Застосування розділяючого перетворення в задачах про неперетинні області
Розглянуто відому гіпотезу В.М. Дубиніна про неперетинні області на комплексній площині і знайдено її частковий розв'язок. Цей результат вдалося отримати завдяки суттєвому вдосконаленню методу дослідження. The well-known V.M. Dubynin's hypothesis concerning with nonoverlapping domains on t...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37366 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Застосування розділяючого перетворення в задачах про неперетинні області / Я.В. Заболотний // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 20-23. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860075722022846464 |
|---|---|
| author | Заболотний, Я.В. |
| author_facet | Заболотний, Я.В. |
| citation_txt | Застосування розділяючого перетворення в задачах про неперетинні області / Я.В. Заболотний // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 20-23. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто відому гіпотезу В.М. Дубиніна про неперетинні області на комплексній площині і знайдено її частковий розв'язок. Цей результат вдалося отримати завдяки суттєвому вдосконаленню методу дослідження.
The well-known V.M. Dubynin's hypothesis concerning with nonoverlapping domains on the complex plane is considered, and its partial solution is found due to an essential improvement of the method of studies.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:13:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2011
Я.В. Заболотний
Застосування роздiляючого перетворення в задачах
про неперетиннi областi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Ю.Ю. Трохимчуком)
Розглянуто вiдому гiпотезу В.М. Дубинiна про неперетиннi областi на комплекснiй
площинi i знайдено її частковий розв’язок. Цей результат вдалося отримати завдяки
суттєвому вдосконаленню методу дослiдження.
Одним з класичних напрямкiв розвитку геометричної теорiї функцiй комплексної змiнної
є розв’язання екстремальних задач на класах областей, що не перетинаються. Першим ва-
жливим результатом даної тематики була теорема Лаврентьєва [1]. Значний внесок у роз-
виток цього напрямку було зроблено багатьма дослiдниками (див., напр., [1–13]). Зокрема,
у роботi [7] було сформульовано таку екстремальну задачу:
Задача 1. Довести, що максимум функцiонала
Iγ = rγ(B0, a0)
n
∏
k=1
r(Bk, ak), (1)
де B0, B1, B2, . . . , Bn (n > 2) — попарно неперетиннi областi в C, a0 = 0, |ak| = 1, k = 1, n,
r(Bj, aj) — внутрiшнiй радiус областi Bj в точцi aj (aj ∈ Bj), j = 0, n i γ 6 n (див.,
напр., [2–12]), досягається для деякої конфiгурацiї областей, якi мають n-кратну симетрiю.
Теорема 1. При n = 2 i γ ∈ (0; 1, 1] максимум функцiонала Iγ досягається на системi
областей D0, D1, D2 i точках a0 = 0, a1 = 1, a2 = −1, де Dk, ak — вiдповiдно круговi
областi i полюси квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = −(4− γ)w2 + γ
w2(w2 − 1)
dw2. (2)
Доведення. Для γ = 1 задача була повнiстю розв’язана в роботi [7]. З методу цiєї
роботи також випливає, що цей результат правильний i для 0 < γ < 1.
Встановимо спочатку, що дане твердження правильне для γ = 1,1. Метод доведення
спирається на застосування, аналогiчнi до теореми 5.2.3 роботи [9], методу роздiляючого
перетворення областей, який детально розроблений в роботi [7].
Згiдно з умовою задачi, a0 = 0, |ak| = 1, k = 1, 2. Припустимо, для конкретностi, що
0 = arg a1 < arg a2 < 2π.
Далi, означимо числа αk таким чином:
α1 :=
1
π
(arg a2 − arg a1), α2 :=
1
π
(2π − arg a2).
Нехай Pk := {w : arg ak < argw < arg ak+1}, k = 1, 2, arg a3 = 2π, P0 := P2, P3 := P1,
a1 + a2 = 2.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
При кожному k = 1, 2 позначимо через zk(w) ту вiтку многозначної аналiтичної функцiї
z = −i(e−i arg akw)1/αk , z0 := z2, z3 := z1, яка конформно i однолисно вiдображає областi Pk,
k = 1, 2, на праву пiвплощину Re z > 0.
Тодi для областей Bk, k = 1, 2, таких, як i в задачi 1, позначимо через D
(1)
k об’єднання
зв’язної компоненти множини zk
(
Bk
⋂
Pk
)
, що мiстить точку zk(ak) з її вiдображенням вiд-
носно уявної осi, а через D
(1)
k — об’єднання зв’язної компоненти множини zk−1
(
Bk
⋂
Pk−1
)
,
що мiстить точку zk−1(ak) з її вiдображенням вiдносно уявної осi, D
(2)
0 := D
(2)
2 . Сiмейство
двох симетричних вiдносно уявної осi областей {D(1)
k ;D
(2)
k−1} будемо називати результатом
роздiляючого перетворення областi Bk. Для утворених областей, згiдно з теоремою 3 ро-
боти [8], правильна нерiвнiсть
2
∏
k=1
r(Bk, ak) 6
2
∏
k=1
αk(r(D
(i)
k+1, i)r(D
(2)
k ,−i))1/2.
