Про стійкість нечітких динамічних систем
Розглянуто питання про стiйкiсть положення рiвноваги нечiткої динамiчної системи. Для встановлення стiйкостi використано звичайнi та нечiткi функцiї Ляпунова. Доведено теореми про стiйкiсть. The question of the stability of the equilibrium of a fuzzy dynamical system is considered. To establish the...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37253 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про стійкість нечітких динамічних систем / О.С. Бичков // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 12-16. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37253 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бичков, О.С. 2012-09-30T19:31:38Z 2012-09-30T19:31:38Z 2011 Про стійкість нечітких динамічних систем / О.С. Бичков // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 12-16. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37253 517.925 Розглянуто питання про стiйкiсть положення рiвноваги нечiткої динамiчної системи. Для встановлення стiйкостi використано звичайнi та нечiткi функцiї Ляпунова. Доведено теореми про стiйкiсть. The question of the stability of the equilibrium of a fuzzy dynamical system is considered. To establish the stability, the ordinary and fuzzy Lyapunov’s functions are used. Some theorems on the stability are proved. Роботу виконано за пiдтримки ДФФД, проект № Ф28.1/033. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про стійкість нечітких динамічних систем On the stability of fuzzy dynamical systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про стійкість нечітких динамічних систем |
| spellingShingle |
Про стійкість нечітких динамічних систем Бичков, О.С. Математика |
| title_short |
Про стійкість нечітких динамічних систем |
| title_full |
Про стійкість нечітких динамічних систем |
| title_fullStr |
Про стійкість нечітких динамічних систем |
| title_full_unstemmed |
Про стійкість нечітких динамічних систем |
| title_sort |
про стійкість нечітких динамічних систем |
| author |
Бичков, О.С. |
| author_facet |
Бичков, О.С. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On the stability of fuzzy dynamical systems |
| description |
Розглянуто питання про стiйкiсть положення рiвноваги нечiткої динамiчної системи. Для встановлення стiйкостi використано звичайнi та нечiткi функцiї Ляпунова. Доведено теореми про стiйкiсть.
The question of the stability of the equilibrium of a fuzzy dynamical system is considered. To establish the stability, the ordinary and fuzzy Lyapunov’s functions are used. Some theorems on the stability are proved.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37253 |
| citation_txt |
Про стійкість нечітких динамічних систем / О.С. Бичков // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 12-16. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT bičkovos prostíikístʹnečítkihdinamíčnihsistem AT bičkovos onthestabilityoffuzzydynamicalsystems |
| first_indexed |
2025-11-25T05:28:32Z |
| last_indexed |
2025-11-25T05:28:32Z |
| _version_ |
1850505141219753984 |
| fulltext |
УДК 517.925
© 2011
О.С. Бичков
Про стiйкiсть нечiтких динамiчних систем
(Представлено академiком НАН України А.А. Мартинюком)
Розглянуто питання про стiйкiсть положення рiвноваги нечiткої динамiчної систе-
ми. Для встановлення стiйкостi використано звичайнi та нечiткi функцiї Ляпунова.
Доведено теореми про стiйкiсть.
Методи теорiї можливостей дають змогу оцiнити рiвень iстини певної подiї по вiдношенню
до iнших подiй на основi суб’єктивних думок експертiв. Цi методи кориснi для мiркуван-
ня про невизначенi процеси або явища у разi, коли недостатнiсть статистичної iнформацiї
не дозволяє застосовувати ймовiрнiснi методи. Розв’язання таких задач, як прогнозування
розвитку соцiально-економiчного явища, моделювання складної динамiки польоту, часто
вимагає використання диференцiальних рiвнянь, якi мiстять деяку невизначенiсть. У та-
ких областях статистичнi данi ненадiйнi або вiдсутнi, тому доцiльно застосовувати теоре-
тико-можливiснi пiдходи.
