Чисельне розв'язання задач про напружено-деформований стан сферичних оболонок змінної товщини в уточненій постановці
Дослiджено задачу про напружено-деформований стан сферичної ортотропної оболонки зi змiнною в одному координатному напрямку товщиною при рiзних граничних умовах в уточненiй постановцi. Розвинуто чисельно-аналiтичний пiдхiд, який базується на застосуваннi сплайн-апроксимацiї та методу дискретної орто...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37256 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Чисельне розв'язання задач про напружено-деформований стан сферичних оболонок змінної товщини в уточненій постановці / О.Я. Григоренко, О.В. Вовкодав, С.М. Яремченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 50-56. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859687959614193664 |
|---|---|
| author | Григоренко, О.Я. Вовкодав, О.В. Яремченко, С.М. |
| author_facet | Григоренко, О.Я. Вовкодав, О.В. Яремченко, С.М. |
| citation_txt | Чисельне розв'язання задач про напружено-деформований стан сферичних оболонок змінної товщини в уточненій постановці / О.Я. Григоренко, О.В. Вовкодав, С.М. Яремченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 50-56. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дослiджено задачу про напружено-деформований стан сферичної ортотропної оболонки зi змiнною в одному координатному напрямку товщиною при рiзних граничних умовах в уточненiй постановцi. Розвинуто чисельно-аналiтичний пiдхiд, який базується на застосуваннi сплайн-апроксимацiї та методу дискретної ортогоналiзацiї. Напружено-деформований стан пологих ортотропних оболонок дослiджено у випадку змiнної товщини i збереженнi ваги.
The problem of a stress-strain state of the orthotropic spherical shell of variable thickness in one dimension is carried out in a refined statement for different boundary conditions. The numericalanalytical method is developed based on using the spline-approximation and the discrete-orthogonalization methods. The stress-strain state of orthotropic shallow shells is investigated for the case of the variable thickness and preserving the weight.
|
| first_indexed | 2025-11-30T23:31:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2011
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2011
О.Я. Григоренко, О. В. Вовкодав, С. М. Яремченко
Чисельне розв’язання задач
про напружено-деформований стан сферичних
оболонок змiнної товщини в уточненiй постановцi
(Представлено академiком НАН України В. Д. Кубенком)
Дослiджено задачу про напружено-деформований стан сферичної ортотропної оболонки
зi змiнною в одному координатному напрямку товщиною при рiзних граничних умовах
в уточненiй постановцi. Розвинуто чисельно-аналiтичний пiдхiд, який базується на за-
стосуваннi сплайн-апроксимацiї та методу дискретної ортогоналiзацiї. Напружено-де-
формований стан пологих ортотропних оболонок дослiджено у випадку змiнної товщи-
ни i збереженнi ваги.
Сферичнi оболонки широко застосовуються як елементи конструкцiй у рiзних галузях тех-
нiки, зокрема у суднобудуваннi та ракетно-космiчнiй технiцi. Для оцiнки мiцностi та надiй-
ностi таких конструкцiй потрiбно знати характеристики їх напруженого стану. Тому вини-
кає необхiднiсть у розробцi ефективних методiв i пiдходiв до розрахунку оболонок даного
класу [1, 2].
Дослiдженню напружено-деформованого стану нетонких сферичних оболонок в рамках
некласичної теорiї оболонок на основi уточненої моделi прямолiнiйного елемента присвячено
роботи [3–6]. В даному повiдомленнi проводиться дослiдження напружено-деформованого
стану оболонок такого класу, але змiнної товщини. Вихiдна математична модель такої зада-
чi описується системою диференцiальних рiвнянь в частинних похiдних десятого порядку зi
змiнними коефiцiєнтами при вiдповiдних граничних умовах на краях. Дослiдження таких
задач пов’язане зi значними труднощами обчислювального характеру. Тому для її розв’я-
зання пропонується чисельно-аналiтичний пiдхiд, що грунтується на зведеннi двовимiрної
крайової задачi до системи звичайних диференцiальних рiвнянь з використанням методу
сплайн-апроксимацiї в одному з координатних напрямкiв. Отримана одновимiрна крайова
задача розв’язується стiйким чисельним методом дискретної ортогоналiзацiї. Ранiше та-
кий пiдхiд був використаний у роботах [7–10]. Для дослiдження напружено-деформованого
стану сферичних оболонок використовуються також iншi чисельнi методи [6, 11, 12].
