Про варіант застосування методу Годунова до розв'язання задач стійкості оболонок обертання
Розроблено варіант розрахунку критичних навантажень та форм втрати стійкості оболонок обертання з застосуванням методу Годунова. При цьому використовується ідея методу продовження за параметром при рівноправності всіх невідомих, в тому числі параметра навантаження. Наведено приклади розрахунків скла...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37372 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про варіант застосування методу Годунова до розв'язання задач стійкості оболонок обертання / М.П. Семенюк, Н.Б. Жукова, Н.I. Iванова // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 60-66. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859847892703903744 |
|---|---|
| author | Семенюк, М.П. Жукова, Н.Б. Іванова, Н.І. |
| author_facet | Семенюк, М.П. Жукова, Н.Б. Іванова, Н.І. |
| citation_txt | Про варіант застосування методу Годунова до розв'язання задач стійкості оболонок обертання / М.П. Семенюк, Н.Б. Жукова, Н.I. Iванова // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 60-66. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розроблено варіант розрахунку критичних навантажень та форм втрати стійкості оболонок обертання з застосуванням методу Годунова. При цьому використовується ідея методу продовження за параметром при рівноправності всіх невідомих, в тому числі параметра навантаження. Наведено приклади розрахунків складених оболонок, утворених обертанням спряжених колових дуг при зовнішньому тиску.
A variant of calculations of buckling loads and the buckling mode of shells of revolution with application of Godunov's method is developed. The idea of the method of continuation on a parameter at the equality of all unknowns including the parameter of load is used. The examples of calculations of compound shells which are formed by the rotation of conjugate arcs of circles at an external pressure are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:39:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2011
М. П. Семенюк, Н.Б. Жукова, Н. I. Iванова
Про варiант застосування методу Годунова
до розв’язання задач стiйкостi оболонок обертання
(Представлено академiком НАН України Я.М. Григоренком)
Розроблено варiант розрахунку критичних навантажень та форм втрати стiйкостi
оболонок обертання з застосуванням методу Годунова. При цьому використовується
iдея методу продовження за параметром при рiвноправностi всiх невiдомих, в тому
числi параметра навантаження. Наведено приклади розрахункiв складених оболонок,
утворених обертанням спряжених колових дуг при зовнiшньому тиску.
Чисельний метод, запропонований С.К. Годуновим [1], знайшов широке застосування при
розв’язаннi крайових задач статики та динамiки теорiї оболонок завдяки роботам акад.
НАН України Я.М. Григоренка та його учнiв [2]. Цей метод покладено в основу алгоритмiв
визначення критичних навантажень при дослiдженнi стiйкостi оболонок, виготовлених як
з традицiйних iзотропних матерiалiв, так i з анiзотропних композицiйних [3, 4]. Завершаль-
ним етапом бiльшостi з цих алгоритмiв є визначення найменшого власного числа матрицi
однорiдних алгебраїчних рiвнянь. Пiсля цього, при необхiдностi, знаходиться розв’язок за-
дачi, що дозволяє отримати уявлення про форму втрати стiйкостi оболонки. При розв’язаннi
системи алгебраїчниих однорiдних рiвнянь одна из констант вважається вiдомою, а всi iн-
шi знаходяться з точнiстю до прийнятого довiльного значення. Такий пiдхiд має недолiк,
спричинений тим, що апрiорi невiдомо, яку з констант вважати заданою. Вiд цього вибору
залежить зумовленiсть матрицi i, як наслiдок, точнiсть розв’язку.
Нижче пропонується варiант застосування методу [1] для визначення критичних наван-
тажень та форм втрати стiйкостi, що не має вказаного недолiку. В його основу покладено
iдею методу продовження за параметром при рiвноправностi всiх невiдомих, в тому числi
параметра навантаження [5], що призводить до розв’язання однорiдної задачi як частин-
ного випадку неоднорiдної.
1. Постановка задачi. Для розробки розрахункової методики скористаємося варiантом
спiввiдношень нелiнiйної теорiї шаруватих анiзотропних оболонок, наведеним в роботi [6].