Останнiм часом активiзувалося дослiдження нечiткої динамiки. Загальновiдомим фор-
малiзмом для опису такої динамiки є теорiя нечiтких множин Заде. На базi цього формалiз-
му у роботах [1–4] побудовано нечiткi диференцiальнi рiвняння. Необхiдно зазначити, що
формалiзм Заде не дозволяє вивчати динамiку нечiткої траєкторiї у фазовому просторi.
Iнший пiдхiд для опису нечiткої динамiки запропоновано в роботах [5–9]. У [6] описа-
но формальний аналог стохастичного диференцiального рiвняння Iто, у [7–9] на базi тео-
рiї можливостей побудовано клас нечiтких диференцiальних рiвнянь, що мають новi вла-
стивостi.
У цiй роботi за допомогою методу функцiй Ляпунова дослiджується стiйкiсть стацiо-
нарних станiв нечiтких динамiчних систем.
Основний результат. Позначимо R+ = [0,+∞) i покладемо Y = Rn. Введемо до роз-
гляду можливiсний простiр (X,A, P ), де X — простiр елементарних подiй, A — σ-алгебра,
P — мiра можливостi [9].
Для всiх ε ∈ R+ введемо такi позначення:
S(ε) = {y ∈ Y | ‖y‖ = ε}; B(ε) = {y ∈ Y | ‖y‖ 6 ε};
X+ = {x ∈ X | P{x} > 0}; Xε = {x ∈ X | P{x} > ε}.
Нехай V : Y → R+ — додатно визначена неперервна функцiя. Для всiх v ∈ R+ введемо
такi позначення:
LV (v) = {y ∈ Y | V (y) 6 v}, cLV (v) — компонента зв’язностi множини LV (v), яка
мiстить 0-вектор.
Означення 1. Нечiткою динамiчною системою (НДС) y(y0, t, x) називається вiдобра-
ження y : Y × R+ × X → Y , для якого y(y0, t0, x) = y0.
Означення 2. Розв’язок y(y0, t, x) нечiткої динамiчної системи y(y0, t, x) називається
стiйким з рiвнем α(ε), якщо для будь-яких ε > 0 i α(ε) < 1 iснує δ(ε) > 0 таке, що при
‖y0 − y0‖ < δ(ε) для x ∈ Xα виконується ‖y(y0, t, x) − y(y0, t, x)‖ < ε.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
Лема 1. Для кожного ε ∈ R+ множина cKV (ε) = {v ∈ R+ | cLV (v) ⊆ B(ε)} непорожня
i обмежена.
Доведення. У випадку ε = 0 KV (ε) = cKV (ε) = {0}, оскiльки функцiя V додатно
визначена, то твердження леми виконується.
Оберемо довiльне число ε > 0. Оскiльки 0 ∈ cKV (ε), то множина cKV (ε) непорожня.
Покладемо v∗ = max
y∈B(2ε)
V (y). Тодi для кожного числа v > v∗ маємо, що B(2ε) ⊆ LV (v).
Звiдси випливає, що B(2ε) ⊆ cLV (v). Тому не виконується включення cLV (v) ⊆ B(ε). Отже,
sup cKV (ε) 6 v∗, тому множина cKV (ε) обмежена.
Лему доведено.
Введемо до розгляду нечiтку динамiчну систему y : Y × R+ ×X → Y таку, що
а) y(0; t;x) ≡ 0 для всiх t > 0 i x ∈ X+;
б) для деякого числа γ > 0 функцiя t 7→ y(y0; t;x) визначена i неперервна на R+ для
всiх x ∈ X+ i y0 ∈ B(γ).
Нехай α : R+ → [0, 1) — визначена в околi нуля функцiя, ψ : (0, 1] → R+ — частково
визначена функцiя, що задана умовами:
а) ψ(p) = inf{ε > 0 | α(ε) 6 p}, якщо {ε > 0 | α(ε) 6 p} 6= ∅;
б) ψ(p) не визначено, якщо {ε > 0 | α(ε) 6 p} = ∅.
