Индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства Хермандера
Дослiджено розв'язнiсть загальної регулярної елiптичної крайової задачi в гiльбертових шкалах просторiв, що складаються з нерегулярних розподiлiв. Знайдено достатню умову на простiр правих частин елiптичного рiвняння, за якої оператор задачi є обмежений i нетерiв у вiдповiдних парах функцiональ...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37378 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства Хермандера / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 30-36. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859674215900250112 |
|---|---|
| author | Михайлец, В.А. Мурач, А.А. |
| author_facet | Михайлец, В.А. Мурач, А.А. |
| citation_txt | Индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства Хермандера / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 30-36. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дослiджено розв'язнiсть загальної регулярної елiптичної крайової задачi в гiльбертових шкалах просторiв, що складаються з нерегулярних розподiлiв. Знайдено достатню умову на простiр правих частин елiптичного рiвняння, за якої оператор задачi є обмежений i нетерiв у вiдповiдних парах функцiональних просторiв. Вказано широкi класи просторiв Хермандера, що задовольняють цю умову.
A solvability of general elliptic boundary-value problem is investigated in Hilbert scales of spaces that consist of nonregular distributions. We find a sufficient condition for the space of right-hand sides of the elliptic equation, under which an operator of the problem is bounded and Fredholm on the corresponding couples of function spaces. Extensive classes of Hörmander spaces satisfying this condition are found.
|
| first_indexed | 2025-11-30T15:04:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.223
© 2011
В.А. Михайлец, А. А. Мурач
Индивидуальные теоремы о разрешимости
эллиптических задач и пространства Хермандера
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком)
Дослiджено розв’язнiсть загальної регулярної елiптичної крайової задачi в гiльберто-
вих шкалах просторiв, що складаються з нерегулярних розподiлiв. Знайдено достатню
умову на простiр правих частин елiптичного рiвняння, за якої оператор задачi є обме-
жений i нетерiв у вiдповiдних парах функцiональних просторiв. Вказано широкi класи
просторiв Хермандера, що задовольняють цю умову.
Постановка задачи. Пусть Ω — ограниченная область в евклидовом пространстве R
n,
n > 2, с границей Γ, которая является бесконечно гладким замкнутым многообразием раз-
мерности n − 1, и область Ω локально лежит по одну сторону от Γ.
Рассмотрим неоднородную краевую задачу в области Ω:
Au = f в Ω, Bju = gj на Γ для j = 1, . . . , q. (1)
Здесь и далее A — линейное дифференциальное выражение на Ω := Ω
⋃
Γ произвольного
четного порядка 2q > 2, а Bj , где j = 1, . . . , q, — граничное линейное дифференциальное
выражение на Γ порядка mj 6 2q − 1. Все коэффициенты выражений A и Bj являются
комплекснозначными функциями, бесконечно гладкими на Ω и на Γ соответственно.
Всюду далее предполагается, что краевая задача (1) регулярная эллиптическая. Это
означает [1, с. 137], что выражение A правильно эллиптическое на Ω, а набор граничных
выражений B := (B1, . . . , Bq) нормальный и удовлетворяет условию дополнительности по
отношению к A на Γ.
Наряду с задачей (1) рассмотрим краевую задачу
A+v = ω в Ω, B+
j v = hj на Γ для j = 1, . . . , q, (2)
формально сопряженную к задаче (1) относительно формулы Грина:
(Au, v)Ω +
q∑
j=1
(Bju,C
+
j v)Γ = (u,A+v)Ω +
q∑
j=1
(Cju,B
+
j v)Γ,
где u, v ∈ C∞(Ω). Здесь A+ — формально сопряженное к A линейное дифференциальное
выражение, а {B+
j }, {Cj}, {C
+
j } — некоторые нормальные системы граничных линейных
дифференциальных выражений. Через (·, ·)Ω и (·, ·)Γ обозначены скалярные произведения
в пространствах L2(Ω) и L2(Γ) функций, интегрируемых с квадратом в Ω и на Γ соответст-
венно, а также расширения по непрерывности этих скалярных произведений.
