Розвиток хронічної форми хвороби при малих додаткових дозах зараження
Досліджено відгук біосистеми з хронічною формою хвороби на малі дози зараження однотипним вірусом. Виявлено, що на стадії майже повного одужання існує загроза летального випадку при незначній дозі додаткового зараження. Розраховано область доз додаткового зараження, які приводять до летального випад...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37226 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Розвиток хронічної форми хвороби при малих додаткових дозах зараження / М.П. Черняк // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 173-181. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37226 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-372262025-02-09T16:17:43Z Розвиток хронічної форми хвороби при малих додаткових дозах зараження The evolution of a chronical disease under a small additional dosage of infection Черняк, М.П. Біофізика Досліджено відгук біосистеми з хронічною формою хвороби на малі дози зараження однотипним вірусом. Виявлено, що на стадії майже повного одужання існує загроза летального випадку при незначній дозі додаткового зараження. Розраховано область доз додаткового зараження, які приводять до летального випадку. The paper studies the response of a biosystem with the chronic form of an infectious disease to a small additional dose of infection. It is determined that there is a risk of fatal disease at the stage of a nearly complete recovery under a small dosage of the additional infection. The domains of additional dosages, under which the biosystem perishes, are computed. 2011 Article Розвиток хронічної форми хвороби при малих додаткових дозах зараження / М.П. Черняк // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 173-181. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37226 577.31 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Біофізика Біофізика |
| spellingShingle |
Біофізика Біофізика Черняк, М.П. Розвиток хронічної форми хвороби при малих додаткових дозах зараження Доповіді НАН України |
| description |
Досліджено відгук біосистеми з хронічною формою хвороби на малі дози зараження однотипним вірусом. Виявлено, що на стадії майже повного одужання існує загроза летального випадку при незначній дозі додаткового зараження. Розраховано область доз додаткового зараження, які приводять до летального випадку. |
| format |
Article |
| author |
Черняк, М.П. |
| author_facet |
Черняк, М.П. |
| author_sort |
Черняк, М.П. |
| title |
Розвиток хронічної форми хвороби при малих додаткових дозах зараження |
| title_short |
Розвиток хронічної форми хвороби при малих додаткових дозах зараження |
| title_full |
Розвиток хронічної форми хвороби при малих додаткових дозах зараження |
| title_fullStr |
Розвиток хронічної форми хвороби при малих додаткових дозах зараження |
| title_full_unstemmed |
Розвиток хронічної форми хвороби при малих додаткових дозах зараження |
| title_sort |
розвиток хронічної форми хвороби при малих додаткових дозах зараження |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Біофізика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37226 |
| citation_txt |
Розвиток хронічної форми хвороби при малих додаткових дозах зараження / М.П. Черняк // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 173-181. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT černâkmp rozvitokhroníčnoíformihvorobiprimalihdodatkovihdozahzaražennâ AT černâkmp theevolutionofachronicaldiseaseunderasmalladditionaldosageofinfection |
| first_indexed |
2025-11-27T22:05:06Z |
| last_indexed |
2025-11-27T22:05:06Z |
| _version_ |
1849982862178123776 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
2 • 2011
БIОФIЗИКА
УДК 577.31
© 2011
М. П. Черняк
Розвиток хронiчної форми хвороби при малих
додаткових дозах зараження
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. I. Левом)
Дослiджено вiдгук бiосистеми з хронiчною формою хвороби на малi дози зараження
однотипним вiрусом. Виявлено, що на стадiї майже повного одужання iснує загроза
летального випадку при незначнiй дозi додаткового зараження. Розраховано область
доз додаткового зараження, якi приводять до летального випадку.
Математичне моделювання застосовується для дослiдження важливих задач, поставлених
сучасною медициною, таких як вiруснi iнфекцiї, зокрема гепатит В [1, 2], СНIД [3], онко-
захворювання [4] тощо.
Автором була застосована модель антивiрусного iмунного вiдгуку для вивчення подаль-
шого розвитку хронiчної форми хвороби пiсля додаткового одноразового зараження бiосис-
теми однотипним вiрусом. Увага була зосереджена на стадiї загострення хвороби, оскiльки
припускалося, що найважливiшi подiї вiдбуваються саме на цiй стадiї хвороби. Було вияв-
лено, що iснує критична доза зараження, при якiй бiосистема гине. Крива критичних доз
була розрахована для всього перiоду хронiчної форми хвороби [5].
