Частичная устойчивость инвариантных множеств расширенных динамических систем в метрическом пространстве
Запропоновано конструкцiю розширених динамiчних систем в метричному просторi. Отримано умови часткової стiйкостi iнварiантних множин розширених динамiчних систем на основi вiдображень, що зберiгають стiйкiсть, та принципу порiвняння....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37254 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Частичная устойчивость инвариантных множеств расширенных динамических систем в метрическом пространстве / В.С. Денисенко, В.И. Слынько // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 17-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37254 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-372542025-02-09T22:19:45Z Частичная устойчивость инвариантных множеств расширенных динамических систем в метрическом пространстве Partial stability of invariant sets of extended dynamical systems on a metric space Денисенко, В.С. Слынько, В.И. Математика Запропоновано конструкцiю розширених динамiчних систем в метричному просторi. Отримано умови часткової стiйкостi iнварiантних множин розширених динамiчних систем на основi вiдображень, що зберiгають стiйкiсть, та принципу порiвняння. The construction of extended dynamical systems in a metric space is proposed. The partial stability conditions of invariant sets of extended dynamical systems are established with the use of a stabilitypreserving mapping and the comparison principle. Авторы выражают благодарность академику НАН Украины А.А. Мартынюку за постановку задачи и обсуждение полученных результатов. 2011 Article Частичная устойчивость инвариантных множеств расширенных динамических систем в метрическом пространстве / В.С. Денисенко, В.И. Слынько // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 17-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37254 531.36 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Денисенко, В.С. Слынько, В.И. Частичная устойчивость инвариантных множеств расширенных динамических систем в метрическом пространстве Доповіді НАН України |
| description |
Запропоновано конструкцiю розширених динамiчних систем в метричному просторi. Отримано умови часткової стiйкостi iнварiантних множин розширених динамiчних систем на основi вiдображень, що зберiгають стiйкiсть, та принципу порiвняння. |
| format |
Article |
| author |
Денисенко, В.С. Слынько, В.И. |
| author_facet |
Денисенко, В.С. Слынько, В.И. |
| author_sort |
Денисенко, В.С. |
| title |
Частичная устойчивость инвариантных множеств расширенных динамических систем в метрическом пространстве |
| title_short |
Частичная устойчивость инвариантных множеств расширенных динамических систем в метрическом пространстве |
| title_full |
Частичная устойчивость инвариантных множеств расширенных динамических систем в метрическом пространстве |
| title_fullStr |
Частичная устойчивость инвариантных множеств расширенных динамических систем в метрическом пространстве |
| title_full_unstemmed |
Частичная устойчивость инвариантных множеств расширенных динамических систем в метрическом пространстве |
| title_sort |
частичная устойчивость инвариантных множеств расширенных динамических систем в метрическом пространстве |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37254 |
| citation_txt |
Частичная устойчивость инвариантных множеств расширенных динамических систем в метрическом пространстве / В.С. Денисенко, В.И. Слынько // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 17-22. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT denisenkovs častičnaâustoičivostʹinvariantnyhmnožestvrasširennyhdinamičeskihsistemvmetričeskomprostranstve AT slynʹkovi častičnaâustoičivostʹinvariantnyhmnožestvrasširennyhdinamičeskihsistemvmetričeskomprostranstve AT denisenkovs partialstabilityofinvariantsetsofextendeddynamicalsystemsonametricspace AT slynʹkovi partialstabilityofinvariantsetsofextendeddynamicalsystemsonametricspace |
| first_indexed |
2025-12-01T09:00:31Z |
| last_indexed |
2025-12-01T09:00:31Z |
| _version_ |
1850295853032407040 |
| fulltext |
УДК 531.36
© 2011
В.С. Денисенко, В.И. Слынько
Частичная устойчивость инвариантных множеств
расширенных динамических систем в метрическом
пространстве
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
Запропоновано конструкцiю розширених динамiчних систем в метричному просторi.
Отримано умови часткової стiйкостi iнварiантних множин розширених динамiчних
систем на основi вiдображень, що зберiгають стiйкiсть, та принципу порiвняння.