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
Особливiстю розв’язуваної задачi є дослiдження напруженого стану сферичних оболо-
нок, виготовлених з ортотропних матерiалiв [13, 14]. При цьому товщина оболонки може
змiнюватися у двох координатних напрямках. Автори дослiджували вплив змiни товщини
на розподiл їх прогинiв.
1. Розглянемо сферичнi оболонки, товщина яких змiнюється у двох координатних на-
прямках в уточненiй постановцi, що базується на гiпотезi прямої лiнiї. Суть прийнятої гi-
потези полягає у тому, що спочатку нормальний до координатної поверхнi елемент пiсля
деформацiї залишається прямолiнiйним, але вже не перпендикулярним до деформованої
координатної поверхнi. При цьому приймається, що вказаний елемент не змiнює свою дов-
жину.
За прийнятою гiпотезою, перемiщення оболонки подамо у виглядi
uθ(θ, ϕ, γ) = u(θ, ϕ) + γψθ(θ, ϕ);
uϕ(θ, ϕ, γ) = v(θ, ϕ) + γψϕ(θ, ϕ);
uγ(θ, ϕ, γ) = w(θ, ϕ),
(1)
де θ, ϕ, γ — координати точок оболонки; uθ, uϕ, uγ — вiдповiднi перемiщення; u, v, w —
перемiщення точок координатної поверхнi у напрямках θ, ϕ, γ; ψθ, ψϕ — повнi кути повороту
прямолiнiйного елемента.
У вiдповiдностi з (1) вирази для деформацiй записуємо у виглядi
eθ(θ, ϕ, γ) = εθ(θ, ϕ) + γκθ(θ, ϕ); eϕ(θ, ϕ, γ) = εϕ(θ, ϕ) + γκϕ(θ, ϕ);
eθϕ(θ, ϕ, γ) = εθϕ(θ, ϕ) + γ2κθϕ(θ, ϕ);
eθϕ(θ, ϕ, γ) = γθ(θ, ϕ); eϕγ(θ, ϕ, γ) = γϕ(θ, ϕ),
(2)
де
εθ =
1
r
(
∂u
∂θ
+ w
)
; εϕ =
1
r sin θ
(
∂v
∂ϕ
+ u cos θ
)
+
w
r
; κθ =
1
r
(
∂ψθ
∂θ
−
1
r
(
∂u
∂θ
+ w
))
;
κϕ =
1
r sin θ
(
∂ψϕ
∂ϕ
−
1
r
∂v
∂ϕ
+ cos θ
(
ψθ −
u
r
))
−
w
r2
;
2κθϕ =
1
r
∂ψϕ
∂θ
−
1
r2
∂v
∂θ
+
1
r sin θ
(
∂ψθ
∂ϕ
+ cos θ
(
v
r
− ψϕ
)
−
1
r
∂u
∂ϕ
)
;
γθ = ψθ − ϑθ; γϕ = ψϕ − ϑϕ; ϑθ =
1
r
(
u−
∂w
∂θ
)
; ϑϕ =
1
r
(
v −
1
sin θ
∂w
∂ϕ
)
.
(3)
Тут εθ, εϕ, εθϕ — тангенцiальнi, а κθ, κϕ, κθϕ — прогиннi деформацiї координатної поверхнi;
ϑθ, ϑϕ — кути повороту нормалi без урахування поперечних зсувiв; γθ, γϕ — кути повороту
нормалi, зумовленi поперечними зсувами.
