Направлена динаміка флюксонів у джозефсонівських контактах під впливом періодичних збурень
Досліджено явище направленого руху флюксону в довгому джозефсонівському контакті під впливом зовнішнього змінного струму в області параметрів, де не працює теорія збурень. Побудовано залежності середньої швидкості флюксону від амплітуди та частоти зовнішнього струму. Встановлено, що причинами відхил...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37373 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Направлена динаміка флюксонів у джозефсонівських контактах під впливом періодичних збурень / Я.О. Золотарюк // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 67-72. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37373 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-373732025-02-09T14:16:12Z Направлена динаміка флюксонів у джозефсонівських контактах під впливом періодичних збурень Directed fluxon dynamics in Josephson junctions under the influence of periodic perturbations Золотарюк, Я.О. Фізика Досліджено явище направленого руху флюксону в довгому джозефсонівському контакті під впливом зовнішнього змінного струму в області параметрів, де не працює теорія збурень. Побудовано залежності середньої швидкості флюксону від амплітуди та частоти зовнішнього струму. Встановлено, що причинами відхилення цих залежностей від передбачених теорією збурень є взаємодія флюксону з внутрішніми модами та малоамлітудними хвилями. The phenomenon of directed fluxon motion in an ac-biased long Josephson junction is investigated for the range of parameters where perturbation theory is not applicable. The dependence of the average fluxon velocity on the bias amplitude and frequency is obtained. The reason for a deviation of this dependence from the perturbation theory results is shown to be the fluxon interaction with the internal modes and small-amplitude waves. 2011 Article Направлена динаміка флюксонів у джозефсонівських контактах під впливом періодичних збурень / Я.О. Золотарюк // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 67-72. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37373 530.182;538.945.6 uk Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Фізика Фізика |
| spellingShingle |
Фізика Фізика Золотарюк, Я.О. Направлена динаміка флюксонів у джозефсонівських контактах під впливом періодичних збурень Доповіді НАН України |
| description |
Досліджено явище направленого руху флюксону в довгому джозефсонівському контакті під впливом зовнішнього змінного струму в області параметрів, де не працює теорія збурень. Побудовано залежності середньої швидкості флюксону від амплітуди та частоти зовнішнього струму. Встановлено, що причинами відхилення цих залежностей від передбачених теорією збурень є взаємодія флюксону з внутрішніми модами та малоамлітудними хвилями. |
| format |
Article |
| author |
Золотарюк, Я.О. |
| author_facet |
Золотарюк, Я.О. |
| author_sort |
Золотарюк, Я.О. |
| title |
Направлена динаміка флюксонів у джозефсонівських контактах під впливом періодичних збурень |
| title_short |
Направлена динаміка флюксонів у джозефсонівських контактах під впливом періодичних збурень |
| title_full |
Направлена динаміка флюксонів у джозефсонівських контактах під впливом періодичних збурень |
| title_fullStr |
Направлена динаміка флюксонів у джозефсонівських контактах під впливом періодичних збурень |
| title_full_unstemmed |
Направлена динаміка флюксонів у джозефсонівських контактах під впливом періодичних збурень |
| title_sort |
направлена динаміка флюксонів у джозефсонівських контактах під впливом періодичних збурень |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Фізика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37373 |
| citation_txt |
Направлена динаміка флюксонів у джозефсонівських контактах під впливом періодичних збурень / Я.О. Золотарюк // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 67-72. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT zolotarûkâo napravlenadinamíkaflûksonívudžozefsonívsʹkihkontaktahpídvplivomperíodičnihzburenʹ AT zolotarûkâo directedfluxondynamicsinjosephsonjunctionsundertheinfluenceofperiodicperturbations |
| first_indexed |
2025-11-26T18:24:07Z |
| last_indexed |
2025-11-26T18:24:07Z |
| _version_ |
1849878328688771072 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2011
ФIЗИКА
УДК 530.182;538.945.6
© 2011
Я.О. Золотарюк
Направлена динамiка флюксонiв у джозефсонiвських
контактах пiд впливом перiодичних збурень
(Представлено академiком НАН України В.М. Локтєвим)
Дослiджено явище направленого руху флюксону в довгому джозефсонiвському контактi
пiд впливом зовнiшнього змiнного струму в областi параметрiв, де не працює теорiя
збурень. Побудовано залежностi середньої швидкостi флюксону вiд амплiтуди та час-
тоти зовнiшнього струму. Встановлено, що причинами вiдхилення цих залежностей
вiд передбачених теорiєю збурень є взаємодiя флюксону з внутрiшнiми модами та ма-
лоамлiтудними хвилями.