Одним из обобщений прямого метода Ляпунова является распространение этого метода
для систем в метрическом пространстве (см. [1]). В монографии [2] подытожены исследова-
ния устойчивости в метрическом пространстве на основе скалярных и векторных функций
Ляпунова. В работе [3] приведено обобщение прямого метода Ляпунова для динамических
систем в метрическом пространстве на основе матричнозначного отображения. С исполь-
зованием подхода, описаного в [2], в работе [4] получены условия частичной устойчивости
инвариантных множеств и ограниченности движения систем, заданных на метрическом
пространстве. С учетом результатов работ [3, 4] в [5] приведен принцип сравнения с матрич-
нозначным отображением и установлены новые достаточные условия устойчивости и огра-
ниченности движений в метрическом пространстве относительно части переменных. В этой
работе рассматривается конструкция расширенных динамических систем (РДС) и устанав-
ливаются условия частичной устойчивости инвариантных множеств РДС на основе отобра-
жений, сохраняющих устойчивость.
Предварительные сведения. Пусть T обозначает одно из множеств T = R+ =
= [0,∞) (непрерывный случай) или T = N = {0, 1, 2, . . .} (дискретный случай). Пусть (Y, ρY )
и (Z, ρZ) — полные метрические пространства, X = Y × Z — пространство, наделенное
метрикой ρX(x1, x2) = max{ρY (y1, y2), ρZ(z1, z2)}, где x1 = (y1, z1) ∈ X, x2 = (y2, z2) ∈ X.
Известно, что (X, ρX) — полное метрическое пространство.
Обозначим Πz : X → Z — проекционное отображение. Очевидно (из определения метри-
ки ρX), что Πz — непрерывное отображение, так как ρZ(Πzx1,Πzx2) 6 ρX(x1, x2), x1, x2 ∈ X.
Пусть M — некоторое подмножество пространства X, тогда расстояние от фиксиро-
ванного элемента a ∈ X до множества M определяется согласно формуле ρX(a,M) =
= inf
y∈M
ρX(a, y).
Определение 1 (ср. [6]). Пусть U : T × Y → Z — некоторое отображение, определим
функцию ω : T × R+ → R+ формулой
ω(t, δ) = sup
y1,y2∈Y, ρY (y1,y2)<δ
ρZ(U(t, y1), U(t, y2)).
Функция ω(t, δ) называется модулем непрерывности отображения U .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 17
Стандартно доказывается, что
ω(·, δ1 + δ2) 6 ω(·, δ1) + ω(·, δ2), δ1, δ2 ∈ R+,
ω(·, δ1) 6 ω(·, δ2) при 0 < δ1 6 δ2
и U(t, ·) — непрерывное отображение, тогда и только тогда, когда ω(t, δ) → 0 при δ → 0.
Сформулируем необходимую для дальнейшего изложения лемму.
Лемма 1. Пусть (X, ρ) — полное метрическое пространство, и U : X → X — непре-
рывное отображение, ω(·) — его модуль непрерывности, тогда
ρ(U(x), U(M)) 6 ω(ρ(x,M)).
Доказательство. По определению метрики, существует последовательность {xn} ⊂M
такая, что
ρ(x, xn) 6 ρ(x,M) +
1
2n
,
поэтому
ρ(U(x), U(xn)) < ω
(
ρ(x,M) +
1
n
)
и
ρ(U(x), U(M)) = inf
y∈M
ρ(U(x), U(y)) 6 ω
(
ρ(x,M) +
1
n
)
6 ω(ρ(x,M)) + ω
(
1
n
)
.
Переходя к пределу при n → ∞ и учитывая, что вследствие непрерывности ω(1/n) → 0
при n → ∞, получаем
ρ(U(x), U(M)) 6 ω(ρ(x,M)).
Лемма доказана.
Пусть M = My ×Mz, c = (a, b), a ∈ My, b ∈ Mz. Легко показать, что
ρX(c,M) 6 max{ρY (a,My), ρZ(b,Mz)}.
Приведем необходимые для дальнейшего определения.
Определение 2 [2, 4]. Пусть (X, ρX ) — метрическое пространство с выделенным
подмножеством A ⊆ X. Отображение p(·; a, t0) : Ta,t0 → X называется движением, если
p(t0; a, t0) = a, где a ∈ A, t0 ∈ T и Ta,t0 = [t0, τ1)
⋂
T , τ1 > t0, причем τ1 конечное или
символ бесконечности.
