Відновлення функціональної залежності часових рядів в умовах коротких вибірок
Розглянуту задачу відновлення функціональної залежності часових рядів від індексу часу у випадку короткої вибірки даних. Запропоновано підхід поетапного виділення регресійної компоненти, що базується на алгоритмах послідовної побудови регресійних рівнянь раціональної складності із використанням різн...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37210 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Відновлення функціональної залежності часових рядів в умовах коротких вибірок / Н.Д. Панкратова, О. Г. Зражевський // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 36-42. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859863939491299328 |
|---|---|
| author | Панкратова, Н.Д. Зражевський, О.Г. |
| author_facet | Панкратова, Н.Д. Зражевський, О.Г. |
| citation_txt | Відновлення функціональної залежності часових рядів в умовах коротких вибірок / Н.Д. Панкратова, О. Г. Зражевський // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 36-42. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуту задачу відновлення функціональної залежності часових рядів від індексу часу у випадку короткої вибірки даних. Запропоновано підхід поетапного виділення регресійної компоненти, що базується на алгоритмах послідовної побудови регресійних рівнянь раціональної складності із використанням різної апріорної інформації. Доведено рівномірну збіжність емпіричного функціоналу ризику до теоретичного у випадку, коли параметризований клас функцій регресорів задовольняє умову Гьольдера та частково покритий скінченною ε-сіткою за деякими із своїх параметрів.
The problem of the retrieval of the functional dependence of time series on the time index is considered in the case of short samples. The approach of step-by-step extraction of the regression component based on the algorithm of sequential evaluation of regression equations with efficient complexity with the use of different a priori information is proposed. The uniform convergence of the empirical risk functional to the theoretical one is proved under the condition that the parametric class of regression functions obeys Hölder's condition and admits a partial covering by a finite ε-net for some of its parameters.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:47:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.6:519.81
© 2011
Н.Д. Панкратова, О. Г. Зражевський
Вiдновлення функцiональної залежностi часових рядiв
в умовах коротких вибiрок
(Представлено академiком НАН України М. З. Згуровським)
Розглянуту задачу вiдновлення функцiональної залежностi часових рядiв вiд iндексу
часу у випадку короткої вибiрки даних. Запропоновано пiдхiд поетапного видiлення ре-
гресiйної компоненти, що базується на алгоритмах послiдовної побудови регресiйних
рiвнянь рацiональної складностi iз використанням рiзної апрiорної iнформацiї. Доведено
рiвномiрну збiжнiсть емпiричного функцiоналу ризику до теоретичного у випадку, ко-
ли параметризований клас функцiй регресорiв задовольняє умову Гьольдера та частково
покритий скiнченною ε-сiткою за деякими iз своїх параметрiв.
Розглядається задача вiдновлення функцiональної залежностi часових рядiв вiд iндексу
часу у випадку короткої вибiрки даних, тобто коли кiлькiсть емпiричних даних мала по-
рiвняно iз складнiстю застосованої моделi [1]. Часовий ряд {y(t), t ∈ T} задається своїми
спостереженнями у вiдповiднi моменти часу: y(ti) = yi, ti ∈ T, i = 1, . . . , l. Припускаємо
незалежнiсть емпiричних даних, тобто часовий ряд не залежить вiд своїх значень у попе-
реднi моменти часу. В цьому випадку найпростiшою стохастичною моделлю є регресiя, що
може бути використана для моделювання та прогнозування часового ряду. Як регресори
беруться функцiї часу iз деякого, наперед заданого параметричного класу:
y(t) = f(t, α) + εt, (1)
f ∈ F = {f(·, α), α ∈ Λ}, εt — незалежнi, однаково розподiленi випадковi величини iз
математичним сподiванням Mεt = 0 та дисперсiєю Dεt < ∞.
Задача вiдновлення функцiональної залежностi (1) полягає у виборi функцiї f∗ ∈ F
та побудовi оцiнок її параметрiв α̂, при яких регресiйна модель (1) буде найкраще, в де-
якому сенсi, описувати емпiричнi данi у виглядi вiдновлювальної математичної залежностi.