Теорема 1 (про стiйкiсть положення рiвноваги нечiткої динамiчної системи). Нехай
iснують вiдображення V : Y → R+, ν : R+ → R+ такi, що:
1) V є додатно визначеною i неперервною функцiєю на Y ;
2) cLV (ν(ε)) ⊆ B(ε) для кожного ε > 0;
3) функцiя t 7→ V (y(y0; t;x)) не зростає на промiжку (t1, t2) для всiх x ∈ X+,
y0 ∈ B(γ) i t1, t2 ∈ R+, якi задовольняють умови t1 < t2, ψ(P{x}) визначено
i y(y0; t;x) /∈ cLV (ν(ψ(P{x}))) для всiх t ∈ (t1, t2).
Тодi нульове положення рiвноваги НДС y(y0; t;x) стiйке з рiвнем α.
Доведення. Оберемо довiльне число ε > 0. Покладемо M = min{V (y) | y ∈ S(ε)} > 0.
Тодi ∅ ⊂ cLV (M/2) ⊆ B(ε). Оберемо число δ1 > 0 таке, що B(δ1) ⊆ cLV (M/2), яке iснує,
оскiльки функцiя V неперервна i додатно визначена, i покладемо δ = min{δ1, γ} > 0.
Оберемо довiльну точку y0 ∈ B(δ) i елемент x ∈ X+ такий, що P{x} > α(ε). Тодi
ψ(P{x}) визначено i ψ(P{x}) 6 ε, а функцiя t 7→ y(y0; t;x) визначена i неперервна на R+.
Позначимо υ = ν(ψ(P{x})) ∈ R+, A = cLV (υ)
⋃
cLV (M/2) ⊆ Y i доведемо, що для всiх
t > 0 виконується включення y(y0; t;x) ∈ A.
Припустимо вiд супротивного, що iснує момент ts > 0 такий, що y(y0; ts;x) /∈ A. Оскiльки
y0 ∈ B(δ) ⊆ cLV (M/2) ⊆ A i функцiя t 7→ V (y(y0; t;x)) неперервна, то множини T1 = {t ∈
∈ [0, ts] | y(y0; t;x) ∈ cLV (M/2)} i T2 = {t ∈ [0, ts]|y(y0; t;x) ∈ A} непорожнi i замкненi.
Покладемо t1 = max T1, t2 = max T2. Враховуючи, що T1 ⊆ T2, отримуємо нерiвнiсть t1 6
6 t2 < ts. Тодi y(y0; t;x) /∈ A для всiх t ∈ (t2, ts], тому функцiя t 7→ V (y(y0; t;x)) не зростає
на промiжку (t2, ts), а оскiльки вона неперервна, то вона не зростає i на промiжку [t2, ts].
Можливi два випадки:
I. t1 < t2. У цьому випадку y(y0; t2;x) ∈ A \ cLV (M/2) ⊆ cLV (υ). Оскiльки функцiя
t 7→ V (y(y0; t;x)) не зростає на [t2, ts], а функцiя t 7→ y(y0; t;x) неперервна, то y(y0; t;x) ∈
∈ cLV (υ) ⊆ A при t ∈ [t2, ts], що суперечить припущенню y(y0; ts;x) /∈ A.
II. t1 = t2. У цьому випадку маємо, що y(y0; t2;x) ∈ cLV (M/2). I оскiльки функцiя
t 7→ V (y(y0; t;x)) не зростає на [t2, ts], а функцiя t 7→ y(y0; t;x) неперервна, то y(y0; t;x) ∈
∈ cLV (M/2) ⊆ A при t ∈ [t2, ts], що суперечить припущенню y(y0; ts;x) /∈ A.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 13
В обох випадках прийшли до суперечностi, тому для всiх t > 0 виконується вклю-
чення y(y0; t;x) ∈ A. Оскiльки cLV (υ) = cLV (ν(ψ(P{x}))) ⊆ B(ψ(P{x})), ψ(P{x}) 6 ε
i cLV (M/2) ⊆ B(ε), то A = cLV (υ)
⋃
cLV (M/2) ⊆ B(ε).
