Кривизны гиперсфер геометрии Гильберта
Доведено, що нормальні кривини гіперсфер, кривини Рунда і Фінслера кола геометрії Гільберта прямують до 1, коли радіус прямує до нескінченності. We prove that the normal curvatures of hyperspheres, Rund curvature, and Finsler curvature of a circle in the Hilbert geometry tend to 1, as radii tend to...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37365 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Кривизны гиперсфер геометрии Гильберта / А.А. Борисенко, Е.А. Олин // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 15-19. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859718807959896064 |
|---|---|
| author | Борисенко, А.А. Олин, Е.А. |
| author_facet | Борисенко, А.А. Олин, Е.А. |
| citation_txt | Кривизны гиперсфер геометрии Гильберта / А.А. Борисенко, Е.А. Олин // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 15-19. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доведено, що нормальні кривини гіперсфер, кривини Рунда і Фінслера кола геометрії Гільберта прямують до 1, коли радіус прямує до нескінченності.
We prove that the normal curvatures of hyperspheres, Rund curvature, and Finsler curvature of a circle in the Hilbert geometry tend to 1, as radii tend to infinity.
|
| first_indexed | 2025-12-01T09:00:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514.774.4
© 2011
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Борисенко, Е.А. Олин
Кривизны гиперсфер геометрии Гильберта
Доведено, що нормальнi кривини гiперсфер, кривини Рунда i Фiнслера кола геометрiї
Гiльберта прямують до 1, коли радiус прямує до нескiнченностi.
Связное гладкое многообразие Mn называется финслеровым [1], если задана гладкая поло-
жительно однородная по координатам в касательных пространствах функция F : TMn →
→ [0,∞) такая, что билинейная симметричная форма gy(u, v) = gij(x, y)u
ivj : TxM
n ×
× TxM
n → R положительно определена для любой пары (x, y) ∈ TMn, где gij(x, y) =
= (1/2) · [F 2(x, y)]yiyj .
Геометрии Гильберта являются обобщением модели Кели–Клейна пространства Лоба-
чевского. В ней эллипсоид, играющий роль абсолюта, заменяется произвольной выпуклой
гиперповерхностью. Геометрии Гильберта являются также финслеровыми пространствами
постоянной отрицательной флаговой кривизны [1].
Пусть U — это ограниченное открытое выпуклое множество с границей класса C∞ с по-
ложительными нормальными кривизнами в R
n с евклидовой нормой ‖ · ‖. Для точки x ∈ U
и касательного вектора y ∈ TxU = R
n пусть x− и x+ — это точки пересечения соответст-
венно лучей x + R−y и x + R+y с абсолютом ∂U . Тогда метрика Гильберта определяется
таким образом:
F (x, y) =
1
2
(Θ(x, y) + Θ(x,−y)), (1)
где Θ(x, y) = ‖y‖ · (1/‖x − x−‖) называется метрикой Функа на U .
Метрика Гильберта инвариантна относительно проективных преобразований, оставляю-
щих U ограниченным множеством, а геодезическими являются афинные отрезки.
В работе [2] доказано, что единичная сфера касательного пространства метрики Гиль-
берта стремится в C0 топологии к эллипсоиду, когда точка стремится к абсолюту, т. е. мет-
рика Гильберта “стремится” к римановой метрике пространства Лобачевского.
В отличие от римановой геометрии, в финслеровом пространстве кривизну кривой мож-
но определить несколькими способами.
Нормальная кривизна гиперповерхности в финслеровом пространстве определяется сле-
дующим образом [1]. Пусть ϕ : N → Mn — гиперповерхность в финслеровом многообра-
зии Mn. Вектор n ∈ Tϕ(x)M
n называется вектором нормали к N в точке x ∈ N , если
gn(y,n) = 0 для всех y ∈ TxN . Тогда нормальная кривизна kn в точке x ∈ N в направлении
y ∈ TxN определяется как
kn = gn(∇ċ(s)ċ(s)|s=0,n), (2)
где ċ(0) = y, и c(s) является геодезической в индуцированной связности в N , n — выбранная
единичная нормаль.
Для кривой c(s), параметризированной натуральным параметром в финслеровом мно-
гообразии Mn, возможно определить еще две кривизны.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 15
Кривизна Финслера кривой [3, 4] определяется таким образом:
kF (c(s)) =
√
gċ(s)(∇ċ(s)ċ(s),∇ċ(s)ċ(s)). (3)
Кривизна Рунда кривой c(s) [3] равна
kR(c(s)) =
√
g∇ċ(s)ċ(s)(∇ċ(s)ċ(s),∇ċ(s)ċ(s)). (4)
Известно, что нормальные кривизны гиперсфер в пространстве Лобачевского H
n рав-
ны coth(r) и стремятся к 1, при стремлении к бесконечности радиуса r. Мы доказываем
такое же свойство геометрий Гильберта.
