О степенной модели прогнозирования надежности стареющих систем
Досліджується наближена модель розподілу безвідмовності елемента або системи на обмеженому інтервалі часу. Використовується степенева апроксимація цього розподілу. Знайдено умови, коли він є старіючим, молодіючим або U-подібним. An approximation model of the faultlessness distribution of an element...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37370 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О степенной модели прогнозирования надежности стареющих систем / В.Н. Ярошенко // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 44-47. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860180648258437120 |
|---|---|
| author | Ярошенко, В.Н. |
| author_facet | Ярошенко, В.Н. |
| citation_txt | О степенной модели прогнозирования надежности стареющих систем / В.Н. Ярошенко // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 44-47. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Досліджується наближена модель розподілу безвідмовності елемента або системи на обмеженому інтервалі часу. Використовується степенева апроксимація цього розподілу. Знайдено умови, коли він є старіючим, молодіючим або U-подібним.
An approximation model of the faultlessness distribution of an element or a system on the bounded time interval is investigated. The degree approximation of this distribution is used. The conditions when it is degradable, rejuvenescent, or U-type have been found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:02:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 681.14
© 2011
В.Н. Ярошенко
О степенной модели прогнозирования надежности
стареющих систем
(Представлено академиком НАН Украины И. Н. Коваленко)
Дослiджується наближена модель розподiлу безвiдмовностi елемента або системи на
обмеженому iнтервалi часу. Використовується степенева апроксимацiя цього розподi-
лу. Знайдено умови, коли вiн є старiючим, молодiючим або U -подiбним.
При проектировании технических систем большую роль играет адекватный выбор модели
надежности элемента или системы, основной характеристикой которой является функция
распределения F (t) времени безотказного функционирования (ВБФ) элемента (системы).
Выбору моделей для F (t) посвящены теоретические работы [1–3], вопросам инженерных
исследований — [4–6] и др.
При выборе модели F (t) следует учитывать такие обстоятельства.
Фактически не реально ставить задачу прогнозировать данную функцию F (t) на беско-
нечном интервале 0 < t < ∞: вместо этого из физических соображений следует выбрать
ограниченный интервал x0 < t < x1, на котором должна быть определена приближенная
модель F (t). В самом деле, время эксплуатации любой системы конечно. Таким образом,
x1 определяется как момент вывода системы из эксплуатации.
Критерием выбора x1 может быть либо присвоение
F (x1) = y1,
где y1 — заданная малая величина, либо равенство
sup
t6x1
h(t) = y1,
где h(t) = F ′(t)/(1 − F (t)) представляет известную в теории надежности [1] функцию —
опасность отказа элемента (системы). В частном случае стареющего распределения F (t),
т. е. когда h(t) — возрастающая функция, получаем более простой критерий
h(x1) = y1.
Здесь y1 — заданная малая величина. Что касается левого конца x0 интервала (x0, x1), то
он выбирается из физических или статистических соображений.
Так, например, если рассматривается параллельная система из n элементов, отказываю-
щих по показательному закону с параметром λ, то очевидно, что
F (t) <
1
n!
(λt)n,
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
отсюда в качестве x0 можно взять корень уравнения
1
n!
(λx0)
n = y0,
где y0 — заданная малая величина.
Таким образом, при выборе модели, прежде всего, задаются четыре параметра x0, y0,
x1, y1, определяющие значения F (t) в двух точках, а именно:
F (x0) = y0, (1)
F (x1) = y1. (2)
Дальнейшая задача состоит в определении F (t) в промежуточном интервале x0 < t < x1.
Для этой цели будем исходить из степенной аппроксимации
F (t) = y0 + (y1 − y0)
(
t− x0
x1 − x0
)
α
, x0 6 t 6 x1, (3)
где α > 0 — постоянная величина. При данной аппроксимации выполняются непрерывность
функции F (t) на замкнутом отрезке x0 6 t 6 x1 и начальные условия (1), (2).
Выбор показателя степени α. Параметр α в некоторых случаях может быть выбран
из статистических соображений; если же это невозможно, то следует привлечь для такого
выбора те или иные физические соображения.
П р и м е р . Требуется построить модель F (t), x0 6 t 6 x1, для системы, состоящей из n эле-
ментов. Известно, что опасность отказа λ каждого элемента — постоянная величина и что отказ
системы наступает в момент, когда число отказавших элементов достигает величины r. В таком
случае, если λr(x1 − x0)
r — малая величина, можно приближенно положить α = r.
Для более точной аппроксимации следует использовать любой приближенный метод,
например, метод наименьших квадратов.
Критерии старения, молодения, U-образности.
Теорема. Распределение F (t), задаваемое на отрезке x 0 6 t 6 x1 формулой (3), яв-
ляется стареющим при α > 1, U -образным при
1− y1
1− y0
< α < 1, (4)
молодеющим (термин взят из [3]) при
0 < α 6
1− y1
1− y0
. (5)
Доказательство. Из формулы (3) вытекает, что при x0 < t < x1 плотность вероятности
F ′(t) = α
(t− x0)
α−1(y1 − y0)
(x1 − x0)α
(6)
и
1− F (t) = 1− y0 −
(
t− x0
x1 − x0
)
α
(y1 − y0). (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 45
Из выражений (6) и (7) после некоторых преобразований для опасности отказа имеем
h(t) =
F ′(t)
1− F (t)
=
α(t− x0)
α−1
1− y0
y1 − y0
(x1 − x0)α − (t− x0)α
. (8)
Нетрудно видеть, что с учетом (8) при α = 1 следует, что 1/h(t) задается линейной функ-
цией.
