Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического диска
У рамках теорії малих пружно-пластичних деформацій запропоновано спосіб розрахунку методом малого параметра можливої втрати стійкості плоского кругового диска, що обертається. Підтверджено формулу для обчислення критичної кутової швидкості обертання диска із нестискуваного матеріалу. A way of calcul...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37218 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического диска / Д.М. Лила // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 49-53. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860055219010797568 |
|---|---|
| author | Лила, Д.М. |
| author_facet | Лила, Д.М. |
| citation_txt | Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического диска / Д.М. Лила // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 49-53. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | У рамках теорії малих пружно-пластичних деформацій запропоновано спосіб розрахунку методом малого параметра можливої втрати стійкості плоского кругового диска, що обертається. Підтверджено формулу для обчислення критичної кутової швидкості обертання диска із нестискуваного матеріалу.
A way of calculating a possible stability loss by a rotating plane circular disc is suggested within the theory of small elastoplastic deformations and the small parameter method. The formula for calculating the critical angular velocity of rotation of an incompressible disc is verified.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:00:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2011
Д.М. Лила
Эксцентричная форма потери устойчивости
вращающегося упруго-пластического диска
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
У рамках теорiї малих пружно-пластичних деформацiй запропоновано спосiб розрахун-
ку методом малого параметра можливої втрати стiйкостi плоского кругового диска,
що обертається. Пiдтверджено формулу для обчислення критичної кутової швидкостi
обертання диска iз нестискуваного матерiалу.
Теория распределения напряжений во вращающемся цилиндре или диске за пределом теку-
чести представляет близкую аналогию с теорией поля напряжений в толстостенной трубе
или плоском кольце. Если последняя предусматривает возникновение пластических дефор-
маций на внутренней поверхности трубы (внутренней контурной окружности кольца) из
упругого материала вследствие значительного внутреннего давления, то в случае враще-
ния причиной появления пластической зоны являются растягивающие центробежные силы.
Увеличение частоты вращения сопровождается потерей устойчивости диска.
Рассмотрение вопроса об определении критической угловой скорости вращения для кру-
глых дисков из несжимаемого материала и изучение потери несущей способности сплошных
дисков приводится в работах [1, 2] и др. Изучению самоуравновешенной формы потери
устойчивости сплошных и кольцевых дисков посвящены публикации [3]. В данной работе
излагается основанный на методе возмущений [4] способ определения критической скорости
вращения однородного и изотропного плоского кругового диска при произвольном коэф-
фициенте Пуассона. Вид возмущения контурной окружности диска предполагает эксцен-
тричную форму потери устойчивости. Приводится сравнительный анализ результатов.
Постановка задачи. Рассмотрим случай, когда уравнение внешней границы диска
после потери устойчивости с точностью до бесконечно малых первого порядка может быть
представлено в виде [1, 2, 4]
r = b+ d cos θ, d = const,
или
ρ = 1 + δ cos θ, (1)
где b — радиус невозмущенного диска (радиус контурной окружности); ρ = r/b — безраз-
мерный текущий радиус; δ — малый параметр; θ — полярный угол (рис. 1). Предел теку-
чести материала диска обозначим σs, модуль упругости — E, плотность — γ, коэффициент
Пуассона — ν, угловую скорость вращения — ω, текущий радиус пластической зоны — r0.
Требуется для описываемой зависимостью (1) формы потери устойчивости диска по-
лучить в первом приближении характеристическое уравнение для критического радиуса
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 49
Рис. 1. Эксцентричная форма потери устойчивости кругового диска
пластической зоны r0∗ и определить соответствующую величину критической угловой ско-
рости вращения ω∗.
Получение характеристического уравнения Возмущенное состояние, приводящее
к потере устойчивости вращающегося кругового диска по данному сценарию, можно счи-
тать инициированным малыми возмущениями, вид которых определен решениями соот-
ветствующих линеаризованных дифференциальных уравнений для неподвижной упругой
кольцевой пластины, нагруженной периодическими по θ неуравновешенными усилиями на
контуре. Анализ этих зависимостей [4] с учетом условия равновесия указанных нагрузок
в системе с возникшей в центре диска сосредоточенной силой показывает, что в общем виде
уравнениям для возмущений можно удовлетворить, если считать, что
σ′e
ρρ = (2Aρ+ (3m+ 1)Bρ−1
− 2Cρ−3) cos θ,
σ′e
θθ = (6Aρ− (m− 1)Bρ−1 + 2Cρ−3) cos θ,
σ′e
ρθ = (2Aρ− (m− 1)Bρ−1
− 2Cρ−3) sin θ,
u′e =
σs
E
(
m− 3
m
Aρ2 +
(m+ 1)(3m − 1)
m
B ln ρ+
m+ 1
m
Cρ−2
)
cos θ,
(2)
где m = ν−1, σ′e
ρρ, σ′e
θθ и σ′e
ρθ — возмущения первого порядка малости соответствующих
компонент напряжения, отнесенные к σs; u
′e — возмущение первого порядка малости ра-
диального смещения, отнесенное к b.