Введем пространства
N := {u ∈ C∞(Ω): Au = 0 в Ω, Bju = 0 на Γ, j = 1, . . . , q},
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
N+ := {v ∈ C∞(Ω): A+v = 0 в Ω, B+
j v = 0 на Γ, j = 1, . . . , q}.
Поскольку задачи (1) и (2) эллиптические, то N и N+ конечномерные [1, с. 189].
Предположим в этом пункте для простоты, что N = N+ = {0}. Тогда отображение
u 7→ (Au,Bu), где u ∈ C∞(Ω), продолжается по непрерывности до гомеоморфизма
(A,B) : Hs+2q(Ω) ↔ Hs(Ω)
⊕
Hs(Γ) (3)
при любом вещественном s > 0. Здесь и далее Hσ(Rn), Hσ(Ω) и Hσ(Γ) — гильбертовы про-
странства Соболева порядка σ ∈ R, состоящие из распределений, заданных в R
n, в Ω и на Γ
соответственно (см., напр., [1, гл. 1]), Hs(Γ) :=
q⊕
j=1
Hs+2q−mj−1/2(Γ). Это — классическая
теорема о разрешимости регулярной эллиптической краевой задачи в шкале гильбертовых
пространств Соболева [1, с. 191]. Эта теорема носит общий характер, так как пространс-
тва, на которых действует оператор (3), являются общими для всех эллиптических краевых
задач одного порядка и не зависят от коэффициентов выражения A.
При s < 0 данная теорема, вообще говоря, не верна, поскольку отображение u 7→ Bju,
где u ∈ C∞(Ω), нельзя продолжить до непрерывного оператора Bj : H
s+2q(Ω) → D′(Γ), если
s + 2q 6 mj + 1/2. Здесь и далее D′(Ω) и D′(Γ) — линейные топологические пространства
всех распределений, заданных в области Ω и на многообразии Γ соответственно. Поэтому
вместо Hs+2q(Ω) приходится брать в качестве области определения оператора (A,B) более
узкое пространство
Ds+2q
A,X (Ω) := {u ∈ Hs+2q(Ω): Au ∈ Xs(Ω)},
где Xs(Ω) — некоторое гильбертово пространство, непрерывно вложенное в Hs(Ω). При
этом в пространстве Ds+2q
A,X (Ω) вводится гильбертова норма графика.
В работах Ж.-Л. Лионса и Э. Мадженеса доказаны теоремы о том, что оператор (A,B)
продолжается по непрерывности до гомеоморфизма
(A,B) : Ds+2q
A,X (Ω) ↔ Xs(Ω)
⊕
Hs(Γ) (4)
при любом s < 0, если Xs(Ω) ≡ L2(Ω) [2, 3], либо Xs(Ω) ≡ Ξs(Ω) — некоторое весовое
подпространство в Hs(Ω) [1, с. 216, 217]. Эти результаты явились первыми примерами ин-
дивидуальных теорем о разрешимости эллиптических краевых задач. Их “индивидуальный”
характер состоит в том, что область определения оператора (4) существенно зависит от ко-
эффициентов эллиптического выражения A.
