Змішана система рівнянь коливань анізотропних тіл з однією площиною симетрії пружних властивостей (моноклінна система) і її властивості
Одержано змiшанi системи рiвнянь в операторнiй формi Кошi за просторовими координатами для анiзотропних середовищ iз однiєю площиною симетрiї пружних властивостей. За перпендикулярною до площини симетрiї координатою отримана система зведена до операторної гамiльтонової форми. The mixed system of equ...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37257 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Змішана система рівнянь коливань анізотропних тіл з однією площиною симетрії пружних властивостей (моноклінна система) і її властивості / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 63-67. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859652829419929600 |
|---|---|
| author | Шульга, М.О. |
| author_facet | Шульга, М.О. |
| citation_txt | Змішана система рівнянь коливань анізотропних тіл з однією площиною симетрії пружних властивостей (моноклінна система) і її властивості / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 63-67. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Одержано змiшанi системи рiвнянь в операторнiй формi Кошi за просторовими координатами для анiзотропних середовищ iз однiєю площиною симетрiї пружних властивостей. За перпендикулярною до площини симетрiї координатою отримана система зведена до операторної гамiльтонової форми.
The mixed system of equations in the operator form of Cauchy in spatial coordinates for anisotropic media with one plane of symmetry of elastic properties is deduced. On a coordinate perpendicular to the plane of symmetry, the obtained system is represented in the operator Hamilton form.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:36:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 534-16.534-21
© 2011
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга
Змiшана система рiвнянь коливань анiзотропних тiл
з однiєю площиною симетрiї пружних властивостей
(моноклiнна система) i її властивостi
Одержано змiшанi системи рiвнянь в операторнiй формi Кошi за просторовими ко-
ординатами для анiзотропних середовищ iз однiєю площиною симетрiї пружних влас-
тивостей. За перпендикулярною до площини симетрiї координатою отримана система
зведена до операторної гамiльтонової форми.
У роботах [1–4 та iн.] рiвняння коливань i шiсть матерiальних спiввiдношень для орто-
тропного пружного тiла зведено до змiшаної системи шести рiвнянь вiдносно перемiщень
i трьох вiдповiдним чином вибраних напружень. У [5] вперше було показано, що такi сис-
теми є гамiльтоновими операторними системами за просторовою координатою з належним
чином вибраними гамiльтоновими змiнними i вiдповiдною операторною функцiєю Гамiльто-
на. У данiй роботi отриманий бiльш загальний результат для матерiалiв з однiєю площиною
симетрiї пружних постiйних (моноклiнна система). Показано, що змiшану систему рiвнянь
лише за перпендикулярною до площини симетрiї координатою можна зобразити у формi
операторної гамiльтонової системи; за координатами у площинi симетрiї таке зображення
одержати не вдається.
У декартовiй прямокутнiй системi координат x1, x2, x3 рiвняння коливань
∂σ11
∂x1
+
∂σ21
∂x2
+
∂σ31
∂x3
= ρ(x3)
∂2u1
∂t2
,
∂σ12
∂x1
+
∂σ22
∂x2
+
∂σ32
∂x3
= ρ(x3)
∂2u2
∂t2
,
∂σ13
∂x1
+
∂σ23
∂x2
+
∂σ33
∂x3
= ρ(x3)
∂2u3
∂t2
(1)
для анiзотропних матерiалiв з однiєю площиною симетрiї x3 = const пружних властивостей
(кристали моноклiнної системи) замикаються матерiальними залежностями [6]
σ11 = c11(x3)
∂u1
∂x1
+ c12(x3)
∂u2
∂x2
+ c13(x3)
∂u3
∂x3
+ c16(x3)
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
,
σ22 = c21(x3)
∂u1
∂x1
+ c22(x3)
∂u2
∂x2
+ c23(x3)
∂u3
∂x3
+ c26(x3)
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
,
σ33 = c31(x3)
∂u1
∂x1
+ c32(x3)
∂u2
∂x2
+ c33(x3)
∂u3
∂x3
+ c36(x3)
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
,
σ23 = c44(x3)
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)
+ c45(x3)
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
,
(2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 63
σ31 = c54(x3)
(
∂u2
∂x3
+
∂u3
∂x2
)
+ c55(x3)
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
,
σ12 = c61(x3)
∂u1
∂x1
+ c62(x3)
∂u2
∂x2
+ c63(x3)
∂u3
∂x3
+ c66(x3)
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
.