Рiвняння рiвноваги мають вигляд
cos θ(Nθ −Nϕ) + sin θ
(
∂Nθ
∂θ
+Qθ
)
+
∂Nϕθ
∂ϕ
= 0;
∂Nϕ
∂ϕ
+ 2cos θNθϕ + sin θ
(
∂Nθϕ
∂θ
+Qϕ
)
= 0;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 51
cos θQθ +
∂Qϕ
∂ϕ
+ sin θ
(
∂Qθ
∂θ
−Nθ −Nϕ + rqγ
)
= 0; (4)
cos θ(Mθ −Mϕ) +
∂Mϕθ
∂ϕ
+ sin θ
(
∂Mθ
∂θ
− rQθ
)
= 0;
∂Mϕ
∂ϕ
+ 2cos θMθϕ + sin θ
(
∂Mθϕ
∂θ
− rQϕ
)
= 0.
де Nθ, Nϕ, Nθϕ, Nϕθ — тангенцiальнi зусилля; Qθ, Qϕ — перерiзуючi зусилля; Mθ, Mϕ, Mθϕ,
Mϕθ — згинаючi та скручуючи моменти.
Спiввiдношення пружностi для ортотропних оболонок симетричної структури по тов-
щинi вiдносно вибраної координатної поверхнi запишемо у виглядi
Nθ = C11εθ +C12εϕ; Nϕ = C12εθ + C22εϕ; Nθϕ = C66εθϕ + 2k2D66κθϕ;
Nϕθ = C66εθϕ + 2k1D66κθϕ; Mθ = D11κθ +D12κϕ; Mϕ = D12κθ +D22κϕ;
Mϕθ =Mθϕ = 2D66κθϕ; Qθ = K1γθ; Qϕ = K2γϕ,
(5)
де
C11 =
Eθh
1− νθνϕ
; C12 = νϕC11; C22 =
Eϕh
1− νθνϕ
; C66 = Gθϕh;
D11 =
Eθh
3
12(1 − νθνϕ)
; D12 = νϕD11; D22 =
Eϕh
3
12(1 − νθνϕ)
;
D66 =
Gθϕh
3
12
; K1 =
5
6
hGθγ ; K2 =
5
6
hGϕγ .
(6)
Тут Eθ, Eϕ, νθ, νϕ — модулi пружностi та коефiцiєнти Пуассона у напрямках θ i ϕ; Gθϕ,
Gθγ , Gϕγ — модулi зсуву; h = h(θ, ϕ) — товщина оболонки.
Для визначення напружень в ортотропних сферичних оболонках будемо виходити з спiв-
вiдношень закону Гука (В. З. Власов, 1949) [3, 4, 15]
eθ = b11σθ + b12σϕ; eϕ = b12σθ + b22σϕ;
eθϕ = b66τθϕ, eθγ = b55τθγ , eϕγ = b44τϕγ ,
(7)
де
b11 =
1
Eθ
; b12 = −
νθ
Eθ
= −
νϕ
Eϕ
; b22 =
1
Eϕ
; b66 =
1
Gθϕ
;
b44 =
1
Gϕγ
; b55 =
1
Gθγ
.
(8)
Розв’язуючи рiвняння (7) вiдносно напружень i використовуючи (2), отримуємо вирази
для напружень через деформацiї координатної поверхнi
(b11b22 − b212)σθ = b22(εθ + γκθ)− b12(εϕ + γκϕ);
(b212 − b11b22)σϕ = b12(εθ + γκθ)− b11(εϕ + γκϕ);
b66τθϕ = εθϕ + 2γκθϕ; b55τθγ = γθ; b44τϕγ = γϕ
(
−
h
2
6 γ 6
h
2
)
.