В статье [4] найдено условие на пространство Xs(Ω), при котором справедлив го-
меоморфизм (4) для каждого s < 0. Оно состоит в следующем: множество X∞(Ω) :=
= Xs(Ω)
⋂
C∞(Ω) плотно в Xs(Ω), и существует число c > 0 такое, что
‖Of‖Hs(Rn) 6 c‖f‖Xs(Ω) для любого f ∈ X∞(Ω). (5)
Здесь и далее Of(x) := f(x) при x ∈ Ω и Of(x) := 0 при x ∈ R
n \ Ω. Пространства
Xs(Ω) ≡ L2(Ω) и Xs(Ω) ≡ Ξs(Ω), использованные Лионсом и Мадженесом, удовлетворяют
этому условию. В работе [4] найдены более широкие классы пространств Xs(Ω), удовле-
творяющих неравенству (5). Тем самым там установлены новые индивидуальные теоре-
мы о разрешимости краевой задачи (1) в классах пространств распределений, связанных
с гильбертовой соболевской шкалой.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 31
Отметим, что в общей ситуации произвольных конечномерных пространств N и N+
операторы (3) и (4) являются ограниченными и нетеровыми (т. е. имеют конечный индекс).
В настоящей работе установлены индивидуальные теоремы о разрешимости краевой
задачи (1) в пространствах распределений, связанных с гильбертовыми пространствами
Хермандера [5, с. 54]. Последние в отличие от соболевских пространств параметризуются
не числовым, а функциональным параметром. Это позволяет более тонко описать свой-
ства регулярности распределений с помощью преобразования Фурье. Как следствие, нами
получены обобщения указанных выше индивидуальных теорем на более широкие классы
гильбертовых функциональных пространств.
Отметим, что альтернативный способ построения области определения оператора (A,B)
предложен Я.А. Ройтбергом (см. [6] и приведенные там ссылки). Он приводит к общей
теореме о разрешимости краевой задачи (1).
Различные общие теоремы о разрешимости эллиптических краевых задач в шкалах про-
странств Хермандера установлены ранее авторами в [7–11].
2. Пространства Хермандера. Введем необходимые нам гильбертовы шкалы про-
странств Хермандера. Обозначим через M множество всех измеримых по Борелю функций
ϕ : [1,+∞) → (0,+∞) таких, что функции ϕ, 1/ϕ ограничены на каждом отрезке [1, b], где
1 < b < +∞, и функция ϕ медленно меняется по Карамата на ∞. Последнее условие
означает, что ϕ(λt)/ϕ(t) → 1 при t → +∞ для любого числа λ > 0 [12, с. 10].
Примером функции из класса M служит любая эталонная функция вида
ϕ(t) = (log t)r1(log log t)r2 · · · (log · · · log t)rk при t ≫ 1,
где k ∈ N и r1, r2, . . . , rk ∈ R.
Пусть s ∈ R, ϕ ∈ M и n ∈ N. Обозначим через Hs,ϕ(Rn) пространство всех распре-
делений w медленного роста, заданных в R
n, таких, что преобразование Фурье ŵ распре-
деления w является локально суммируемой по Лебегу в R
n функцией, удовлетворяющей
условию
∫
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉)|ŵ(ξ)|2 dξ < ∞.
Здесь интеграл берется по R
n, а 〈ξ〉 := (1 + ξ21 + · · · + ξ2n)
1/2. В пространстве Hs,ϕ(Rn)
определено скалярное произведение по формуле
(w1, w2)Hs,ϕ(Rn) :=
∫
〈ξ〉2sϕ2(〈ξ〉)ŵ1(ξ)ŵ2(ξ) dξ.
Оно естественным образом порождает норму.
Пространство Hs,ϕ(Rn) — это частный изотропный гильбертов случай пространств обоб-
щенной гладкости, введенных и изученных Л. Хермандером [5, п. 2.2], а также независимо
и несколько позже Л.Р. Волевичем и Б.П. Панеяхом [13, § 2]. В частном случае ϕ ≡ 1
получаем пространство Соболева Hs,1(Rn) = Hs(Rn). В общем случае справедливы непре-
рывные вложения Hs+ε(Rn) →֒ Hs,ϕ(Rn) →֒ Hs−ε(Rn) для любого ε > 0. Они означают, что
в классе гильбертовых сепарабельных пространств Hs,ϕ(Rn), где s ∈ R и ϕ ∈ M, функцио-
нальный параметр ϕ уточняет основную (степенную) s-гладкость. Этот класс мы называем
уточненной шкалой (по отношению к соболевской шкале). Ее аналоги для евклидовой об-
ласти Ω и многообразия Γ определяются стандартным образом.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
Пространство Hs,ϕ(Ω) состоит из сужений в Ω всех распределений w ∈ Hs,ϕ(Rn). Оно
наделяется гильбертовой нормой
‖u‖Hs,ϕ(Ω) := inf{‖w‖Hs,ϕ(Rn) : w ∈ Hs,ϕ(Rn), w = u в Ω}.