1. Виберемо за основнi (розв’язуючi) функцiї перемiщення u1, u2, u3 i напруження σ31,
σ32, σ33, якi при досконалому механiчному контактi залишаються неперервними на площи-
нах x3 = const розриву механiчних властивостей середовища. Пiсля вiдповiдних перетво-
рень iз залежностей (1), (2) одержимо таку систему рiвнянь:
∂σ33
∂x3
= ρ
∂2u3
∂t2
−
∂σ13
∂x1
−
∂σ23
∂x2
,
∂u1
∂x3
= −
∂u3
∂x1
+
c44
c44c55 − c2
45
σ13 −
c45
c44c55 − c2
45
σ23,
∂u2
∂x3
= −
∂u3
∂x2
−
c45
c44c55 − c2
45
σ13 +
c55
c44c55 − c2
45
σ23,
∂u3
∂x3
=
σ33
c33
−
c31
c33
∂u1
∂x1
−
c36
c33
∂u1
∂x2
−
c36
c33
∂u2
∂x1
−
c32
c33
∂u2
∂x2
,
∂σ31
∂x3
= −
c13
c33
∂σ33
∂x1
−
c63
c33
∂σ33
∂x2
+ ρ
∂2u1
∂t2
− c11∗
∂2u1
∂x2
1
− 2c16∗
∂2u1
∂x1∂x2
−
− c66∗
∂2u1
∂x2
2
− c16∗
∂2u2
∂x2
1
− (c12∗ + c66∗)
∂2u2
∂x1∂x2
− c62∗
∂2u2
∂x2
2
,
∂σ32
∂x3
= −
c63
c33
∂σ33
∂x1
−
c23
c33
∂σ33
∂x2
− c61∗
∂2u1
∂x2
1
− (c66∗ + c21∗)
∂2u1
∂x1∂x2
−
− c26∗
∂2u1
∂x2
2
+ ρ
∂2u2
∂t2
− c66∗
∂2u2
∂x2
1
− 2c26∗
∂2u2
∂x1∂x2
− c22∗
∂2u2
∂x2
2
.
(3)
Тут i далi аргументи у функцiй ρ(x3), cij(x3) опущенi.
Напруження σ11, σ22, σ12, що не ввiйшли в систему (3), визначаються через розв’язуючi
функцiї u1, u2, u3, σ31, σ32, σ33 за формулами
σ11 =
c13
c33
σ33 + c11∗
∂u1
∂x1
+ c16∗
∂u1
∂x2
+ c16∗
∂u2
∂x1
+ c12∗
∂u2
∂x2
,
σ22 =
c23
c33
σ33 + c21∗
∂u1
∂x1
+ c26∗
∂u1
∂x2
+ c26∗
∂u2
∂x1
+ c22∗
∂u2
∂x2
,
σ12 =
c63
c33
σ33 + c61∗
∂u1
∂x1
+ c62∗
∂u2
∂x2
+ c66∗
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
.
(4)
У залежностях (3), (4) використовуються позначення
c6k∗ = c6k −
ck3c3k
c33
, c1k∗ = c1k −
c31ck3
c33
, c2k∗ = c2k −
c23c3k
c33
, k = 1, 2, 6. (5)
Система (3) записана в операторнiй нормальнiй формi Кошi за просторовою координа-
тою x3. Таке подання особливо доцiльно при заданнi граничних умов i умов спряження на
площинах x3 = const.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
Коефiцiєнти системи (3), а значить модулi пружностi cij i густина ρ, через якi вони ви-
ражаються, можуть бути довiльними функцiями координати x3 з розривами першого роду.
На площинах цих розривiв слiд вимагати неперервностi перемiщень u1, u2, u3 i напружень
σ31, σ32, σ33.
Покажемо, на пiдставi результатiв роботи [5], що система рiвнянь (3) є операторною
гамiльтоновою системою [7] за просторовою координатою x3
∂qi
∂x3
=
∂Ĥ
∂pi
,
∂pi
∂x3
= −
∂Ĥ
∂qi
, (6)
якщо за канонiчнi гамiльтоновi змiннi qi, pi вибрати функцiї q = [σ33, u1, u2]
T , p =
= [u3, σ31, σ32]
T .
Для цього операторну функцiю Гамiльтона досить взяти у виглядi
2Ĥ = P̂ijqiqj + Q̂ijpipj, (7)
де елементи симетричних операторних матриць P̂ij , Q̂ij мають вигляд
Q̂11 = ρ
∂2
∂t2
, Q̂12 = Q̂21 = −
∂
∂x1
, Q̂13 = Q̂31 = −
∂
∂x2
,
Q̂22 =
c44
c44c55 − c2
45
, Q̂23 = Q̂32 = −
c45
c44c55 − c2
45
, Q̂33 =
c55
c44c55 − c2
45
,
−P̂11 =
1
c33
, −P̂12 = −P̂21 = −
c31
c33
∂
∂x1
−
c36
c33
∂
∂x2
,
−P̂13 = −P̂31 = −
c36
c33
∂
∂x1
−
c32
c33
∂
∂x2
,
−P22 = ρ
∂2
∂t2
− c11∗
∂2
∂x2
1
− 2c16∗
∂2
∂x1∂x2
− c66∗
∂2
∂x2
2
,
−P23= = −P32 = −c16∗
∂2
∂x2
1
− (c12∗ + c66∗)
∂2
∂x1∂x2
− c62∗
∂2
∂x2
2
,
−P33 = ρ
∂2
∂t2
− c66∗
∂2
∂x2
1
− 2c26∗
∂2
∂x1∂x2
− c22∗
∂2
∂x2
2
.