Розв’язувальну систему диференцiальних рiвнянь виведено з [6] при умовi стацiонарностi
змiшаного функцiонала. Ця система має вигляд
ε11(u)−A11T11 −A12T12 −A13M11 + d11ε22 + d12k22 + d13k12 = 0,
ε12(u)−A12T11 −A22T12 −A23M11 + d21ε22 + d22k22 + d23k12 = 0,
k11(u)−A13T11 −A23T12 −A33M11 + d31ε22 + d32k22 + d33k12 = 0,
θ1(u) + θ = 0,
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
1
A1
∂T11
∂x
+
1
A2
∂T ∗
21
∂ϕ
+ a1(T
∗
12 + T ∗
21) + a2(T11 − T22)−
1
R1
T ∗
13 + q1 = 0,
1
A1
∂T ∗
12
∂x
+
1
A2
∂T22
∂ϕ
+ a2(T
∗
12 + T ∗
21)− a1(T11 − T22)−
1
R2
T ∗
23 + q1 = 0,
(1)
1
A1
∂T ∗
13
∂x
+
1
A2
∂T ∗
23
∂ϕ
+ a2T
∗
13 + a1T
∗
23 +
T11
R1
+
T23
R2
+ q3 = 0,
1
A1
∂M11
∂x
+
1
A2
∂M12
∂ϕ
+ 2a1M12 + a2(M11 −M22)− T13 = 0.
Коефiцiєнти Aij та dij цiєї системи можуть бути вираженi через жорсткiснi параметри
спiввiдношень узагальненого закону Гука [3, 7]. Проекцiї зусиль T ∗
ij на напрямки осей до
деформацiї мають вигляд:
T ∗
12 = T12 + T11ω1 −
2
R2
M12, T ∗
21 = T12 + T22ω2, T ∗
13 = T13 + T11θ1 + T12θ2,
T ∗
23 =
1
A2
∂M22
∂ϕ
− a1(M11 −M22) + 2a2M12 + T12θ1 + T22θ2.
(2)
Розв’язувальна система диференцiальних рiвнянь (1) в частинних похiдних пiсля роздiлен-
ня змiнних може бути подана як нормальна система звичайних диференцiальних рiвнянь.
Граничнi умови, якi також випливають з варiацiйного принципу [6], формулюються
вiдносно чотирьох альтернативних функцiй з таких пар:
(T11, w), (T ∗
12, v), (T ∗
13, w), (M11, θ). (3)
2. Розрахунок критичних навантажень та форм втрати стiйкостi. Вважаємо,
що на оболонку дiє рiвномiрний осесиметричний тиск q3. Докритичний стан оболонки обер-
тання при незалежних вiд колової координати ϕ жорсткостях та граничних умовах буде
також осесиметричним. Нелiнiйнi рiвняння (1) зберiгають свiй вигляд, але частиннi похi-
днi за координатою x стають звичайними, а похiднi за координатою ϕ необхiдно покласти
рiвними нулю. Розв’язок осесиметричної крайової задачi пiсля її лiнеаризацiї знаходиться
чисельним методом дискретної ортогоналiзацiї [1]. Зокрема, використання цього методу не
обмежується навантаженнями, що меншi, нiж граничнi критичнi значення. Показано [8, 9],
що при русi по траєкторiї навантаження в рамках iнкрементальної процедури проходження
регулярних та граничних точок виконується за єдиним алгоритмом. Якщо взяти до уваги
цю обставину, то виявляється, що при розрахунку критичних навантажень, якi вiдповiда-
ють явищу бiфуркацiї, немає необхiдностi в застосування критерiю Ейлера про iснування
сумiжних форм рiвноваги при одному i тому ж самому навантаженнi. Замiсть розв’язку
однорiдної крайової задачi, яка є наслiдком використання критерiю Ейлера, для визна-
чення навантажень бiфуркацiї будемо знаходити розв’язок неоднорiдної крайової задачi
з невiдомим параметром навантаження.
