µ(t)(−Bz + Ts(z) + u), имеет единственную неподвижную точку.
Для любого z ∈ Sd(0), где d > (µ(t)‖u‖ + ‖w‖)/(1 − γ(t)), верны неравенства
‖G(z)‖ 6 ‖w‖ + µ(t)(‖B‖+ L‖T‖)‖z‖ + µ(t)‖u‖ 6 γ(t)d+ µ(t)‖u‖+ ‖w‖ < d,
что означает, что G(Sd(0)) ⊂ Sd(0). Покажем, что отображение G является сжимающим.
При любых z1, z2 ∈ C
n верны неравенства
‖G(z1)−G(z2)‖ = µ(t)‖ −B(z2 − z1) + T (s(z2)− s(z1)‖ 6
6 µ(t)(‖B‖+ L‖T‖)‖z2 − z1‖ 6 γ(t)‖z2 − z1‖.
Поскольку γ(t) < 1, то согласно принципу сжимающих отображений, отображение G имеет
единственную неподвижную точку. Лемма 2 доказана.
Экспоненциальная устойчивость нейронной сети. Предположим, что система (1)
имеет изолированное состояние равновесия ze.
Определение 1. Состояние равновесия z(t) ≡ ze системы (1) называется равномер-
но экспоненциально устойчивым в целом, если существует функция p ∈ R+ такая, что
ep(t, t0) → 0 при t → ∞ и существуют постоянные N = N(z0) > 0 и α > 0 такие, что
‖z(t; t0, z0) − ze‖ 6 N(ep(t, t0))
α при всех z0 ∈ C
n, t0 ∈ Tτ и t ∈ [t0,+∞)T.
Сделаем замену переменных ξ(t) = z(t) − ze и перепишем начальную задачу (1), (2)
в виде
ξ∆(t) = −Bξ(t) + Tg(ξ(t)), t ∈ Tτ ,
ξ(t0; t0, ξ0) = ξ0, t0 ∈ Tτ , ξ0 ∈ C
n,
(3)
где g(ξ) = s(ξ + ze) − s(ze).
Ясно, что поведение решения z(t) системы (1) в окрестности состояния равновесия ze
эквивалентно поведению решения ξ(t) системы (3) в окрестности нуля.
Обозначим ω(t) = (|ξ1(t)|, |ξ2(t)|, . . . , |ξn(t)|)
T, Λ = diag{l1, l2, . . . , ln} и докажем такое
вспомогательное утверждение.
Лемма 3. Если Q ∈ C
n×n, то для ∆-производной функции V (t) = ξ∗(t)Qξ(t) вдоль
решения системы (3) при всех t ∈ Tτ верно неравенство
V ∆(t)|(3) 6 ξ∗(t)A(t)ξ(t) + ω(t)TC(t)ω(t),
где
A(t) = −BQ−QB + µ(t)BQB, (4)
C(t) = Λ|T |T|Q|+ |Q||T |Λ + µ(t)(Λ|T |T|Q|B +B|Q||T |Λ) + µ(t)Λ|T |T|Q||T |Λ. (5)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 13
В частности, если Q = diag{q1, q2, . . . , qn} — диагональная матрица, то при всех t ∈ Tτ
имеет место неравенство
V ∆(t)|(3) 6 ω(t)TD(t)ω(t),
где
D(t) = A(t) + C(t). (6)
Доказательство. Обозначим ω(t) = ω, ξ(t) = ξ, µ(t) = µ, g(ξ(t)) = g, и поскольку
(ξ∗Qξ)∆ = (ξ∗)∆Qξσ + ξ∗Qξ∆ = (ξ∆)∗Qξσ + ξ∗Qξ∆ = (ξ∆)∗Q(ξ + µξ∆) + ξ∗Qξ∆ =
= (ξ∆)∗Qξ + ξ∗Qξ∆ + µ(ξ∆)∗Qξ∆,
то будем иметь равенства
V ∆(t)|(3) = (−Bξ + Tg)∗Qξ + ξ∗Q(−Bξ + Tg) + µ(−Bξ + Tg)∗Q(−Bξ + Tg) =
= −ξ∗BQξ − ξ∗QBξ + µξ∗BQBξ + g∗T ∗Qξ + ξ∗QTg − µg∗T ∗QBξ −
− µξ∗BQTg + µg∗T ∗QTg = ξ∗[−BQ−QB + µBQB]ξ + 2Re{ξ∗QTg} −
− 2µRe{ξ∗BQTg}+ µg∗T ∗QTg.