Определение 3 [2, 4]. Пусть Ta,t0 ×{a}×{t0} → X обозначает множество отображений
Ta,t0 × {a} × {t0} в X, Λ =
⋃
(a,t0)∈A×T
(Ta,t0 × {a} × {t0} → X) и S — семейство движений,
т. е. S ⊂ {p(·; a, t0) ∈ Λ | p(t0; a, t0) = a}, тогда кортеж множеств и пространств (T,X,A, S)
будем называть динамической системой (ДС).
Определение 4. Пусть J — некоторое множество и каждому элементу j ∈ J постав-
лена в соответствие ДС (T,X,Aj , Sj). Кортеж (T,X,A, S, J), где A =
⋃
j∈J
Aj , S =
⋃
j∈J
Sj
называется семейством динамических систем (СДС).
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
Пусть заданы ДС (T, Y,A, S1) в метрическом пространстве (Y, ρY ) и некоторое СДС
(T,Z,B, S2, A). Пусть pz(·; b, y, t), b ∈ By, y ∈ Y — движения ДС (T,Z,By , Sy) при фикси-
рованном y ∈ Y .
Определим множество C = A×
⋃
a∈A
Ba и отображение px(·; a, b, t0) : Ta,b,t0 → X по правилу
px(·; a, b, t0) = (py(·; a, t0), pz(·; b, py(·; a, t0), t0)).
Пусть S ⊂ Λ = {Ta,b,t0 → X, (a, b, t0) ∈ A ×
⋃
a∈A
Ba × T}.
Очевидно, что px(t0; a, b, t0) = (a, b), поэтому (T,X,C, S) — ДС в метрическом прост-
ранстве (X, ρX ). Такие ДС (T,X,C, S) будем называть расширением ДС (T, Y,A, S1). Пред-
ложенная конструкция РДС в некотором смысле обобщает известную конструкцию косого
произведения классических ДС, заданных на пространстве с мерой [7], а полученный в ра-
боте результат обобщает концепцию отображений, сохраняющих устойчивость для косых
произведений. Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений описанная кон-
струкция РДС аналогична той, которая рассматривалась в работах [8, 9].
Таким образом, РДС (T,X,C, S) представляется целесообразным называть косым про-
изведением ДС (T, Y,A, S1) и СДС (T,Z,B, S2, A).
Пусть далее px(·; a, b, t0) — движение РДС.
Определение 5. Множество My ⊂ A называется инвариантным множеством ДС
(T, Y,A, S), если py(t; a, t0) ∈My при всех t ∈ Ta,t0 , t0 ∈ T , как только a ∈My и py(t; a, t0) ∈
∈ S.
Определение 6. Пусть Γ ⊂ Y , множество Mz ⊂ B называется Γ-инвариантным мно-
жеством CДС (T,Z,B, S, Y ), если pz(t; b, g, t0) ∈ Mz при всех t ∈ Ta,b,t0 , t0 ∈ T , g ∈ Γ, как
только b ∈ B и pz(t; b, g, t0) ∈ S.
Пусть My — инвариантное множество ДС (T, Y,A, S), Mz — My-инвариантное мно-
жество СДС (T,Z,B, S, Y ). Обозначим M = My × Mz — инвариантное множество РДС
(T,X,C, S). Действительно, пусть (a, b) ∈ My × Mz и рассмотрим движение px(·; a, b, t0),
тогда py(t; a, t0) ∈ My ⊂ Y и pz(t; b, py(t; a, t0), t0) ∈ Mz, т. е. px(·; a, b, t0) ∈ My ×Mz, что
и доказывает инвариантность множества M .
Определим понятие устойчивости и частичной устойчивости по Ляпунову инвариантно-
го множества для ДС.
Определение 7. Пусть (X, ρX) — полное метрическое пространство, (T,X,C, S) — не-
которая РДС, M — инвариантное множество относительно этой РДС. Множество M на-
зывается:
1) устойчивым, если для любого ε > 0 и для всех t0 ∈ Ta,b,t0 существует δ = δ(ε, t0) > 0
такое, что из ρX(c,M) < δ следует ρX(px(t; c, t0),M) < ε при всех t > t0;
2) z-устойчивым, если для любого t0 ∈ Ta,b,t0 и η > 0 существует ∆ = ∆(t0, η) такое, что
для любого c ∈ C такого, что ρX(c,M) < ∆ следует неравенство ρZ(Πzpx(t; c, t0),Mz) < η
при всех t > t0;
3) z-притягивающим, если существует ∆ = ∆(t0) > 0 и для любого ε > 0 существует
τ = τ(ε, t0, px) > 0 такое, что ρZ(Πzpx(t; c, t0),Mz) < ε при всех t ∈ Ta,b,t0+τ , как только
ρX(c,M) < ∆;
4) z-асимптотически устойчивым, если оно z-устойчиво и z-притягивающее;
5) z-экспоненциально устойчивым, если существует µ > 0 и для любого ε > 0 и t0 ∈ Ta,b,t0
существует δ = δ(t0) > 0 такое, что ρZ(Πzpx(t; c, t0),Mz) < εe−µ(t−t0) при всех t > t0 и c ∈ C,
как только ρX(c,M) < ∆.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 19
Основной результат. Пусть My — инвариантное множество ДС (T, Y,A, S1), а Mz —
My-инвариантное множество СДС (T,Z,B, S2, Y ), U(t, ·) — некоторое отображение T×Y →
→ Z такое, что справедливо включение U(t0,My) ⊆ Mz.