(9)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
За розв’язувальнi функцiї вибираємо компоненти вектора перемiщень та повнi кути
повороту u, v, w, ψθ, ψϕ. Пiсля деяких перетворень з вказаних основних рiвнянь уточненої
теорiї оболонок отримуємо систему п’яти розв’язувальних диференцiальних рiвнянь в час-
тинних похiдних другого порядку зi змiнними коефiцiєнтами
∂2u
∂θ2
= a11
∂u
∂θ
+ a12
∂u
∂ϕ
+ a13
∂2u
∂ϕ2
+ a14u+ a15
∂v
∂θ
+ a16
∂2v
∂θ∂ϕ
+ a17
∂v
∂ϕ
+
+ a18v + a19
∂w
∂θ
+ a1,10w + a1,11
∂ψθ
∂ϕ
+ a1,12
∂2ψθ
∂ϕ2
+ a1,13ψθ +
+ a1,14
∂ψϕ
∂θ
+ a1,15
∂2ψϕ
∂θ∂ϕ
+ a1,16
∂ψϕ
∂ϕ
+ a1,17ψϕ;
∂2v
∂θ2
= a21
∂u
∂θ
+ a22
∂2u
∂θ∂ϕ
+ a23
∂u
∂ϕ
+ a24u+ a25
∂v
∂θ
+ a26
∂v
∂ϕ
+ a27
∂2v
∂ϕ2
+
+ a28v + a29
∂w
∂ϕ
+ a2,10w + a2,11
∂ψθ
∂θ
+ a2,12
∂2ψθ
∂θ∂ϕ
+ a2,13
∂ψθ
∂ϕ
+
+ a2,14ψθ + a2,15
∂ψϕ
∂ϕ
+ a2,16
∂2ψϕ
∂ϕ2
+ a2,17ψϕ;
∂2w
∂θ2
= a31
∂u
∂θ
+ a32u+ a33
∂v
∂ϕ
+ a34v + a35
∂w
∂θ
+ a36
∂w
∂ϕ
+ a37
∂2w
∂ϕ2
+
+ a38w + a39
∂ψθ
∂θ
+ a3,10ψθ + a3,11
∂ψϕ
∂ϕ
+ a3,12ψϕ + a3,13qγ ;
∂2ψθ
∂θ2
= a41
∂u
∂θ
+ a42
∂u
∂ϕ
+ a43
∂2u
∂ϕ2
+ a44u+ a45
∂v
∂θ
+ a46
∂2v
∂θ∂ϕ
+ a47
∂v
∂ϕ
+
+ a48v + a49
∂w
∂θ
+ a4,10w + a4,11
∂ψθ
∂θ
+ a4,12
∂ψθ
∂ϕ
+ a4,13
∂2ψθ
∂ϕ2
+
+ a4,14ψθ + a4,15
∂ψϕ
∂θ
+ a4,16
∂2ψϕ
∂θ∂ϕ
+ a4,17
∂ψϕ
∂ϕ
+ a4,18ψϕ;
∂2ψϕ
∂θ2
= a51
∂u
∂θ
+ a52
∂2u
∂θ∂ϕ
+ a53
∂u
∂ϕ
+ a54u+ a55
∂v
∂θ
+ a56
∂v
∂ϕ
+ a57
∂2v
∂ϕ2
+
+ a58v + a59
∂w
∂ϕ
+ a5,10w + a5,11
∂ψθ
∂θ
+ a5,12
∂2ψθ
∂θ∂ϕ
+ a5,13
∂ψθ
∂ϕ
+
+ a5,14ψθ + a5,15
∂ψϕ
∂θ
+ a5,16
∂ψϕ
∂ϕ
+ a5,17
∂2ψϕ
∂ϕ2
+ a5,18ψϕ.
(10)
Коефiцiєнти aij в загальному випадку залежать вiд θ i ϕ.