Гильбертово пространство Hs,ϕ(Γ) состоит из всех распределений на многообразии Γ,
которые в локальных координатах принадлежат пространству Hs,ϕ(Rn). А именно, возьмем
какой-либо конечный атлас из C∞-структуры на Γ, образованный локальными картами
αj : R
n−1 ↔ Uj , где j = 1, . . . , k. Здесь открытые множества Uj составляют конечное по-
крытие многообразия Γ. Пусть функции χj ∈ C∞(Γ), где j = 1, . . . , k, образуют разбиение
единицы на Γ, удовлетворяющее условию suppχj ⊂ Uj . Положим
Hs,ϕ(Γ) := {g ∈ D′(Γ): (χjg) ◦ αj ∈ Hs,ϕ(Rn−1), j = 1, . . . , k},
(g1, g2)Hs,ϕ(Γ) :=
k∑
j=1
((χjg1) ◦ αj , (χjg2) ◦ αj)Hs,ϕ(Rn−1).
Здесь (χjg) ◦ αj — представление распределения χjg в карте αj . Пространство Hs,ϕ(Γ)
с точностью до эквивалентности норм не зависит от выбора атласа и разбиения единицы.
Отметим, что среди пространств Хермандера уточненные шкалы выделяются тем, что
они привязаны к гильбертовой соболевской шкале числовым параметром s и обладают
интерполяционным свойством относительно нее. А именно, каждое пространство уточнен-
ной шкалы получается интерполяцией с подходящим функциональным параметром пары
гильбертовых пространств Соболева [7, п. 3]. Это обстоятельство делает удобным и содер-
жательным использование уточненных шкал в теории эллиптических краевых задач.
Приведем общую теорему о разрешимости задачи (1) в уточненной позитивной полу-
шкале пространств [7, с. 369]. Обозначим Hs,ϕ(Γ) :=
q⊕
j=1
Hs+2q−mj−1/2,ϕ(Γ).
Предложение 1. Для произвольных s > −1/2 и ϕ ∈ M отображение u → (Au,Bu),
где u ∈ C∞(Ω), продолжается по непрерывности до ограниченного нетерового оператора
(A,B) : Hs+2q,ϕ(Ω) → Hs,ϕ(Ω)
⊕
Hs,ϕ(Γ). (6)
Ядро этого оператора совпадает с N , а область значений состоит из всех векторов
(f, g1, . . . , gq) ∈ Hs,ϕ(Ω)
⊕
Hs,ϕ(Γ), удовлетворяющих условию
(f, v)Ω +
q∑
j=1
(gj , C
+
j v)Γ = 0 для любого v ∈ N+. (7)
Индекс оператора (6) равен dimN − dimN+ и не зависит от s, ϕ.
3. Ключевая индивидуальная теорема. Пусть заданы произвольно параметры s <
< 0, ϕ ∈ M и гильбертово пространство Xs,ϕ(Ω), непрерывно вложенное в D′(Ω). Рассмо-
трим для Xs,ϕ(Ω) следующее условие (ср. с (5)).
Условие Is,ϕ. Множество X∞(Ω) := Xs,ϕ(Ω)
⋂
C∞(Ω) плотно в Xs,ϕ(Ω) и существует
число c > 0 такое, что
‖Of‖Hs,ϕ(Rn) 6 c‖f‖Xs,ϕ(Ω) для любого f ∈ X∞(Ω).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 33
Это условие корректно, поскольку Of ∈ Hs,ϕ(Rn) при s < 0 для f ∈ C∞(Ω). Заметим,
что чем меньше s, тем слабее условие Is,ϕ при неизменном пространстве Xs,ϕ(Ω).
