Спектральные функции влияния граничных воздействий в моделировании и идентификации тепловых процессов в трехмерных системах
На базi спiльного застосування спектральних функцiй впливу граничних взаємодiй, кiнцевих iнтегральних перетворень i варiацiйно-структурного методу з введенням невiдомих спектральних складових для теплових потокiв на частинах поверхнi тiла складного поперечного перерiзу пропонуються наближенi аналiти...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37267 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Спектральные функции влияния граничных воздействий в моделировании и идентификации тепловых процессов в трехмерных системах / А.П. Слесаренко, А.А. Марченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 81-86. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37267 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-372672025-02-09T14:39:28Z Спектральные функции влияния граничных воздействий в моделировании и идентификации тепловых процессов в трехмерных системах The spectral functions of influence of boundary effects in the modeling and the identification of thermal processes in three-dimensional systems Слесаренко, А.П. Марченко, А.А. Теплофізика На базi спiльного застосування спектральних функцiй впливу граничних взаємодiй, кiнцевих iнтегральних перетворень i варiацiйно-структурного методу з введенням невiдомих спектральних складових для теплових потокiв на частинах поверхнi тiла складного поперечного перерiзу пропонуються наближенi аналiтичнi пiдходи до розв’язання тривимiрних прямих i обернених задач теплопровiдностi. У даних задачах коефiцiєнт темлообмiну i температура зовнiшнього середовища є вiдомими i невiдомими функцiями вiд координат для прямих i обернених задач теплопровiдностi, вiдповiдно. Based on the joint application of spectral functions of influence of boundary effects, finite integral transformations, and the variational-structural method and the introduction of unknown spectral components for the heat flux on the surface of body’s parts with complex cross-section, approximate analytical approaches to solving the three-dimensional direct and inverse problems of heat conduction are proposed. The heat transfer coefficient and the ambient temperature are known and unknown functions of the coordinates for the direct and inverse problems of heat conduction, respectively. 2011 Article Спектральные функции влияния граничных воздействий в моделировании и идентификации тепловых процессов в трехмерных системах / А.П. Слесаренко, А.А. Марченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 81-86. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37267 536.12:539.377 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Теплофізика Теплофізика |
| spellingShingle |
Теплофізика Теплофізика Слесаренко, А.П. Марченко, А.А. Спектральные функции влияния граничных воздействий в моделировании и идентификации тепловых процессов в трехмерных системах Доповіді НАН України |
| description |
На базi спiльного застосування спектральних функцiй впливу граничних взаємодiй, кiнцевих iнтегральних перетворень i варiацiйно-структурного методу з введенням невiдомих спектральних складових для теплових потокiв на частинах поверхнi тiла складного поперечного перерiзу пропонуються наближенi аналiтичнi пiдходи до розв’язання тривимiрних прямих i обернених задач теплопровiдностi. У даних задачах коефiцiєнт темлообмiну i температура зовнiшнього середовища є вiдомими i невiдомими функцiями вiд координат для прямих i обернених задач теплопровiдностi, вiдповiдно. |
| format |
Article |
| author |
Слесаренко, А.П. Марченко, А.А. |
| author_facet |
Слесаренко, А.П. Марченко, А.А. |
| author_sort |
Слесаренко, А.П. |
| title |
Спектральные функции влияния граничных воздействий в моделировании и идентификации тепловых процессов в трехмерных системах |
| title_short |
Спектральные функции влияния граничных воздействий в моделировании и идентификации тепловых процессов в трехмерных системах |
| title_full |
Спектральные функции влияния граничных воздействий в моделировании и идентификации тепловых процессов в трехмерных системах |
| title_fullStr |
Спектральные функции влияния граничных воздействий в моделировании и идентификации тепловых процессов в трехмерных системах |
| title_full_unstemmed |
Спектральные функции влияния граничных воздействий в моделировании и идентификации тепловых процессов в трехмерных системах |