Додаючи до системи рiвнянь (10) граничнi умови на контурi оболонки отримаємо дво-
вимiрну крайову задачу
2. Для розв’язання даного класу двовимiрних крайових задач застосовуємо пiдхiд, що
базується на апроксимацiї шуканого розв’язку в одному координатному напрямку за до-
помогою сплайн-функцiй, а для розв’язання отриманої в результатi одновимiрної крайової
задачi використовуємо стiйкий чисельний метод дискретної ортогоналiзацiї [4, 7].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 53
В систему (10) входять похiднi вiд розв’язувальних функцiй по координатi ϕ не вище
другого порядку. На основi цього при апроксимацiї рiшень по координатi ϕ можна обме-
житися сплайн-функцiями третього степеня. Тодi шуканий розв’язок крайової задачi для
системи рiвнянь (10) з вiдповiдними граничними умовами подамо в такому виглядi [5, 7]:
u(θ, ϕ) =
N
∑
i=o
ui(θ)φ1i(ϕ); v(θ, ϕ) =
N
∑
i=o
vi(θ)φ2i(ϕ);
w(θ, ϕ) =
N
∑
i=o
wi(θ)φ3i(ϕ); ψθ(θ, ϕ) =
N
∑
i=o
ψθi(θ)φ4i(ϕ);
ψϕ(θ, ϕ) =
N
∑
i=o
ψϕi(θ)φ5i(ϕ),
(11)
де ui(θ), vi(θ), wi(θ), ψθi(θ), ψϕi(θ) — невiдомi функцiї, що залежать вiд координати θ;
ϕji(y) (j = 1, 5) — лiнiйнi комбiнацiї B-сплайнiв на рiвномiрнiй сiтцi ∆: 0 = ϕ0 < ϕ1 < · · · <
< ϕN , що точно задовольняють граничнi умови на краях. В систему входять похiднi вiд
розв’язувальних функцiй по координатi ϕ не вище другого порядку i можна обмежитися
при апроксимацiї сплайн-функцiями третього степеня.
Пiдставивши вирази (11) в розв’язувальну систему рiвнянь (10) i граничнi умови, за-
стосовуючи метод сплайн-колокацiї та вимагаючи їх задоволення на N + 1 лiнiях ϕ = ξi
(i = 1, N + 1), отримуємо систему звичайних диференцiальних рiвнянь порядку 10(N + 1),
яку можна навести в нормальнiй формi Кошi у виглядi
dR
dθ
= A(θ)R+ f(θ), (12)
де R = {u0, u1, . . . , uN , v0, v1, . . . , vN , w0, w1, . . . , wN , ψθ0, ψθ1, . . . , ψθN , ψϕ0, ψϕ1, . . . , ψϕN}T —
вектор-функцiя вiд θ; f(θ) — вектор правих частин; A(θ) — квадратна матриця, елементи
якої залежать вiд θ.
Для розв’язання одновимiрної крайової задачi (12) використовуємо стiйкий чисельний
метод дискретної ортогоналiзацiї.
3. Як приклад застосування запропонованого чисельно-аналiтичного пiдходу розв’яже-
мо задачу про дослiдження напружено-деформованого стану iзотропної сферичної оболон-
ки, замкненої по координатi ϕ. У цьому випадку двовимiрна крайова задача внаслiдок
симетрiї по ϕ зведеться до одновимiрної. Нехай товщина оболонки змiнюється за законом
h = 1 + α cos θ, r = 20, qγ = q = const. Контури θ = π/3 та θ = π/2 жорстко закрiпленi,
тобто на них виконуються умови u = v = w = 0, ψϕ = ψθ = 0.
На рис. 1 порiвнюється розв’язок двовимiрної крайової задачi з умовами симетрiї на
контурах ϕ = const, отриманий за допомогою описаної вище методики (суцiльна лiнiя)
та розв’язок одновимiрної крайової задачi, одержаний методом дискретної ортогоналiзацiї
(точки). З графiкiв видно, що розв’язки при рiзних значеннях параметра змiни товщини α
практично не вiдрiзняються.
Також було розв’язано задачу про напружено-деформований стан незамкненої по пара-
метру ϕ сферичної оболонки (π/3 6 θ 6 π/2, 0 6 ϕ 6 π), жорстко закрiпленої по всьому
контуру. Всi iншi параметри оболонки такi ж, як у попереднiй задачi. На рис. 2 показа-
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
Рис. 1. Розподiл прогинiв вздовж θ
Рис. 2. Розподiл прогинiв вздовж ϕ
но розподiл прогинiв вздовж параметра ϕ в перерiзi θ = 5π/12 залежно вiд параметра α
(з мiркувань симетрiї розподiл наведено на iнтервалi 0 6 ϕ 6 π/2). З графiкiв видно, що
змiна товщини має значний вплив на напружено-деформований стан сферичної оболонки.