Тобто маємо, що y(y0; t;x) ∈ B(ε) для всiх t > 0. Отже, внаслiдок довiльностi ε, нульове
положення рiвноваги стiйке з рiвнем α за означенням.
Теорему доведено.
Аналогiчно доводиться така теорема:
Теорема 2. Нехай iснують вiдображення V : Y → R+, ν : R+ → R+ такi, що :
1) V є додатно визначеною i неперервною функцiєю на Y ;
2) LV (ν(ε)) ⊆ B(ε) для кожного ε > 0;
3) функцiя t 7→ V (y(y0; t;x)) не зростає на промiжку (t1, t2) для всiх x ∈ X+,
y0 ∈ B(γ) i t1, t2 ∈ R+, якi задовольняють умови t1 < t2, ψ(P{x}) визначено
i y(y0; t;x) /∈ LV (ν(ψ(P{x}))) для всiх t ∈ (t1, t2).
Тодi нульове положення рiвноваги НДС y(y0; t;x) стiйке з рiвнем α.
Наслiдок 1. Припустимо, що iснують неперервнi вiдображення V : Y → R+ i f : R+ →
→ R+ такi, що:
1) f є монотонно зростаючою функцiєю, f(0) = 0 i f(‖y‖) 6 V (y) для всiх y ∈ Y ;
2) функцiя t 7→ V (y(y0; t;x)) не зростає на промiжку (t1, t2) для всiх x ∈ X+, y0 ∈
∈ B(γ) i t1, t2 ∈ R+, якi задовольняють умови t1 < t2, ψ(P{x}) визначено i V (y(y0; t;x)) >
> f(ψ(P{x})) для всiх t ∈ (t1, t2).
Тодi нульове положення рiвноваги НДС y(y0; t;x) стiйке з рiвнем α.
Доведення. Перевiримо виконання умов теореми 2 для функцiй V i ν = f .
Функцiя V є додатно визначеною на пiдставi нерiвностi f(‖y‖) 6 V (y), y ∈ Y , тому
умова 1 виконується.
Якщо для деяких ε ∈ R+ i y ∈ Y виконується включення y ∈ LV (f(ε)), тобто V (y) 6
6 f(ε), то f(‖y‖) 6 f(ε), тому ‖y‖ 6 ε, оскiльки f — строго зростаюча функцiя. Тодi
y ∈ B(ε). Отже, для всiх ε ∈ R+ виконується LV (f(ε)) ⊆ B(ε), тобто виконується умова 2.
Нехай для деяких x ∈ X+, y0 ∈ B(γ) i t1, t2 ∈ R+ виконується t1 < t2, ψ(P{x}) визначено
i y(y0; t;x) /∈ LV (ν(ψ(P{x}))) для всiх t ∈ (t1, t2). Тодi V (y(y0; t;x)) > f(ψ(P{x})) для всiх
t ∈ (t1, t2), тому функцiя t 7→ V (y(y0; t;x)) не зростає на промiжку (t1, t2), тобто виконується
умова 3.
Таким чином, за теоремою 2 нульове положення рiвноваги НДС y(y0; t;x) стiйке з рiв-
нем α.
Наслiдок доведено.
Теорема 3 (про встановлення стiйкостi нульового положення рiвноваги нечiткої динамi-
чної системи iз використанням нечiткої функцiї Ляпунова). Нехай y : Y ×R+×X → Y — не-
чiтка динамiчна система, де Y = Rn, y(0, t, x) ≡ 0 для всiх t, x i α : (0,+∞) → [0, 1) — час-
тково визначена функцiя. Припустимо, що iснують частково визначена функцiя V : Y ×
× X → R+, додатно визначена функцiя v : Y → R+ i числа γ > 0 i β ∈ [0, 1) такi, що
виконуються умови:
0) на промiжку (0, γ) функцiя α визначена i набуває значень з [β, 1];
1) для кожного x ∈ Xβ функцiя y 7→ V (y, x) визначена i неперервна на B(γ);
2) V (0, x) = 0 для всiх x ∈ Xβ ;
3) для кожної пари (y0, x) ∈ B(γ) × Xβ функцiя t 7→ y(y0; t;x) визначена i неперервна
на промiжку [0,+∞), а функцiя t 7→ V (y(y0; t;x), x) монотонно не зростаюча;
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
4) inf
δ>0
sup{V (y, x) | (y, x) ∈ B(δ) ×Xα(ε)} < inf{V (y, x)|(y, x) ∈ S(ε) ×Xα(ε)}.
