Квантовый хаос в круговом баллистическом бильярде с шероховатой границей
Досліджуються ефекти, пов'язані з утворенням квантового хаосу в круговому балістичному більярді з шорсткою межею. З цією метою у восьмиміліметровому радіодіапазоні вивчено спектр коливань об'ємного циліндрового резонатора, в якому створені неоднорідності на бічній поверхні. Неоднорідності...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37229 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Квантовый хаос в круговом баллистическом бильярде с шероховатой границей / Е.М. Ганапольский, Ю.В. Тарасов // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 65-70. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860012308211695616 |
|---|---|
| author | Ганапольский, Е.М. Тарасов, Ю.В. |
| author_facet | Ганапольский, Е.М. Тарасов, Ю.В. |
| citation_txt | Квантовый хаос в круговом баллистическом бильярде с шероховатой границей / Е.М. Ганапольский, Ю.В. Тарасов // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 65-70. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Досліджуються ефекти, пов'язані з утворенням квантового хаосу в круговому балістичному більярді з шорсткою межею. З цією метою у восьмиміліметровому радіодіапазоні вивчено спектр коливань об'ємного циліндрового резонатора, в якому створені неоднорідності на бічній поверхні. Неоднорідності в резонаторі розташовані випадково, а форма і розміри їх не допускають перетворення різних типів коливань. Завдяки цьому в неоднорідному резонаторі досягалася порівняно висока добротність. Виконано статистичний аналіз спектра коливань резонатора. Він показав, що розподіл міжчастотних інтервалів належить до розподілу Вігнера, тим самим експериментально встановлено, що в круговому балістичному більярді з шорсткою межею реалізуються умови квантового хаосу.
Effects related to the quantum chaos formation in a circular ballistic billiard with rough border are studied. In the 8-mm band, the oscillation spectrum of a cavity cylindrical resonator with created inhomogeneities on the lateral surface is studied. The inhomogeneities are located randomly, and their form and sizes exclude the conversions of different types of oscillations. Due to it, the comparatively high quality factor was got in a heterogeneous resonator. The statistical analysis of the resonator spectrum is executed. It is shown that the distribution of interfrequency intervals belongs to the Wigner type. It is established that, in the circular ballistic billiard with rough border, the conditions of quantum chaos are realized.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:42:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 621.773;52.021;372.40.3
© 2011
Член-корреспондент НАН Украины Е.М. Ганапольский,
Ю.В. Тарасов
Квантовый хаос в круговом баллистическом бильярде
с шероховатой границей
Дослiджуються ефекти, пов’язанi з утворенням квантового хаосу в круговому балiс-
тичному бiльярдi з шорсткою межею. З цiєю метою у восьмимiлiметровому радiодiа-
пазонi вивчено спектр коливань об’ємного цилiндрового резонатора, в якому створенi
неоднорiдностi на бiчнiй поверхнi. Неоднорiдностi в резонаторi розташованi випадково,
а форма i розмiри їх не допускають перетворення рiзних типiв коливань. Завдяки цьому
в неоднорiдному резонаторi досягалася порiвняно висока добротнiсть. Виконано статис-
тичний аналiз спектра коливань резонатора. Вiн показав, що розподiл мiжчастотних
iнтервалiв належить до розподiлу Вiгнера, тим самим експериментально встановлено,
що в круговому балiстичному бiльярдi з шорсткою межею реалiзуються умови кванто-
вого хаосу.
Проблема квантового хаоса привлекает большое внимание исследователей, поскольку она
затрагивает принципиальные вопросы квантовой механики и статистической физики, кото-
рые уже на протяжении нескольких десятилетий активно обсуждаются в многочисленных
работах (см. [1, 2] и приведенную там литературу). Понятие квантового хаоса объединяет
широкий круг задач, связанных с квантово-механическим описанием систем, проявляющих
хаотические свойства в классическом пределе. Система, в которой имеет место квантовый
хаос, — это, прежде всего, классически неинтегрируемая система, в которой отсутству-
ют какие-либо интегралы движения, кроме интеграла энергии. Гамильтониан такой сис-
темы может быть представлен в виде вещественной симметричной случайной матрицы,
принадлежащей одному из трех типов гауссовых ансамблей: ортогональному, унитарно-
му или симплектическому. Ввиду случайного характера элементов этой матрицы, спектр
системы является хаотическим, и положение спектральной линии на частотной шкале яв-
ляется случайным. Поэтому частота спектральной линии, в данном случае, не имеет глу-
бокого физического смысла. Универсальная информация о спектре содержится в других
его характеристиках, таких как вероятностное распределение межчастотных интервалов,
спектральная жесткость и коэффициенты корреляции между спектральными линиями.