Таким чином, в роботi розроблено ефективний чисельно-аналiтичний пiдхiд до розв’я-
зання задач статики сферичних ортотропних оболонок змiнної товщини в уточненiй поста-
новцi при рiзних граничних умовах. З вихiдних рiвнянь уточненої теорiї оболонок отримано
розв’язувальну систему диференцiальних рiвнянь iз граничними умовами, що становлять
двовимiрну крайову задачу, яка розв’язується шляхом зведення до одновимiрної методом
сплайн-колокацiї i розв’язання одновимiрної крайової задачi стiйким чисельним методом
дискретної ортогоналiзацiї. На основi викладеного пiдходу побудовано алгоритм i створено
ефективний програмний комплекс, за допомогою якого розв’язано ряд задач i проведено
аналiз напруженого стану оболонок вказаного класу залежно вiд законiв змiни товщини
при рiзних граничних умовах, виявлено ряд закономiрностей розподiлiв прогинiв i напру-
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 55
жень, що мають практичне значення при оцiнцi мiцностi i надiйностi елементiв конструкцiй.
Запропонований пiдхiд дозволяє проводити дослiдження напружено-деформованого стану
сферичних ортотропних оболонок змiнної товщини.
1. Справочник по теории упругости / Под ред. П.М. Варвака и А.Ф. Рябова. – Киев: Будiвельник,
1971. – 418 с.
2. Gould P. L. Analysis of shells and plates. – New York: Springer-Verlag, 1988. – 483 p.
3. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости. – Киев: Наук. думка,
1981. – 543 с.
4. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. – Киев: Наук. думка, 1973. – 246 с.
5. Rychter Z. Family of shear deformation theories for shallow shells // Adv. Mech. – 1993. – No 98. –
P. 221–232.
6. Simmonds J.G., Wan F.Y.M. An asymptotic analysis of the three-dimensional displacements and stresses
in a spherical shell under inward radially opposed concentrated surface loads // Int. J. of Solids and
Struct. – 2001. – 38, No 38–39. – P. 6869–6887.
7. Григоренко Я.М., Влайков Г. Г., Григоренко А.Я. Численно-аналитическое решение задач механики
оболочек на основе различных моделей. – Киев: ИД “Академпериодика”, 2006. – 472 с.
8. Grigorenko A.Ya., Yaremchenko N. P. On stress-stain state of rectangular in the plan shallow shells of
variable thickness in a refined statement // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, No 10. – P. 80–91.
9. Grigorenko Ya.M., Avramenko O.A. Studying the stress-strain state of closed non-thin orthotropic conical
shells of variable thickness // Ibid. – 2008. – 44, No 6. – P. 46–58.
10. Grigorenko Ya.M., Yaremchenko S. N. Influence of orthotropy on displacements and stresses in nonthin
cylindrical shells with elliptic cross section // Ibid. – 2007. – 43, No 6. – P. 82–92.
11. Fan S. C., Cheung Y. K. Analysis of shallow shells by spline finite strip method // Eng. Struct. – 1983. –
No 5. – P. 255–263.
12. Li Q. S., Liu J., Tang J. Buckling of shallow spherical shells including the effect of transverse shear
deformation // Int. J. of Mech. Science – 2003. – 38, No 9. – P. 1519–1529.
13. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – Москва: Наука, 1974. – 446 с.
14. Vorovich I. I., Manakova N. I. Equations of the axisymmetric state of stress and strain of a nonshallow
spherical shell of nonlinear elastic material under large deformation // J. of Appl. Math. and Mech. –
1973. – 37, No 4. – P. 886–891.
15. Григоренко Я.М., Шевченко Ю.Н., Василенко А.Т. Численные методы. – Киев: А.С. К., 2002. – 448 с.