Припустимо, що клас регресiйних функцiй є лiнiйним за параметром:
F =
{
a0 +
p∑
i=1
aixi(t), ai ∈ Λ, t ∈ T
}
, (2)
xi(·), i = 1, . . . , p, — функцiї часу, що належать до скiнченного, наперед заданого класу P .
Одним iз загальних пiдходiв вирiшення цiєї задачi є перебiр всiх можливих наборiв
регресорiв iз P з подальшою побудовою регресiйних рiвнянь типу (2) та знаходження оцiн-
ки для параметрiв. Останнє можна зробити, наприклад, за методом найменших квадратiв
або за методом абсолютних вiдхилень [2]. З використанням деякого критерiю якостi порiв-
нюються побудованi регресiйнi рiвняння та вибирається з них найкраще в сенсi заданого
критерiю [2].
На практицi, при наявностi малої кiлькостi даних, застосування наведеного пiдходу мо-
же призвести до невiрного вибору моделi, що зумовлюється функцiональною подiбнiстю
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
деяких регресорiв. Для усунення цiєї проблеми в роботi запропоновано цiлеспрямований
пiдхiд поетапного видiлення регресiйної компоненти, що базується на покрокових алгорит-
мах вибору набору регресорiв з урахуванням специфiки дослiджуваних часових рядiв. За
запропонованим пiдходом на кожному кроцi використовується не весь клас регресорiв P ,
а його пiдмножина.
Наведемо покроковий алгоритм вибору набору регресорiв.
Алгоритм 1.
1. Розбиваємо клас всiх регресорiв на скiнченну кiлькiсть пiдкласiв P = P1
⋃ · · ·⋃Pm,
для яких вводимо iєрархiчну структуру. Тобто, i+1-й клас має перевагу перед i-м з точки
зору можливостi його застосування до аналiзу даних: Pi+1 ≻ Pi.
2. Будуємо оцiнки параметрiв для регресiйного рiвняння iз регресорами, що належать
до P1.
3. Вибираємо оптимальний в сенсi деякого критерiю набiр регресорiв з першого класу:
P ∗
1 ⊂ P1.
4. Аналiзуємо залишки побудованого регресiйного рiвняння з точки зору наявностi за-
лишку корисної iнформацiї. Якщо останнє справджується, то переходимо до п. 5. Iнакше
використовуємо побудовану регресiйну модель для моделювання та прогнозування.
5. Використовуючи залишки регресiйного рiвняння з п. 4 як новi iсторичнi данi (вiдгук),
повторюємо кроки 2–4. При цьому застосовуємо набори регресорiв з P2.
6. Проходимо кроки 2–5 необхiдну кiлькiсть раз. Кiнцева модель записується як лiнiйна
комбiнацiя вiдповiдних регресiйних рiвнянь.
Як критерiй в п. 3 для вибору набору регресорiв запропоновано використовувати статис-
тичнi критерiї якостi побудованого регресiйного рiвняння, або їх зважене середнє. Прикла-
дами таких критерiїв є тести Фiшера, Стьюдента, Дурбiна–Ватсона, тест на основi методу
складного ножа [2]. Висновок щодо необхiдностi переходу до п. 5 запропоновано робити
на основi статистики Дурбiна–Ватсона. Так, зокрема, доведено, що у випадку, коли тест
Дурбiна–Ватсона стверджує про автокорельованiсть залишкiв першого регресiйного рiв-
няння iз додатною автокореляцiєю, як функцiї з P2 можна взяти функцiї часу z(t), якi
задовольняють таку умову:
z(t+ 1) = qz(t)− z(t− 1), t ∈ T, 0 6 q 6 2. (3)
При цьому оцiнка середньоквадратичної похибки разом iз оцiнкою автокореляцiї залишкiв
другого регресiйного рiвняння не збiльшаться порiвняно з вiдповiдними статистиками пер-
шого регресiйного рiвняння, що зумовлено такою теоремою.