В регулярных, интегрируемых в классическом смысле, системах коэффициенты корре-
ляции между спектральными линиями равны нулю, а межчастотные интервалы (s) рас-
пределены в соответствии с законом Пуассона, p(s) = exp(−s), где p(s) — вероятность ин-
тервала длиной s. При этом вероятность малых межчастотных интервалов в спектре таких
систем достаточно велика.
Если же система является классически неинтегрируемой, квантовый хаос в ней прояв-
ляется в том, что спектральные линии оказываются скоррелированными, а распределение
межчастотных интервалов в спектре с ростом его хаотической составляющей приближает-
ся к распределению Вигнера, p(s) = (π/2)s exp[−(π/4)s2]. Уменьшение вероятности малых
межчастотных интервалов при этом интерпретируется как расталкивание спектральных
линий, возникающее вследствие их корреляции. Для адекватного теоретического описания
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 65
спектра таких систем обычно используется теория случайных матриц (ТСМ), принципы
которой детально изложены в хорошо известных работах [3, 4].
Важным обстоятельством, способствующим прогрессу в экспериментальных исследова-
ниях квантового хаоса, оказалась возможность использовать для этих целей модельные сис-
темы в виде специальных микроволновых резонаторов [2, 5]. Электромагнитное поле в та-
ких резонаторах описывается уравнением Гельмгольца, которое для резонаторов определен-
ной формы (квазидвумерных объемных резонаторов) совпадает со скалярным уравнением
Шредингера и удовлетворяет граничным условиям Дирихле или Неймана, в зависимости
от поляризации колебаний в резонаторе. Если форма резонатора подобна неустойчивому
бильярду, например, бильярду Синая [6] или Бунимовича [7], то в нем, благодаря неустой-
чивости лучевых траекторий, складываются условия, необходимые для реализации кван-
тового хаоса. Изучая особенности частотного спектра такого резонатора, можно сделать
заключения о хаотических свойствах неустойчивых квантовых бильярдоподобных систем,
соответствующих микроволновому резонатору.
Целью настоящей работы является выяснение возможности реализации квантового хао-
са в системе, отличной от системы, подобной бильярду Синая или Бунимовича. Речь идет
о круговом баллистическом бильярде, в котором нет областей локальной неустойчивости
в виде регулярных вогнутых границ, таких как в бильярде Синая, но на границе бильярда
имеются неоднородности в виде случайных шероховатостей. Бильярды с шероховатой гра-
ницей рассматривались в работах [8, 9] с точки зрения квантовой эргодичности и возмож-
ности наблюдения в них динамической локализации.
В качестве модельного объекта нами был использован объемный квазиоптический ци-
линдрический резонатор, имеющий форму кругового цилиндра со случайными неодноро-
дностями на его боковой поверхности. Квазиоптичность резонатора и относительно малые
размеры неоднородностей позволяют отнести такой резонатор к системам баллистического
типа. При этом в резонаторе были созданы условия, при которых в нем возбуждалась лишь
одна мода колебаний ТЕ типа с минимальным коэффициентом преобразования ее в другие
моды. Чувствительность этой моды к шероховатостям боковой стенки резонатора заметно
выше чувствительности ТМ колебаний. Кроме того, размеры неоднородностей были выбра-
ны достаточно малыми по сравнению с радиусом резонатора. Уравнение Гельмгольца для
электромагнитного поля ТЕ колебаний в резонаторе приводится к стационарному уравне-
нию Шредингера, в котором неоднородности на боковой стенке учитываются с помощью
эффективного потенциала [10]
(Ĥ + V̂ )ψ = Eψ, (1)
где Ĥ — оператор электромагнитного поля в пустом резонаторе; V̂ — эффективный потен-
циал; ψ — собственная функция, соответствующая резонансной частоте ωr ∝
√
E; E —
собственное значение полного волнового оператора. В потенциал V̂ входит связанная с ше-
роховатостями стенки случайная функция ζ(ϕ), которая описывает отклонение боковой
границы резонатора от кругового цилиндра. Величина неоднородности ζ(ϕ) при задан-
ном ϕ считается относительно малой по модулю |ζ(ϕ)/R| ≪ 1, где R — радиус резо-
натора. Распределение неоднородности подчиняется гауссовой статистике, ее вероятность
p(ζ) = A exp(−ζ2/2a2), где A — нормирующий множитель; a — длина корреляции.