Топологiчнi солiтони в довгих контактах Джозефсона або в масивах точкових контактiв
Джозефсона (вiдомi як флюксони або джозефсонiвськi вихори) активно дослiджуються
протягом декiлькох останнiх десятилiть [1, 2]. Флюксони є носiями квантiв потоку магнiт-
ного поля i, як i решта нелiнiйних збуджень топологiчного типу, вiдзначаються високим
ступенем структурної стiйкостi, оскiльки такий солiтон можна знищити якщо його пере-
мiстити за межi зразка. Однiєю з причин особливої уваги до цих збуджень є можливiсть
використання їх у ролi елементiв пам’ятi в квантових комп’ютерах [3]. Надзвичайно важли-
вим є детальне дослiдження вiдгуку топологiчних солiтонiв на зовнiшнi збурення, зокрема
на перiодичнi.
Явище направленого руху флюксонiв у довгому джозефсонiвському контактi пiд впли-
вом асиметричних часових або просторових збурень детально дослiджувалося як теоретич-
но [4], так i експериментально [5–7]. Було встановлено, що направлений рух солiтону можна
отримати, якщо порушити всi симетрiї, якi пов’язують солiтоннi розв’язки з протилежними
за знаком та однаковими за модулем швидкостями. Основним iнструментом дослiдження
динамiки флюксонiв є солiтонна теорiя збурень [8]. Проте область її застосування обме-
жена адiабатичними збуреннями та малими амплiтудами зовнiшнього струму. На сьогоднi
необхiдно отримати повну iнформацiю про направлений рух флюксону для широкої облас-
тi параметрiв, для яких пертурбативнi методи не працюють. Метою даного дослiдження
є побудова залежностi середньої швидкостi флюксону вiд амплiтуди зовнiшнього змiнного
струму та вiд його частоти поза областю застосовностi теорiї збурень.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 67
Модель та рiвняння руху. Рiвняння синус-Гордон (СГ) описує динамiку флюксону
в довгих контактах Джозефсона [1]. У безрозмiрних змiнних (де простiр нормується до
джозефсонiвської глибини проникнення, а час — до оберненої плазмoвої частоти) за умови
наявностi дисипацiї та зовнiшнього змiнного струму це рiвняння має такий вигляд:
φtt − φxx + sinφ+ αφt + j(t) = 0. (1)
У цьому рiвняннi змiнна φ(x, t) описує рiзницю фаз макроскопiчних хвильових функцiй
надпровiдникiв, що утворюють контакт, α вiдповiдає за дисипацiю, a функцiя j(t) = j(t+T )
з нульовим середнiм значенням 〈j(t)〉t = 0 описує густину зовнiшнього змiнного струму, що
подається на контакт i є однорiдно розподiленим вздовж нього.
У данiй роботi розглядається контакт з граничними умовами типу другого роду
φx(0, t) = φx(L, t) = 0 та кiльцевий контакт з перiодичними граничними умовами φ(L, t) =
= φ(x, t) + 2π, де L = 2πR, a радiус контакту R є досить великим, аби контакт можна було
вважати довгим та квазiодновимiрним.
Як вже було зазначено вище, необхiдною умовою направленого руху є порушення всiх
наявних симетрiй, що пов’язують солiтоннi розв’язки з протилежними швидкостями. До-
сягти цього можна вiдповiдним вибором функцiональної залежностi густини струму j(t).
У випадку α 6= 0 необхiдною вимогою направленого руху є виконання спiввiдношення
j
(
t+
T
2
)
6= −j(t). (2)
Природним вибором є функцiя j(t) у виглядi суперпозицiї двох гармонiк, розглянута, зокре-
ма, в роботах [4, 7], що має нульове середнє i в той же час порушує необхiднi симетрiї:
j(t) = j1 cosωt+ j2 cos (mωt+ θ), m ∈ Z. (3)
Така функцiя задовольняє спiввiдношення (2) для будь-якого θ, якщо одночасно j2 6= 0 та m
є парним. Якщо ж m непарне, то умова (2) завжди порушується, тобто j(t+ T/2) = −j(t).