Функции (2) должны при этом удовлетворять граничные условия
σ′e
ρρ +A1u
′e = 0 при ρ = 1, (3)
σ′e
ρθ −A2
du′e
dθ
= 0 при ρ = 1, (4)
где
A1 =
2(3ν + 1)β4
0
− 6(ν + 3)
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
, A2 =
2(3ν + 1)β4
0
+ 6(1 − ν)
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
,
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
и единственное условие сопряжения (для неподвижной кольцевой пластины — граничное
условие на внутренней контурной окружности)
σ′e
ρθ = 0 при ρ = β0 :=
r0
b
. (5)
Использовавшееся при анализе самоуравновешенной формы потери устойчивости [3] второе
условие сопряжения в виде
σ′e
ρρ = σ′p
ρρ = 0 при ρ = β0
в случае эксцентричной формы потери устойчивости имеет вид тождества
σ′e
ρρ = σ′p
ρρ при ρ = β0,
так как уравновешивающая сила учтена в (2).
Удовлетворение функциями (2) условий (3), (4), (5) приводит к системе линейных одно-
родных уравнений относительно A, B и C:
2A+ (3m+ 1)B − 2C +A1
σs
E
(
m− 3
m
A+
m+ 1
m
C
)
= 0,
2A− (m− 1)B − 2C +A2
σs
E
(
m− 3
m
A+
m+ 1
m
C
)
= 0,
2β0A− (m− 1)β−1
0
B − 2β−3
0
C = 0.
(6)
Характеристическому уравнению
∆(β0) = 0, (7)
где ∆(β0) — определитель системы (6), на основе свойств определителей можно придать вид
∆1 +∆2 +∆3 = 0,
где
∆1 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 3m+ 1 −2
2 −(m− 1) −2
2β0 −(m− 1)β−1
0
−2β−3
0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −16mβ0(1− β−4
0
),
∆2 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
A1
σs
E
m− 3
m
0 A1
σs
E
m+ 1
m
2 −(m− 1) −2
2β0 −(m− 1)β−1
0
−2β−3
0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
= A1
σs
E
2(m− 1)
m
β−3
0
(1− β2
0)((m− 3)− (m+ 1)β2
0),
∆3 =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2 3m+ 1 −2
A2
σs
E
m− 3
m
0 A2
σs
E
m+ 1
m
2β0 −(m− 1)β−1
0
−2β−3
0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 51
Рис. 2. Эксцентричная форма потери устойчивости кольцевого диска
= A2
σs
E
2
m
((m+ 1)(3m + 1)β0 + 2(m− 1)2β−1
0
+ (m− 3)(3m+ 1)β−3
0
).
Разделив уравнение (7) на 16m(1 − β−4
0
), окончательно получим
σs
E
{
(m− 1)β0[−(m− 3) + (m+ 1)β2
0
]
8m2(1 + β2
0
)
A1 +
+
β0[−(m− 3)(3m+ 1)− 2(m− 1)2β2
0
− (m+ 1)(3m + 1)β4
0
]
8m2(1− β4
0
)
A2
}
− β0 = 0.
В частном случае m = 2 отсюда получается известное уравнение [1, 4] относительно
критического радиуса пластической области для круглого диска из несжимаемого мате-
риала. Единственным его корнем является β0∗ = 0. Отсюда следует вывод: если в момент
рождения пластического состояния в центре диска он не потеряет своей устойчивости по
эксцентричной форме, то возможной формой потери устойчивости при возрастающей угло-
вой скорости вращения может быть только самоуравновешенная. Соответствующую β0∗ = 0
относительную критическую угловую скорость
ω∗
q
= 1,5118, где q =
1
b
√
σs
γ
, будем называть
первой критической скоростью, а соответствующую β0∗ ∈ (0, 1) — второй критической.