Поскольку суммарный оператор в (1), описывающий поле в резонаторе, является инва-
риантным по отношению к операции обращения знака времени, матрица его вещественна
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Рис. 1. Модельный цилиндрический резонатор со снятыми торцевыми крышками. Показаны случайные
неоднородности на боковой стенке
и симметрична. Поэтому система кругового баллистического бильярда со случайными не-
однородностями на боковой границе, как можно предполагать, принадлежит гауссовому ор-
тогональному ансамблю вещественных и симметричных случайных матриц [2]. Следствием
этого является возможность использовать для описания спектра бильярда ТСМ. Более того,
если такое предположение справедливо, то из этой теории вытекает, что между спектраль-
ными линиями резонатора должна существовать заметная корреляция, а распределение
межчастотных интервалов в спектре при достаточно большом количестве неоднородностей
должно быть близким к распределению Вигнера.
Чтобы верифицировать следствия, вытекающие из ТСМ в отношении баллистическо-
го бильярда со случайно-шероховатой границей, нами были проведены экспериментальные
исследования на модельном микроволновом резонаторе. Модельная система представляла
собой объемный квазиоптический цилиндрический резонатор восьмимиллиметрового диа-
пазона диаметром 130 мм и высотой 14 мм. Общий вид резонатора с внутренними неодно-
родностями на боковой стенке и подсоединенными к нему антеннами показан на рис. 1.
Для достижения высокой добротности резонатор был изготовлен из чистого алюминия,
а в качестве рабочей моды использовались колебания Hnm1, магнитное поле которых на-
правлено вдоль оси резонатора. Электрические токи такой моды не пересекают зазор между
боковой и торцевыми стенками резонатора, благодаря чему не возникает дополнительных
потерь на излучение и достигается сравнительно высокая добротность. В нашем случае для
основной моды она составляла величину порядка 104. Случайные неоднородности в резона-
торе, расположенные на боковой поверхности, представляли собой прямоугольные вырезы
в боковой металлической стенке, форма которых не нарушала аксиальную симметрию ре-
зонатора и, таким образом, не приводила к преобразованию рабочей моды в другие моды
с пониженной добротностью. Ширина вырезов составляла 1 мм, глубина — 2,5 мм, а высо-
та — 14 мм. Азимутальное расположение вырезов выбиралось в соответствии с законом
случайных чисел. В исходном, “пустом” резонаторе, внутренняя боковая поверхность пред-
ставляла собой гребенку с периодом в 1◦ на цилиндрической поверхности резонатора. Для
образования неоднородности на этой поверхности определенное число зубьев гребенки уда-
лялось. По количеству удаленных зубьев N и расстоянию между оставшимися можно было
определить эффективную величину неоднородностей, а также длину корреляции.
Для возбуждения электромагнитных колебаний в резонаторе применялась волноводная
антенна. Аналогичная антенна помещалась на диаметрально противоположной стороне ре-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 67
Рис. 2. Фрагмент спектра резонатора
Рис. 3. Распределение межчастотных интервалов в спектре однородного цилиндрического резонатора (N =
= 0). Аппроксимирующая кривая — распределение Пуассона
зонатора и служила приемником колебаний. Антенна представляла собой отверстие диамет-
ром 2 мм в тонкой (толщина 0,15 мм) торцевой металлической стенке волновода, широкая
сторона которого была направлена вдоль оси резонатора. При этом в резонаторе возбужда-
лись колебания H-типа. Колебания других типов, в частности, E-колебания, ввиду акси-
ально-симметричного расположения неоднородностей и геометрии антенны, практически
в резонаторе не возбуждались.
Спектральные измерения производились с помощью панорамного измерителя КСВН
восьмимиллиметрового диапазона, который позволял в диапазоне частот 26 ГГц-37,5 ГГц
в режиме “на проход” определять затухание сигнала в резонаторе и тем самым регистриро-
вать спектральные линии (рис. 2). Число резонансов, наблюдавшееся в указанном диапа-
зоне, составляло приблизительно 103 как в резонаторе с идеальной границей, так и в шеро-
ховатом резонаторе. При этом количество спектральных линий практически не изменялось
при изменении числа удаленных зубьев N .