Середня швидкiсть флюксона є важливою фiзичною величиною, оскiльки вона пропор-
цiйна середньому падiнню напруги на контактi, зокрема, для кiльцевого контакту довжи-
ни L середнє падiння напруги виражається через середню швидкiсть так: V = 2π〈v〉/L.
У першому наближеннi солiтонної теорiї збурень [8] припускається, що збурення є досить
слабким i не змiнює форми солiтону. Натомiсть, збурення лише впливає на еволюцiю цен-
тра мас солiтону та його швидкостi. Для випадку m = 2 i при умовi jl/
√
α2 + (lω)2 ≪ 1,
l = 1, 2, було одержано (див. також [4]) таке значення:
〈v〉 ≃ 3π3
512
j21j2
(α2 + ω2)
√
α2 + 4ω2
sin(θ − θ0), tg θ0 =
α(α2 + 3ω2)
2ω3
. (4)
Таким чином, залежнiсть 〈v〉 вiд рiзницi фаз θ має синусоїдальну форму. Подiбнi роз-
рахунки для m = 3 дають 〈v〉 = 0 незалежно вiд значення θ.
Оскiльки випадки великих амплiтуд та високих частот зовнiшнього струму недосяжнi
методом солiтонної теорiї збурень, для дослiдження рiвняння СГ нам доведеться вдатися до
методiв чисельного моделювання. Рiвняння (1) було розв’язано шляхом дискретизацiї змiн-
ної φ(x, t) (крок дискретизацiї варiювався в межах 0,04–0,1), a результуюча система звичай-
них нелiнiйних диференцiальних рiвнянь розв’язувалася за допомогою методу Рунге–Кутти
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
Рис. 1. Залежнiсть середньої швидкостi флюксону вiд амплiтуди першої гармонiки j1 при фiксованiй частцi
j2/j1 = 0,65 та при θ = 1,61: ⋄ — ω = 0,35, α = 0,15; ◦ — α = 0,1; � — α = 0,05; ∗ — ω = 0,05, α = 0,3;
а — контакт, близький до нескiнченного (подробицi див. в текстi), б — кiльцевий контакт з довжиною
L = 30. На вставках зображено тi самi залежностi з використанням логарифмiчного масштабу. Прямi лiнiї
вiдповiдають екстраполяцiї функцiями типу 3 ln j1 + C, де C — довiльна стала
четвертого порядку. Надалi розглядатиметься лише випадок змiшування першої та другої
(m = 2) гармонiк в (3).
Слiд вiдзначити, що в результатi чисельних розрахункiв встановлено, що iснує лише
один атрактор рiвняння (1), який вiдповiдає направленому руху флюксону, причому цей
рух є синхронiзованим iз зовнiшнiм збуренням i флюксон повнiстю вiдтворює свою форму
пiсля перiоду коливань струму j(t): φ(x − 〈v〉T, t + T ) = φ(x, t).
Залежнiсть середньої швидкостi флюксону вiд амплiтуди зовнiшнього стру-
му. Вираз (4), одержаний за допомогою теорiї збурень, свiдчить про кубiчну залежнiсть
середньої швидкостi солiтону вiд амплiтуди струму (тому що 〈v〉 ∼ j21j2, але якщо j1/j2 =
= const, то можна вважати, що 〈v〉 ∼ j31). Для перевiрки цього результату було побудовано
залежнiсть 〈v〉(j1) при фiксованiй частцi j2/j1 = 0,65 для рiзних значень α й ω (див. рис. 1).
Слiд вiдзначити, що для рiзних значень частоти ω та параметра дисипацiї α спосте-
рiгається хороша вiдповiднiсть з кубiчним законом зростання швидкостi в областi малих
амплiтуд j1 . 0,1. При подальшому збiльшеннi j1 вiдбувається сповiльнення або прискоре-
ння зростання залежностi, а потiм i повний її обрив. Рис. 1, a стосується контакту, який
можна вважати нескiнченним i для якого використовувалися граничнi умови другого роду.