Рассмотрим отдельно второе из слагаемых:
Re{ξ∗QTg} 6 |ξ∗QTg| = |
∑
ν,k,j
ξνqνktkjgj | 6
∑
ν,k,j
|ξν ||qνk||tkj||gj | 6
6
∑
ν,k,j
|ξν ||qνk||tkj |lj|ξj | = ωT|Q||T |Λω.
Оценив аналогичным способом третье и четвертое слагаемые, для ∆-производной функции
V (t) = ξ∗(t)Qξ(t) вдоль решения системы (3) получим оценку
V ∆(t)|(3) 6 ξ∗[−BQ−QB + µ(t)BQB]ξ + 2ωT|Q||T |Λω +
+ 2µωTB|Q||T |Λω + µωTΛ|T |T|Q||T |Λω 6 ξ∗A(t)ξ + ωTC(t)ω,
что и требовалось доказать.
Если матрица Q диагональная, то матрица A(t) также диагональная и
V ∆(t)|(3) 6 ξ∗A(t)ξ + ωTC(t)ω = A(t)ξ∗ξ + ωTC(t)ω = A(t)ωTω + ωTC(t)ω =
= ωTA(t)ω + ωTC(t)ω = ωTD(t)ω.
Лемма 3 доказана.
Сформулируем теперь достаточные условия экспоненциальной устойчивости.
Теорема 1. Пусть выполняются условия предположений 1 и 2. Если существует по-
ложительно определенная эрмитова матрица Q ∈ C
n×n, для которой функция
p(t) =
λM (A(t)) + λM (C(t))
λm(Q)
, t ∈ Tτ ,
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
где матрицы A(t) и C(t) задаются формулами (4) и (5), такова, что p ∈ R+
и lim
t→∞
ep(t, t0) = 0, то состояние равновесия z(t) ≡ ze системы (1) равномерно экспо-
ненциально устойчиво в целом.
Доказательство. Обозначим через ξ(t) произвольное решение системы (3) и рассмо-
трим функцию V (ξ) = ξ∗Qξ. Для ∆-производной функции V (ξ(t)) вдоль решения систе-
мы (3) в силу леммы 3 верны неравенства
V ∆(ξ(t))|(3) 6 ξ∗(t)A(t)ξ(t) + ω(t)TC(t)ω(t) 6 λM (A(t))ξ∗(t)ξ(t) + λM (C(t))ωTω =
= [λM (A(t)) + λM (C(t))]‖ξ(t)‖2 6
λM (A(t)) + λM (C(t))
λm(Q)
V (ξ(t)) = p(t)V (ξ(t)).
Отсюда, в соответствии с теоремой 6.1 из монографии [11], при всех t ∈ [t0,+∞)T, t0 ∈ Tτ ,
получаем оценку
V (ξ(t)) 6 V (ξ0)ep(t, t0),
или
ξ∗(t)ξ(t) 6 V (ξ0)λ
−1
m (Q)ep(t, t0),
откуда и следует равномерная экспоненциальная устойчивость в целом нулевого состояния
равновесия системы (3).
Теорема 2. Пусть выполняются условия предположений 1 и 2. Если существует по-
ложительно определенная эрмитова матрица Q = diag{q1, q2, . . . , qn} ∈ C
n×n, для которой
функция p(t) = λM (D(t))λm(Q)−1, где матрица D(t) задается формулой (6), такова, что
p ∈ R+ и lim
t→∞
ep(t, t0) = 0, то состояние равновесия z(t) ≡ ze системы (1) равномерно
экспоненциально устойчиво в целом.