Теорема 1. Рассмотрим 2-мерную геометрию Гильберта, построенную на множестве
U ∈ R
2, ограниченном открытом выпуклом множестве с границей класса C∞ с положи-
тельной кривизной. Рассмотрим точку o внутри множества U . Обозначим через ρr(u)
радиальную функцию гиперсферы геометрии Гильберта радиуса r. Пусть kR(ϕ, r) — кри-
визна Рунда, kF (ϕ, r) — кривизна Финслера окружности радиуса r с центром в точке o,
вычисленные в точке окружности ρr(u)u, соответствующей направлению u=(cosϕ, sinϕ)
из o. Тогда
lim
r→∞
kR(ϕ, r) = lim
r→∞
kF (ϕ, r) = 1
равномерно по ϕ.
Теорема 2. Рассмотрим n-мерную геометрию Гильберта, построенную на множест-
ве U ∈ R
n, ограниченном открытом выпуклом множестве с границей класса C∞ с по-
ложительными нормальными кривизнами. Рассмотрим точку o внутри множества U .
Обозначим через ρr(u) радиальную функцию гиперсферы геометрии Гильберта радиуса r.
Зафиксируем ненулевой вектор y. Пусть kn(u, r, y) — нормальная кривизна в направлении
касательного вектора w ∈ span{u, y} гиперсферы радиуса r с центром в точке o, вычислен-
ная в точке гиперсферы ρr(u)u, соответствующей единичному направлению u из o. Тогда
lim
r→∞
kn(u, r, y) = 1
равномерно по u и y.
Рассмотрим вначале двумерную геометрию Гильберта.
Рассмотрим точку o внутри области U . Пусть ω(ϕ) — полярное задание абсолюта из
точки o. Зафиксируем единичный вектор u, в котором будем вычислять кривизну окруж-
ностей. Перепараметризуем ω(ϕ) так, чтобы ϕ = 0 соответствовал направлению u.
Можно выполнить такое проективное преобразование, чтобы направление u стало пер-
пендикулярно касательной к абсолюту в точке ω(0), касательная в точке ω(π) параллельна
касательной в точке ω(0), и ∂U можно представить в виде графика функции x2 = f(x1)
такой, что f(0) = 0, f ′(0) = 0, f ′′(0) = 1/2 в окрестности точки ω(0).
С помощью оценки на угол между радиальным и нормальным направлением выпук-
лой гиперповерхности, полученной А.А. Борисенко в работе [5], доказано, что при таком
проективном преобразовании кривизна ∂U и все производные f остаются равномерно огра-
ниченными.
В работе [6] получено, что полярное задание гиперсферы радиуса r имеет вид
ρr(u) =
ω(−u)ω(u)(e2r − 1)
ω(u) + ω(−u)e2r
(5)
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
и, при r → ∞
ω(u)− ρr(u) = ω(u)
(
ω(u)
ω(−u)
+ 1
)
e−2r + o(e−2r). (6)
Из формулы (5) получаем, что окружность радиуса r имеет параметризацию
c(ϕ) =
(
ω(π − ϕ)ω(ϕ)(e2r − 1)
ω(ϕ) + ω(π − ϕ)e2r
sinϕ,
ω(π − ϕ)ω(ϕ)(e2r − 1)
ω(ϕ) + ω(π − ϕ)e2r
cosϕ
)
,
где ω(ϕ) — полярное задание абсолюта.
С учетом предположений относительно U верно ω′(0) = 0, ω(0) = 1, ω′′(0) = 1/2, ω′(π) =
= 0. Обозначим C = (1 + ω(π))/ω(π). Тогда
c′(0) =
ω(π)(e2r − 1)
1 + ω(π)e2r
(1, 0) = (1− Ce−2r +O(e−3r), 0), r → ∞. (7)
И вторая производная
c′′(0) =
(e2rω(π)2(ω′′(0)− 1)− ω(π) + ω′′(π))(e2r − 1)
(1 + e2rω(π))2
(0, 1),
c′′(0) =
(
0,−1
2
+O(e−2r)
)
, r → ∞.