Теорема 1. Розглянемо регресiйну модель
y(t) = a1 + b1x(t) + ε(t), r(t) = a2 + b2z(t) + η(t), t = 1, . . . , N,
ε(t) та η(t) — випадковi похибки, що задовольняють умови L2-регресiї; x(t), z(t) — ре-
гресори, причому z(t + 1) = qz(t) − z(t − 1), 0 6 q 6 2; r(t) = y(t) − ŷ(t) — залишки
першого регресiйного рiвняння при застосуваннi до нього МНК: ŷ(t) = â1+ b̂1x(t), причому
∧
Corr(r(j + 1), r(j)) > 0; u(t) = r(t) − r̂(t) — залишки другого регресiйного рiвняння при
застосуваннi до нього МНК: r̂(t) = â2 + b̂2z(t). Тодi:
1) S2
u 6 S2
r ;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 37
2) |Corr(u(t + 1), u(t))| 6 Corr(r(t + 1), r(t)) при умовi, що
q
2
Corr(z(j), r(j))2
2− Corr(z(j), r(j))2
6 Corr(r(j + 1), r(j)) 6
q
2
.
Як приклад застосування алгоритму 1 до аналiзу часових рядiв можна розглянути ре-
гресiйну модель (1), (2) з таким класом регресорiв:
P = P1
⋃
P2,
P1 = {x1(t) = tαk , αk ∈ [α,α], k = 1, . . . ,K1},
P2 = {x2(t) = sin(βkt), x3(t) = cos(βkt), βk ∈ (0, π/2), k = 1, . . . ,K2}.
(4)
Очевидно, що функцiї з класу P2 (4) задовольняють умову (3) iз q = 2cos(βk) ∈ (0, 2). Таким
чином, на основi аналiзу автокорельованостi залишкiв пiсля видiлення тренду за алгорит-
мом 1 приймається рiшення про необхiднiсть видiлення циклiчної складової. При цьому, за
теоремою 1, середньоквадратична похибка разом iз автокореляцiєю не збiльшаться.
Запропонований пiдхiд поетапного видiлення регресiйної компоненти дозволяє на прак-
тицi контролювати рацiональну складнiсть моделi, що в умовах коротких вибiрок зменшує
ймовiрнiсть перезгладження. Одним iз недолiкiв даного пiдходу є необхiднiсть апрiорно за-
давати клас регресорiв, а припущення щодо класу функцiональних залежностей (2) iстотно
обмежують спектр його застосування. Крiм того, критерiї з п. 3 алгоритму 1 базуються на
асимптотичних властивостях дослiджуваних статистик i їх використання в умовах коротких
вибiрок може призвести до недостовiрних висновкiв. Для усунення зазначених недолiкiв
можливий iнший пiдхiд до задачi вiдновлення функцiональної залежностi, який базується
на теорiї рiвномiрної збiжностi емпiричного функцiоналу ризику до теоретичного (пiдхiд
Вапнiка) [1, 3, 4].
Розглядаємо регресiйне рiвняння (1) iз f ∈ F = {f(·, α), α ∈ Λ} — деякого апрiорно
заданого, не обов’язково лiнiйного, класу функцiй часу. Введемо теоретичний функцiонал
ризику вигляду
I(α) = M(y(t)− f(t, α))2. (5)
Задача вiдновлення функцiональної залежностi по вибiрцi (y1, t1), . . . , (yl, tl) полягає у зна-
ходженнi α∗ ∈ Λ, при якому теоретичний функцiонал ризику набуває мiнiмального значен-
ня. За теорiєю Вапнiка, ця задача зводиться до мiнiмiзацiї емпiричного функцiоналу ризику
Ie(α) =
1
l
l∑
i=1
(yi − f(ti, α))
2 (6)
за умови рiвномiрної збiжностi
P{sup
α
|I(α) − Ie(α)| > κ} < η(l, κ), lim
l→∞
η(l, κ) = 0. (7)
Зауважимо, що умова (7) задає ступiнь близькостi мiнiмумiв функцiоналiв (6) та (7) при
умовi коротких вибiрок. Надалi припускатимемо, що виконується умова обмеженостi мож-
ливих викидiв:
sup
α,y,t
(y(t)− f(t, α))2 6 τ. (8)
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Подальше розв’язання задачi вiдновлення функцiональної залежностi потребує встанов-
лення умов рiвномiрної збiжностi (7) та визначення її швидкостi. Ця задача була розв’язана
у випадках, коли клас функцiй F є скiнченний, може бути покритий скiнченною ε-сiткою
або має скiнченну ємнiсть (розмiрнiсть Вапнiка–Червоненкiса) [1, 3, 4].
