Нелинейные нормальные формы автоколебаний механических систем с конечным числом степеней свободы
Запропоновано варіант методу нелінійних нормальних форм для дослідження автоколивань механічних систем з скінченним числом степеней вільності. При побудові нелінійних нормальних форм одна узагальнена координата та одна швидкість вибираються як незалежні змінні. Як приклад досліджена динаміка пластин...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37217 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нелинейные нормальные формы автоколебаний механических систем с конечным числом степеней свободы / К.В. Аврамов, Е.А. Стрельникова // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 43-48. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860178496031031296 |
|---|---|
| author | Аврамов, К.В. Стрельникова, Е.А. |
| author_facet | Аврамов, К.В. Стрельникова, Е.А. |
| citation_txt | Нелинейные нормальные формы автоколебаний механических систем с конечным числом степеней свободы / К.В. Аврамов, Е.А. Стрельникова // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 43-48. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Запропоновано варіант методу нелінійних нормальних форм для дослідження автоколивань механічних систем з скінченним числом степеней вільності. При побудові нелінійних нормальних форм одна узагальнена координата та одна швидкість вибираються як незалежні змінні. Як приклад досліджена динаміка пластинки, що взаємодіє з рідиною.
A version of the method of nonlinear normal modes of self-sustained vibrations of finite-degree-of-freedom mechanical systems is suggested. One general coordinate and one general velocity are taken as independent variables to construct nonlinear normal modes. As an example, a plate interacting with moving fluid is considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:01:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2011
МЕХАНIКА
УДК 531.39
© 2011
К.В. Аврамов, Е.А. Стрельникова
Нелинейные нормальные формы автоколебаний
механических систем с конечным числом степеней
свободы
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.Е. Божко)
Запропоновано варiант методу нелiнiйних нормальних форм для дослiдження автоколи-
вань механiчних систем з скiнченним числом степеней вiльностi. При побудовi нелiнiй-
них нормальних форм одна узагальнена координата та одна швидкiсть вибираються як
незалежнi змiннi. Як приклад дослiджена динамiка пластинки, що взаємодiє з рiдиною.
Теория нелинейных нормальных форм была предложена Каудерером и Розенбергом. По-
дробное обсуждение их результатов содержится в работе [1]. Существенное развитие эта
теория получила в работах Маневича и Михлина [1], где были предложены асимптотичес-
кие процедуры для расчета нелинейных нормальных форм, а также в работах Вакакиса [2].
Нелинейные нормальные формы для систем с вязким трением рассматриваются в работах
Шоу и Пьера [3]. Развитие теории нормальных форм вынужденных и параметрических
колебаний представлено в [4, 5].
Ниже метод нелинейных нормальных форм развивается для анализа автоколебаний
механических систем с конечным числом степеней свободы.
Колебания механической системы с конечным числом степеней свободы опишем сле-
дующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
η̈ +Aη̇ +Bη = f(η, η̇), (1)
где η = {η1, η2, . . . , ηN} — вектор обобщенных координат; A = {αkj}; B = {βkj} — матри-
цы, элементы которых не зависят от времени и обобщенных координат; f = {f1, . . . , fN} —
нелинейная вектор-функция обобщенных координат, которая содержит только кубические
слагаемые относительно обобщенных координат: fj =
N
∑
l,r,p=1
G
(j)
lrpηlηrηp; j = 1, . . . , N . Пред-
положим, что динамическая система (1) содержит тривиальное состояние равновесия η = 0,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 43
которое теряет устойчивость вследствие бифуркации Хопфа, и от этого состояния равнове-
сия ответвляются автоколебания. Эти движения исследуются в дальнейшем. Автоколеба-
ния представим в виде нелинейной нормальной формы Шоу–Пьера [3, 6]:
ηj = Rj = aj1ηk + aj2η̇k +Rj(ηk, η̇k);
η̇j = F j = aN+j,1ηk + aN+j,2η̇k + Fj(ηk, η̇k),
j = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , N,
(2)
где aj1; aj2; aN+j,1; aN+j,2 — неизвестные коэффициенты. В качестве независимых координат
выбраны ηk, η̇k. Нелинейные функции Rj , Fj представим так:
Rj(ηk, η̇k) = δ
(j)
1 η3k + δ
(j)
2 η2kη̇k + δ
(j)
3 ηkη̇
2
k + δ
(j)
4 η̇3k + · · · ;
Fj(ηk, η̇k) = ε
(j)
1 η3k + ε
(j)
2 η2kη̇k + ε
(j)
3 ηkη̇
2
k + ε
(j)
4 η̇3k + · · · .
