Періодичні розв'язки систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості
Одержано достатнi умови iснування неперервно-диференцiйовних, T -перiодичних розв’язкiв одного класу систем диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу i дослiджено їх властивостi. We establish sufficient conditions for the existence of solutions, which are continuously differentiable an...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37247 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Періодичні розв'язки систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості / Г.П. Пелюх, А.В. Вельгач // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 28-32. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859777849694617600 |
|---|---|
| author | Пелюх, Г.П. Вельгач, А.В. |
| author_facet | Пелюх, Г.П. Вельгач, А.В. |
| citation_txt | Періодичні розв'язки систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості / Г.П. Пелюх, А.В. Вельгач // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 28-32. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Одержано достатнi умови iснування неперервно-диференцiйовних, T -перiодичних розв’язкiв одного класу систем диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу i дослiджено їх властивостi.
We establish sufficient conditions for the existence of solutions, which are continuously differentiable and T -periodic, to systems of nonlinear neutral-type differential-functional equations and study properties of the solutions.
|
| first_indexed | 2025-12-02T09:15:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929
© 2011
Г.П. Пелюх, А. В. Вельгач
Перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних
диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального
типу i їх властивостi
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
Одержано достатнi умови iснування неперервно-диференцiйовних, T -перiодичних роз-
в’язкiв одного класу систем диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу
i дослiджено їх властивостi.
Системи диференцiально-функцiональних рiвнянь вигляду
x′(t) = Ax(t) + f(t, x(kt+ ϕ(t)), x′(lt+ ψ(t))), (1)
де t ∈ R = (−∞,+∞); A — стала дiйсна (n× n)-матриця; f : R× R
n × R
n → R
n, ϕ : R → R,
ψ : R → R; k, l — деякi цiлi додатнi числа, вивчалися багатьма математиками (див. [1, 2]
i цитовану в них лiтературу) i в даний час ряд важливих питань їх теорiї досить добре
вивчено. Особливо це стосується питань iснування i єдиностi перiодичних розв’язкiв таких
рiвнянь [3–7]. Цi питання розглядаються також в данiй роботi. При цьому припускаються
виконаними такi умови:
1) |eAt| 6 Ne−αt при t ∈ R
+ = [0,+∞), де α — деяка додатна стала;
2) вектор-функцiя f(t, x, y) є неперервною при t ∈ R, x ∈ R
n, y ∈ R
n i T -перiодичною по t;
3) для довiльних t ∈ R, x, y, x, y ∈ R
n виконується спiввiдношення
|f(t, x, y)− f(t, x, y)| 6 L(|x− x|+ |y − y|),
де L — деяка додатна стала;
4) sup
t
|f(t, 0, 0)| = f∗ < ∞;
5) ϕ(t), ψ(t) є неперервними T -перiодичними функцiями;
6) ∆ = 2LK < 1, де K = max
{
N
α
, |A|
N
α
+ 1
}
.
Має мiсце така теорема.
Теорема 1. Нехай виконуються умови 1–6. Тодi система R(1)R має неперервно-дифе-
ренцiйовний при t ∈ R, T -перiодичний розв’язок γ(t).
Доведення. Покажемо, що система (1) має T -перiодичний розв’язок у виглядi ряду
x(t) =
∞∑
j=0
xj(t), (2)
де xj(t), j = 0, 1, . . . , — деякi неперервно-диференцiйовнi при t ∈ R, T -перiодичнi век-
тор-функцiї, що є розв’язками послiдовностi систем рiвнянь
x′0(t) = Ax0(t) + f(t, 0, 0), (30)
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
x′j(t) = Axj(t) + f
(
t,
j−1∑
i=0
xi(kt+ ϕ(t)),
j−1∑
i=0
x′i(lt+ ψ(t))
)
−
− f
(
t,
j−2∑
i=0
xi(kt+ ϕ(t)),
j−2∑
i=0
x′i(lt+ ψ(t))
)
, j = 1, 2, . . . , (3j)
де x−1(t) ≡ 0.
Неважко переконатися, що вектор-функцiя
x0(t) =
t∫
−∞
eA(t−τ)f(τ, 0, 0) dτ (40)
є неперервно-диференцiйовним розв’язком системи (30) i x0(t + T ) = x0(t).