Теорема 1. Пусть My — инвариантное множество ДС (T, Y,A, S1), Mz — My-инва-
риантное множество СДС (T,Z,B, S2, Y ), а M = My ×Mz — инвариантное множество
РДС (T,X,C, S) и предположим, что отображение U : T × Y → Z удовлетворяет усло-
виям:
1) pz(·; b, y, t0) = U(·, y) при любых y ∈ My, где b = U(t0, a), a ∈ A;
2) ω(t0, δ) → 0 при δ → 0;
3) существует функция d(·) — класса Хана [10] такая, что
d(ρY (py(t; a, t0),My)) 6 ρZ(U(t, py(t; a, t0)),Mz);
4) инвариантное множество M для РДС (T,X,C, S):
а) z-устойчиво;
б) асимптотически z-устойчиво;
в) если d(r) = Nrλ, N > 0, λ > 0 и M экспоненциально z-устойчиво.
Тогда инвариантное множество My ДС (T, Y,A, S1):
а) устойчиво;
б) асимптотически устойчиво;
в) экспоненциально устойчиво.
Доказательство. Докажем утверждение а теоремы. По условию a для любого t0 ∈ T
и η > 0 существует ∆ = ∆(t0, η) > 0 такое, что для любых c = (a, b) ∈ C таких, что
ρX(c,M) < ∆ следует неравенство ρZ(Πzpx(t; c, t0),ΠzM) < η при всех t > t0.
Пусть ε > 0, a ∈ A и ρY (a,My) < ψ−1(t0,∆(d(ε))), где ψ(t0, r) = max{r, ω(t0, r)} —
неубывающая функция.
Используя условие Mz ⊇ U(t0,My) и лемму 1, находим
ρZ(b,Mz) 6 ρZ(b, U(t0,My)) 6 ω(t0, ρY (a,My)) 6 ω(t0, ψ
−1(t0,∆(d(ε)))).
Отсюда
ρX(c,M) 6 max{ρY (a,My), ρZ(b,Mz)} 6
6 max{ψ−1(t0,∆(d(ε))), ω(t0, ψ
−1(t0,∆(d(ε))))} = ∆(d(ε)),
поэтому из z-устойчивости и условия 1 следует, что
ρZ(U(t, py(t; a, t0)),Mz) < d(ε) при всех t > t0.
Из условия 3 следует оценка
d(ρY (py(t; a, t0),My)) < d(ε), t > t0,
откуда следует неравенство
ρY (py(t; a, t0),My) < ε при всех t > t0.
Свойство а доказано. Докажем далее свойство б.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
Пусть инвариантное множество M асимптотически z-устойчиво, т. е. оно z-устойчиво
и z-притягивающее. В этом случае существует ∆2 = ∆2(t0) > 0 и для любого ε2 > 0
существует τ = τ(ε2, t0, px) > 0 такое, что ρZ(U(t, py(t; a, t0)),Mz) < ε2 при всех t ∈ Ta,b,t0+τ ,
как только ρX(c,M) < ∆2.
Далее для любого ε1 > 0 выберем ε2 = ψ(ε1) и положим ∆1 = ψ−1(t0,∆2(d(ε1))), где
ψ(t0, r) = max{r, ω(t0, r)} — неубывающая функция.
Аналогично доказанному выше получаем неравенство
ρX(c,M) < ∆2(d(ε1)),
поэтому из асимптотической z-устойчивости и условия б следует оценка
ρZ(U(t, py(t; a, t0)),Mz) < d(ε1).