(3)
Определим коэффициенты линейной части нелинейной нормальной формы (2) aj,1; aj,2;
aN+j,1; aN+j,2. Для этого рассмотрим линейную часть системы (1), которую представим так:
ż = Γz, (4)
где z = [z1, . . . , z2N ] = [η, η̇]. Решение системы (4) запишем следующим образом:
z =
N
∑
j=1
[Θ2jW2j exp(λ2jt) + Θ2j−1W2j−1 exp(λ2j−1t)]. (5)
Здесь λi, Wi — собственные значения и собственные векторы матрицы Γ; λ2j = λ2j−1; W2j =
= W 2j−1; Θ2j = Θ2j−1 — константы интегрирования. Автоколебания, возникающие вслед-
ствие бифуркации Хопфа, наблюдаются, если пара комплексно-сопряженных собственных
значений матрицы Γ принимает вид λ1,2 = ±iχ1. Решение системы (4) около точки бифур-
кации Хопфа на центральном многообразии представим так:
z = Θ2W2 exp(λ2t) + Θ1W1 exp(λ1t), (6)
где W1 = γ1− iδ1; γ1 = [γ
(1)
1 ; . . . ; γ
(2N)
1 ]; δ1 = [δ
(1)
1 ; . . . ; δ
(2N)
1 ]; Θ1 = K
(1)
1 − iK
(2)
1 ; λ1 = α1− iψ1.
Два элемента ηk, η̇k вектора z запишем в виде
ηk = γ
(k)
1 ϑ1(t) + δ
(k)
1 ϑ2(t); η̇k = γ
(N+k)
1 ϑ1(t) + δ
(N+k)
1 ϑ2(t), (7)
где
ϑ1(t) = 2 exp(α1t)[K
(1)
1 cosψ1t−K
(2)
1 sinψ1t];
ϑ2(t) = −2 exp(α1t)[K
(1)
1 sinψ1t+K
(2)
1 cosψ1t].
Остальные элементы решений (6) принимают вид
ηi = γ
(i)
1 ϑ1(t) + δ
(i)
1 ϑ2(t); η̇i = γ
(N+i)
1 ϑ1(t) + δ
(N+i)
1 ϑ2(t);
i = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , N.
(8)
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Решая совместно уравнения (7) и (8), получаем линейную часть нелинейной нормальной
формы (2). Ее коэффициенты определяются следующим образом:
ai1 =
γ
(i)
1 δ
(N+k)
1 − δ
(i)
1 γ
(N+k)
1
γ
(k)
1 δ
(N+k)
1 − δ
(k)
1 γ
(N+k)
1
; ai2 =
γ
(i)
1 δ
(k)
1 − δ
(i)
1 γ
(k)
1
γ
(N+k)
1 δ
(k)
1 − δ
(N+k)
1 γ
(k)
1
;
i = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , N,N + 1, . . . , N + k − 1, N + k + 1, . . . , 2N.
(9)
Итак, линейная часть нелинейной нормальной формы (2) найдена. Теперь определим не-
линейную часть нормальной формы.