Положим
Ds+2q,ϕ
A,X (Ω) := {u ∈ Hs+2q,ϕ(Ω): Au ∈ Xs,ϕ(Ω)}.
Как обычно, образ Au понимается в смысле теории распределений в области Ω. Пространс-
тво Ds+2q,ϕ
A,X (Ω) гильбертово относительно скалярного произведения графика
(u1, u2)Ds+2q,ϕ
A,X (Ω) := (u1, u2)Hs+2q,ϕ(Ω) + (Au1, Au2)Xs,ϕ(Ω).
Оно естественным образом порождает норму в Ds+2q,ϕ
A,X (Ω).
Теорема 1 (ключевая). Пусть ϕ ∈ M, число s < 0 такое, что
s+ 2q 6=
1
2
− k для любого k ∈ N, (8)
а Xs,ϕ(Ω) — произвольное гильбертово пространство, непрерывно вложенное в D′(Ω) и
удовлетворяющее условию Is,ϕ. Тогда справедливы следующие утверждения.
(i) Множество D∞
A,X(Ω) := {u ∈ C∞(Ω): Au ∈ Xs,ϕ(Ω)} плотно в Ds+2q,ϕ
A,X (Ω).
(ii) Отображение u → (Au,Bu), где u ∈ D∞
A,X(Ω), продолжается по непрерывности до
ограниченного оператора
(A,B) : Ds+2q,ϕ
A,X (Ω) → Xs,ϕ(Ω)
⊕
Hs,ϕ(Γ). (9)
(iii) Оператор (9) нетеров. Его ядро совпадает с N , а область значений состоит из
всех векторов (f, g1, . . . , gq) ∈ Xs,ϕ(Ω)
⊕
Hs,ϕ(Γ), удовлетворяющих условию (7).
(iv) Если множество O(X∞(Ω)) плотно в подпространстве {w ∈ Hs,ϕ(Rn) : suppw ⊆
⊆ Ω}, то индекс оператора (9) равен dimN − dimN+.
4. Приложения. Отметим важные приложения теоремы 1, обусловленные конкретным
выбором пространства Xs,ϕ(Ω). Пусть s < 0 и ϕ ∈ M.
Пространство Xs,ϕ(Ω) := {0} удовлетворяет условию Is,ϕ. В этом случае теорема 1 опи-
сывает свойства полуоднородной краевой задачи (1), где f = 0, и справедлива при любом
s ∈ R, что установлено нами в [8, с. 1538].
Пространство Xs,ϕ(Ω) := L2(Ω) также удовлетворяет условию Is,ϕ. Этот выбор про-
странства Xs,ϕ(Ω) важен в спектральной теории эллиптических операторов.
В качестве Xs,ϕ(Ω) допустим выбор некоторых пространств Хермандера. Ввиду предло-
жения 1 здесь содержательным является случай s 6 −1/2. Всякое пространство Херманде-
ра Xs,ϕ(Ω) := Hλ,η(Ω), где λ > −1/2 и η ∈ M, удовлетворяет условию Is,ϕ при s 6 −1/2.
Следовательно, в силу теоремы 1 имеем следующую индивидуальную теорему о разреши-
мости краевой задачи (1).
Теорема 2. Пусть число s 6 −1/2 удовлетворяет условию (8), λ > −1/2 и ϕ, η ∈ M.
Тогда отображение u 7→ (Au,Bu), где u ∈ C∞(Ω), продолжается по непрерывности до
ограниченного нетерового оператора
(A,B) : {u ∈ Hs+2q,ϕ(Ω): Au ∈ Hλ,η(Ω)} → Hλ,η(Ω)
⊕
Hs,ϕ(Γ),
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
область определения которого является гильбертовым пространством относительно нор-
мы графика
(‖u‖2Hs+2q,ϕ(Ω) + ‖Au‖2Hλ,η(Ω))
1/2.