При статистической обработке спектра определялось распределение межчастотных ин-
тервалов в зависимости от числа удаленных зубьев N . Было установлено, что в исходном
резонаторе с гребенкой, обладающем идеальной цилиндрической формой (N = 0), это рас-
пределение близко к пуассоновскому (рис. 3), если не учитывать очень малые интервалы
порядка ширины спектральной линии резонатора. При достаточно большой величине не-
однородностей N = 30 распределение кардинально меняется. Число близких резонансных
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
Рис. 4. Распределения межчастотных интервалов в спектре неоднородного резонатора (N = 30). Аппрокси-
мирующая кривая близка к распределению Вигнера
линий существенно уменьшается и, соответственно, уменьшается вероятность малых интер-
валов в спектре. На распределении p(s) появляется четко выраженный широкий максимум
при значении относительного интервала s ≃ 1 (рис. 4). С увеличением числа неоднород-
ностей максимум уширяется и сдвигается в сторону больших s. Все это свидетельствует
о том, что распределение межчастотных интервалов в спектре объемного цилиндрическо-
го резонатора и, соответственно, в спектре кругового баллистического бильярда, близко
к распределению Вигнера.
Необходимо отметить, что спектр кругового баллистического бильярда с малыми поте-
рями характеризуется тем, что ширина его резонансных линий, малая в отсутствие шеро-
ховатостей, с ростом поверхностной неоднородности продолжает оставаться малой и слабо
зависит от параметра N . В этом состоит существенное отличие квантового хаоса в баллисти-
ческой системе от аналогичного явления в системе диффузионной, например, в резонаторе
со случайными неоднородностями в его объеме [11].
Таким образом, нами установлено, что в круговом квазиоптическом резонаторе, а, сле-
довательно, и в любом круговом баллистическом квантовом бильярде, случайная шеро-
ховатость границ создает условия для возникновения в такой системе квантового хаоса.
Этот вывод, следующий из проведенных нами экспериментов, имеет практический интерес
в связи с интенсивными разработками микролазеров. Дело в том, что основным элемен-
том микролазера служит дисковый резонатор из легированного кремния, диаметр кото-
рого составляет несколько мкм. Благодаря исключительно малым диэлектрическим поте-
рям в этом материале на оптических частотах, такие резонаторы обладают сверхвысокой
добротностью, порядка 107 и выше [12]. Применение такого резонатора в микролазере да-
ет возможность обеспечит низкий уровень порогового тока и очень узкую ширину линии
излучения. По этим параметрам микролазеры существенно превосходят лазеры на обычных
резонаторах. Однако в силу неустранимых технологических причин на поверхности диско-
вых лазерных микрорезонаторов всегда присутствуют случайные шероховатости, которые
оказывают существенное влияние на их добротность [10] и, таким образом, понижают высо-
кие характеристики лазерного излучения. В связи с этим изучение квантового хаоса в та-
ких резонаторах, которые являются аналогами лазерных микрорезонаторов, представляет
значительный интерес с точки зрения поиска возможностей достижения у них высокой
добротности при наличии поверхностных неоднородностей.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №2 69
1. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. – Москва: Наука, 1984. – 365 с.
2. Штокман Х.-Ю. Квантовый хаос: введение. – Москва: Физматлит, 2004. – 373 с.
3. Mehta M.L. Random matrices. – Amsterdam: Elsevier, 2004. – 702 p.
4. Guhr T., Muller-Groeling A., Weidenmuller H.A. Random-matrix theories in quantum physics: common
concepts // Phys. Rep. – 1998. – 299. – P. 189–425.
5. Ганапольский E.M. Электродинамическая К-система с длительным удержанием энергии СВЧ сигна-
ла // Докл. АН СССР. – 1991. – 319. – С. 1128–1131.
6. Синай Я. Г. Динамические системы с упругими отражениями. Эргодические свойства рассеивающих
бильярдов // Усп. мат. наук. – 1970. – 25, вып. 2. – С. 141–192.
7. Bunimovich L.A. On the ergodic properties of nowhere dispersing billiards // Comm. Math. Phys. – 1970. –
65. – P. 295–312.
8. Frahm K.M., Shepelyansky D. L. Quantum localizatiom in rough billiards // Phys. Rev. Lett. – 1997. –
78, No 8. – P. 1440–1443.
9. Sirco L., Bauch Sz., Hlushchuk Y. et al. Observation of dynamical localization in a rough microwave
cavity // Phys. Lett. A. – 2000. – 266. – P. 331–335.
10. Ganapolskii E.M., Eremenko Z. E., Tarasov Yu.V. Effect of random surface inhomogeneities on spectral
properties of dielectric-disk microresonators: Theory and modeling at millimeter wave range // Phys. Rev.