Уравнения в частных производных, описывающие нелинейную нормальную форму (2),
представим так [3]:
(
aj1 +
∂Rj
∂η1
)
η̇1 +
(
aj2 +
∂Rj
∂η̇1
)
{
N
∑
l,r,p=1
G
(1)
lrpηlηrηp −
N
∑
µ=1
α1µη̇µ −
N
∑
µ=1
β1µηµ
}
∣
∣
∣
∣
∣
ηj=Rj ;η̇j=F j
=
= aN+j,1η1 + aN+j,2η̇1 + Fj(η1, η̇1);
{
N
∑
l,r,p=1
G
(j)
lrpηlηrηp −
N
∑
µ=1
αjµη̇µ −
N
∑
µ=1
βjµηµ
}∣
∣
∣
∣
∣
ηj=Rj ;η̇j=F j
=
(
aN+j,1 +
∂Fj
∂η1
)
η̇1 + (10)
+
(
aN+j,2 +
∂Fj
∂η̇1
)
{
N
∑
l,r,p=1
G
(1)
lrpηlηrηp −
N
∑
µ=1
α1µη̇µ −
N
∑
µ=1
β1µηµ
}
∣
∣
∣
∣
∣
ηj=Rj ;η̇j=F j
;
j = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , N,
где в фигурные скобки обоих уравнений вводятся соотношения (2). В дальнейшем учтем
соотношение
{
N
∑
l,r,p=1
G
(j)
lrpηlηrηp
}∣
∣
∣
∣
∣
ηj=Rj ;η̇j=F j
= Γ
(j)
1 η31 + Γ
(j)
2 η21 η̇1 + Γ
(j)
3 η1η̇
2
1 + Γ
(j)
4 η̇31 + · · · . (11)
Значения параметров Γ
(j)
i здесь не приводятся для краткости.
Система уравнений в частных производных (10) решается приравниванием слагаемых
при одинаковых степенях η
j1
1 η̇
j2
1 [3]. Приравнивая слагаемые при η1 и η̇1, получим систе-
му нелинейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов линейной части
нелинейной нормальной формы:
aj1 − χ1aj2 = aN+j,2; −ς1aj2 = aN+j,1;
χ1aN+j,2 − aN+j,1 −
N
∑
µ=2
αjµaN+µ,2 −
N
∑
µ=2
βjµaµ,2 = αj1;
ς1aN+j,2 −
N
∑
µ=2
αjµaN+µ,1−
N
∑
µ=2
βjµaµ,1 = βj1; j = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , N,
(12)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 45
где χ1 =
N
∑
j=2
α1jaN+j,2 +
N
∑
j=2
β1jaj2 + α11; ς1 =
N
∑
j=2
α1jaN+j,1 +
N
∑
j=2
β1jaj1 + β11. Неизвестные
системы (12) определяются из соотношений (9). Поэтому систему (12) можно не решать;
она служит для проверки правильности расчетов по формулам (9).
Теперь в системе (10) приравняем слагаемые при η31 ; η
2
1 η̇1; η1η̇
2
1; η̇
3
1 . В результате полу-
чим систему 8(N − 1) линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов
функций (3) [δ
(2)
1 ; δ
(2)
2 ; . . . ; ε
(N)
3 ; ε
(N)
4 ]:
ε
(j)
1 + aj2
N
∑
µ=2
α1µε
(µ)
1 + aj2
N
∑
µ=2
β1µδ
(µ)
1 + ς1δ
(j)
2 = aj2Γ
(1)
1 ;
ε
(j)
4 + 3χ1δ
(j)
4 − δ
(j)
3 + aj2
N
∑
µ=2
β1µδ
(µ)
4 + aj2
N
∑
µ=2
α1µε
(µ)
4 = aj2Γ
(1)
4 ;
ε
(j)
2 + χ1δ
(j)
2 + 2ς1δ
(j)
3 − 3δ
(j)
1 + aj2
N
∑
µ=2
β1µδ
(µ)
2 + aj2
N
∑
µ=2
α1µε
(µ)
2 = aj2Γ
(1)
2 ;
ε
(j)
3 + 2χ1δ
(j)
3 + 3ς1δ
(j)
4 − 2δ
(j)
2 + aj2
N
∑
µ=2
β1µδ
(µ)
3 + aj2
N
∑
µ=2
α1µε
(µ)
3 = aj2Γ
(1)
3 ;
−ς1ε
(j)
2 +
N
∑
µ=2
(αjµ − aN+j,2α1µ)ε
(µ)
1 +
N
∑
µ=2
(βjµ − aN+j,2β1µ)δ
(µ)
1 = Γ
(j)
1 − aN+j,2Γ
(1)
1 ;
ε
(j)
3 −3χ1ε
(j)
4 +
N
∑
µ=2
(αjµ−aN+j,2α1µ)ε
(µ)
4 +
N
∑
µ=2
(βjµ−aN+j,2β1µ)δ
(µ)
4 = Γ
(j)
4 −aN+j,2Γ
(1)
4 ;
3ε
(j)
1 − χ1ε
(j)
2 − 2ς1ε
(j)
3 +
N
∑
µ=2
(βjµ − aN+j,2β1µ)δ
(µ)
2 +
N
∑
µ=2
(αjµ − aN+j,2α1µ)ε
(µ)
2 = Γ
(j)
2 − aN+j,2Γ
(1)
2 ;
2ε
(j)
2 − 2χ1ε
(j)
3 − 3ς1ε
(j)
4 +
N
∑
µ=2
(αjµ − aN+j,2α1µ)ε
(µ)
3 +
N
∑
µ=2
(βjµ − aN+j,2β1µ)δ
(µ)
3 =
= Γ
(j)
3 − aN+j,2Γ
(1)
3 ; j = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , N.