Индекс этого оператора равен dimN − dimN+ и не зависит от параметров s, ϕ и λ, η.
Отметим, что в теореме 2 решение и правая часть эллиптического уравнения Au = f
могут иметь различные дополнительные гладкости ϕ и η.
В теореме 2 пространство Xs,ϕ(Ω) := Hλ,η(Ω) лежит в H−1/2(Ω), поскольку λ > −1/2.
Пространство Xσ,ϕ(Ω), содержащее широкий класс распределений f /∈ H−1/2(Ω) и удов-
летворяющее условию Is,ϕ, можно получить, используя некоторые весовые пространства
Хермандера.
Пусть s < −1/2, ϕ ∈ M, а функция ̺ ∈ C∞(Ω) положительная. Определим пространс-
тво со скалярным произведением
̺Hs,ϕ(Ω) := {f = ̺v : v ∈ Hs,ϕ(Ω)}, (f1, f2)̺Hs,ϕ(Ω) := (̺−1f1, ̺
−1f2)Hs,ϕ(Ω).
Оно полно (гильбертово) и непрерывно вложено в D′(Ω).
Если функция ̺ является мультипликатором в пространстве H−s,1/ϕ(Ω) и удовлетворяет
условию
Dj
ν̺ = 0 на Γ для всех j ∈ Z, 0 6 j < −s−
1
2
, (10)
то пространство Xs,ϕ(Ω) := ̺Hs,ϕ(Ω) удовлетворяет условию Is,ϕ. Здесь Dν — оператор
дифференцирования вдоль внутренней нормали к границе Γ. Поэтому в силу теоремы 1
справедлива следующая индивидуальная теорема о разрешимости краевой задачи (1) в ве-
совых пространствах.
Теорема 3. Пусть число s < −1/2 удовлетворяет неравенству (8), ϕ ∈ M, а функ-
ция ̺ ∈ C∞(Ω) положительна, является мультипликатором в пространстве H−s,1/ϕ(Ω)
и удовлетворяет условию (10). Тогда отображение u 7→ (Au,Bu), где u ∈ C∞(Ω), Au ∈
∈ ̺Hs,ϕ(Ω), продолжается по непрерывности до ограниченного нетерового оператора
(A,B) : {u ∈ Hs+2q,ϕ(Ω): Au ∈ ̺Hs,ϕ(Ω)} → ̺Hs,ϕ(Ω)
⊕
Hs,ϕ(Γ),
область определения которого является гильбертовым пространством относительно нор-
мы графика
(‖u‖2Hs+2q,ϕ(Ω) + ‖̺−1Au‖2Hs,ϕ(Ω))
1/2.
Индекс этого оператора равен dimN − dimN+ и не зависит от s, ϕ и ̺.
Важный пример функции ̺, удовлетворяющей условию теоремы 3, получим, положив
̺ := ̺δ1 для произвольного фиксированного числа δ > −s− 1/2. Здесь функция ̺1 ∈ C∞(Ω)
положительна в Ω и равна расстоянию до границы Γ в некоторой ее окрестности.
1. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – Москва: Мир,
1971. – 372 с.
2. Lions J.-L., Magenes E. Problémes aux limites non homogénes, V // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). –
1962. – 16. – P. 1–44.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №4 35
3. Lions J.-L., Magenes E. Problémes aux limites non homogénes, VI // J. Anal. Math. – 1963. – 11. –
P. 165–188.
4. Murach A.A. Extension of some Lions-Magenes theorems // Meth. Funct. Anal. Topology. – 2009. – 15,
No 2. – P. 152–167.
5. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – Москва: Мир,
1965. – 380 с.