Надiйшло до редакцiї 23.06.2010Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
O.Ya. Grigorenko, O.V. Vovkodav, S.M. Yaremchenko
Numerical solution of problems of a stress-strain state of spherical shells
with variable thickness in a refined statement
The problem of a stress-strain state of the orthotropic spherical shell of variable thickness in one
dimension is carried out in a refined statement for different boundary conditions. The numerical-
analytical method is developed based on using the spline-approximation and the discrete-orthogonali-
zation methods. The stress-strain state of orthotropic shallow shells is investigated for the case of
the variable thickness and preserving the weight.
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37256 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T23:31:33Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Григоренко, О.Я. Вовкодав, О.В. Яремченко, С.М. 2012-09-30T19:36:30Z 2012-09-30T19:36:30Z 2011 Чисельне розв'язання задач про напружено-деформований стан сферичних оболонок змінної товщини в уточненій постановці / О.Я. Григоренко, О.В. Вовкодав, С.М. Яремченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 50-56. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37256 539.3 Дослiджено задачу про напружено-деформований стан сферичної ортотропної оболонки зi змiнною в одному координатному напрямку товщиною при рiзних граничних умовах в уточненiй постановцi. Розвинуто чисельно-аналiтичний пiдхiд, який базується на застосуваннi сплайн-апроксимацiї та методу дискретної ортогоналiзацiї. Напружено-деформований стан пологих ортотропних оболонок дослiджено у випадку змiнної товщини i збереженнi ваги. The problem of a stress-strain state of the orthotropic spherical shell of variable thickness in one dimension is carried out in a refined statement for different boundary conditions. The numericalanalytical method is developed based on using the spline-approximation and the discrete-orthogonalization methods. The stress-strain state of orthotropic shallow shells is investigated for the case of the variable thickness and preserving the weight. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Чисельне розв'язання задач про напружено-деформований стан сферичних оболонок змінної товщини в уточненій постановці Numerical solution of problems of a stress-strain state of spherical shells with variable thickness in a refined statement Article published earlier |
| spellingShingle | Чисельне розв'язання задач про напружено-деформований стан сферичних оболонок змінної товщини в уточненій постановці Григоренко, О.Я. Вовкодав, О.В. Яремченко, С.М. Механіка |
| title | Чисельне розв'язання задач про напружено-деформований стан сферичних оболонок змінної товщини в уточненій постановці |
| title_alt | Numerical solution of problems of a stress-strain state of spherical shells with variable thickness in a refined statement |
| title_full | Чисельне розв'язання задач про напружено-деформований стан сферичних оболонок змінної товщини в уточненій постановці |
| title_fullStr | Чисельне розв'язання задач про напружено-деформований стан сферичних оболонок змінної товщини в уточненій постановці |
| title_full_unstemmed | Чисельне розв'язання задач про напружено-деформований стан сферичних оболонок змінної товщини в уточненій постановці |
| title_short | Чисельне розв'язання задач про напружено-деформований стан сферичних оболонок змінної товщини в уточненій постановці |
| title_sort | чисельне розв'язання задач про напружено-деформований стан сферичних оболонок змінної товщини в уточненій постановці |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37256 |
| work_keys_str_mv | AT grigorenkooâ čiselʹnerozvâzannâzadačpronapruženodeformovaniistansferičnihobolonokzmínnoítovŝinivutočneníipostanovcí AT vovkodavov čiselʹnerozvâzannâzadačpronapruženodeformovaniistansferičnihobolonokzmínnoítovŝinivutočneníipostanovcí AT âremčenkosm čiselʹnerozvâzannâzadačpronapruženodeformovaniistansferičnihobolonokzmínnoítovŝinivutočneníipostanovcí AT grigorenkooâ numericalsolutionofproblemsofastressstrainstateofsphericalshellswithvariablethicknessinarefinedstatement AT vovkodavov numericalsolutionofproblemsofastressstrainstateofsphericalshellswithvariablethicknessinarefinedstatement AT âremčenkosm numericalsolutionofproblemsofastressstrainstateofsphericalshellswithvariablethicknessinarefinedstatement |