(13)
Решая систему линейных алгебраических уравнений (13), определим нелинейную нормаль-
ную форму (2), (3).
Теперь по результатам расчета нелинейной нормальной формы исследуем движение на
ней. Для этого уравнения (2), (3) введем в k-е уравнение системы (1). В результате получим
следующий автономный осциллятор с одной степенью свободы:
η̈k + χ1η̇k + ς1ηk = C1η
3
k + C2η
2
kη̇k + C3ηkη̇
2
k + C4η̇
3
k, (14)
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Рис. 1. Бифуркационная диаграмма системы
где Cr = Γ(1)
r −
N
∑
j=2
(α1jε
(j)
r + β1jδ
(j)
r ); r = 1, . . . , 4. Для исследования движений в осцилля-
торе (14) воспользуемся методом гармонического баланса; колебания системы представим
так: ηk = A cos(ωt). Следуя методу гармонического баланса, получим систему нелинейных
алгебраических уравнений относительно A и ω:
A3(3C1 + ω2C3)− 4ς1A+ 4Aω2 = 0; A3(ωC2 + 3ω3C4)− 4χ1Aω = 0.
Эта система сводится к биквадратному уравнению относительно ω2: 3C4ω
4+ω2(C2+χ1C3−
− 3ς1C4) + (3χ1C1 − ς1C2) = 0.
Предложенный подход применялся для исследования автоколебаний шарнирно-опер-
той пластинки, находящейся в потоке несжимаемой, невязкой жидкости, которая двигается
с постоянной скоростью V . Движения пластинки разлагались по собственным формам ее
линейных колебаний. В результате применения метода Бубнова–Галеркина к уравнениям
Кармана получена система с конечным числом степеней свободы (1). Рассчитывались нели-
нейные нормальные формы автоколебаний при различных значениях чисел Маха. Резуль-
таты расчета представлены на бифуркационной диаграмме (рис. 1), где показана зависи-
мость чисел Маха M от амплитуды колебаний A. При M = 0,0452 наблюдается бифуркация
Хопфа; состояние равновесия η = 0 теряет устойчивость и в системе возникают автоколеба-
ния. Амплитуды этих автоколебаний показаны на рис. 1. Для подтверждения правильности
определения нелинейных нормальных форм проводилось прямое численное интегрирование
системы уравнений (1). Результаты расчета показаны на рис. 1 ромбами. Наблюдается хо-
рошее совпадение результатов прямого численного интегрирования и данных, полученных
методом нелинейных нормальных форм.
Итак, в работе предложен подход для анализа автоколебаний механических систем с ко-
нечным числом степеней свободы. В математическом отношении применение этого подхода
сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений, что значительно проще
применения метода гармонического баланса, который сводится к системе нелинейных ал-
гебраических уравнений. Существенным преимуществом предлагаемого метода является
возможность его применения к системами с десятками степеней свободы.
Работа частично поддержана Фондом фундаментальных исследований Украины в рамках
проекта Ф28/257.