(8)
Диференцiальнi оператори ∂/∂t, ∂/∂x1, ∂/∂x2 слiд вважати замороженими (постiйними).
Операторну канонiчну гамiльтонову систему (3) можна одержати з умови стацiонарностi
по ui, σ3i функцiонала
Φ(σ33, u1, u2, u3, σ31, σ32) =
x3,2∫
x3,1
(
u3
∂σ33
∂x3
+ σ31
∂u1
∂x3
+ σ32
∂u3
∂x3
−
−
1
2
P̂11σ33σ33 − P̂12σ33u1 − P̂13σ33u2 −
1
2
P̂22u
2
1 − P̂23u1u2 −
1
2
P̂33u
2
2 −
−
1
2
Q̂11u
2
3 − Q̂12σ13u3 − Q̂13σ23u3 −
1
2
Q̂22σ
2
13 − Q̂23σ13σ23 −
1
2
Q̂33σ
2
23
)
dx3 (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 65
при “iзохронних” варiацiях. При здiйсненнi варiювання оператори P̂ij й Q̂ij слiд вважати
замороженими.
2. Виберемо тепер як основнi розв’язуючi функцiї перемiщень u1, u2, u3 i напружень
σ11, σ12, σ13, якi при досконалому механiчному контактi залишаються неперервними на
площинах x1 = const розриву властивостей середовища. Пiсля вiдповiдних перетворень iз
рiвнянь (1), (2) одержимо систему
∂σ11
∂x1
= ρ
∂2u1
∂t2
−
∂σ12
∂x2
−
∂σ13
∂x3
,
∂u2
∂x1
= −
c61
c11∗
σ11 +
(
c61
c66
c12∗
c11∗
−
c62
c66
)
∂u2
∂x2
+
(
c61
c66
c13∗
c11∗
−
c63
c66
)
∂u3
∂x3
−
∂u1
∂x2
+
+
(
1
c66
+
c2
16
c66c11∗
)
σ12,
∂u3
∂x1
= −
c54
c55
∂u2
∂x3
−
c54
c55
∂u3
∂x2
−
∂u1
∂x3
+
σ31
c55
,
∂u1
∂x1
=
c66
c11∗
σ11 −
c12∗
c11∗
∂u2
∂x2
−
c13∗
c11∗
∂u3
∂x3
−
c16
c11∗
σ12,
∂σ12
∂x1
= −
c12∗
c11∗
∂σ11
∂x2
+
(
c2
12∗
c11∗c66
−
c22∗
c66
)
∂2u2
∂x2
2
−
1
s55
∂2u2
∂x2
3
+ ρ
∂2u2
∂t2
+
+
(
c13∗c12∗
c11∗c66
−
c23∗
c66
−
1
s55
)
∂2u3
∂x2∂x3
+
(
c12∗c16
c11∗c66
−
c26
c66
)
∂σ12
∂x2
−
c45
c55
∂σ13
∂x3
,
∂σ13
∂x1
= −
c13∗
c11∗
∂σ11
∂x3
+
(
c12∗c13∗
c11∗c66
−
c23∗
c66
−
1
s55
)
∂2u2
∂x2∂x3
+ ρ
∂2u3
∂t2
−
1
s55
∂2u3
∂x2
2
+
+
(
c2
13∗
c11∗c66
−
c33∗
c66
)
∂2u3
∂x2
3
+
(
c13∗c16
c11∗c66
−
c36
c66
)
∂σ12
∂x3
−
c45
c55
∂σ13
∂x2
,
(10)
де використовуються позначення cij∗ = cijc66 − c6ic6j , i, j = 1, 2, 3, s55 = c55/(c44c55 − c245).
Напруження σ22, σ33, σ23, якi не ввiйшли в систему (10), знаходяться через визначальнi
функцiї ui, σ1i, i = 1, 2, 3, за формулами
σ22 =
c21∗
c66
∂u1
∂x1
+
c22∗
c66
∂u2
∂x2
+
c23∗
c66
∂u3
∂x3
+
c26
c66
σ12,
σ33 =
c31∗
c66
∂u1
∂x1
+
c32∗
c66
∂u2
∂x2
+
c33∗
c66
∂u3
∂x3
+
c36
c66
σ12,
σ23 =
c21∗
c66
∂u1
∂x1
+
c22∗
c66
∂u2
∂x2
+
c23∗
c66
∂u3
∂x3
+
c26
c66
σ12.