Чи є стан оболонки стiйким пiсля досягнення навантаженням значення q0, можна перевi-
рити, якщо прикласти мале неосесиметричне збурення δq cosnϕ. Амплiтуда δq вважається
невiдомою, але досить малою для того, аби реакцiя оболонки на це навантаження була
лiнiйною. Розв’язувальнi функцiї у збуреному станi дорiвнюватимуть сумi їх значень у ви-
хiдному станi (T1,c, θ1,c, . . .) та малих приростiв у близькому неосесиметричному станi, але
нових позначень для них вводити не будемо.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 61
Оскiльки оболонка замкнена по коловiй координатi, то зусилля, моменти та перемiщення
будуть перiодичними функцiями координати ϕ. У варiантi, що розглядається, розв’язок
може бути поданий у виглядi рядiв Фур’є
(T11, T
∗
13,M11, u, w, θ) =
∞
∑
n=−∞
(T11,n, T13,n,M11,n, un, wn, θn) cos nϕ,
(T ∗
12, v) =
∞
∑
n=−∞
(T12,n, vn) sinnϕ.
(4)
Пiсля пiдстановки розкладу (4) в лiнеаризованi рiвняння (1) та iнтегрування у вiдповiдностi
з методом Бубнова–Гальоркiна отримаємо систему з восьми звичайних диференцiальних
рiвнянь у нормальному виглядi
dyi
dα1
= Fi(yi,c, yi), (5)
де
y1 = T11,n, y2 = T ∗
12,n, y3 = T ∗
13,n, y4 = M11,
y5 = u, y6 = v, y7 = w, y8 = θ.
(6)
Якщо ввести вектор Y , компонентами якого є функцiї yi, i матрицi B1 та B2 розмiром 4×8,
то граничнi умови можна сформулювати у виглядi B1Y = b1, B2Y = b2 вiдповiдно при
x = 0 i x = L.
Для розв’язання системи рiвнянь (5) при вiдповiдних граничних умовах також скори-
стаємось методом дискретної ортогоналiзацiї [1, 2, 8].
Весь iнтервал iнтегрування α1,0 6 α1 6 α1,l дiлиться на k вiдрiзкiв. На j-му вiдрiзку
повний розв’язок записується у виглядi:
Y (j) = Y (j)C(j), (7)
де Y (j) — матриця, яка складається з чотирьох векторiв-розв’язкiв однорiдної системи та
одного — неоднорiдної.
Розв’язок задовольняє граничнi умови при x = 0 незалежно вiд значення констант C(j).
Для визначення цих констант скористаємось граничними умовами при x = L. Пiдставив-
ши (7) в граничнi умови при x = L, отримаємо
B2Y
(k)C(k) = 0. (8)
Видозмiнимо процедуру знаходження розв’язку [1, 2], враховуючи те, що компоненти
останнього стовпця матрицi, яка є розв’язком неоднорiдної задачi, пропорцiйнi значенню
збурюючого навантаження δq (або δP ). Вважатимемо величину δq заданою з деяким кое-
фiцiєнтом cj5. Тодi вектор C(j) буде визначатися п’ятьма компонентами [1, 6, 9]
C(j) = (cj1, c
j
2, c
j
3, c
j
4, c
j
5). (9)
Система рiвнянь
B2y
jC(j) = 0 (10)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
складається з чотирьох рiвнянь вiдносно п’яти невiдомих. Додаткове рiвняння приймемо
в такому ж виглядi, як i при кроковому навантаженнi вздовж кривої множини розв’язкiв
системи [8, 9]. Вказане рiвняння вiдображає той факт, що вектор C(j) на бiфуркацiйнiй
траєкторiї — одиничний:
(cj , cj) = 1. (11)
Розв’язок системи (10) при умовi (11) має вигляд
cji =
±∆i
√
∆2
1 +∆2
2 + · · · +∆2
, cj5 =
±∆
√
∆2
1 +∆2
2 + · · · +∆2
, (12)
де ∆i — визначники 4-го порядку, якi утворюються з основного визначника ∆ шляхом
замiни його i-го стовпця стовпцем коефiцiєнтiв при невiдомому cj5 з оберненим знаком.