(8)
Далее из (6) следует, что в точке данной окружности
x2 = ω(0) − ω(π)ω(0)(e2r − 1)
ω(0) + ω(π)e2r
= Ce−2r +O(e−3r). (9)
Ковариантная производная Черна–Рунда вдоль пути c(t) в финслеровом пространстве
с метрикой Гильберта F вычисляетcя по формуле [1]
∇c′(t)c
′(t) = {c′′(t)i + (Θ(c(t), c′(t))−Θ(c(t), c′(t))c′(t)i} ∂
∂xi
. (10)
Если перейти к натуральной параметризации, то верна следующая формула:
∇ċ(s)ċ(s) =
c′′(t) + c′(t)
(
Θ(c(t), c′(t))−Θ(c(t),−c′(t))−
gc′(t)(∇c′(t)c
′(t), c′(t))
F(c(t), c′(t))2
)
F(c(t), c′(t))2
. (11)
Теперь нужно получить асимптотические разложения для метрических коэффициентов
gij(x, y) геометрии Гильберта, когда точка x близка к абсолюту.
В выражение для метрических коэффициентов gij(x, y) входят производные метричес-
кой функции F по координатам в касательном пространстве. Используя лемму Окада, мож-
но записать выражение для метрических коэффициентов метрики Гильберта через прои-
зводные метрики Функа по координатам на U :
gij(x, y) =
1
2
F(x, y)
Θxixj (x, y)Θ(x, y)− 2Θxi
(x, y)Θxj
(x, y)
Θ(x, y)3
+
+
1
2
F(x, y)
Θxixj (x,−y)Θ(x,−y)− 2Θxi
(x,−y)Θxj
(x,−y)
Θ(x,−y)3
+
+
1
4
(
Θxi(x, y)
Θ(x, y)
− Θxi(x,−y)
Θ(x,−y)
)(
Θxj(x, y)
Θ(x, y)
− Θxj(x,−y)
Θ(x,−y)
)
. (12)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 17
Для удобства мы будем использовать нижние индексы для координат xi. Пусть теперь
F(x1, x2, y1, y2) — это некоторая двумерная метрика Гильберта. Получены такие оценки:
F(0, x2, 1, 0) =
1
2
√
x2
+
2f ′′′(0)2
9
√
x2 +O(x
3/2
2 ), (13)
F
(
0, x2, l,
1
2
)
=
1
4x2
+
1
2L
+O(x2). (14)
Здесь L > 0 — длина хорды U в направлении (l,−1/2).
Θ(0, x2, 1, 0) −Θ(0, x2,−1, 0) =
2
3
f ′′′(0) +O(x2), (15)
g11(0, x2, 1, 0) =
1
4x2
+O(1), g12(0, x2, 1, 0) =
f ′′′(0)
6x2
+O(1),
g22(0, x2, 1, 0) =
1
4x22
+
2f ′′′(0)2 + 9f (4)(0)
18x2
+O(1),
(16)
g12(0, x2, 0, 1) = 0, g22(0, x2, 0, 1) =
1
4x22
+O
(
1
x2
)
. (17)
Оценим вектор ∇ċ(0)ċ(0) по формуле (11). Из формул (9), (10), (13), (15), (16) следует
∇ċ(0)ċ(0) =
(
f ′′′(0),−1
2
)
+ (1, 1)O(e−2r)
F(c(0), c′(0))2
. (18)
С учетом значения (13)
∇ċ(0)ċ(0) = (4f ′′′(0),−2)e−2r + (1, 1)O(e−3r).
Используя формулы (9), (18), вычислим кривизну Рунда (4):
kR(r)
2 = F(c(0),∇ċ(0) ċ(0)) =
F
(
0, Ce−2r +O(e−3r),−f ′′′(0) +O(e−2r),
1
2
+O(e−2r)
)
F(0, Ce−2r +O(e−3r), 1 −Ce−2r +O(e−3r), 0)2
.
Подставив значения из (13), (14), получим
kR(r)
2 = 1 + C
(
2
L
− 8f ′′′(0)2
9
)
e−2r +O(e−3r). (19)
Здесь L > 0 — длина хорды U в направлении (f ′′′(0),−1/2).
Теперь кривизна Финслера (3). Применив формулы (9), (18), получим
kF (r)
2 = gċ(0)(∇ċ(0)ċ(0),∇ċ(0)ċ(0)) =
f ′′′(0)2g11 − f ′′′(0)g12 +
1
4
g22
F(0, Ce−2r +O(e−3r), 1− Ce−2r +O(e−3r), 0)4
,
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
где коэффициенты gij вычисляются в точке (0, Ce−2r+O(e−3r), 1+O(e−2r), 0). Окончатель-
но, из (13), (16) вытекает, что
kF (r)
2 = 1 + C
(
−8
9
f ′′′(0)2 + 4f (4)(0)
)
e−2r +O(e−3r). (20)
Заметим, что нормальная кривизна гиперповерхности не зависит от кривой на гиперпо-
верхности [1]. Таким образом, мы можем взять нормальное сечение гиперсферы геометрии
Гильберта, и нормальная кривизна этого сечения совпадает с нормальной кривизной ги-
персферы в направлении сечения. Так как нормальное направление гиперсферы совпадает
с радиальным, то в нормальном сечении гиперсферы получается двумерная окружность.