(11)
У системi (10) коефiцiєнти пружностi cij i густина ρ можуть бути довiльними функцiя-
ми координати x1 з розривами першого роду. На площинах цих розривiв слiд вимагати
неперервностi перемiщень u1, u2, u3 i напружень σ11, σ12, σ13.
Система (10) записана в операторнiй формi Кошi. Таке зображення системи (10) хоча
й має певну симетрiю пiдматриць, але звести її до операторної гамiльтонової форми не
вдається.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
Аналогiчний результат можна одержати i за просторовою координатою x2, якщо за
розв’язуючi функцiї вибрати перемiщення u1, u2, u3 i напруження σ22, σ21, σ23.
1. Шульга Н.А. Распространение упругих волн в периодически-неоднородных средах // Прикл. меха-
ника. – 2003. – 39, № 7. – С. 15–56.
2. Шульга Н.А. Распространение связанных волн в периодически-неоднородных средах при взаимо-
действии с электромагнитным полем // Там же. – 2003. – 39, № 10. – С. 38–68.
3. Shulga N.A. Theory of dynamical processes in mechanical systems and materials of regular structures //
Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, № 12. – P. 1301–1330.
4. Шульга Н.А. Об одной смешанной системе уравнений теории упругости // Там же. – 2010. – 46,
№ 3. – С. 25–29.
5. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. – Киев: Наук. думка, 1981. –
200 с.
6. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов. – Моск-
ва: Наука, 1982. – 424 с.
7. Павловський М.А. Теоретична механiка. – Київ: Технiка, 2002. – 512 с.
Надiйшло до редакцiї 24.06.2010Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Corresponding Member of the NAS of Ukraine M. O. Shulga
A mixed system of equations of vibrations of anisotropic bodies with
one plane of symmetry of elastic properties (monoclinic system) and its
properties
The mixed system of equations in the operator form of Cauchy in spatial coordinates for anisotropic
media with one plane of symmetry of elastic properties is deduced. On a coordinate perpendicular
to the plane of symmetry, the obtained system is represented in the operator Hamilton form.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 67
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37257 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:36:05Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шульга, М.О. 2012-09-30T19:37:47Z 2012-09-30T19:37:47Z 2011 Змішана система рівнянь коливань анізотропних тіл з однією площиною симетрії пружних властивостей (моноклінна система) і її властивості / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 63-67. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37257 534-16.534-21 Одержано змiшанi системи рiвнянь в операторнiй формi Кошi за просторовими координатами для анiзотропних середовищ iз однiєю площиною симетрiї пружних властивостей. За перпендикулярною до площини симетрiї координатою отримана система зведена до операторної гамiльтонової форми. The mixed system of equations in the operator form of Cauchy in spatial coordinates for anisotropic media with one plane of symmetry of elastic properties is deduced. On a coordinate perpendicular to the plane of symmetry, the obtained system is represented in the operator Hamilton form. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Змішана система рівнянь коливань анізотропних тіл з однією площиною симетрії пружних властивостей (моноклінна система) і її властивості A mixed system of equations of vibrations of anisotropic bodies with one plane of symmetry of elastic properties (monoclinic system) and its properties Article published earlier |
| spellingShingle | Змішана система рівнянь коливань анізотропних тіл з однією площиною симетрії пружних властивостей (моноклінна система) і її властивості Шульга, М.О. Механіка |
| title | Змішана система рівнянь коливань анізотропних тіл з однією площиною симетрії пружних властивостей (моноклінна система) і її властивості |
| title_alt | A mixed system of equations of vibrations of anisotropic bodies with one plane of symmetry of elastic properties (monoclinic system) and its properties |
| title_full | Змішана система рівнянь коливань анізотропних тіл з однією площиною симетрії пружних властивостей (моноклінна система) і її властивості |
| title_fullStr | Змішана система рівнянь коливань анізотропних тіл з однією площиною симетрії пружних властивостей (моноклінна система) і її властивості |
| title_full_unstemmed | Змішана система рівнянь коливань анізотропних тіл з однією площиною симетрії пружних властивостей (моноклінна система) і її властивості |
| title_short | Змішана система рівнянь коливань анізотропних тіл з однією площиною симетрії пружних властивостей (моноклінна система) і її властивості |
| title_sort | змішана система рівнянь коливань анізотропних тіл з однією площиною симетрії пружних властивостей (моноклінна система) і її властивості |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37257 |
| work_keys_str_mv | AT šulʹgamo zmíšanasistemarívnânʹkolivanʹanízotropnihtílzodníêûploŝinoûsimetríípružnihvlastivosteimonoklínnasistemaííívlastivostí AT šulʹgamo amixedsystemofequationsofvibrationsofanisotropicbodieswithoneplaneofsymmetryofelasticpropertiesmonoclinicsystemanditsproperties |