| title_sort |
спектральные функции влияния граничных воздействий в моделировании и идентификации тепловых процессов в трехмерных системах |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Теплофізика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37267 |
| citation_txt |
Спектральные функции влияния граничных воздействий в моделировании и идентификации тепловых процессов в трехмерных системах / А.П. Слесаренко, А.А. Марченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 3. — С. 81-86. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT slesarenkoap spektralʹnyefunkciivliâniâgraničnyhvozdejstvijvmodelirovaniiiidentifikaciiteplovyhprocessovvtrehmernyhsistemah AT marčenkoaa spektralʹnyefunkciivliâniâgraničnyhvozdejstvijvmodelirovaniiiidentifikaciiteplovyhprocessovvtrehmernyhsistemah AT slesarenkoap thespectralfunctionsofinfluenceofboundaryeffectsinthemodelingandtheidentificationofthermalprocessesinthreedimensionalsystems AT marčenkoaa thespectralfunctionsofinfluenceofboundaryeffectsinthemodelingandtheidentificationofthermalprocessesinthreedimensionalsystems |
| first_indexed |
2025-11-26T23:21:42Z |
| last_indexed |
2025-11-26T23:21:42Z |
| _version_ |
1849897051090845696 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2011
ТЕПЛОФIЗИКА
УДК 536.12:539.377
© 2011
А.П. Слесаренко, А.А. Марченко
Спектральные функции влияния граничных
воздействий в моделировании и идентификации
тепловых процессов в трехмерных системах
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Г. Стояном)
На базi спiльного застосування спектральних функцiй впливу граничних взаємодiй, кiн-
цевих iнтегральних перетворень i варiацiйно-структурного методу з введенням невiдо-
мих спектральних складових для теплових потокiв на частинах поверхнi тiла склад-
ного поперечного перерiзу пропонуються наближенi аналiтичнi пiдходи до розв’язання
тривимiрних прямих i обернених задач теплопровiдностi. У даних задачах коефiцiєнт
темлообмiну i температура зовнiшнього середовища є вiдомими i невiдомими функцiя-
ми вiд координат для прямих i обернених задач теплопровiдностi, вiдповiдно.
Решение трехмерных задач теплопроводности даже для тел классической формы с гра-
ничными условиями третьего рода, в которых коэффициенты теплообмена и температура
окружающей среды являются функциями от координат, встречает ряд дополнительных се-
рьезных трудностей на пути получения приближенных аналитических решений. Еще более
серьезные трудности возникают при определении коэффициентов теплообмена и температу-
ры окружающей среды, по данным теплофизического или вычислительного эксперимента,
как функций от координат. Поэтому данные проблемы относятся к ряду актуальных [1].
Ниже на базе совместного применения спектральных функций влияния граничных
воздействий, конечных интегральных преобразований и вариационно-структурного мето-
да предлагаются новые подходы к получению приближенных аналитических решений как
прямых, так и обратных трехмерных задач теплопроводности, в которых в граничных усло-
виях третьего рода коэффициенты теплообмена и температура внешней среды задаются как
известные функции от координат и в обратных задачах теплопроводности, как неизвестные
функции от координат.
1. Моделирование тепловых процессов в трехмерных системах. В качестве
трехмерной системы рассмотрим изотропное тело, ограниченное плоскостями z = 0, z = d
и цилиндрической поверхностью сложной формы S, образующие которой перпендикулярны
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 81
к плоскостям. Рассмотрим вариант, когда в областях He равномерно распределены источ-
ники тепла мощностью Pm и определение температурного поля сводится к решению про-
странственной задачи теплопроводности
∆T = −F, (1)
(
∂T
∂z
+ h1T
)∣
∣
∣
∣
z=d
= f1;
(
∂T
∂z
− h0T
)∣
∣
∣
∣
z=0
= f0, (2)
(
∂T
∂ν
+ hST
)∣
∣
∣
∣
S
= fS, (3)
где T = T (x, y, z), h1 = α1(x, y)λ
−1; h0 = α0(x, y)λ
−1; hS = αS(x, y)λ
−1; f1 = h1TC1
(x, y);
f0 = h0TC0
(x, y); fS = hSTCS
(x, y); ν — направление внешней нормали к поверхности S;
F =
{
Pm(λl1ml2md)−1, (x, y, z) ∈ Hm,
0, (x, y, z) ∈ Hm, m = 1, 2, . . . ,m.
(4)
На поверхностях z = 0 и z = d введем неизвестные тепловые потоки и задачу (1)–(3)
сведем к решению задачи
∆T = −F, (5)
∂T
∂z
∣
∣
∣
∣
z=0
=
∑
km
a
(0)
kmPk(x)Pm(y) = g0(x, y), (6)
∂T
∂z
∣
∣
∣
∣
z=d
=
∑
km
a
(1)
kmPk(x)Pm(y) = g1(x, y), (7)
(
∂T
∂ν
+ hST
)∣
∣
∣
∣
S
= fS, (8)
где a
(0)
km и a
(1)
km — неопределенные коэффициенты.