E. – 2009. – 79. – P. 041136.
11. Ganapolskii E.M., Eremenko Z.E., Tarasov Yu.V. Influenct of random bulk inhomogeneities on quasiopti-
cal cavity resonator spectrum // Phys. Rev. E. – 2007. – 75. – P. 026212.
12. Srivasan K., Borselli M., Johnson J. et al. Optical loss and lasing characteristics of high-quality-factor
AlGaAs microdisk resonators with embedded quantum dots // Appl. Phys. Lett. – 2005. – 86. – P. 151106.
Поступило в редакцию 28.09.2010Институт радиофизики и электроники
НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine E.M. Ganapolskii, Yu.V. Tarasov
Quantum chaos in a circular ballistic billiard with rough border
Effects related to the quantum chaos formation in a circular ballistic billiard with rough border
are studied. In the 8-mm band, the oscillation spectrum of a cavity cylindrical resonator with
created inhomogeneities on the lateral surface is studied. The inhomogeneities are located randomly,
and their form and sizes exclude the conversions of different types of oscillations. Due to it, the
comparatively high quality factor was got in a heterogeneous resonator. The statistical analysis of
the resonator spectrum is executed. It is shown that the distribution of interfrequency intervals
belongs to the Wigner type. It is established that, in the circular ballistic billiard with rough border,
the conditions of quantum chaos are realized.
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37229 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:42:31Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ганапольский, Е.М. Тарасов, Ю.В. 2012-09-30T17:50:44Z 2012-09-30T17:50:44Z 2011 Квантовый хаос в круговом баллистическом бильярде с шероховатой границей / Е.М. Ганапольский, Ю.В. Тарасов // Доп. НАН України. — 2011. — № 2. — С. 65-70. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37229 621.773;52.021;372.40.3 Досліджуються ефекти, пов'язані з утворенням квантового хаосу в круговому балістичному більярді з шорсткою межею. З цією метою у восьмиміліметровому радіодіапазоні вивчено спектр коливань об'ємного циліндрового резонатора, в якому створені неоднорідності на бічній поверхні. Неоднорідності в резонаторі розташовані випадково, а форма і розміри їх не допускають перетворення різних типів коливань. Завдяки цьому в неоднорідному резонаторі досягалася порівняно висока добротність. Виконано статистичний аналіз спектра коливань резонатора. Він показав, що розподіл міжчастотних інтервалів належить до розподілу Вігнера, тим самим експериментально встановлено, що в круговому балістичному більярді з шорсткою межею реалізуються умови квантового хаосу. Effects related to the quantum chaos formation in a circular ballistic billiard with rough border are studied. In the 8-mm band, the oscillation spectrum of a cavity cylindrical resonator with created inhomogeneities on the lateral surface is studied. The inhomogeneities are located randomly, and their form and sizes exclude the conversions of different types of oscillations. Due to it, the comparatively high quality factor was got in a heterogeneous resonator. The statistical analysis of the resonator spectrum is executed. It is shown that the distribution of interfrequency intervals belongs to the Wigner type. It is established that, in the circular ballistic billiard with rough border, the conditions of quantum chaos are realized. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Фізика Квантовый хаос в круговом баллистическом бильярде с шероховатой границей Quantum chaos in a circular ballistic billiard with rough border Article published earlier |
| spellingShingle | Квантовый хаос в круговом баллистическом бильярде с шероховатой границей Ганапольский, Е.М. Тарасов, Ю.В. Фізика |
| title | Квантовый хаос в круговом баллистическом бильярде с шероховатой границей |
| title_alt | Quantum chaos in a circular ballistic billiard with rough border |
| title_full | Квантовый хаос в круговом баллистическом бильярде с шероховатой границей |
| title_fullStr | Квантовый хаос в круговом баллистическом бильярде с шероховатой границей |
| title_full_unstemmed | Квантовый хаос в круговом баллистическом бильярде с шероховатой границей |
| title_short | Квантовый хаос в круговом баллистическом бильярде с шероховатой границей |
| title_sort | квантовый хаос в круговом баллистическом бильярде с шероховатой границей |
| topic | Фізика |
| topic_facet | Фізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37229 |
| work_keys_str_mv | AT ganapolʹskiiem kvantovyihaosvkrugovomballističeskombilʹârdesšerohovatoigranicei AT tarasovûv kvantovyihaosvkrugovomballističeskombilʹârdesšerohovatoigranicei AT ganapolʹskiiem quantumchaosinacircularballisticbilliardwithroughborder AT tarasovûv quantumchaosinacircularballisticbilliardwithroughborder |