Вычислим нормальную кривизну окружности радиуса r геометрии Гильберта. Из (11) сле-
дует, что
kn(r) = gn(∇ċ(0)ċ(0),n) =
gn(c
′′(0),n)
F(c(0), c′(0))2
. (21)
Заметим, что в силу того, что g12(0, x2, 0, 1) = 0 (формулы (17)), единичный вектор нормали
n окружности в точке (0, x2) имеет координаты
1
F(0, x2, 0, 1)
(0,−1).
Итого, подставляя (13), (9), (8), (17) в формулу для нормальной кривизны, имеем
kn(r) =
1
2
g22(0, Ce−2r +O(e−3r), 0, 1)
F(0, Ce−2r+O(e−3r), 1− Ce−2r+O(e−3r), 0)2F(0, Ce−2r+O(e−3r), 0, 1)
=
= 1 + C
(
1
H
− 8f ′′′(0)2
9
)
e−2r +O(e−3r). (22)
Таким образом, теоремы 1 и 2 доказаны полностью. Тем самым получено, что геометрия
Гильберта “стремится” к римановой метрике пространства Лобачевского уже в C2-тополо-
гии.
1. Shen Z. Lectures on Finsler geometry. – Singapore: World Scientific, 2001. – 306 p.
2. Colbois B., Verovic P. Rigidity of Hilbert metrics // Bull. Austral. Math. Soc. – 2002. – No 65. – P. 23–34.
3. Рунд Х. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств: Пер. с англ. – Москва: Наука,
1981. – 504 с.
4. Finsler P. Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen. – Basel: Birkhäuser, 1951. – 251 p.
5. Borisenko A.A., Gallego E., Reventos A. Relation between area and volume for convex sets in Hadamard
manifolds // Different. Geom. and Its Appl. – 2001. – 14. – P. 267–280.
6. Borisenko A.A., Olin E.A. Asymptotic properties of Hilbert geometry // Журн. мат. физики, анализа,
геометрии. – 2008. – 4, No 3. – С. 327–345.
Поступило в редакцию 17.06.2011Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.A. Borisenko, E.A. Olin
Curvatures of hyperspheres in the Hilbert geometry
We prove that the normal curvatures of hyperspheres, Rund curvature, and Finsler curvature of a
circle in the Hilbert geometry tend to 1, as radii tend to infinity.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 19
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37365 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T09:00:37Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Борисенко, А.А. Олин, Е.А. 2012-10-09T16:20:15Z 2012-10-09T16:20:15Z 2011 Кривизны гиперсфер геометрии Гильберта / А.А. Борисенко, Е.А. Олин // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 15-19. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37365 514.774.4 Доведено, що нормальні кривини гіперсфер, кривини Рунда і Фінслера кола геометрії Гільберта прямують до 1, коли радіус прямує до нескінченності. We prove that the normal curvatures of hyperspheres, Rund curvature, and Finsler curvature of a circle in the Hilbert geometry tend to 1, as radii tend to infinity. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Кривизны гиперсфер геометрии Гильберта Curvatures of hyperspheres in the Hilbert geometry Article published earlier |
| spellingShingle | Кривизны гиперсфер геометрии Гильберта Борисенко, А.А. Олин, Е.А. Математика |
| title | Кривизны гиперсфер геометрии Гильберта |
| title_alt | Curvatures of hyperspheres in the Hilbert geometry |
| title_full | Кривизны гиперсфер геометрии Гильберта |
| title_fullStr | Кривизны гиперсфер геометрии Гильберта |
| title_full_unstemmed | Кривизны гиперсфер геометрии Гильберта |
| title_short | Кривизны гиперсфер геометрии Гильберта |
| title_sort | кривизны гиперсфер геометрии гильберта |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37365 |
| work_keys_str_mv | AT borisenkoaa kriviznygipersfergeometriigilʹberta AT olinea kriviznygipersfergeometriigilʹberta AT borisenkoaa curvaturesofhyperspheresinthehilbertgeometry AT olinea curvaturesofhyperspheresinthehilbertgeometry |