П р и м е р . На произвольной временной шкале T рассмотрим двухкомпонентную комплексно-
значную нейронную сеть вида
z∆1 (t) = −b1z1(t) + t11s(z1(t)) + t12s(z2(t)) + u1,
z∆2 (t) = −b2z2(t) + t21s(z1(t)) + t22s(z2(t)) + u2,
(7)
где z1, z2 ∈ C, s(u) = thu, b1 = b2 = 0,1, u1 = −0,0243 + 0,2667i, u2 = −0,1659 + 0,0895i и
T =
(
0,0208 + 0,0208i −0,0416 + 0,0208i
0,0625− 0,0416i −0,0208 + 0,0208i
)
.
Система (7) имеет состояние равновесия ze = (0,3756 + 2,4541i; −1,4066 + 0,0724i)T.
Учитывая, что l1 = l2 = 1, L = 1, ‖T ‖ = 0,0913, γ(t) = 0,1913µ(t), условие регрессивности
функции f(z) примет вид µ(t) < 5,2247.
Выберем матрицу Q = I и вычислим матрицы
|T | =
(
0,0294 0,0465
0,0751 0,0294
)
,
A(t) =
(
−0,2 + 0,01µ(t) 0
0 −0,2 + 0,01µ(t)
)
,
C(t) =
(
0,0589 + 0,0137µ(t) 0,1217 + 0,1260µ(t)
0,1217 + 0,1260µ(t) 0,0589 + 0,0095µ(t)
)
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 15
Для временной шкалы T = R функция зернистости µ(t) ≡ 0 и
D(t) =
(
−0,1293 0,1217
0,1217 −0,1293
)
.
Поскольку λM (D(t)) = −0,0075, будем иметь функцию p(t) = −0,075 и ep(t, t0) = ep(t−t0) =
= e−0,0075(t−t0) → 0. Так как выполнены все условия теоремы 2, то состояние равновесия z(t) ≡ ze
системы (7) равномерно экспоненциально устойчиво в целом.
Для временной шкалы T = Z функция зернистости µ(t) ≡ 1 и
A(t) =
(
−0,19 0
0 −0,19
)
, C(t) =
(
0,0589 0,1217
0,1217 0,0589
)
.
Так как λM (A(t)) + λM (C(t)) = −0,0093, то будем иметь функцию p(t) = −0,0093 и ep(t, t0) = (1 +
+ p)t−t0 = 0,9907t−t0 → 0. При этом выполнены все условия теоремы 1 и, следовательно, состояние
равновесия z(t) ≡ ze системы (7) равномерно экспоненциально устойчиво в целом.
Заметим, что применить теорему 4.4 из работы [9] для исследования уравнений (7) не представ-
ляется возможным, поскольку ψ = −0,2 + β−1 + 0,0913β > 0 при всех β > 0.
Таким образом, в данной работе, в рамках обобщенного второго метода Ляпунова, полу-
чены достаточные условия равномерной экспоненциальной устойчивости в целом состояния
равновесия комплекснозначной нейронной сети. Кроме того, получены достаточные усло-
вия регрессивности функции −Bz(t) + Ts(z(t)) + u. В качестве примера рассмотрена двух-
компонентная нейронная сеть, которая не может быть исследована на основе результатов
работы [9].
1. Lee D.-L. Complex-valued neural associative memories: network stability and learning algorithm // Com-
plex-valued neural networks. V of Series on innovative intelligence. – River Edge, NJ: World Publ., 2003. –
P. 29–55.
2. Complex-valued neural networks: Theories and applications // V of the Series on innovative intelligence /
Ed. A. Hirose. – River Edge, NJ: World Publ., 2003. – 388 p.
3. Complex-valued neural networks: utilizing high-dimensional parameters / Ed. T. Nitta. – Pennsylvania,
USA: Information Science Reference, 2009. – 504 p.
4. Rao V. S.H., Murthy G.R. Global dynamics of a class of complex valued neural networks // Int. J. Neural
Syst. – 2008. – 18, No 2. – P. 165–171.