Тодi нульове положення рiвноваги системи y стiйке з рiвнем α.
Доведення. Зафiксуємо ε ∈ (0, γ). Покладемо h = inf{V (y, x) | (y, x) ∈ S(ε) ×Xα(ε)} >
> 0.
Покладемо O =
⋃
x : P{x}>α(ε)
{y | V (y, x) < h} ⊆ Y — вiдкрита множина.
Для кожного y ∈ O iснує x ∈ Xα(ε) такий, що V (y, x) < h, тому y /∈ S(ε) за визначен-
ням h. Звiдси O ∩ S(ε) = ∅. Оскiльки O мiстить 0-вектор, то деяка зв’язна компонента U
множини O, що мiстить 0-вектор, включається в B(ε). Оскiльки множина U вiдкрита i мi-
стить 0-вектор, то iснує число δ1 > 0 таке, що B(δ1) ⊆ U . За умовою 4 iснує число δ2 > 0
таке, що V (y, x) < h для всiх (y, x) ∈ B(δ2) × Xα(ε).
Покладемо δ = min{δ1, δ2} > 0. Оберемо довiльнi елементи y0 ∈ B(δ) i x0 ∈ Xα(ε).
Тодi V (y0, x0) < h. За умовою 3 з цього випливає, що V (y(y0; t;x0), x0) 6 V (y0, x0) < h
для всiх t > 0. Тодi y(y0; t;x0) ∈ O для всiх t > 0, i оскiльки функцiя t 7→ y(y0; t;x0)
неперервна, а y0 ∈ U , то y(y0; t;x0) ∈ U ⊆ B(ε) для всiх t > 0.
Отже, нульове положення рiвноваги системи y стiйке з рiвнем α.
Теорему доведено.
Тепер розглянемо стiйкiсть нечiтких динамiчних систем, що заданi рiвнянням зi скаляр-
ним процесом нечiткого блукання (ПНБ) [8, 9].
dy(y0; t;x) = g(y(y0; t;x))dt+ h(y(y0; t;x)) dw(t, x); (1)
y(y0; 0;x) = y0. (2)
Припустимо, що:
а) g, h — неперервнi функцiї i g(0) = h(0) = 0;
б) для всiх x ∈ X+ i y0 ∈ B(γ) (де γ > 0 — деяке число) iснує єдина функцiя — розв’язок
t 7→ y(y0; t;x) рiвнянь (1), (2) у сенсi Каратеодорi, визначена при всiх t > 0 i така, що
y(y0; t;x) ∈ B(γ) при t > 0.
Покладемо, як i ранiше, ψ(p) = inf{ε > 0 | α(ε) 6 p}.
Теорема 4 (про стiйкiсть положення рiвноваги нечiткої динамiчної системи, заданої
рiвнянням з ПНБ). Припустимо, що iснує диференцiйоване вiдображення V : Y → R+ i не-
перервне вiдображення f : R+ → R+ такi, що:
1) f є монотонно зростаючою функцiєю, f(0) = 0 i f(‖y‖) 6 V (y) для всiх y ∈ Y ;
2)
dV (y)
dy
g(y) 6 −
√
ϕ−1(p)
∣
∣
∣
∣
dV (y)
dy
h(y)
∣
∣
∣
∣
для всiх y ∈ B(γ) i p ∈ (0, 1] таких, що ψ(p)
визначено i V (y) > f(ψ(p)).
Тодi нульове положення рiвноваги НДС y(y0; t;x) стiйке з рiвнем α.