В данiй роботi розглянуто випадок, коли клас F не задовольняє жодну згадану умову,
проте може бути наближений iншим класом функцiй, який має скiнченну ємнiсть. Так,
наприклад, якщо функцiї з класу F задовольняють умову Гьолдера, то вони можуть бути
наближенi полiномами Бернштейна [5]:
Bn(f ; t̃) =
n∑
k=0
f
(
k
n
)
Ck
n t̃
k(1− t̃)n−k, t̃ ∈ [0, 1] (9)
або полiномами Рогозинського [5]
Rn(f ; t̃) =
1
2π
2π∫
0
f(t̃− x)
sin
π
2n
cos x− cos
π
2n
cosnx dx, t̃ ∈ [0, 1]. (10)
Доведено, що полiномiальний клас функцiй та клас тригонометричних полiномiв мають
скiнченну ємнiсть, яка визначається їх степенями [6].
Результати стосовно рiвномiрної збiжностi у випадку, коли клас F належить до класу
гьолдерових функцiй, сформульованi в такiй теоремi.
Теорема 2. Нехай множина функцiй F = {f(t, α), t ∈ (0, 1], α ∈ Λ} є нескiнченним кла-
сом неперервних функцiй, якi задовольняють умову Гьольдера порядку γ з константою c.
Виконується умова (8). Тодi має мiсце рiвномiрна збiжнiсть (7) та з ймовiрнiстю 1− η
виконується
I(α) < Ie(α) + ε+ 2τ
√√√√√(n(ε) + 1)
(
ln
2l
n(ε) + 1
+ 1
)
− ln
η
9
l
, (11)
де n(ε) визначається залежно вiд того, яким класом функцiй були наближенi функцiї
з F , а саме:
1) n(ε) =
[(−√
τ +
√
τ + ε/2
c
2
5
)−2/γ 1
4
]
+ 1 — степiнь полiнома Бернштейна (9),
2) n(ε) =
[(
A(γ)
−√
τ +
√
τ + ε/2
)1/γ]
+1 — степiнь полiнома Рогозинського (10), де [·] —
цiла частина.
Доведення теореми базується на результатах рiвномiрної збiжностi для класу функцiй зi
скiнченною ємнiстю та теоремах про наближення функцiй iз класу Гьольдера полiномами
Бернштейна та Рогозинського.