Враховуючи умови 1 i 4, знаходимо
|x0(t)| 6
t∫
−∞
|eA(t−τ)| |f(τ, 0, 0)|dτ 6 Nf∗
t∫
−∞
e−α(t−τ)dτ =
N
α
f∗ 6M,
|x′0(t)| 6 |A|
∣∣∣∣
t∫
−∞
eA(t−τ)f(τ, 0, 0) dτ
∣∣∣∣ + |f(t, 0, 0)| 6
(
|A|
N
α
+ 1
)
f∗ 6M,
(50)
де M = Kf∗.
Розглядаючи послiдовно системи рiвнянь (3j), j = 1, 2, . . . , покажемо, що вектор-функцiї
xj(t) =
t∫
−∞
eA(t−τ)
(
f
(
τ,
j−1∑
i=0
xi(kτ + ϕ(τ)),
j−1∑
i=0
x′i(lτ + ψ(τ))
)
−
− f
(
τ,
j−2∑
i=0
xi(kτ + ϕ(τ)),
j−2∑
i=0
x′i(lτ + ψ(τ))
))
dτ (4j)
є T -перiодичними розв’язками вiдповiдних систем рiвнянь (3j), j = 1, 2, . . . , для яких ви-
конуються умови
|xj(t)| 6M∆j, |x′j(t)| 6M∆j, j = 1, 2, . . . . (5j)
Справдi, враховуючи (50) i умови 1–6, неважко показати, що оцiнки (5j) мають мiс-
це. Розмiрковуючи по iндукцiї, припустимо, що неперервно-диференцiйовний T -перiодич-
ний розв’язок xj(t) системи (3j), j > 1, який визначається формулою (4j), задовольняє
умови (5j). Тодi, в силу умов теореми, вектор-функцiя xj+1(t), що визначається спiввiдно-
шенням (4j+1), є неперервно-диференцiйовною при t ∈ R i T -перiодичною. Бiльше цього,
враховуючи умови теореми i (5j), отримуємо
|xj+1(t)| 6
t∫
−∞
∣∣eA(t−τ)
∣∣L(|xj(kτ + ϕ(τ))| + |x′j(lτ + ψ(τ))|) dτ 6
6 2LM∆jN
t∫
−∞
e−α(t−τ)dτ = 2L
N
α
M∆j
6M∆j+1,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 29
|x′j+1(t)| 6 |A||xj+1(t)|+ L(|xj(kt+ ϕ(t))|+ |x′j(lt+ ψ(t))|) 6
6 |A|2L
N
α
M∆j + 2LM∆j = 2L
(
|A|
N
α
+ 1
)
M∆j
6M∆j+1.
Таким чином, всi вектор-функцiї xj(t), j = 0, 1, . . . , є неперервно-диференцiйовними T -перiо-
дичними вектор-функцiями, що задовольняють умови (5j). Звiдси безпосередньо випливає,
що ряд
∞∑
j=0
xj(t) (разом iз першою похiдною) рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R до деякої
неперервно-диференцiйовної T -перiодичної вектор-функцiї γ(t).
Беручи до уваги умови теореми, можна показати, що побудована вектор-функцiя γ(t)
є розв’язком системи (1). Для цього достатньо довести, що ряд
f(t, 0, 0) +
∞∑
i=0
(
f
(
t,
i∑
j=0
xj(t),
i∑
j=0
x′j(t)
)
− f
(
t,
i−1∑
j=0
xj(t),
i−1∑
j=0
x′j(t)
))
рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R до вектор-функцiї f
(
t,
∞∑
j=0
xj(t),
∞∑
j=0
x′j(t)
)
. Теорема
доведена.
Виконуючи в (1) взаємно-однозначну замiну змiнних
x(t) = y(t) + γ(t),
де γ(t) — неперервно-диференцiйовний T -перiодичний розв’язок системи (1), отримаємо
систему рiвнянь для y(t):
y′(t) = Ay(t) + f̃(t, y(kt+ ϕ(t)), y′(lt+ ψ(t))), (6)
де f̃(t, y(kt+ϕ(t)), y′(lt+ψ(t))) = f(t, y(kt+ϕ(t))+γ(kt+ϕ(t)), y′(lt+ψ(t))+γ′(lt+ψ(t)))−
− f(t, γ(kt + ϕ(t)), γ′(lt + ψ(t))). Легко переконатися, що f̃(t, 0, 0) ≡ 0 i вектор-функцiя
f̃(t, x, y) задовольняє умову 3.
При деяких додаткових умовах система рiвнянь (6) має багато неперервно-диференцi-
йовних при t > 0 розв’язкiв. Дiйсно, розглянемо систему рiвнянь
y′(t) = Ay(t) + f̃(t, y(kt), y′(lt)), (7)
яка одержується iз (6) при ϕ(t) ≡ 0, ψ(t) ≡ 0, i доведемо таку теорему.
Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1 i умова
7) ∆̃ = 2LK̃ < 1, де K̃ = max
{
N
α− β
, |A|
N
α − β
+ 1
}
, 0 < β < α.
Тодi система рiвнянь (7) має сiм’ю неперервно-диференцiйовних при t ∈ R
+ розв’язкiв
y(t) = y(t, C), де C — довiльний сталий вектор розмiрностi n, у виглядi ряду:
y(t) =
∞∑
j=0
yj(t), (8)
де yj(t), j = 0, 1, . . . , — деякi неперервно-диференцiйовнi при t ∈ R
+ вектор-функцiї, що
є розв’язками послiдовностi систем рiвнянь
y′0(t) = Ay0(t), (90)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
y′j(t) = Ayj(t) + f̃
(
t,
j−1∑
i=0
yi(kt),
j−1∑
i=0
y′i(lt)
)
−
− f̃
(
t,
j−2∑
i=0
yi(kt),
j−2∑
i=0
y′i(lt)
)
, j = 1, 2, . . . , (9j)
де y−1(t) ≡ 0.
Доведення. Оскiльки система (90) має сiм’ю неперервно-диференцiйовних при t ∈ R
+
розв’язкiв y0(t) = eAtC, де C — довiльний сталий вектор розмiрностi n (далi будемо при-
пускати, що |C| 6 1), то в силу умови 1 маємо:
|y0(t)| = |eAtC| 6 |eAt| |C| 6 Ne−αt|C| 6 M̃e−βt,
|y′0(t)| 6 |A| |eAt| |C| 6 |A|Ne−αt|C| 6 M̃e−βt,
(100)
де M̃ = max{N, |A|N}, β < α.
Послiдовно можна переконатися, що розв’язками систем рiвнянь (9j), j = 1, 2, . . . є век-
тор-функцiї
yj(t) =
t∫
0
eA(t−τ)
(
f̃
(
τ,
j−1∑
i=0
yi(kτ),
j−1∑
i=0
y′i(lτ)
)
− f̃
(
τ,
j−2∑
i=0
yi(kτ),
j−2∑
i=0
y′i(lτ)
))
dτ.
Покажемо, що при t ∈ R
+ для вектор-функцiй yj(t), j = 1, 2, . . . , виконуються оцiнки
|yj(t)| 6 M̃∆je−βt, |y′j(t)| 6 M̃∆je−βt. (10j)
Дiйсно, враховуючи оцiнки (100) i умови теореми, неважко показати, що мають мiсце оцiн-
ки (101). Припустимо, що оцiнки (10j) доведенi уже для деякого j > 1, i покажемо їх
справедливiсть для j + 1. Дiйсно, в силу умов теореми i (10j), отримуємо
|yj+1(t)|6
t∫
0
|eA(t−τ)|L(|yj(kτ)|+|y′j(lτ)|) dτ 6N
t∫
0
e−α(t−τ)L(M̃∆̃je−βkτ+M̃∆̃je−βlτ ) dτ 6
6 2NLM̃∆̃je−αt
t∫
0
e(α−β)τdτ 6 2NLM̃∆̃je−αt e
(α−β)t
α− β
6 M̃∆̃j+1e−βt,
|y′j+1(t)| 6 |A||yj+1(t)|+ L(|yj(kt)|+ |y′j(lt)|) 6
6 |A|M̃∆̃j2L
N
(α− β)
e−βt + L(M̃∆̃je−βkt + M̃∆̃je−βlt) 6
6 M̃∆̃j2L
(
|A|
N
(α − β)
+ 1
)
e−βt
6 M̃∆̃j+1e−βt,
Таким чином, справедливiсть оцiнок (10j), j = 1, 2, . . . , повнiстю доведена. Звiдси без-
посередньо випливає, що ряд y(t) =
∞∑
j=0
yj(t) рiвномiрно збiгається при t ∈ R
+ до неперерв-
но-диференцiйовної при t ∈ R
+ вектор-функцiї y(t), що задовольняє умови |y(t)| 6 (M̃/(1−
− ∆̃)) · e−βt, |y′(t)| 6 (M̃/(1 − ∆̃)) · e−βt.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 31
При кожному C ряд (8) є розв’язком системи (7). Це безпосередньо випливає iз того,
що при виконаннi умов теореми ряд
f̃(t, 0, 0) +
∞∑
j=1
[
f̃
(
t,
j−1∑
i=0
yi(kt),
j−1∑
i=0
y′i(lt)
)
− f̃
(
t,
j−2∑
i=0
yi(kt),
j−2∑
i=0
y′j(lt)
)]
,
де y−1(t) ≡ 0, рiвномiрно збiгається при всiх t ∈ R
+ i його сумою є вектор-функцiя
f̃
(
t,
∞∑
i=0
yi(kt),
∞∑
i=0
y′i(lt)
)
. Теорема доведена.