Якщо ранг розширеної матрицi B2 дорiвнює 4, то розв’язок у виглядi (12) iснує незалежно
вiд того, чи дорiвнює визначник ∆ нулю, чи нi. При критичному навантаженнi визначник
∆ = 0, тому
cji =
∆i
√
∆2
1 +∆2
2 + · · · +∆2
, cj5 = 0. (13)
Звiдси випливає, що cji не залежать вiд значення δq, а система рiвнянь (10) буде одно-
рiдною.
Якщо навантаження q0 дорiвнює критичному, то амплiтуда збурення δq дорiвнює нулю.
Пiдтверджується справедливiсть критерiю Ейлера з одного боку, а з другого — що викори-
стання вказаного пiдходу не протирiчить традицiйнiй постановцi задачi стiйкостi. Перевага
використання запропонованого варiанта розрахунку полягає в тому, що стає простiшим роз-
рахунок форми випинання. Однак виникає питання про його застосовнiсть у випадку збiгу
декiлькох власних значень, що вiдповiдає виродженню матрицi, з рiвностi нулю визначника
якої знаходиться критичне навантаження, бiльше, нiж на одиницю. В задачi розглядуваного
типу виникнення вказаної проблеми практично не можливе. Справа в тому, що система ди-
ференцiальних рiвнянь розпадається при використаннi рядiв (4) на незалежнi для кожного
значення n. Мiнiмальнi власнi значення деяких з цих систем можуть збiгатися, але форми
випинання будуть рiзними внаслiдок вказаної незалежностi. При визначеннi закритичної
поведiнки оболонок, що розглядаються, необхiдно враховувати кратнiсть власних значень.
3. Приклади розрахунку. Розглядається стiйкiсть при зовнiшньому тиску оболонок,
серединна поверхня яких утворюється при обертаннi навколо осi x спряжених дужок кола
(рис. 1), яке задано в площинi y, x рiвнянням
y = y0,i +R1,i
√
1−
(x− x0,i)2
R2
1,i
, (14)
де x0,i, y0,i — координати центра i-го кола. Геометрiю дужок визначатимемо за допомогою
довжини радiуса R1 i хорди li (рис. 1). Стрiлу пiдйому hi знайдемо за формулою
1
R1,i
=
8hi
l2i + 4h2i
. (15)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 63
Рис. 1
Знак кривизни визначає знак стрiли пiдйому hi. Координати центрiв кiл знаходяться
за допомогою величин li та hi:
x0,i =
li
2
+
i−1
∑
k=1
lk, y0,i = hi +R−R1,i, (16)
де R — радiус цилiндричної поверхнi, що утворюється при обертаннi навколо осi x хорди i-ї
дужки. Система ортогональних координат на поверхнi збiгається з сiткою меридiанiв и па-
ралелей. Параметри Ламе i нормальнi кривини поверхнi можна визначити за формулами
A1 =
1
√
1−
(x− x0,i)
2
R2
1,i
, A2 = y, (17)
k1,i =
1
R1,i
, k2,i =
1
R2
=
1
A1A2
, (18)
де R1 i R2 — радiуси кривизни координатних лiнiй.
Вважаємо, що оболонка виготовлена з одного шару композита, який має такi механiчнi
характеристики:
E1= 0,5092 · 105 МПа, E2= 0,1303 · 105 МПа, G12= 0,5552 · 104 МПа, ν = 0,3621.