Проте вибiрковi розрахунки на стадiї майже повного одужання бiосистеми показали, що
важливi i несподiванi особливостi виявляються саме на цiй стадiї хронiчної форми хворо-
би. Детальному аналiзу i висвiтленню цих проблем присвячена дана робота. Дослiдження
проводилось на базi математичної моделi антивiрусного iмунного вiдгуку.
1. Модель. Математична модель антивiрусного iмунного вiдгуку описується автоном-
ною системою нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь у 10-вимiрному просторi:
dφ
dt
= nl3V (C)V (E)− n1γ1V (F )
φ
φ+ L4
− n2β2V (L2 − C)
φ
φ+ L3
−
− n3γ3V (L1 −M)
φ2
φ2 + L5
+
mM8
φ+M8
+ n4β1C − αφ, (1)
dM
dt
= γ3V (L1 −M)
φ2
φ2 + L5
− α3M, (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 173
dH1
dt
= k1V (X)V (M)
M1
H2
1
+M1
H4
1
H4
1
+K1
− k3V (X)V (M)V (H1)− α1H1, (3)
dH2
dt
= k2V (X)V (M)
M2
H2
2
+M2
H4
2
H4
2
+K2
− k4V (X)V (M)V (H2)V (B2)− α2H2, (4)
dE
dt
= lk3V (X)V (M)V (H1)− l3V (C)V (E)− α5E, (5)
dB
dt
= B0k4V (X)V (M)V (H2)V (B2)− α6B, (6)
dP
dt
= P0k4V (X)V (M)V (H2)V (B2)− F0V (P )
M6
F +M6
− α7P, (7)
dF
dt
= F0V (P )
M6
F +M6
− γ1V (F )
φ
φ+ L4
− α8F, (8)
dC
dt
= β2V (L2 − C)
φ
φ+ L3
− l3V (C)V (E) − (β1 + α4)C, (9)
dX
dt
= l3V (C)V (E) + β1C + α3M − α9X, (10)
де V (Z) = Z/(1 + Z). Ця система рiвнянь повинна бути доповнена початковим станом
S0 = {φ0,M0,H0
1 ,H
0
2 , E
0, B0, P 0, F 0, C0,X0}, який пiдбирається так, щоб були виконанi
закони збереження, що доповнюють систему:
M(t) +m(t) = const ≡ L1, (11)
C(t) + c(t) = const ≡ L2, (12)
для вiруспрезентуючих клiтин у повнiй концентрацiї L1, де M позначає вiруспрезентуючi
клiтини, що провзаємодiяли з вiрусом, m — вiльнi вiруспрезентуючi клiтини; i для клiтин
ураженого органа, який включає як ураженi клiтини C, так i вiльнi вiд вiрусу клiтини c,
у загальнiй концентрацiї L2.
Основними змiнними моделi є концентрацiї вiрусiв φ, макрофагiв M , T -лiмфоцитiв —
помiчникiв H1 i H2, E-клiтин-кiлерiв, B-лiмфоцитiв, P -плазматичних клiтин, антитiл F ,
уражених вiрусом клiтин C, а також фактор ураження X.
Модель побудована на основi досвiду, набутого при дослiдженнi бiохiмiчних моделей
i напрацьованих на базi цих дослiджень методiв вивчення бiохiмiчних процесiв [6, 7]. Повний
опис моделi подано в роботi [8].