Зауваження. При деяких додаткових припущеннях теорема 1 має мiсце також у випад-
ку, коли функцiї ϕ(t), ψ(t) залежать вiд невiдомої функцiї x(t).
1. Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А. Е., Садовский Б.Н. Теория уравнений
нейтрального типа // Мат. анализ (Итоги науки и техники). – 1981. – 19. – С. 55–126.
2. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений: Пер. с англ. – Москва: Мир, 1984. –
421 с.
3. Самойленко А.М., Пелюх Г.П. О периодических решениях систем нелинейных дифференциаль-
но-функциональных уравнений нейтрального типа // Доп. НАН України. – 1994. – № 3. – С. 19–21.
4. Пелюх Г.П., Блащак Н. I. Про iснування i єдинiсть перiодичних розв’язкiв систем нелiнiйних дифе-
ренцiально-функцiональних рiвнянь з лiнiйним вiдхиленням аргумента // Там само. – 1997. – № 8. –
С. 10–13.
5. Вельгач А.В. Перiодичнi розв’язки систем лiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь ней-
трального типу i їх властивостi // Збiрник праць Iн-ту математики НАН України. – 2009. – 6, № 2. –
С. 359–372.
6. Пелюх Г.П., Сiвак О.А. Про перiодичнi розв’язки систем лiнiйних функцiонально-рiзницевих рiв-
нянь // Доп. НАН України. – 2009. – № 8. – С. 24–28.
7. Пелюх Г.П. О глобальных решениях систем нелинейных дифференциально-функциональных урав-
нений с отклонениями аргумента, зависящими от неизвестных функций // Укр. мат. журн. – 2002. –
54, № 3. – С. 402–407.
Надiйшло до редакцiї 06.07.2010Iнститут математики НАН України, Київ
G.P. Pelyukh, А. V. Velhach
Periodic solutions to systems of nonlinear neutral-type
differential-functional equations and their properties
We establish sufficient conditions for the existence of solutions, which are continuously differentiable
and T -periodic, to systems of nonlinear neutral-type differential-functional equations and study
properties of the solutions.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37247 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T09:15:24Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пелюх, Г.П. Вельгач, А.В. 2012-09-30T19:10:42Z 2012-09-30T19:10:42Z 2011 Періодичні розв'язки систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості / Г.П. Пелюх, А.В. Вельгач // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 28-32. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37247 517.929 Одержано достатнi умови iснування неперервно-диференцiйовних, T -перiодичних розв’язкiв одного класу систем диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу i дослiджено їх властивостi. We establish sufficient conditions for the existence of solutions, which are continuously differentiable and T -periodic, to systems of nonlinear neutral-type differential-functional equations and study properties of the solutions. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Періодичні розв'язки систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості Periodic solutions to systems of nonlinear neutral-type differential-functional equations and their properties Article published earlier |
| spellingShingle | Періодичні розв'язки систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості Пелюх, Г.П. Вельгач, А.В. Математика |
| title | Періодичні розв'язки систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості |
| title_alt | Periodic solutions to systems of nonlinear neutral-type differential-functional equations and their properties |
| title_full | Періодичні розв'язки систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості |
| title_fullStr | Періодичні розв'язки систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості |
| title_full_unstemmed | Періодичні розв'язки систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості |
| title_short | Періодичні розв'язки систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості |
| title_sort | періодичні розв'язки систем нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу і їх властивості |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37247 |
| work_keys_str_mv | AT pelûhgp períodičnírozvâzkisistemnelíníinihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹneitralʹnogotipuííhvlastivostí AT velʹgačav períodičnírozvâzkisistemnelíníinihdiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹneitralʹnogotipuííhvlastivostí AT pelûhgp periodicsolutionstosystemsofnonlinearneutraltypedifferentialfunctionalequationsandtheirproperties AT velʹgačav periodicsolutionstosystemsofnonlinearneutraltypedifferentialfunctionalequationsandtheirproperties |