Доведення. Для доведення твердження використаємо наслiдок з теореми 2. Умова 1
наслiдку збiгається з умовою 1 даного твердження. Перевiримо умову 2 наслiдку. Нехай x ∈
∈ X+, y0 ∈ B(γ) i t1, t2 ∈ R
+ — такi елементи, що t1 < t2, ψ(P{x}) визначено i V (y(y0; t;x)) >
> f(ψ(P{x})) для всiх t ∈ (t1, t2).
Тодi для всiх t ∈ (t1, t2) виконується нерiвнiсть
dV (y(t))
dy
g(y(t)) 6 −
√
ϕ−1(p)
∣
∣
∣
∣
dV (y(t))
dy
h(y(t))
∣
∣
∣
∣
,
де y(t) = y(y0; t;x) i p = P{x}.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 15
Оскiльки |ẇ(t, x)| 6
√
ϕ−1(P{x}) майже скрiзь, то для майже всiх t ∈ (t1, t2) вико-
нується:
dV (y(y0; t;x))
dt
=
dV (y(t))
dy
g(y(t)) +
dV (y(t))
dy
h(y(t))p(t, x) 6
6
dV (y(t))
dy
g(y(t)) +
√
ϕ−1(p)
∣
∣
∣
∣
dV (y(t))
dy
h(y(t))
∣
∣
∣
∣
6 0.
Оскiльки функцiя t 7→ y(y0; t;x) абсолютно неперервна, то функцiя t 7→ V (y(y0; t;x)) не
зростає на промiжку (t1, t2).
Таким чином, за наслiдком з теореми 2, нульове положення рiвноваги НДС y(y0; t;x)
стiйке з рiвнем α.
Теорему доведено.
Таким чином, у роботi розглянуто питання стiйкостi нечiтких динамiчних систем. Введе-
но поняття нечiткої динамiчної системи, визначення стiйкостi з рiвнем α. Для побудови умов
стiйкостi використовувались функцiї Ляпунова. Доведено теореми про стiйкiсть з рiвнем α
нульового положення рiвноваги. Отриманi результати застосовано для дослiдження стiй-
костi нечiтких диференцiальних рiвнянь, що побудованi за процесом нечiткого блукання.
Роботу виконано за пiдтримки ДФФД, проект № Ф28.1/033.
1. Buckley J. J., Feuring Th. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. – 2000. – 110. – P. 43–54.
2. Buckley J. J., Qu Y. Solving fuzzy equations: a new solution concept // Ibid. – 1992. – 50. – P. 1–14.
3. Kaleva O. The Cauchy problem for fuzzy differential equations // Ibid. – 1990. – 35. – P. 389–396.
4. Kloeden P. E. Fuzzy dynamical systems // Ibid. – 1982. – 7. – 1982. – P. 275–296.
5. Денисенко В.С., Мартынюк А.А., Слынько В.И. Об устойчивости по Ляпунову нечетких импульс-
ных систем Такаги–Сугено // Нелинейные колебания. – 2008. – 11, № 4. – С. 481–494.
6. Liu B. Fuzzy process, hybrid process and uncertain process // J. Uncert. Process. – 2008. – 2, No 1. –
P. 13–16.
7. Бичков О.С. Побудова iнтегралу за процесом нечiткого блукання // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. фiз. i
мат. – 2005. – № 4. – С. 19–24.
8. Бичков О.С., Меркурьєв М.Г. Iснування та єдинiсть розв’язкiв нечiткого диференцiального рiвнян-
ня // Там само. – 2006. – № 1. – С. 27–34.
9. Бєлов Ю.А., Бичков О.С., Меркурьєв М.Г. Про один пiдхiд до моделювання нечiткої динамiки //
Доп. НАН України. – 2006. – № 10. – С. 14–19.
Надiйшло до редакцiї 08.07.2010Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
A. S. Bychkov
On the stability of fuzzy dynamical systems
The question of the stability of the equilibrium of a fuzzy dynamical system is considered. To
establish the stability, the ordinary and fuzzy Lyapunov’s functions are used. Some theorems on
the stability are proved.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
|