Аналогiчно проводиться роздiляюче перетворення областi B0 i маємо нерiвнiсть
r(B0, 0) 6
2
∏
k=1
(r(D
(k)
0 ; 0)α
2
k
/2.
Далi, як i в згаданiй вище теоремi 5.2.3 [12], за допомогою роздiляючого перетворення
отримуємо нерiвнiсть
Iγ 6
[
2
∏
k=1
αkr
γα2
k(D0, 0)r(D1, i)r(D2,−i)
]1/2
, (3)
де Dk — згаданi вище круговi областi квадратичного диференцiала (1). Дана нерiвнiсть
правильна для γ 6 1 на основi результатiв роботи [8]. При γ > 1 ї ї застосування, взагалi
кажучи, некоректне. Нам потрiбно встановити умови її правильностi для γ = 1,1.
Нехай для конкретностi r(B0, 0) = p. Тодi
Iγ = rγ(B0, a0)
n
∏
k=1
r(Bk, ak) = pγ
n
∏
k=1
r(Bk, ak) 6 4pγ sin2
(2− α0)π
2
, (4)
де α0 = max{α1, α2}. Остання нерiвнiсть правильна на основi теореми Лаврентьєва [1].
Доведемо, що областi, якi можуть бути екстремальними, задовольняють умову α0 6
6 2/
√
γ. Обчислимо значення функцiонала
I0γ = rγ(D0, a0)
2
∏
k=1
r(Dk, ak).
Згiдно з вище згаданою теоремою 5.2.3 роботи [9]
I0γ =
(
4
n
)n
(
4γ
n2
)γ/n
(
1− γ
n2
)n+γ/n
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
2
√
γ
.
Пiдставивши γ = 1,1 i n = 2, отримаємо, що I01,1 ≈ 0,8315.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 21
Далi, застосувавши теорему Лаврентьєва [1] для областей B0 i B1, отримаємо, що
r(B0, 0)r(B1, a1) 6| a1 |= 1. Оскiльки r(B0, 0) = p, то r(B1, a1) 6 1/p. Аналогiчно, r(B2, a2) 6
6 1/p. Тодi
Iγ 6 pγ
1
p2
= pγ−2.
Звiдси при γ = 1,1 маємо
Iγ
I0γ
6
pγ−2
I0γ
=
p−0,9
0,8315
.
Дана частка менша одиницi при p > 0,8315−1/0,9 ≈ 1,2275 := p0, таким чином, для таких
p > p0 екстремальних конфiгурацiй областей не буде. Нехай тепер p 6 p0. Тодi, згiдно
з (4), Iγ 6 4pγ · sin2(α0π/2). Далi, при α0 > 2/
√
γ, використовуючи властивостi функцiї
y = sinx, матимемо, що при α0 > 2/
√
γ виконується Iγ 6 4pγ · sin2 π(1 − 1/
√
γ). Звiдси
I1,1 6 0,0839 ≪ I01,1. Тому екстремальних областей, вiдмiнних вiд вказаних в умовi теореми,
не буде при α0 > 2/
√
γ. Звiдси α0 6 2/
√
γ, i ми можемо застосовувати нерiвнiсть (3).
Далi, використовуючи результат, отриманий пiд час доведення теореми 4 з [9], запишемо
таку нерiвнiсть:
Iγ 6
1√
γ
[
2
∏
k=1
2σk+6σσk+2
k (2− σk)
−(2−σk)
2/2(2 + σk)
−(2+σk)
2/2
]1/2
,
де σk =
√
γαk. Введемо функцiю
Ψ(σ) = 2σ+6σσ+2(2− σ)−(2−σ)2/2(2 + σ)−(2+σ)2/2
для σ ∈ [0, 2] i, використовуючи її поведiнку на цьому промiжку, доведемо екстремальнiсть
конфiгурацiї областей D0, D1, D2.
Ψ(σ) логарифмiчно опукла на промiжку [0;x0], де x0 ≈ 1,32. На промiжку [0;x1], x1 ≈
≈ 1,05, функцiя зростає вiд Ψ(0) = 0 до Ψ(x1) ≈ 0,9115, спадає на промiжку [x1;x2],
x2 ≈ 1,6049, до Ψ(x2) ≈ 0,86, а на промiжку [x2; 2] — зростає до Ψ(2) = 1. Точка, для якої
Ψ(x3) = Ψ(x1) ≈ 0,9115, x3 ≈ 1,9. Тепер, використовуючи рiвнiсть σ1+σ2 = 2
√
γ, доведемо,
що Ψ(σ1)Ψ(σ2) 6 (Ψ(
√
γ))2 ≈ 0,8308. Для σk ∈ [0;x0] вiдповiдний висновок робимо iз лога-
рифмiчної опуклостi функцiї Ψ(σ). Для σ2 ∈ [x0;x3] iз властивостей графiка функцiї Ψ(σ)
маємо Ψ(σ2) 6 Ψ(
√
γ) i Ψ(σ1) 6 Ψ(
√
γ), а тому Ψ(σ1)Ψ(σ2) 6 (Ψ(
√
γ))2. Якщо ж σ2 ∈ [x3; 2],
то Ψ(σ2) < Ψ(2) = 1, Ψ(σ1) < Ψ(0,2) ≪ 0,4, звiдси Ψ(σ1) · Ψ(σ2) < 0,4 < (Ψ(
√
γ))2. Отже,
Iγ 6 I0γ (x1), тому екстремальних конфiгурацiй областей ми не отримаємо.