При α > 1 числитель правой части формулы (8) возрастает, а знаменатель убывает, так
как (1 − y0)/(y1 − y0) > 1, и, следовательно, h(t) — возрастающая функция от t, т. е. рас-
пределение F (t) — стареющее.
Для рассмотрения случая 0 < α 6 1 представим (8) в виде
1
h(t)
=
1− y0
α(y1 − y0)
(x1 − x0)
α(t− x0)
1−α
−
1
α
(t− x0), (9)
откуда получаем
(
1
h(t)
)
′
=
1− α
α
1− y0
y1 − y0
(
x1 − x0
t− x0
)
α
−
1
α
. (10)
Правая часть (10) равна (−1) при α = 1, следовательно, 1/h(t) есть линейная (убывающая)
функция. При 0 < α < 1 из (9) получаем h(t) → ∞ при t → x0. Из равенства (10) находим,
что функция [1/h(t)]′ монотонно убывает.
Это значит, что либо существует корень уравнения [1/h(t)]′ = 0 в интервале x0 < t <
< x1, и тогда F (t) является U -образной в этом интервале, либо такого корня не существует,
и тогда F (t) — молодеющее распределение (в этом интервале). Из (10) очевидно, что второй
из упомянутых случаев имеет место, когда [1/h(t)]′ > 0 при t = x1.
Из (10) находим, что это неравенство выполняется, если справедливо условие (5).
Итак, теорема доказана.
Замечание. Формулой (3) функция F (t) определяется пятью параметрами: x0, y0, x1,
y1, α. При помощи линейного преобразования аргумента можно F (t) привести к функции,
зависящей только от трех параметров. Для этого введем функцию
F0(t, y0, y1, α) = y0 + tα(y1 − y0), 0 < t < 1. (11)
Легко видеть, что выражение (3) для F (t) совпадет с выражением (11) для F0(t), если
в последнем заменить аргумент t на (t − x0)/(x1 − x0). Тогда для F (t), определенной па-
раметрами x0, y0, x1, y1, α, при x0 < x1, y0 < y1, α > 0, с учетом (11) получаем формулу
приведения
F (t) = F0
(
t− x0
x1 − x0
, y0, y1, α
)
. (12)
1. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. – Моск-
ва: Наука, 1965. – 524 с.
2. Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытание на безотказность: Пер. с
англ. – Москва: Наука, 1985. – 327 с.
3. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход: Пер.
с нем. – Москва: Радио и связь, 1988. – 392 с.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
4. Теслер Г. С. Системная методология прогнозирования процессов естественной и искусственной при-
роды // Математ. машины и системы. – 2004. – № 1. – С. 144–165.
5. Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытаний на безотказность. – Москва:
Наука, 1984. – 524 с.
6. Стельников В.П., Федухин А.В., Яковлев М.А. Прогнозирование надежности слаботочного плоско-
го разъемного соединения // Математ. машины и системы. – 1993. – № 3. – С. 69–79.
Поступило в редакцию 21.06.2010Институт проблем математических машин
и систем НАН Украины, Киев
V.N. Yaroshenko
On a degree model of forecast of the reliability of ageing systems
An approximation model of the faultlessness distribution of an element or a system on the bounded
time interval is investigated. The degree approximation of this distribution is used. The conditions
when it is degradable, rejuvenescent, or U -type have been found.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 47
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37370 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:02:12Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ярошенко, В.Н. 2012-10-09T16:36:23Z 2012-10-09T16:36:23Z 2011 О степенной модели прогнозирования надежности стареющих систем / В.Н. Ярошенко // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 44-47. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37370 681.14 Досліджується наближена модель розподілу безвідмовності елемента або системи на обмеженому інтервалі часу. Використовується степенева апроксимація цього розподілу. Знайдено умови, коли він є старіючим, молодіючим або U-подібним. An approximation model of the faultlessness distribution of an element or a system on the bounded time interval is investigated. The degree approximation of this distribution is used. The conditions when it is degradable, rejuvenescent, or U-type have been found. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика О степенной модели прогнозирования надежности стареющих систем On a degree model of forecast of the reliability of ageing systems Article published earlier |
| spellingShingle | О степенной модели прогнозирования надежности стареющих систем Ярошенко, В.Н. Інформатика та кібернетика |
| title | О степенной модели прогнозирования надежности стареющих систем |
| title_alt | On a degree model of forecast of the reliability of ageing systems |
| title_full | О степенной модели прогнозирования надежности стареющих систем |
| title_fullStr | О степенной модели прогнозирования надежности стареющих систем |
| title_full_unstemmed | О степенной модели прогнозирования надежности стареющих систем |
| title_short | О степенной модели прогнозирования надежности стареющих систем |
| title_sort | о степенной модели прогнозирования надежности стареющих систем |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37370 |
| work_keys_str_mv | AT ârošenkovn ostepennoimodeliprognozirovaniânadežnostistareûŝihsistem AT ârošenkovn onadegreemodelofforecastofthereliabilityofageingsystems |