Iснування рiвномiрної збiжностi для класу функцiй f ∈ F = {f(·, ~α), ~α ∈ Λ}, що може бу-
ти покритий скiнченною ε-сiткою за параметром ~α, який в загальному випадку є вектором,
доведено в [1]. В данiй роботi розглянута задача вiдновлення функцiональної залежностi
у випадку часткового покриття F ε — сiткою. Припустимо, що ~α = (a, α) i при фiксованому
значеннi α iснує скiнченна ε-сiтка для Fα. В цьому разi також можна встановити iснування
рiвномiрної збiжностi та встановити одностороннi границi для середнього ризику (5).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 39
Теорема 3. Нехай множина функцiй F = {f(t, a, α), t ∈ (0, 1], a ∈ Λa, α ∈ Λα} покри-
та скiнченною ε-сiткою за параметром α: {f(t, a, α1), f(t, a, α2), . . . , f(t, a, αN(εα))}, а за
параметром a (при фiксованому значеннi α) або має скiнченну ємнiсть, або є нескiнчен-
ним класом неперервних функцiй, якi задовольняють умову Гьольдера. Нехай виконується
умова (8). Тодi має мiсце рiвномiрна збiжнiсть (7). Крiм того:
1) якщо Fα = {f(t, a, α), t ∈ (0, 1], a ∈ Λa} має скiнченну ємнiсть h при довiльному
фiксованому значеннi α ∈ Λα, то з ймовiрнiстю 1 − η виконується
I(ae, αe) < Ie(ae, αi(αe)) + 2τ
√√√√√h
(
ln
2l
h
+ 1
)
+ lnn(εα)− ln
η
9
l
+ 2εα
√
τ ; (12)
2) якщо Fα = {f(t, a, α), t ∈ (0, 1], a ∈ Λa} задовольняє умову Гьольдера порядку γ
з константою c при довiльному фiксованому значеннi α ∈ Λα, то з ймовiрнiстю 1 − η
виконується
I(ae, αe) < Ie(ae, αi(αe)) + 2τ
√√√√ (n(ε)+1) ln
2l
n(ε)+1
+ lnn(εα)− ln
η
9
l
+ ε+ 2εα
√
τ , (13)
I(ae, αe) = M(y(t)− f(t, ae, αe))
2, де f(t, ae, αe) — функцiя, яка мiнiмiзує емпiричний функ-
цiонал (6); Ie(ae, αi(αe)) =
1
l
l∑
i=1
(yi − f(ti, ae, αi(αe))
2, де f(t, ae, αi(αe)) — найближчий до
f(t, ae, αe) елемент ε-сiтки; n(ε) — степiнь полiнома Бернштейна або полiнома Рогозин-
ського, визначений в теоремi 2.
Доведення теореми 3 проводиться за аналогiєю з доведенням рiвномiрної збiжностi у ви-
падку, коли клас функцiй може бути покритий скiнченною ε-сiткою [1].
Зауважимо, що задача мiнiмiзацiї емпiричного ризику не завжди є тривiальною, зокрема
у випадку, коли параметр α входить до функцiї f(t, a, α) нелiнiйно. Наступний результат
стверджує, що за умов теореми 3 задача пошуку оцiнок параметрiв може бути зведена
до мiнiмiзацiї Ie(a, α) лише за a, при умовi, що оцiнка параметра α шукається лише на
елементах ε-сiтки.
Наслiдок. За умов теореми 3 з ймовiрнiстю 1 − η виконується
I(ae, αe) < min
j∈{1,...,n(εα)}
Ie(ae(j), αj) + κ+ 4εα
√
τ , (14)
де ae(j) = argmin
a
Ie(a, αj); κ — другий доданок правої частини рiвняння (12) або сума
другого та третього доданкiв (13).
У роботi в межах запропонованого пiдходу будується алгоритм вибору моделi рацiо-
нальної складностi iз класом регресорiв F , що задовольняє умови першого твердження
теореми 3. За цим алгоритмом для довiльного значення параметра a клас функцiй Fa =
= {f(t, a, α), α ∈ Λα} покривається скiнченною ε-сiткою за параметром α. При кожному
елементi ε-сiтки до класу функцiй {f(t, a, αi), a ∈ Λa} застосовується метод впорядкованої
мiнiмiзацiї ризику [1].
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Алгоритм 2.
1. Для довiльного значення параметра a клас функцiй {f(·, a, α), α ∈ Λα} покривається
скiнченною εα-сiткою за параметром α: {f(·, a, α1), f(·, a, α2), . . . , f(·, a, αn(εα))}.
2. Вводиться на кожному класi функцiй F (αj) = {f(·, a, αj), a ∈ Λa}, j = 1, . . . , n(εα)
структура F1(αj) ⊂ F2(αj) ⊂ · · · ⊂ Fv(αj) з вiдповiдними скiнченними ємностями: h1 <
< h2 < · · · < hv.
3. Для кожного значення n(εα) (iз деякого наперед заданого набору) в класi Fi(αj),
j = 1, . . . , n(εα), i = 1, . . . , ν знаходимо f(t, ae(j
∗(i∗, n∗)), αj∗(i∗,n∗)), яка мiнiмiзує оцiнку
середнього ризику (14).