5. Chen A., Du D. Global exponential stability of delayed BAM network on time scale // Neurocomputing. –
2008. – 71. – P. 3582–3588.
6. Li Y., Chen X., Zhao L. Stability and existence of periodic solutions to delayed Cohen-Grossberg BAM
neural networks with impulses on time scales // Ibid. – 2009. – 72. – P. 1621–1630.
7. Мартынюк А.А., Лукьянова Т.А. Об устойчивости нейронной сети на временной шкале // Доп. НАН
України. – 2010. – № 1. – С. 21–26.
8. Лукьянова Т.А., Мартынюк А.А. Об асимптотической устойчивости нейронной сети на временной
шкале // Нелiнiйнi коливання. – 2010. – 13, № 3. – С. 346–360.
9. Bohner M., Rao V. S. H., Sanyal S. Global stability of complex-valued neural networks on time scales //
Missouri University of Science and Technology, USA. – 2009. – 11 p. – Manuscript.
10. Бохнер М., Мартынюк А.А. Элементы теории устойчивости А.М. Ляпунова для динамических урав-
нений на временной шкале // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 9. – С. 3–27.
11. Bohner M., Peterson A. Dynamic equations on time scales: an introduction with applications. – Boston:
Birkhäuser, 2001. – 358 p.
Поступило в редакцию 20.05.2010Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Academician of the NAS of Ukraine A.A. Martynyuk, T. A. Lukyanova
On exponential stability of a complex-valued neural network on the
time scale
We present new stability results for the complex-valued neural systems on time scales. The sufficient
conditions of regressivity are given. The efficiency of the obtained sufficient conditions is tested by
the numerical example.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 17
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37209 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:02:37Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартынюк, А.А. Лукьянова, Т.А. 2012-09-30T15:17:45Z 2012-09-30T15:17:45Z 2011 Об экспоненциальной устойчивости комплекснозначной нейронной сети на временной шкале / А.А. Мартынюк, Т.А. Лукьянова // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 11-17. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37209 517.929 Отримано достатні умови рівномірної експоненціальної стійкості в цілому стану рівноваги нейронної комплекснозначної системи на часовій шкалі. Наведено достатні умови регресивності функції системи. Ефективність отриманих достатніх умов проілюстровано на прикладі. We present new stability results for the complex-valued neural systems on time scales. The sufficient conditions of regressivity are given. The efficiency of the obtained sufficient conditions is tested by the numerical example. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Об экспоненциальной устойчивости комплекснозначной нейронной сети на временной шкале On exponential stability of a complex-valued neural network on the time scale Article published earlier |
| spellingShingle | Об экспоненциальной устойчивости комплекснозначной нейронной сети на временной шкале Мартынюк, А.А. Лукьянова, Т.А. Математика |
| title | Об экспоненциальной устойчивости комплекснозначной нейронной сети на временной шкале |
| title_alt | On exponential stability of a complex-valued neural network on the time scale |
| title_full | Об экспоненциальной устойчивости комплекснозначной нейронной сети на временной шкале |
| title_fullStr | Об экспоненциальной устойчивости комплекснозначной нейронной сети на временной шкале |
| title_full_unstemmed | Об экспоненциальной устойчивости комплекснозначной нейронной сети на временной шкале |
| title_short | Об экспоненциальной устойчивости комплекснозначной нейронной сети на временной шкале |
| title_sort | об экспоненциальной устойчивости комплекснозначной нейронной сети на временной шкале |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37209 |
| work_keys_str_mv | AT martynûkaa obéksponencialʹnoiustoičivostikompleksnoznačnoineironnoisetinavremennoiškale AT lukʹânovata obéksponencialʹnoiustoičivostikompleksnoznačnoineironnoisetinavremennoiškale AT martynûkaa onexponentialstabilityofacomplexvaluedneuralnetworkonthetimescale AT lukʹânovata onexponentialstabilityofacomplexvaluedneuralnetworkonthetimescale |