6. Roitberg Ya.A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. – Dordrecht: Kluwer, 1996. –
415 p.
7. Михайлец В.А., Мурач А.А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II //
Укр. мат. журн. – 2006. – 58, No 3. – С. 352–370.
8. Михайлец В.А., Мурач А.А. Регулярная эллиптическая граничная задача для однородного уравне-
ния в двусторонней уточненной шкале пространств // Там же. – 2006. – 58, No 11. – С. 1536–1555.
9. Михайлец В.А., Мурач А.А. Эллиптический оператор с однородными регулярными граничными
условиями в двусторонней уточненной шкале пространств // Укр. мат. вiсник. – 2006. – 3, No 4. –
С. 547–580.
10. Михайлец В.А., Мурач А.А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. III //
Укр. мат. журн. – 2007. – 59, No 5. – С. 679–701.
11. Михайлец В.А., Мурач А.А. Эллиптическая краевая задача в двусторонней уточненной шкале про-
странств // Там же. – 2008. – 60, No 4. – С. 497–520.
12. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – Москва: Наука, 1985. – 142 с.
13. Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения //
Успехи мат. наук. – 1965. – 20, No 1. – С. 3–74.
Поступило в редакцию 02.07.2010Институт математики НАН Украины, Киев
V.A. Mikhailets, A.A. Murach
Individual theorems on a solvability of elliptic problems and Hörmander
spaces
A solvability of general elliptic boundary-value problem is investigated in Hilbert scales of spaces
that consist of nonregular distributions. We find a sufficient condition for the space of right-hand
sides of the elliptic equation, under which an operator of the problem is bounded and Fredholm on
the corresponding couples of function spaces. Extensive classes of Hörmander spaces satisfying this
condition are found.
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37378 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T15:04:30Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Михайлец, В.А. Мурач, А.А. 2012-10-09T16:54:16Z 2012-10-09T16:54:16Z 2011 Индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства Хермандера / В.А. Михайлец, А.А. Мурач // Доп. НАН України. — 2011. — № 4. — С. 30-36. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37378 517.956.223 Дослiджено розв'язнiсть загальної регулярної елiптичної крайової задачi в гiльбертових шкалах просторiв, що складаються з нерегулярних розподiлiв. Знайдено достатню умову на простiр правих частин елiптичного рiвняння, за якої оператор задачi є обмежений i нетерiв у вiдповiдних парах функцiональних просторiв. Вказано широкi класи просторiв Хермандера, що задовольняють цю умову. A solvability of general elliptic boundary-value problem is investigated in Hilbert scales of spaces that consist of nonregular distributions. We find a sufficient condition for the space of right-hand sides of the elliptic equation, under which an operator of the problem is bounded and Fredholm on the corresponding couples of function spaces. Extensive classes of Hörmander spaces satisfying this condition are found. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства Хермандера Individual theorems on a solvability of elliptic problems and Hörmander spaces Article published earlier |
| spellingShingle | Индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства Хермандера Михайлец, В.А. Мурач, А.А. Математика |
| title | Индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства Хермандера |
| title_alt | Individual theorems on a solvability of elliptic problems and Hörmander spaces |
| title_full | Индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства Хермандера |
| title_fullStr | Индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства Хермандера |
| title_full_unstemmed | Индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства Хермандера |
| title_short | Индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства Хермандера |
| title_sort | индивидуальные теоремы о разрешимости эллиптических задач и пространства хермандера |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37378 |
| work_keys_str_mv | AT mihailecva individualʹnyeteoremyorazrešimostiélliptičeskihzadačiprostranstvahermandera AT muračaa individualʹnyeteoremyorazrešimostiélliptičeskihzadačiprostranstvahermandera AT mihailecva individualtheoremsonasolvabilityofellipticproblemsandhormanderspaces AT muračaa individualtheoremsonasolvabilityofellipticproblemsandhormanderspaces |