Запропонований алгоритм, зокрема, можна застосувати до вiдновлення функцiональної
залежностi (1) у випадку, коли клас регресiйних функцiй F задається так:
F = {f(t, a, α), t ∈ [t0, 1], a ∈ Λa, α ∈ [α,α]},
f(t, a, α) = a0 + tαPn(t) = a0 + tα(a1 + · · ·+ an+1t
n),
a = (a0, a1, . . . , an+1) ∈ Λa, n ∈ N
⋃{0}.
(15)
Якщо ввести скiнченну ε-сiтку за параметром α таким чином: αi = α+i∆, i = 0, . . . , n(εα)−
− 1, n(εα) = (α− α)/∆+ 1, то максимальну вiдстань мiж двома найближчими елементами
ε-сiтки можна оцiнити виразом εα := A
∆
e
n∑
k=0
1
α+ k
, де A = max{ sup
a∈Λa
|a1|, . . . , sup
a∈Λa
|an+1|}.
Клас функцiй Fα, визначених (15), при фiксованому значеннi параметра α ∈ [α,α] має
ємнiсть n + 2 [6].
За другим кроком алгоритму 2 введемо структуру на класi функцiй Fα:
Fi = {a0 + tαPj(t), j ∈ {0, . . . , i}, t ∈ [t0, 1]}, i = 1, . . . , ν.
При фiксованому значеннi α ∈ [α,α] ємнiсть класу Fi дорiвнює i + 2 та, за наслiдком iз
теореми 2, має мiсце оцiнка:
I(ae, αe) < min
j∈{0,...,n(εα)−1}
Ie(ae(j), αj) +
+ 2τ
√√√√√(i+ 2)
(
ln
2l
i+ 2
+ 1
)
+ lnn(εα)− ln
η
9
l
+ 4
√
τA
α− α
en(εα)
i∑
k=0
1
α+ k
. (16)
Оптимальна в сенсi алгоритму 2 функцiя знаходиться iз умови мiнiмiзацiї правої части-
ни (16).
Запропонований в роботi пiдхiд до вiдновлення функцiональної залежностi (1) iз апрiор-
но заданим класом регресорiв був застосовуваний до аналiзу та прогнозування показникiв
банкiвської дiяльностi у випадку малої кiлькостi емпiричних даних (iсторичний перiод на
мiсячнiй основi становив 1 рiк). Для цього прикладу застосування алгоритму 1 iз класом
регресорiв (4) полягає у поетапному видiленнi на першому етапi трендової складової, яка
може слугувати основою для стратегiчного планування вiдповiдного показника банкiвської
дiяльностi, на другому етапi — визначення присутностi сезонної компоненти та її видiлен-
ня. Використання другого алгоритму iстотно покращує якiсть прогнозування (в порiвнянi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 41
з фактичними даними), оскiльки в ньому клас регресорiв було розширено при збережен-
нi якостi регресування. Крiм того, припущення щодо рiвномiрної збiжностi емпiричного
функцiоналу ризику до теоретичного дозволяє уникнути перезгладження. Використання
часткового покриття ε-сiткою за нелiнiйним параметром значно спрощує алгоритм прак-
тичної мiнiмiзацiї емпiричного ризику. Таким чином, другий алгоритм доповнює та узагаль-
нює перший i може слугувати як функцiональне наповнення систем прогнозування часових
рядiв у випадку коротких вибiрок. Використання полiномiального класу регресорiв є стан-
дартним. Доведенi в роботi теореми встановлюють границi застосування полiномiального
регресування з точки зору апроксимацiї функцiй з класу Гьольдера додатно визначеними
узагальненими полiномами в умовах коротких вибiрок.
1. Vapnik V. Estimation of dependences based on empirical data. – New York: Springer, 1982. – 399 p.
2. Rawlings J., Pantula S., Dickey D., Applied regression analysis – a research tool. – New York: Springer,
1998. – 671 p.