Оскiльки моделювання нескiнченного контакту здiйснити неможливо, то бралася довжина
L > 500, при якiй жоднi граничнi ефекти не проявлялися. Пояснення вiдхилення залежнос-
тi 〈v〉(j1) вiд кубiчної слiд шукати у впливi збурення на форму флюксону. При збiльшеннi
амплiтуди вiдбувається деформацiя його форми шляхом утворення локалiзованої моди, яка
коливається синхронно iз зовнiшнiм струмом j(t). Ця мода майже непомiтна при малих j1,2,
але стає дедалi бiльшою при зростаннi j1,2, що нескладно визначити, порiвнявши розподiли
джозефсонiвської фази φ(x, t) на рис. 2. При деякому значеннi амплiтуди зовнiшнього стру-
му коливання цiєї моди стають настiльки великими, що флюксон руйнується i залежнiсть
〈v〉(j1) обривається. Максимальне критичне значення j1, при якому флюксон все ще iснує,
сильно залежить вiд значення параметра дисипацiї, причому це значення зменшується iз
зменшенням α. Це пояснюється збiльшенням коливань внутрiшньої моди при зменшеннi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 69
Рис. 2. Розподiл джозефсонiвської фази φ(x, t) для значень амплiтуди першої гармонiки j1 = 0,12 (крива 1 ),
j1 = 0,27 (крива 2 ), j1 = 0,1 (крива 3 ). Решта параметрiв вiдповiдають рис. 1, a з α = 0,15 та ω = 0,35
Рис. 3. Залежнiсть максимуму середньої швидкостi солiтону max
θ∈[0,2π]
〈v〉 вiд частоти ω при α = 0,15, j2/j1 =
= 0,65, j1 = 0,2 (+), j1 = 0,3 (◦) та j1 = 0,4 (∗). Вставки a та б зображують вiдповiдно профiлi флюксонiв
при j1 = 0,3, θ = 2,2 для ω = 0,41 та ω = 0,45, c — подробицi в околi ω = 1
дисипацiї, отже її коливання ранiше досягнуть амплiтуди, достатньої для руйнування со-
лiтону. Для скiнченних контактiв флюксон взаємодiє з малоамплiтудними хвилями (джо-
зефсонiвськими плазмонами), якi вiн сам збуджує пiд час руху вздовж контакту. Проте
якiсних вiдмiнностей з випадком нескiнченного контакту в границi j1,2 → 0 не спостерi-
гається (див. для порiвняння рис. 1, a та рис. 1, б ), кубiчний закон зростання також має
мiсце.
Таким чином, спостерiгається вiдхилення вiд передбаченого першим порядком теорiї
збурень (4) кубiчного закону зростання середньої швидкостi флюксону i пояснюється воно
деформацiєю форми флюксону пiд впливом збурення, оскiльки вищезгадане наближення
припускає незмiннiсть форми солiтону.
Залежнiсть середньої швидкостi флюксону вiд частоти зовнiшнього струму.
Iншим важливим питанням є залежнiсть середньої швидкостi флюксону вiд частоти ω.
Оскiльки залежнiсть 〈v〉 вiд зсуву фаз має форму, дуже близьку до синусоїдальної, то на
рис. 3 зображено тiльки залежнiсть максимального на iнтервалi θ ∈ [0, 2π] значення 〈v〉
вiд частоти. З рисунку видно, що найвищої швидкостi направлений рух досягає в адiа-
батичному режимi, тобто при ω → 0. При зростаннi ω середня швидкiсть спадає, хоча
i немонотонним чином, а на частотах ω ∼ 1 вона зменшується на два порядки порiвняно
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
iз адiабатичним значенням. Слiд звернути увагу на те, що теорiя збурень (4) передбачає
монотонне спадання 〈v〉 ∼ (ω2 + α2)−1(4ω2 + α2)−1/2.
Таким чином, флюксон не встигає реагувати на швидкi осциляцiї j(t) i майже їх не вiдчу-
ває. Цiкавi ефекти вiдбуваються в околi плазмової частоти (ω ≃ 1) та її половини (ω ≃ 0,5).