Для γ = 1, 1 теорему доведено. Далi, функцiонал I0γ як функцiя вiд γ монотонно спадає
на промiжку [1; 1,1], тому при γ ∈ [1; 1,1] I0γ > I01,1. Функцiя Ψ(σ) є монотонно зростаючою
на цьому ж промiжку, як i функцiя 4pγ sin2(απ/2). Тому Iγ/I
0
γ 6 I1,1/I
0
1,1 < 1. Звiдси при
γ ∈ [1; 1,1] Iγ 6 I0γ , а тому I0γ — шукана екстремальна конфiгурацiя областей.
Теорему доведено.
Автор висловлює подяку О.К. Бахтiну за постановку задачi, а також цiннi зауваження та
поради щодо написання цiєї роботи.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
1. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. –
5. – С. 159–245.
2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
3. Хейман В.К. Многолистные функции. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1960. – 180 с.
4. Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображения. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
5. Колбина Л.И. Конформное отображение единичного круга на неналегающие области // Вестн. Ле-
нингр. ун-та. – 1955. – 5. – С. 37–43.
6. Бахтина Г.П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих
областях: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1975. – 11 с.
7. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного //
Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1(295). – С. 3–76.
8. Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап.
науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48–66.
9. Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-алгебраические структуры и геометричес-
кие методы в комплексном анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 73. – 308 с.
10. Бахтин А.К. Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств //
Доп. НАН України. – 2006. – № 10. – С. 7–13.
11. Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окруж-
ности // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 7. – С. 868–886.
12. Бахтин А.К. Точные оценки для внутренних радиусов систем неналегающих областей и открытых
множеств // Там само. – 2007. – 59, № 12. – С. 1601–1618.
13. Бахтiн О.К. Нерiвностi для внутрiшнiх радiусiв неперетинних областей та вiдкритих множин //
Там само. – 2009. – 61, № 5. – С. 596–610.
Надiйшло до редакцiї 13.07.2010Iнститут математики НАН України, Київ
Ja.V. Zabolotnij
Application of a dividing transformation in the problems of
nonoverlapping domains
The well-known V.M. Dubynin’s hypothesis concerning with nonoverlapping domains on the comp-
lex plane is considered, and its partial solution is found due to an essential improvement of the
method of studies.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 23
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37366 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:13:53Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Заболотний, Я.В. 2012-10-09T16:26:24Z 2012-10-09T16:26:24Z 2011 Застосування розділяючого перетворення в задачах про неперетинні області / Я.В. Заболотний // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 20-23. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37366 517.5 Розглянуто відому гіпотезу В.М. Дубиніна про неперетинні області на комплексній площині і знайдено її частковий розв'язок. Цей результат вдалося отримати завдяки суттєвому вдосконаленню методу дослідження. The well-known V.M. Dubynin's hypothesis concerning with nonoverlapping domains on the complex plane is considered, and its partial solution is found due to an essential improvement of the method of studies. Автор висловлює подяку О.К. Бахтiну за постановку задачi, а також цiннi зауваження та поради щодо написання цiєї роботи. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Застосування розділяючого перетворення в задачах про неперетинні області Application of a dividing transformation in the problems of nonoverlapping domains Article published earlier |
| spellingShingle | Застосування розділяючого перетворення в задачах про неперетинні області Заболотний, Я.В. Математика |
| title | Застосування розділяючого перетворення в задачах про неперетинні області |
| title_alt | Application of a dividing transformation in the problems of nonoverlapping domains |
| title_full | Застосування розділяючого перетворення в задачах про неперетинні області |
| title_fullStr | Застосування розділяючого перетворення в задачах про неперетинні області |
| title_full_unstemmed | Застосування розділяючого перетворення в задачах про неперетинні області |
| title_short | Застосування розділяючого перетворення в задачах про неперетинні області |
| title_sort | застосування розділяючого перетворення в задачах про неперетинні області |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37366 |
| work_keys_str_mv | AT zabolotniiâv zastosuvannârozdílâûčogoperetvorennâvzadačahproneperetinníoblastí AT zabolotniiâv applicationofadividingtransformationintheproblemsofnonoverlappingdomains |