3. Anthony M., Shawe-Taylor J. A result of Vapnik with applications // Discrete Appl. Math. – 1993. – 47
(3). – P. 207–217.
4. Vayatis N., Azencott R. Distribution-dependent Vapnik–Chervonenkis bounds // Lecture Notes in Com-
puter Science. – 1999. – 1572. – P. 230–240.
5. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – Москва: Наука,
1977. – 512 с.
6. Anthony M. Discrete mathematics of neural networks: selected topics. – Philadelphia, PA: SIAM, 2001. –
131 p.
Надiйшло до редакцiї 15.04.2010Iнститут прикладного системного аналiзу
НТУ України “Київський полiтехнiчний iнститут”
N.D. Pankratova, О. G. Zrazhevsky
Retrieval of the functional dependence of time series in the case of short
samples
The problem of the retrieval of the functional dependence of time series on the time index is
considered in the case of short samples. The approach of step-by-step extraction of the regression
component based on the algorithm of sequential evaluation of regression equations with efficient
complexity with the use of different a priori information is proposed. The uniform convergence of
the empirical risk functional to the theoretical one is proved under the condition that the parametric
class of regression functions obeys Hölder’s condition and admits a partial covering by a finite ε-net
for some of its parameters.
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37210 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:47:41Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Панкратова, Н.Д. Зражевський, О.Г. 2012-09-30T15:29:25Z 2012-09-30T15:29:25Z 2011 Відновлення функціональної залежності часових рядів в умовах коротких вибірок / Н.Д. Панкратова, О. Г. Зражевський // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 36-42. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37210 519.6:519.81 Розглянуту задачу відновлення функціональної залежності часових рядів від індексу часу у випадку короткої вибірки даних. Запропоновано підхід поетапного виділення регресійної компоненти, що базується на алгоритмах послідовної побудови регресійних рівнянь раціональної складності із використанням різної апріорної інформації. Доведено рівномірну збіжність емпіричного функціоналу ризику до теоретичного у випадку, коли параметризований клас функцій регресорів задовольняє умову Гьольдера та частково покритий скінченною ε-сіткою за деякими із своїх параметрів. The problem of the retrieval of the functional dependence of time series on the time index is considered in the case of short samples. The approach of step-by-step extraction of the regression component based on the algorithm of sequential evaluation of regression equations with efficient complexity with the use of different a priori information is proposed. The uniform convergence of the empirical risk functional to the theoretical one is proved under the condition that the parametric class of regression functions obeys Hölder's condition and admits a partial covering by a finite ε-net for some of its parameters. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Відновлення функціональної залежності часових рядів в умовах коротких вибірок Retrieval of the functional dependence of time series in the case of short samples Article published earlier |
| spellingShingle | Відновлення функціональної залежності часових рядів в умовах коротких вибірок Панкратова, Н.Д. Зражевський, О.Г. Інформатика та кібернетика |
| title | Відновлення функціональної залежності часових рядів в умовах коротких вибірок |
| title_alt | Retrieval of the functional dependence of time series in the case of short samples |
| title_full | Відновлення функціональної залежності часових рядів в умовах коротких вибірок |
| title_fullStr | Відновлення функціональної залежності часових рядів в умовах коротких вибірок |
| title_full_unstemmed | Відновлення функціональної залежності часових рядів в умовах коротких вибірок |
| title_short | Відновлення функціональної залежності часових рядів в умовах коротких вибірок |
| title_sort | відновлення функціональної залежності часових рядів в умовах коротких вибірок |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37210 |
| work_keys_str_mv | AT pankratovand vídnovlennâfunkcíonalʹnoízaležnostíčasovihrâdívvumovahkorotkihvibírok AT zraževsʹkiiog vídnovlennâfunkcíonalʹnoízaležnostíčasovihrâdívvumovahkorotkihvibírok AT pankratovand retrievalofthefunctionaldependenceoftimeseriesinthecaseofshortsamples AT zraževsʹkiiog retrievalofthefunctionaldependenceoftimeseriesinthecaseofshortsamples |