Значення параметрiв задавались на основi даних попереднiх дослiджень, у яких вивча-
лись особливостi моделi при змiнi певних параметрiв системи [9, 10], були знайденi сцена-
рiї переходу до хаосу, обчисленi точки бiфуркацiї, а також розрахована крива критичних
доз [5]. Це дозволило зразу вибрати такий стан системи за допомогою пiдбору значень па-
раметрiв, при яких чiтко виявляються закономiрнi особливостi процесiв при малих дозах
зараження бiосистеми з хронiчною формою хвороби. Значення параметрiв вибранi такими:
L1 = 3,9; L2 = 3,3; L3 = 1,25; L4 = 0,5; L5 = 0,7;
M1 = 0,04; M2 = 3,3; M6 = 0,17; K1 = 1,2; K2 = 0,3;
174 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
k1 = 1,53; k2 = 0,2; k3 = 0,016; k4 = 0,1; l = 1,7; l3 = 0,07;
n = 4; n1 = 5; n2 = 3; n3 = 5; n4 = 9; β2 = 0,035; β1 = 0,00041;
P0 = 0,3; F0 = 0,15; B0 = 0,1; γ1 = 0,0045; γ3 = 0,0035;
(13)
α = 0,0001; α1 = 0,0003; α2 = 0,0009; α3 = 0,0001; α4 = 0,00058;
α5 = 0,0024; α6 = 0,0004; α7 = 0,0003; α8 = 0,0012; α9 = 0,005;
m = 0; M8 = 0,04.
2. Розрахунок карти критичних доз при малих дозах зараження. Проаналi-
зуємо вiдгук бiосистеми з хронiчною формою хвороби на малi дози зараження однотипним
вiрусом. Пiд малими дозами зараження ми розумiємо такi, що на порядок меншi за критич-
ну. Критичною є така доза, за якої або при значеннях, вищих за неї, бiосистема гине. Роз-
рахунки проводились практично для всiх доз зараження в iнтервалi вiд нуля до критичної
протягом усього перiоду хронiчної форми хвороби, щоб не випустити суттєвого в поведiнцi
системи. Але важливi закономiрностi виявленi саме при малих дозах зараження.
Хронiчна форма хвороби є перiодичним процесом змiни станiв системи з часом, з загост-
ренням при максимальному значеннi вiрусної компоненти i майже повним одужанням при
мiнiмальному значеннi. Таким чином, математичним образом цього процесу є атрактор, або,
як запропоновано називати його в [7], адаптор, згiдно з його бiофiзичною суттю. Виберемо
за початкову точку вiдлiку на адапторi точку S0 = {φ0,M0,H0
1 ,H
0
2 , E
0, B0, P 0, F 0, C0,X0}
у стадiї загострення, близьку до максимального значення вiрусної компоненти φ:
φ0 = 0,55, M0 = 1,87, H0
1 = 2,13, H0
2 = 4,34, E0 = 0,21,
B0 = 0,65, P 0 = 0,08, F 0 = 0,60, C0 = 1,16, X0 = 1,37.
Позначимо змiну концентрацiї вiрусу в кровi при додатковому зараженнi через φa. Ця
величина може бути як додатною так i вiд’ємною, коли вживаються заходи для зменшення
концентрацiї вiрусу в кровi. Тодi повне значення концентрацiї вiрусу в кровi буде
φs = φ0 + φa. (14)
При вiд’ємному φa повинно задовольнятися спiввiдношення |φa| 6 φ0, так щоб повна
концентрацiя була завжди додатна φs
> 0. У розрахунках i на графiках зручнiше оперувати
величиною φs. Коли ми говоримо про додаткову дозу зараження, ми завжди маємо на увазi
спiввiдношення (14).
Кожному стану Si на адапторi хронiчної форми хвороби можна зiставити час T i, почи-
наючи час вiдлiку вiд T i = 0 при станi S0. В момент часу T i стан системи визначатиметься
фазовими змiнними Si(t) = {φi(t),M i(t),H i
1(t),H
i
2(t), E
i(t), Bi(t), P i(t), F i(t), Ci(t),Xi(t)},
причому {φi(t) ≡ φ(T i),M i(t) ≡ M(T i), . . .} на траєкторiї адаптора хронiчної форми хворо-
би. Часом T i ми хронометруємо рух по адаптору хронiчної форми хвороби, “прив’язуючи”
час T i до стану Si. I тодi можемо говорити про вiдповiднiсть часу T i i стану Si на адапторi.
Коли вiдбувається збурення додатковою дозою зараження, система сходить з траєкторiї
хронiчної форми хвороби i така вiдповiднiсть втрачається. T i вводиться з таких мiркувань.