Из условия 3 следует неравенство
d(ρY (py(t; a, t0)),My) < d(ε1) при всех t > t0 + τ,
откуда следует оценка
ρY (py(t; a, t0),My) < ε1 при всех t > t0 + τ.
Свойство б доказано. Докажем свойство в.
Пусть множество M РДС (T,X,C, S) экспоненциально z-устойчиво, т. е. существует µ2 >
> 0 и для любого ε2 > 0, t0 ∈ T и c ∈ C существует ∆2 = ∆2(ε2) такое, что из ρX(c,M) < ∆2
следует ρZ(Πzpx(t; c, t0),Mz) < ε2e
−µ2(t−t0) при всех t ∈ Tc,t0 , px ∈ S. Далее для любого
ε1 > 0 выберем ε2 = Nελ1 и положим ∆1 = ψ−1(ε2) = ∆1(ε1), µ1 = µ2/λ. Пусть для всех
a ∈ A справедливо соотношение ρY (a,My) < ψ−1(t0,∆2(ε2)), где ψ(t0, r) = max{r, ω(t0, r)} —
неубывающая функция.
Аналогично предыдущему получаем оценки
ρX(c,M) 6 ∆2(ε2), ρZ(U(t, py(t; a, t0)),Mz) < ε2e
−µ2(t−t0).
Из условия 3 и 4в следуют неравенства
d(ρY (py(t; a, t0),My)) < ε2e
−µ2(t−t0),
N(ρY (py,My))
λ < Nελ1e
−λµ1(t−t0),
ρY (py(t; a, t0),My) < ε1e
−µ1(t−t0).
Теорема доказана.
Полученные результаты соответствуют приведенным в разделе 2 работы [11] и позволя-
ют исследовать устойчивость локально линейных моделей динамических систем, в частнос-
ти локально линейных систем Такаги–Сугено [12].
Авторы выражают благодарность академику НАН Украины А.А. Мартынюку за постановку
задачи и обсуждение полученных результатов.
1. Зубов В.И. Методы А.М. Ляпунова и их применение. – Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1957. –
238 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 21
2. Michel A.N., Wang K., Hu B. Qualitative theory of dynamical systems. The role of stability preserving
mappings. – New York: Marcel Dekker, 2001. – 707 p.
3. Martynyuk A.A. Stability of dynamical systems in metric space // Nonlin. Dynamics and Systems Theory. –
2005. – 5, No 2. – P. 157–167.
4. Michel A.N., Molchanov A. P., Sun Y. Partial stability and boundedness of general dynamical systems on
metric spaces // Nonlin. Analysis. – 2003. – 52. – P. 1295–1316.
5. Мартынюк А.А., Денисенко В. С. Об устойчивости и ограниченности относительно части перемен-
ных в метрическом пространстве // Доп. НАН України. – 2008. – No 4. – С. 69–75.
6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. – Москва: Мир, 1965. – 615 с.
7. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. – Москва: Наука, 1980. – 384 с.
8. Martynyuk A.A. Extension of the space states of dynamic systems and the problem of stability // Collo-
quium on qualitative theory of differential equations. – Szeged, 1984. – P. 58–59.
9. Мартынюк А.А. Расширение пространства состояний динамических систем и проблема устойчиво-
сти // Прикл. механика. – 1986. – 22, No 12. – С. 10–25.
10. Hahn W. Stability of motion. – Berlin: Springer-Verlag, 1967. – 448 p.
11. Денисенко В. С. Умови стiйкостi руху нелiнiйних механiчних систем, якi встановленi на основi ло-
кально-лiнiйних апроксимацiй: Автореф. дис. . . . канд. фiз.-мат наук: спец. 01.02.01 “теоретична ме-
ханiка”. – Київ, 2009. – 17 с.
12. Denysenko V. S., Martynyuk A.A., Slyn’ko V. I. Stability analysis of impulsive Takagi–Sugeno systems //
Int. J. of Innovative Computing, Information and Control. – 2009. – 5, No 10(A). – P. 3141–3155.
Поступило в редакцию 09.06.2010Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
V. S. Denysenko, V. I. Slyn’ko
Partial stability of invariant sets of extended dynamical systems on
a metric space
The construction of extended dynamical systems in a metric space is proposed. The partial stability
conditions of invariant sets of extended dynamical systems are established with the use of a stability-
preserving mapping and the comparison principle.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
|