Применим к уравнению (5) и граничному условию (8) конечное интегральное преобра-
зование [2]
T (x, y, γ) =
d
∫
0
T (x, y, z)K(x, γ) dz (9)
с ядром преобразования K(x, γ) = cos(nπz/d), где γ = nπd−1.
В области изображений для задачи (5)–(8) получим
∂2T
∂x2
+
∂2T
∂y2
− γ2T = −F + F ∗ = −F1, (10)
(
∂T
∂γ
+ hST
)∣
∣
∣
∣
S
= fS . (11)
Здесь F =
d
∫
0
FK(z, γ) z; fS =
d
∫
0
fSK(z, γ) dz; F
∗
= g0(x, y)K(0, γ) − g1(x, y)K(d, γ).
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
Задаче (10), (11) соответствует вариационная задача о минимуме функционала [3]
I =
∫∫
Ω
[(∇T )2 + γ2T 2 + 2(F − F
∗
)T ] dΩ +
∫
S
[hT
2
− 2fST ] dS, (12)
где Ω — площадь поперечного сечения тела.
Если в задаче (10), (11) n1 — число спектральных составляющих тепловых потоков
на нижнем основании тела (z = 0) и n2 — число спектральных составляющих тепловых
потоков на верхнем основании тела (z = d), то необходимо решить n1+n2+1 вариационных
задач (12). В первой задаче g0 = g1 = 0, F 6= 0, в остальных n1+n2 задачах F = 0 и задано
по одной спектральной составляющей для тепловых потоков последовательно на нижнем
и верхнем основаниях тела.
Применяя метод Ритца, общее решение n1 + n2 + 1 вариационных задач (12) получим
в виде
T n = TF (x, y, γn) +
∑
km
a
(0)
kmT
(0)
km(x, y, γn) +
∑
km
a
(1)
kmT
(1)
km(x, y, γn) (13)
для каждого значения γ = nπd−1, где, с учетом результатов работ [1, 4–6],
T
(0)
km(x, y, γn) = Φ
(0)
0km(x, y, γn) +
∑
ij
C
(km0)
ij (γn)Xij(x, y);
T
(1)
km(x, y, γn) = Φ
(1)
0km(x, y, γn) +
∑
ij
C
(km1)
ij (γn)Xij(x, y);
Xij(x, y) = ϕij(x, y)− ωS(x, y)D
(S)
1 ϕij(x, y) − ωS(x, y)hSϕij(x, y);
Φ
(0)
0km = Φ
(1)
0km = ωS(x, y)fS , ϕij(x, y) = Pi(x)Pj(y);
TF (x, y, γn) = Φ0F +
∑
ij
C
(F )
ij (γn)Xij(x, y);
D
(S)
1 =
∂
∂x
∂ωS(x, y)
∂x
+
∂
∂y
∂ωS(x, y)
∂y
; D
(S)
1 T
∣
∣
∣
∣
S
=
∂T
∂ν
∣
∣
∣
∣
S
;
ωS(x, y)
∣
∣
∣
∣
S
= 0;
∂ωS(x, y)
∂y
∣
∣
∣
∣
S
= 1; ωS(x, y) > 0, (x, y) ∈ ΩC ;
ν — направление внешней нормали к поверхности S; ΩC — область, характеризующая по-
перечное сечение тела.
Применяя формулу обратного конечного интегрального преобразования [2], для реше-
ния задачи (5)–(8) получим
T (x, y, z, a
(0)
km, a
(1)
km) =
p
∑
n=1
Tn(x, y, γm, a
(0)
km, a
(1)
km)CγnK(γn, z), (14)
где Cγn =
[
d
∫
0
K2(z, γn) dz
]
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 83
Подставляя решение задачи (5)–(8) в форме (14) в граничные условия (2) и применяя
интегральный метод наименьших квадратов [3], для определения коэффициентов a0km и a1km
получим систему уравнений
∂
∂a0km
∫ ∫
S0
{
∑
km
a
(0)
kmPk(x)Pm(y)− h0(x, y)[T (x, y, 0, a
(0)
km, a
(1)
km) + Tcp0(x, y)]
}2
= 0,
∂
∂a1km
∫ ∫
S1
{
∑
km
a
(1)
kmPk(x)Pm(y)− h1(x, y)[T (x, y, 1, a
(0)
km, a
(1)
km) + Tcp1(x, y)]
}2
= 0.