У розрахунках зручно фiксувати стани перiодичного процесу не через задання значень фа-
зових змiнних у 10-вимiрному просторi, а через вiдповiднi їм моменти часу T i, який i буде
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 175
Рис. 1. Карта критичних доз на одному перiодi хронiчної форми хвороби
задаватися на графiках i в таблицi. Конкретний стан фiксуватимемо позначенням T i = 400,
або для зручностi T 400, не виписуючи конкретних значень змiнних у цьому станi. При не-
обхiдностi їх завжди можна вiдтворити.
Починаючи з T i = 0, будемо зсуватись по траєкторiї адаптора хронiчної форми хвороби
на деякий час ∆T i i в новому фiксованому станi дослiджувати реакцiю системи на додатко-
ву дозу зараження φs. Задаючи всi можливi дози зараження, так щоб повна концентрацiя
вiрусу в кровi набувала всiх можливих значень вiд нуля до критичної φc > φs
> 0, кожний
раз будемо спостерiгати за подальшим перебiгом хвороби, звертаючи особливу увагу на
асимптотичний розв’язок системи (1)–(12).
Виникає питання: як густо вибирати точки для дослiдження по T i i по φs, множина
яких є нескiнченною? Допомагають справi двi обставини:
1) властивостi системи є якiсно однаковими в певному околi точки (T i, φs), який iнколи
являє собою доволi велику область;
2) в околi критичних значень (T i, φs) властивостi системи значно змiнюються, як пра-
вило, амплiтуда коливань рiзко збiльшується, що дозволяє помiтити цю змiну при значних
кроках по ∆φs.
Результати проведених розрахункiв зведено в табл. 1 i на рис. 1, 2.
У першiй графi табл. 1 вiдображено стан системи, в якому органiзм отримує додаткове
зараження тим самим вiрусом, який призвiв до хронiчної форми хвороби. Цей стан задає-
ться вiдповiдним часом T i. У другiй графi визначено iнтервал повної концентрацiї вiрусу φs,
пов’язаний з додатковою дозою зараження φa спiввiдношенням (14), при якому бiосистема
гине. Такий же змiст мають ∆φs
2, ∆φs
3 i ∆φs
4. Вiдсутнiсть даних у зазначених графах при
деяких станах T i означає, що при цих станах вiдсутнi iнтервали летального випадку. Данi
для ∆φs
5 узято з попередньої роботи [5]. Це область високих концентрацiй вiрусу в кровi,
при яких бiосистема завжди гине.
Рис. 1 побудовано згiдно з даними табл. 1. Перша графа табл. 1 вiдповiдає осi абсцис
рис. 1. Будь-яка точка T i вiдповiдає певному стану системи. З цього стану рухаючись по
горизонтальному рядку таблицi, будуть перетнутi певнi iнтервали значень φs, яким на рис. 1
вiдповiдають областi значень φs, при яких бiосистема гине. Областi малих додаткових доз
зараження, при яких бiосистема гине, позначенi на рис. 1 римською цифрою III, закритична
область — I, область додаткового зараження, при якому система повертається на траєкторiю
попереднього стану хронiчної хвороби, — II.