При досить малих амплiтудах j1,2 < jc, де jc — деяке критичне значення, спостерiгаю-
ться максимуми залежностi max
θ∈[0,2π]
〈v〉(ω) caме в околi зазначених частот. При цьому форма
флюксону при рiзних значеннях ω якiсно не вiдрiзняється (див. рис. 3, а). При перевищен-
нi критичного значення jc утворюється зв’язаний стан солiтону i плазмону з осцилюючою
асимптотикою при |x| → ∞ (див. рис. 3, б ), спочатку в околi плазмової частоти ω = 1, а при
бiльшому значеннi j1,2 — в околi ω = 0,5. Оскiльки середню швидкiсть такого зв’язаного
стану однозначно визначити неможливо через те, що вона залежить вiд довжини контакту
(а в нашому формулюваннi задачi вiн вважається безмежним), то в тих областях залеж-
ностi max
θ∈[0,2π]
〈v〉(ω), де утворюються зв’язанi стани, залишено “вiкна” без певного значення
швидкостi солiтону. Ширина цих вiкон зростає iз збiльшенням амплiтуд j1,2. Отже, можна
говорити про резонансне (оскiльки вiдбувається на половиннiй та основнiй плазмовiй часто-
тi) зв’язування флюксону з плазмонoм. Це явище є нелiнiйним за амплiтудою зовнiшнього
струму, оскiльки вiдбувається при досягненнi певних критичних значень j1,2.
Пiдсумовуючи одержанi результати, слiд вiдзначити, що динамiка флюксону пiд впли-
вом бiгармонiчного збурення в режимi поза адiабатичним наближенням i при великих ам-
плiтудах iстотно вiдрiзняється вiд поведiнки, передбаченої теорiєю збурень. Особливо треба
зауважити, що:
1) кубiчна залежнiсть середньої швидкостi флюксону вiд амплiтуди зовнiшнього струму
зберiгається лише для малих амплiтуд. Це явище пояснюється деформуванням флюксону
i утворенням на ньому внутрiшньої коливної моди. При цьому вже незастосовним є пер-
ший порядок теорiї збурень, що базується на незмiнностi форми солiтону i тому потрiбно
враховувати вищi порядки;
2) немонотонне спадання залежностi середньої швидкостi флюксону вiд частоти зовнiш-
нього змiнного струму пояснюється резонансною взаємодiєю флюксону з малоамплiтудними
збудженнями (плазмонами).
1. Barone A., Paterno G. Physics and applications of the Josephson effect. – New York: Wiley, 1982. – 551 p.
2. Ustinov A.V. Solitons in Josephson junctions // Physica D. – 1998. – 123. – P. 315–329.
3. Fedorov A., Shnirman A., Schön G. et al. Reading out the state of a flux qubit by Josephson transmission
line solitons // Phys. Rev. B. – 75. – P. 224504(13).
4. Salerno M., Zolotaryuk Y. Soliton ratchetlike dynamics by ac forces with harmonic mixing // Phys. Rev.
E. – 2002. – 65. – P. 056603(10).
5. Carapella G. Relativistic flux quantum in a field-induced deterministic ratchet // Phys. Rev. B. – 2001. –
63. – P. 054515(6).
6. Carapella G., Costabile G. Ratchet effect: Demonstration of a relativistic fluxon diode // Phys. Rev. Lett. –
2001. – 87. – P. 077002(4).
7. Ustinov A.V., Coqui C., Kemp A. et al. Ratchetlike dynamics of fluxons in annular Josephson junctions
driven by biharmonic microwave fields // Ibid. – 2004. – 93. – P. 087001(4).
8. McLaughlin D.W., Scott A. C. Perturbation analysis of fluxon dynamics // Phys. Rev. A. – 1978. – 18. –
P. 1652–1680.
Надiйшло до редакцiї 16.06.2010Iнститут теоретичної фiзики
iм. М.М. Боголюбова НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 71
Y.O. Zolotaryuk
Directed fluxon dynamics in Josephson junctions under the influence of
periodic perturbations
The phenomenon of directed fluxon motion in an ac-biased long Josephson junction is investigated
for the range of parameters where perturbation theory is not applicable. The dependence of the
average fluxon velocity on the bias amplitude and frequency is obtained. The reason for a deviation
of this dependence from the perturbation theory results is shown to be the fluxon interaction with
the internal modes and small-amplitude waves.
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
|