Незмiнними геометричними параметрами оболонки при проведеннi розрахункiв будуть
довжина L, радiус R1, товщина t, причому L/R = 1,8, t/R = 0,01 та t = 0,01 м. Будемо
змiнювати кiлькiсть дужок, що спираються на вiдрiзок довжиною L. На рис. 2 показа-
нi форми меридiана (штрихпунктирнi кривi) у випадку однiєї, двох i трьох дужок кола
однакового радiуса R1 = 1 м. Через те, що li = L, L/2, L/3, згiдно з формулою (15) бу-
де змiнюватися висота h, вiдповiдно h = 0,564 м, h = 0,107 м, h = 0,046 м. На торцях
оболонок приймемо умови жорсткого закрiплення. Для сферичного пояса, що утворюєть-
ся при обертаннi однiєї дужки кола, критичне значення iнтенсивностi зовнiшнього тис-
ку qc = 2,12 Мпа, двох дужок — qc = 1,39 Мпа, трьох дужок — qc = 1,29 Мпа. Кiлькiсть
хвиль у напрямку поперечного перерiзу оболонок дорiвнюватиме 8, 19, 19. Вiдзначимо, що
обчислене за формулою, справедливою для повних сферичних оболонок, значення критич-
ного тиску qc = 2,09 Мпа.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
Рис. 2
Рис. 3
Суцiльнi кривi на рис. 2 — це форми, яких набуває меридiан при бiфуркацiї. У випадку
однiєї дужки форма має вигляд хвилястої кривої, симетричної вiдносно середини з затуха-
нням амплiтуд у напрямку торцiв. При двох i трьох дужках маємо також симетричнi кривi,
але їх вигляд iстотно залежить вiд наявностi кутових точок на графiках функцiй, що опи-
сують форму меридiана. В околi кутових точок збiльшується жорсткiсть оболонок, а це
впливає на напружено-деформований стан до втрати стiйкостi. На рис. 3 наведено кривi,
якi описують розподiл вздовж меридiана колових зусиль t22 = T22/(qcR1) для трьох варi-
антiв оболонок. Нумерацiя кривих вiдповiдає кiлькостi дужок. Особливiстю кривих 2 i 3
є те, що в околi кутових точок на них маємо додатнi значення колових зусиль. На перший
погляд, при дiї зовнiшнього тиску цi зусилля мають бути стискаючими (вiд’ємними). Але
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 65
тут нема нiчого дивного, якщо врахувати вiдомий факт [2, 10], що при дiї зовнiшнього тиску
деякi оболонки обертання бiля торцiв розтягуються, а при внутрiшньому — стискаються.
Отриманi в роботi результати розрахунку сферичного пояса також показують наявнiсть
зони розтягуючих напружень в околi торцiв (крива 1 ).
Запропонований варiант застосування методу дискретної ортогоналiзацiї до розв’язання
задач стiйкостi оболонок обертання з складною формою меридiана показав свою ефектив-
нiсть як при визначеннi критичних навантажень, так i форм втрати стiйкостi. Одержанi ре-
зультати не протирiчать вiдомим, а також доповнюють їх новими даними про вплив геомерiї
оболонок на їх несучу здатнiсть при навантаженнях, якi призводять до втрати стiйкостi.
1. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифферен-
циальных уравнений // Усп. мат. наук. – 1961. – 16, вып. 3. – С. 171–174.
2. Григоренко Я.М., Крюков Н.Н. Численное решение задач статики гибких слоистых оболочек с пе-
ременными параметрами. – Киев: Наук. думка, 1988. – 264 с.
3. Ванин Г.Л., Семенюк Н.П., Емельянов Р.Ф. Устойчивость оболочек из армированных материалов. –
Киев: Наук. думка, 1978. – 212 с.
4. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных
оболочечных конструкций. – Москва: Машиностроение, 1975. – 376 с.
5. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения ре-
шения по параметру в нелинейных задачах механики твердого тела. – Москва: Наука, 1988. – 232 с.
6. Борисейко А. В., Семенюк Н.П., Трач В.М. О канонических уравнениях геометрически нелинейной
теории тонких анизотропных оболочек // Прикл. механика. – 2010. – 46, № 2. – С. 53–63.
7. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – Москва: Наука, 1974. – 448 с.