176 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Таблиця 1. Iнтервали критичних доз
T
i
(стан системи)
∆φ
s
1
(малi дози)
∆φ
s
2
(малi дози)
∆φ
s
3
(малi дози)
∆φ
s
4
(малi дози)
∆φ
s
5
(критична доза)
1 2 3 4 5 6
0 > 13,35
500 > 13,43
750 > 13,24
1000 > 12,93
1500 > 12,09
2000 > 11,59
2250 > 12,06
2300 > 12,25
2400 > 12,74
2600 > 14,03
2800 > 15,45
3000 > 16,78
3200 > 17,76
3324 > 18,20
3325 0,241–0,249 > 18,20
3327 0,23–0,26 > 18,21
3330 0,21–0,28 > 18,22
3350 0,18–0,33 > 18,27
3400 0,13–0,39 > 18,41
3500 0,09–0,46 > 18,63
3600 0,07–0,48 > 18,80
3700 0,06–0,49 > 18,93
3800 0,05–0,48 > 19,02
3896 0,04–0,46 > 19,08
3897 0,04–0,14 0,16–0,46 > 19,08
3900 0,04–0,14 0,17–0,46 > 19,08
3920 0,04–0,12 0,18–0,45 > 19,09
3950 0,04–0,11 0,19–0,44 > 19,10
4000 0,04–0,10 0,19–0,43 > 19,12
4012 0,04–0,09 0,19–0,43 > 19,12
4013 0,04–0,09 0,19–0,42 1,44–1,45 > 19,13
4050 0,03–0,09 0,19–0,41 1,37–1,49 > 19,13
4100 0,03–0,08 0,19–0,40 1,30–1,49 > 19,14
4150 0,03–0,07 0,18–0,38 1,25–1,48 > 19,15
4170 0,03–0,07 0,18–0,37 1,23–1,48 > 19,15
4171 0,03–0,07 0,130–0,131 0,18–0,37 1,23–1,48 > 19,15
4180 0,03–0,07 0,124–0,136 0,18–0,37 1,22–1,47 > 19,15
4200 0,03–0,07 0,117–0,139 0,18–0,36 1,21–1,47 > 19,15
4300 0,03–0,06 0,11–0,137 0,16–0,32 1,12–1,43 > 19,16
4400 0,03–0,06 0,10–0,128 0,15–0,29 1,04–1,39 > 19,15
4500 0,03–0,05 0,09–0,10 0,14–0,26 0,97–1,34 > 19,15
4525 0,03–0,05 0,09–0,10 0,13–0,25 0,95–1,33 > 19,15
4550 0,03–0,05 0,09–0,11 0,13–0,24 0,94–1,32 > 19,14
4554 0,03–0,05 0,09–0,111 0,121–0,24 0,93–1,31 > 19,14
4555 0,03–0,05 0,09–0,24 0,93–1,31 > 19,14
4600 0,03–0,05 0,09–0,24 0,90–1,29 > 19,14
4800 0,03–0,05 0,09–0,18 0,78–1,19 > 19,13
5000 0,03–0,05 0,12–0,13 0,67–1,09 > 19,12
5007 0,03–0,05 0,123–0,127 0,67–1,09 > 19,12
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 177
Таблиця 1. Продовження
1 2 3 4 5 6
5008 0,03–0,05 0,67–1,09 > 19,12
5300 0,03–0,06 0,53–0,96 > 19,12
5500 0,03–0,08 0,44–0,87 > 19,13
5700 0,04–0,11 0,34–0,79 > 19,14
5851 0,04–0,19 0,21–0,73 > 19,14
5852 0,04–0,73 > 19,14
5900 0,05–0,71 > 19,15
6000 0,05–0,67 > 19,15
6100 0,06–0,63 > 19,15
6300 0,08–0,54 > 19,14
6400 0,09–0,49 > 19,14
6600 0,14–0,36 > 19,11
6650 0,17–0,31 > 19,10
6680 0,20–0,27 > 19,10
6688 0,224–0,244 > 19,10
6689 > 19,10
7000 > 19,01
8000 > 18,34
9000 > 16,88
10000 > 14,85
11000 > 13,21
11500 > 12,74
12000 > 12,63
12500 > 12,88
13000 > 13,34
13062 > 13,35
Щоб подати коротко результат обчислень, введемо такi позначення. Нехай Si(t) — мно-
жина всiх станiв на адапторi хронiчної форми хвороби; M(t) — множина точок асимптотич-
ного розв’язку системи, збуреної додатковим зараженням φs; P — асимптотичний розв’я-
зок, представлений точкою в фазовому просторi системи; L(φs, t) — оператор еволюцiї, який
призводить до змiни станiв системи; φs показує, що в певний час система збурюється додат-
ковим зараженням. В обчислювальному експериментi оператор еволюцiї L(φs, t) задається
автономною системою нелiнiйних диференцiальних рiвнянь. У розглянутому природному
явищi сама бiосистема з головним учасником подiй — iмунною системою, якi i здiйсню-
ють гомеостаз системи на зовнiшнє збурення у виглядi додаткового зараження φs, якраз
i є таким оператором.
Тодi головний результат (див. табл. 1, рис. 1, 2) можна подати таким чином:
L(φs, t) : Si(t) −→ M(t) =
{
Si(t), якщо φs ∈ II,
P, якщо φs ∈ I
⋃
III.