(15)
Тогда приближенное аналитическое решение трехмерной задачи теплопроводности (1)–(3)
с переменными по координатам граничными условиями (2), (3) получим в виде (14).
2. Идентификация тепловых процессов в трехмерных задачах. Решение зада-
чи (1)–(3) в форме (14) с неопределенными коэффициентами a
(0)
km и a
(1)
km при спектральных
составляющих тепловых потоков на нижнем и верхнем основаниях тела может быть также
эффективно использовано при идентификации условий теплообмена на нижнем и верхнем
основаниях тела.
Пусть в задаче (1)–(3) имеем дополнительную информацию в качестве данных теплофи-
зического или вычислительного эксперимента на небольшом расстоянии от нижнего и верх-
него оснований тела
Tэ0(x
(o)
m , y(o)m , z(o)m ), Tэ1(x
(1)
m , y(1)m , z(1)m ), m = 1, 2, . . . ,m. (16)
Тогда идентификацию условий теплообмена по информации об экспериментальных дан-
ных или данных из вычислительного эксперимента о температурном поле в рассматривае-
мой трехмерной системе можно сделать следующим образом.
На первом этапе идентификации определим коэффициенты a
(0)
km и a
(1)
km тепловых потоков
на нижнем и верхнем основаниях тела из системы уравнений
∂
∂a0km
m1
∑
m=1
[T (x(0)m , y(0)m , z(0)m , a
(0)
km, a
(1)
km)− Tэ0(x
(0)
m , y(0)m , z(0)m )] = 0,
∂
∂a1km
m1
∑
m=1
[T (x(1)m , y(1)m , z(1)m , a
(0)
km, a
(1)
km)− Tэ1(x
(1)
m , y(1)m , z(1)m )] = 0
(17)
на базе точечного метода наименьших квадратов [3], используя данные вычислительного
или теплофизического эксперимента (16).
На втором этапе идентификации условий теплообмена по данным вычислительного или
теплофизического эксперимента (16) представим искомые функции h0(x, y) и h1(x, y) в виде
функциональных рядов по полиномам Чебышева Pk(x), PS(y) с неопределенными коэффи-
циентами µ
(0)
ks и µ
(1)
ks
h0(x, y) =
∑
kS
µ
(0)
kSPk(x)Pv(y), h1(x, y) =
∑
kS
µ
(1)
kSPk(x)Pj(y). (18)
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
Применяя интегральный метод наименьших квадратов, используя граничные условия
(2) и учитывая, что коэффициенты a
(0)
km и a
(1)
km определены из системы уравнений (17), для
определения коэффициентов µ
(0)
ks и µ
(1)
ks получим систему уравнений
∂
∂µ
(0)
kS
∫ ∫
S0
{
∑
km
a
(0)
kmPk(x)Pm(y)−
∑
kS
µ
(0)
kSPk(x)PS(y)[T (x, y, 0, a
(0)
km, a
(1)
km) +
+ Tcp0(x, y)]
}2
= 0,
∂
∂µ
(1)
kS
∫ ∫
S1
{
∑
km
a
(1)
kmPk(x)Pm(y) +
∑
kS
µ
(1)
kSPk(x)PS(y)[T (x, y, d, a
(0)
km, a
(1)
km) +
+ Tcp1(x, y)]
}2
= 0.
(19)
Если в граничных условиях (2) неизвестными функциями являются TC0
(x, y) и TC1
(x, y),
то аналогично, как и при идентификации функций h0(x, y) и h1(x, y), представим функции
TC0
(x, y) и TC1
(x, y) в виде функциональных рядов по полиномам Чебышева Pk(x), PS(y)
с неопределенными коэффициентами β
(0)
ks и β
(1)
ks
TC0
(x, y) =
∑
kS
β
(0)
rS Pk(x)Pj(y); TC1
(x, y) =
∑
kS
β
(1)
rS Pk(x)Pj(y).