8. Semenyuk N. P., Trach V.M., Zhukova N.B. Incremental analysis of the nonlinear behavior of thin shells //
Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, No 9. – P. 1025–1031.
9. Семенюк Н.П., Трач В.М., Остапчук В.В. О нелинейном осесимметричном деформировании ани-
зотропных сферических оболочек // Прикл. механика. – 2009. – 45, № 10. – С. 83–95.
10. Bushnell D. Buckling of shells – pitfall for designers // AIAA J. – 1981. – 19, No 19. – P. 1183–1226.
Надiйшло до редакцiї 01.07.2010Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
N.P. Semenyuk, N.B. Zhukova, N. I. Ivanova
On a variant of Godunov’s method application to the solution of the
stability problem for shells of revolution
A variant of calculations of buckling loads and the buckling mode of shells of revolution with appli-
cation of Godunov’s method is developed. The idea of the method of continuation on a parameter at
the equality of all unknowns including the parameter of load is used. The examples of calculations
of compound shells which are formed by the rotation of conjugate arcs of circles at an external
pressure are presented.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37372 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:39:42Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Семенюк, М.П. Жукова, Н.Б. Іванова, Н.І. 2012-10-09T16:42:51Z 2012-10-09T16:42:51Z 2011 Про варіант застосування методу Годунова до розв'язання задач стійкості оболонок обертання / М.П. Семенюк, Н.Б. Жукова, Н.I. Iванова // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 60-66. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37372 539.3 Розроблено варіант розрахунку критичних навантажень та форм втрати стійкості оболонок обертання з застосуванням методу Годунова. При цьому використовується ідея методу продовження за параметром при рівноправності всіх невідомих, в тому числі параметра навантаження. Наведено приклади розрахунків складених оболонок, утворених обертанням спряжених колових дуг при зовнішньому тиску. A variant of calculations of buckling loads and the buckling mode of shells of revolution with application of Godunov's method is developed. The idea of the method of continuation on a parameter at the equality of all unknowns including the parameter of load is used. The examples of calculations of compound shells which are formed by the rotation of conjugate arcs of circles at an external pressure are presented. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Про варіант застосування методу Годунова до розв'язання задач стійкості оболонок обертання On a variant of Godunov's method application to the solution of the stability problem for shells of revolution Article published earlier |
| spellingShingle | Про варіант застосування методу Годунова до розв'язання задач стійкості оболонок обертання Семенюк, М.П. Жукова, Н.Б. Іванова, Н.І. Механіка |
| title | Про варіант застосування методу Годунова до розв'язання задач стійкості оболонок обертання |
| title_alt | On a variant of Godunov's method application to the solution of the stability problem for shells of revolution |
| title_full | Про варіант застосування методу Годунова до розв'язання задач стійкості оболонок обертання |
| title_fullStr | Про варіант застосування методу Годунова до розв'язання задач стійкості оболонок обертання |
| title_full_unstemmed | Про варіант застосування методу Годунова до розв'язання задач стійкості оболонок обертання |
| title_short | Про варіант застосування методу Годунова до розв'язання задач стійкості оболонок обертання |
| title_sort | про варіант застосування методу годунова до розв'язання задач стійкості оболонок обертання |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37372 |
| work_keys_str_mv | AT semenûkmp provaríantzastosuvannâmetodugodunovadorozvâzannâzadačstíikostíobolonokobertannâ AT žukovanb provaríantzastosuvannâmetodugodunovadorozvâzannâzadačstíikostíobolonokobertannâ AT ívanovaní provaríantzastosuvannâmetodugodunovadorozvâzannâzadačstíikostíobolonokobertannâ AT semenûkmp onavariantofgodunovsmethodapplicationtothesolutionofthestabilityproblemforshellsofrevolution AT žukovanb onavariantofgodunovsmethodapplicationtothesolutionofthestabilityproblemforshellsofrevolution AT ívanovaní onavariantofgodunovsmethodapplicationtothesolutionofthestabilityproblemforshellsofrevolution |