(15)
Запис (15) означає: якщо бiосистема з хронiчною формою хвороби зазнає збурень додат-
ковим зараженням у будь-якому станi Si(t) так, що концентрацiя вiрусу в кровi зростає до
значення φs, то з часом, на асимтотицi, бiосистема або повертається на попереднiй хронiчний
стан розвитку, якщо повна концентрацiя вiрусу в кровi не належить областi летальних доз,
тобто φs ∈ II, або бiосистема гине, якщо повна концентрацiя вiрусу в кровi попадає в область
летальних доз φs ∈ I
⋃
III.
178 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Рис. 2. Фрагмент карти критичних доз при малих дозах зараження
Це твердження є результатом проведених розрахункiв. Для кожного стану Si летальнi
дози розрахованi. Для всiх станiв на адапторi вони представляють певну область летальних
значень (на рис. 1 областi I i III). Потрiбно пiдкреслити, що розрахунки проведенi при
значеннях параметрiв (13). При iнших значеннях параметрiв картина може змiнитися.
Повернення траєкторiї системи до свого атрактора є важливою властивiстю кожного
атрактора (для бiосистем — адаптора [7]), який завжди має свою область притягання. По-
дiбна властивiсть у живих системах називається гомеостазом, яку здiйснюють численнi
функцiональнi пiдсистеми. Те, що бiосистема повертається до хронiчної форми хвороби,
а не до одужання, є прикрим фактом i наслiдком вибору значень параметрiв (13). У робо-
тах Г. I. Марчука [11], з посиланнями на фахiвцiв, стверджується, що лiкування хронiчної
форми хвороби є надзвичайно складною справою, що пiдтверджується цими розрахунками.
Ним було запропоновано вилiкування хронiчної форми хвороби методом загострення хворо-
би додатковою дозою зараження. Як бачимо, не для всякого стану органiзму (на адапторi)
i не при всяких характеристиках органiзму (заданих параметрами (13) у даному модельно-
му обчисленнi) це можливо. Крiм того, є загроза при такому методi натрапити на летальну
дозу додаткового зараження, що, вiдповiдно, призведе до летального наслiдку. Особливо
небезпечними в такому разi є малi дози зараження, якi, начебто, не несуть реальної за-
грози.
Можна навести приклади подiбного реагування органiзму на зовнiшнє втручання в стан
бiосистеми, яке спричинює вiдхилення вiд траєкторiї нормального функцiонування орга-
нiзму:
Перший — коли люди здають донорську кров. При нормальних (рiзних) дозах вiдбору,
навiть тi люди, якi вiдчули слабкiсть на перших хвилинах, через день, два повнiстю по-
вертаються на траєкторiю здорового стану. Коли доза вiдбору перевищує норму, рiзну для
рiзних людей, траєкторiя бiосистеми прямує до летального випадку.
Другий. При вiрусних iнфекцiях, як правило, бiосистема повертається: а) на траєкто-
рiю здорового функцiонування без негативних наслiдкiв; б) вiрусна iнфекцiя зникає, але
залишаються негативнi наслiдки — траєкторiя функцiонування органiзму дещо змiнюєть-
ся; в траєкторiя функцiонування бiосистеми змiнюється i переходить в хронiчну форму;
г) траєкторiя виходить на летальний результат.
Таким чином, спостережуванi природнi подiї пiдтверджують реальнiсть отриманих ре-
зультатiв. Це також пiдтверджує доцiльнiсть прийнятої в обчислювальному експериментi
iдеалiзацiї вiдносно одноразовостi i миттєвостi отриманої дози зараження [5].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 179
Рис. 3. Еволюцiя системи при малих дозах зараження
На рис. 3, a показано еволюцiю системи пiсля отримання малої дози зараження φs = 0,15
у станi T 4000. Пiсля такого збурення система втрачає перiодичнiсть i деякий час у системi
вiдбувається боротьба мiж вiрусом, що постiйно розмножується, та iмунною системою, яка
знешкоджує зараженi вiрусом клiтини власного органа за допомогою E-кiлерiв клiтинної
пiдсистеми i знешкоджує вiруси в кровi F -антитiлами гуморальної пiдсистеми. При φs =
= 0,15 система органiзовує достатнiй iмунний вiдгук i поновлює попереднiй перiодичний
рух. При T 4000 i φs = 0,3 (див. табл. 1) бiосистема не може стримати наростання вiрусiв
i гине.