Анализ результатов. Заменив сплошной диск кольцевым (рис. 2), испытывающим на
внутреннем контуре радиусом a давление P =
1
3
γω2
b3 − a3
a
со стороны вращающегося вала,
уравнение (7) можем получить таким же способом в таком же общем виде, считая, что
A1 =
2((3ν + 1)β4
0
− 3(ν + 3)) − 8β3β0 + 3ββ−1
0
((3ν + 1)β4
0
− 2(ν + 3)β2
0
− (ν + 3))ξ(β0)
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
− 4β3β−1
0
(1 + β2
0
)
,
A2 =
2((3ν + 1)β4
0
+ 3(1− ν))− 8β3β0 + 3ββ−1
0
((3ν + 1)β4
0
− 2(ν + 1)β2
0
+ (1− ν))ξ(β0)
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
− 4β3β−1
0
(1 + β2
0
)
,
ξ(β0) = −
3(ν + 3)− (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
− 8β−1(β3
− 1)− 4β3β−1
0
(1 + β2
0
)
3(ν + 3) − (3ν + 1)(2 − β2
0
)β2
0
− 4β−1
0
(2β3
− 1)(1 + β2
0
)
,
где β = a/b (в частном случае P = 0 надо положить ξ ≡ −1).
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Рис. 3. Критическая относительная угловая скорость в зависимости от
a
b
при
σs
E
= 0,01 и n = 2: 1 — первая
критическая скорость, 2 — вторая критическая скорость, 3 — критическая скорость кольцевого диска при
P = 0, 4 — критическая скорость кольцевого диска при P 6= 0 (a); при
σs
E
= 0,01 и n = 5 (б )
В этом случае при m = 2 уравнение (7) не имеет решений. Следовательно, круговой
кольцевой диск в данной постановке задачи никогда не испытает эксцентричной формы
потери устойчивости. Это значит, что кольцевой диск можно “разогнать” до большей ско-
рости, чем первая критическая для сплошного диска (рис. 3, а, б ).
Как следует из рис. 3, а, б, для этого нужно минимизировать влияние на кольцевой диск
контурного давления со стороны вращающегося вала при удовлетворительном значении
отношения внутреннего и внешнего радиусов.
1. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. О потере устойчивости вращающихся дисков // Изв. АН СССР. ОТН. –
1958. – № 1. – С. 124–125.
2. Ивлев Д.Д. О потере несущей способности вращающихся дисков, близких к круговому // Там же. –
1957. – № 1. – С. 141–144.
3. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластического тела. – Москва: Наука,
1978. – 208 с.
4. Лила Д.М., Мартынюк А.А. О потере устойчивости вращающегося упругопластического кругового
диска // Доп. НАН України. – 2011. – № 1. – С. 44–51.
Поступило в редакцию 14.04.2010Черкасский национальный университет
им. Богдана Хмельницкого
D.M. Lila
Eccentric form of stability loss of a rotating elastoplastic disc
A way of calculating a possible stability loss by a rotating plane circular disc is suggested within
the theory of small elastoplastic deformations and the small parameter method. The formula for
calculating the critical angular velocity of rotation of an incompressible disc is verified.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 53
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37218 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:00:36Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лила, Д.М. 2012-09-30T16:18:31Z 2012-09-30T16:18:31Z 2011 Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического диска / Д.М. Лила // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 49-53. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37218 531.36 У рамках теорії малих пружно-пластичних деформацій запропоновано спосіб розрахунку методом малого параметра можливої втрати стійкості плоского кругового диска, що обертається. Підтверджено формулу для обчислення критичної кутової швидкості обертання диска із нестискуваного матеріалу. A way of calculating a possible stability loss by a rotating plane circular disc is suggested within the theory of small elastoplastic deformations and the small parameter method. The formula for calculating the critical angular velocity of rotation of an incompressible disc is verified. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического диска Eccentric form of stability loss of a rotating elastoplastic disc Article published earlier |
| spellingShingle | Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического диска Лила, Д.М. Механіка |
| title | Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического диска |
| title_alt | Eccentric form of stability loss of a rotating elastoplastic disc |
| title_full | Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического диска |
| title_fullStr | Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического диска |
| title_full_unstemmed | Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического диска |
| title_short | Эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического диска |
| title_sort | эксцентричная форма потери устойчивости вращающегося упруго-пластического диска |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37218 |
| work_keys_str_mv | AT liladm ékscentričnaâformapoteriustoičivostivraŝaûŝegosâuprugoplastičeskogodiska AT liladm eccentricformofstabilitylossofarotatingelastoplasticdisc |