1. Маневич Л.И., Михлин Ю.В., Пилипчук В.Н. Метод нормальных колебаний для существенно не-
линейных систем. – Москва: Наука, 1989. – 240 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 47
2. Vakakis A., Manevitch L., Mikhlin Y. et al. Normal modes and localization in nonlinear systems. – New
York: Wiley, 1996. – 552 p.
3. Shaw S., Pierre C. Normal modes for nonlinear vibratory systems // J. Sound and Vibration. – 1993. –
No 164. – P. 85–124.
4. Аврамов К.В. Применение нелинейных нормальных форм к анализу вынужденных колебаний //
Прикл. механика. – 2008. – № 11. – С. 45–51.
5. Аврамов К.В. Нелинейные нормальные формы параметрических колебаний // Доп. НАН України. –
2008. – № 11. – С. 41–47.
6. Аврамов К.В., Пьерр К., Ширяева Н.С. Нелинейные нормальные формы колебаний систем с гиро-
скопическими силами // Там само. – 2006. – № 11. – С. 7–10.
Поступило в редакцию 12.05.2010Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
K.V. Avramov, E.A. Strel’nikova
Nonlinear normal modes of self-sustained vibrations of
finite-degree-of-freedom mechanical systems
A version of the method of nonlinear normal modes of self-sustained vibrations of finite-degree-of-
freedom mechanical systems is suggested. One general coordinate and one general velocity are taken
as independent variables to construct nonlinear normal modes. As an example, a plate interacting
with moving fluid is considered.
48 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37217 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:01:00Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Аврамов, К.В. Стрельникова, Е.А. 2012-09-30T16:17:29Z 2012-09-30T16:17:29Z 2011 Нелинейные нормальные формы автоколебаний механических систем с конечным числом степеней свободы / К.В. Аврамов, Е.А. Стрельникова // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 43-48. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37217 531.39 Запропоновано варіант методу нелінійних нормальних форм для дослідження автоколивань механічних систем з скінченним числом степеней вільності. При побудові нелінійних нормальних форм одна узагальнена координата та одна швидкість вибираються як незалежні змінні. Як приклад досліджена динаміка пластинки, що взаємодіє з рідиною. A version of the method of nonlinear normal modes of self-sustained vibrations of finite-degree-of-freedom mechanical systems is suggested. One general coordinate and one general velocity are taken as independent variables to construct nonlinear normal modes. As an example, a plate interacting with moving fluid is considered. Работа частично поддержана Фондом фундаментальных исследований Украины в рамках проекта Ф28/257. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Нелинейные нормальные формы автоколебаний механических систем с конечным числом степеней свободы Nonlinear normal modes of self-sustained vibrations of finite-degree-of-freedom mechanical systems Article published earlier |
| spellingShingle | Нелинейные нормальные формы автоколебаний механических систем с конечным числом степеней свободы Аврамов, К.В. Стрельникова, Е.А. Механіка |
| title | Нелинейные нормальные формы автоколебаний механических систем с конечным числом степеней свободы |
| title_alt | Nonlinear normal modes of self-sustained vibrations of finite-degree-of-freedom mechanical systems |
| title_full | Нелинейные нормальные формы автоколебаний механических систем с конечным числом степеней свободы |
| title_fullStr | Нелинейные нормальные формы автоколебаний механических систем с конечным числом степеней свободы |
| title_full_unstemmed | Нелинейные нормальные формы автоколебаний механических систем с конечным числом степеней свободы |
| title_short | Нелинейные нормальные формы автоколебаний механических систем с конечным числом степеней свободы |
| title_sort | нелинейные нормальные формы автоколебаний механических систем с конечным числом степеней свободы |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37217 |
| work_keys_str_mv | AT avramovkv nelineinyenormalʹnyeformyavtokolebaniimehaničeskihsistemskonečnymčislomstepeneisvobody AT strelʹnikovaea nelineinyenormalʹnyeformyavtokolebaniimehaničeskihsistemskonečnymčislomstepeneisvobody AT avramovkv nonlinearnormalmodesofselfsustainedvibrationsoffinitedegreeoffreedommechanicalsystems AT strelʹnikovaea nonlinearnormalmodesofselfsustainedvibrationsoffinitedegreeoffreedommechanicalsystems |