Таким чином, у роботi розглянуто бiосистему з хронiчною формою хвороби, яка може
бути збурена додатковою дозою зараження однотипним вiрусом у будь-якiй точцi траєкторiї
хронiчної форми хвороби. Подальший перебiг хвороби дослiджено за допомогою математи-
чної моделi антивiрусного iмунного вiдгуку.
Найбiльш вражаючим результатом проведених дослiджень є те, що при хронiчнiй фор-
мi хвороби iснує загроза летального випадку саме в стадiї майже повного одужання, коли
хвороба не вiдчувається, i саме малими дозами зараження, що приводять до концентрацiї вi-
русу в кровi на порядок менше, нiж на траєкторiї хронiчної форми хвороби. Так, летальний
випадок наступає пiсля додаткового зараження при повнiй концентрацiї вiрусу в кровi 0,03,
тодi як у стадiї загострення концентрацiя вiрусу в кровi досягає 0,55 у вiдсутностi збурення
додатковою дозою зараження. Тобто якщо високi дози з областi I, якi на порядок переви-
щують максимальну концентрацiю на адапторi хронiчної форми хвороби, отримати досить
важко, то з областi III, якi на порядок меншi вiд максимальної на адапторi, — досить легко.
I це становить певну загрозу для хворого на цiй стадiї хвороби. Данi результати виявили
ряд нових проблем, якi потребують додаткових дослiджень.
1. Марчук Г.И. Простейшая математическая модель вирусного заболевания / ВЦСО АН СССР. –
Препр. – Новосибирск, 1975. – 22 с.
2. Марчук Г.И., Романюха А.А., Бочаров Г.А. Математическое моделирование противовирусного им-
мунного ответа при вирусном гепатите В // Математические вопросы кибернетики. – Москва: Наука,
1989. – Вып. 2. – С. 5–70.
3. Kirschner D. Using Mathem. to Understand HIV Imm. Dynamics // Not. AMS. – 1996. – 43, No 2. –
P. 191–202.
4. Cristini V., Lowengrub J., Nie Q. Nonlinear simulation of tumor growth // J. Math. Biol. – 2003. – 46. –
P. 191–224.
5. Черняк М.П. Розвиток хронiчної форми хвороби при додатковому одноразовому зараженнi бiосисте-
ми однотипним вiрусом // Доп. НАН України. – 2011. – № 1. – С. 157–165.
180 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
6. Гачок В.П. Кинетика биохимических процессов. – Киев: Наук. думка, 1988. – 219 с.
7. Гачок В.П. Странные аттракторы в биосистемах. – Киев: Наук. думка, 1989. – 237 с.
8. Gachok V. P., Tchernyak N. P. The mathematical modelling of the cell-mediated and humoral antivirus
immune response. 1. Self-organizing regimes // Phys. Alive. – 1995. – 3, No 1. – P. 40–49.
9. Gachok V. P., Tchernyak N.P. The chaos in the single virus infection // Ibid. – 1998. – 6, No 2. – P. 46–52.
10. Жохiн А.С., Черняк М.П. Застосування обчислень показникiв Ляпунова для дослiдження хаотичних
станiв в моделi iмунного вiдгуку // Фiзика живого. – 2005. – 13, № 2. – С. 29–40.
11. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. –
3-е изд. – Москва: Наука, 1991. – 304 с.
Надiйшло до редакцiї 19.04.2010Iнститут теоретичної фiзики
iм. М.М. Боголюбова НАН України, Київ
M. P. Tchernyak
The evolution of a chronical disease under a small additional dosage of
infection
The paper studies the response of a biosystem with the chronic form of an infectious disease to a
small additional dose of infection. It is determined that there is a risk of fatal disease at the stage
of a nearly complete recovery under a small dosage of the additional infection. The domains of
additional dosages, under which the biosystem perishes, are computed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 181
|