Тогда для определения коэффициентов β
(0)
ks и β
(1)
ks , учитывая, что коэффициенты тепло-
вых потоков a
(0)
km и a
(1)
km определены из системы уравнений (17), получим систему уравнений
∂
∂β
(0)
kS
∫ ∫
S0
{
∑
km
a
(0)
kmPk(x)Pm(y)−h0(x, y)
[
T (x, y, 0, a
(0)
km, a
(1)
km)+
∑
kS
β
(0)
kSPk(x)Pv(y)
]}2
= 0,
∂
∂β
(1)
kS
∫ ∫
S0
{
∑
km
a
(0)
kmPk(x)Pm(y)−h1(x, y)
[
T (x, y, d, a
(0)
km, a
(1)
km)+
∑
kS
β
(1)
kS Pk(x)Pv(y)
]}2
= 0.
Данный подход позволяет достаточно эффективно определять функциональные зави-
симости от координат как коэффициентов теплообмена на частях поверхности трехмерных
систем, так и температуру окружающей среды.
Полученные результаты позволяют также с помощью функций TC0
(x, y), TC1
(x, y)
и h0(x, y), h1(x, y) формировать тепловые потоки на верхнем и нижнем основаниях тела
таким образом, чтобы получать необходимое распределение температуры в подобластях,
прилегающих к верхнему и нижнему основаниям тела.
Решение трехмерной задачи теплопроводности (5)–(8) в форме (14) с неопределенными
коэффициентами a
(0)
km, a
(1)
km при спектральных составляющих тепловых потоков на нижнем
и верхнем основаниях тела может быть также использовано и при решении обратной задачи
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №3 85
по определению спектральных составляющих тепловых потоков таким образом, чтобы мож-
но было формировать любое заданное распределение температуры на нижнем и верхнем
основаниях тела, включая и термостабилизацию этих частей поверхности тела.
Важный научно-технический интерес представляют моделирование и идентификация
тепловых процессов в трехмерных системах, когда на нижнем и верхнем основаниях тела
тепловые потоки заданы не по всей поверхности нижнего и верхнего оснований, а в ряде
подобластей областей верхнего и нижнего оснований. Тогда вызывают интерес обратные за-
дачи теплопроводности как об определении оптимального расположения подобластей, зани-
маемых поверхностными источниками тепловой энергии, так и об их оптимальной величине
мощности с учетом заданных ограничений на тепловой режим исследуемой трехмерной сис-
темы. Решение трехмерной задачи теплопроводности (5)–(8) в виде (14) с неопределенными
коэффициентами a
(0)
km, a
(1)
km при спектральных составляющих тепловых потоков на верхнем
и нижнем основаниях тела может быть также эффективно применено как при определе-
нии оптимального расположения подобластей, занимаемых поверхностными источниками
энергии на нижнем и верхнем основаниях тела, так и при определении величины мощности
этих источников при заданных ограничениях на тепловой режим.
1. Мацевитый Ю.М. Обратные задачи теплопроводности. Т. 1. Методология. – Киев: Наук. думка,
2002. – 405 с. Т. 2. Приложения. – Киев: Наук. думка, 2003. – 392 с.
2. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. – Москва: Высш. шк., 1964. – 559 с.
3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – Москва: Наука, 1977. – 455 с.
4. Рвачев В.Л., Слесаренко А.П. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах. –
Киев: Наук. думка, 1976. – 287 с.
5. Слесаренко А.П. Математическое моделирование тепловых процессов в телах сложной формы при
нестационарных граничных условиях // Пробл. машиностроения. – 2002. – 5, № 4. – С. 72–80.
6. Мацевитый Ю.М., Слесаренко А.П., Костиков А.О., Курская Н.М. Численно-аналитическое мо-
делирование и идентификация теплообмена в панелях модулей негерметичных космических аппара-
тов // Электрон. моделирование – 2006. – 28, № 6. – С. 3–166.
Поступило в редакцию 13.08.2010Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
A.P. Slesarenko, A.A. Marchenko
The spectral functions of influence of boundary effects in the modeling
and the identification of thermal processes in three-dimensional systems
Based on the joint application of spectral functions of influence of boundary effects, finite integral
transformations, and the variational-structural method and the introduction of unknown spectral
components for the heat flux on the surface of body’s parts with complex cross-section, approxi-
mate analytical approaches to solving the three-dimensional direct and inverse problems of heat
conduction are proposed. The heat transfer coefficient and the ambient temperature are known
and unknown functions of the coordinates for the direct and inverse problems of heat conduction,
respectively.
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №3
|