Задача з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними і сталими алгебрично залежними коефіцієнтами
Встановлено умови однозначної розв'язності задачі з нелокальними двоточковими умовами для рівнянь із частинними похідними та сталими алгебрично залежними коефіцієнтами в термінах діофантових властивостей дискримінанта характеристичного рівняння на алгебричному многовиді. Досліджено властивість...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37553 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними і сталими алгебрично залежними коефіцієнтами / В.С. Iлькiв, I.Я. Савка // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 18-27. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859602737026564096 |
|---|---|
| author | Ільків, В.С. Савка, І.Я. |
| author_facet | Ільків, В.С. Савка, І.Я. |
| citation_txt | Задача з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними і сталими алгебрично залежними коефіцієнтами / В.С. Iлькiв, I.Я. Савка // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 18-27. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Встановлено умови однозначної розв'язності задачі з нелокальними двоточковими умовами для рівнянь із частинними похідними та сталими алгебрично залежними коефіцієнтами в термінах діофантових властивостей дискримінанта характеристичного рівняння на алгебричному многовиді. Досліджено властивість нормальності многовиду та визначено показник нормальності.
We established conditions for the unique solvability of a problem with nonlocal two-point boundary conditions for partial differential equations with constant algebraically dependent coefficients in terms of the Diophantine properties of the discriminant of the characteristic polynomial on an algebraic manifold. The property of normality of the manifold is investigated, and the index of normality is determined.
|
| first_indexed | 2025-11-28T00:30:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95+511.7
© 2011
В.С. Iлькiв, I. Я. Савка
Задача з нелокальними умовами для рiвнянь
iз частинними похiдними i сталими алгебрично
залежними коефiцiєнтами
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником)
Встановлено умови однозначної розв’язностi задачi з нелокальними двоточковими умо-
вами для рiвнянь iз частинними похiдними та сталими алгебрично залежними кое-
фiцiєнтами в термiнах дiофантових властивостей дискримiнанта характеристичного
рiвняння на алгебричному многовидi. Дослiджено властивiсть нормальностi многовиду
та визначено показник нормальностi.
Нелокальнi задачi для рiвнянь iз частинними похiдними є некоректними [1], а їх розв’язнiсть
є нестiйкою стосовно як завгодно малих змiн коефiцiєнтiв задачi. У випадку цилiндричної
областi, що є декартовим добутком вiдрiзка на тор, це пов’язано з проблемою оцiнювання
знизу малих знаменникiв [2, 3], якi виникають при побудовi формального розв’язку цих за-
дач. Для розв’язання проблеми малих знаменникiв застосовується метричний пiдхiд, який
полягає у встановленнi розв’язностi задачi для майже всiх (стосовно мiри Лебега) векторiв,
складених iз деяких коефiцiєнтiв задачi. При цьому ранiше вважалося, що всi компоненти
цих векторiв незалежно змiнюються в деякiй наперед заданiй областi. Якщо ж компоненти
залежнi, то отриманi результати не можна безпосередньо використати, оскiльки метричнi
теореми про оцiнки знизу малих знаменникiв, що забезпечують розв’язнiсть задачi, не роз-
рiзняють множини нульової мiри, якими є областi змiни залежних параметрiв.
Ранiше нами було розглянуто нелокальну двоточкову задачу для рiвнянь з частинними
похiдними та лiнiйно залежними коефiцiєнтами [4]. У данiй роботi дослiджується задача зi
сталими алгебрично залежними коефiцiєнтами. Для формулювання результатiв введено по-
няття δ-нормальностi алгебричного многовиду та визначено його показник нормальностi δ.
1. Формулювання задачi. Надалi використовуємо такi позначення: x ∈ R
p, k ∈ Z
p,
(k, x) = k1x1 + · · · + kpxp, k̃ = (1 + (k, k))1/2, s = (s1, . . . , sp) ∈ Z
p
+, |s| = s1 + · · · + sp,
∂nt = ∂n/∂tn, ∂sx = ∂s1x1 · · · ∂
sp
xp ; Ωp = (R/2πZ)p — p-вимiрний тор, D = [0, T ] × Ωp, T > 0.
Введемо такi простори 2π-перiодичних за змiнною x функцiй: Hq(Ωp), q ∈ R, — прос-
тiр Соболєва функцiй, отриманий поповненням множини тригонометричних многочленiв
ϕ(x)=
∑
k
ϕke
(ik,x) за нормою ‖·‖Hq(Ωp), яка породжується скалярним добутком (ϕ,ψ)Hq (Ωp) =
=
∑
k∈Zp
k̃2qϕkψk; H
n
q (D), q ∈ R, n ∈ Z+, — банахiв простiр функцiй u = u(t, x) таких, що для
кожного t ∈ [0, T ] функцiї ∂jt u(t, ·), j = 0, 1, . . . , n, належать простору Hq−j(Ωp) та непе-
рервнi на вiдрiзку [0, T ] у цьому просторi; норма в просторi Hn
q (D) визначається формулою
‖u‖2
Hn
q (D) =
n∑
j=0
max
t∈[0,T ]
‖∂jt u(t, ·)‖
2
Hq−j (Ωp)
.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
В областi D змiнних (t, x) розглянемо задачу
L(∂t, ∂x)u ≡ ∂nt u+ a1∂
n
x1u+ · · ·+ ap∂
n
xpu+
n∑
j=1
Aj(∂x)∂
n−j
t u = 0, (1)
Lju ≡ ∂j−1
t u|t=0 − µ∂j−1
t u|t=T = ϕj , j = 1, . . . , n, (2)
де ϕj — довiльнi заданi функцiї з просторiв, якi належать шкалi {Hq(Ωp)}q∈R, u = u(t, x) —
шукана функцiя, Aj(∂x) =
∑
|s|6j
Ajs∂s1x1 · · · ∂
sp
xp , j = 1, . . . , n.
Коефiцiєнти a1, . . . , ap, A
j
s та µ задачi (1), (2) є дiйсними числами, причому вважаємо,
що коефiцiєнти Ajs є фiксованими, а коефiцiєнти a1, . . . , ap, µ — нефiксованими.
Коефiцiєнт µ i вектор коефiцiєнтiв a = (a1, . . . , ap) є незалежними, але на компоненти
a1, . . . , ap вектора a накладена умова алгебричної залежностi
R(a) ≡
∑
|s|6d
αsa
s1
1 · · · a
sp
p = 0. (3)
Многочлен R з дiйсними коефiцiєнтами αs має степiнь d > 2. Рiвнiсть (3) задає алгебричний
многовид у просторi R
p векторiв a.
Ранiше [2, 3] для незалежних коефiцiєнтiв a1, . . . , ap встановлено розв’язнiсть задачi (1),
(2) для майже всiх векторiв (a, µ) iз множини даних. Випадок d = 1 розглянуто в роботi [1],
в якiй встановлено умови розв’язностi задачi (1)–(3) у просторах Соболєва для майже всiх µ
та для майже всiх точок a лiнiйного многовиду.
Пiд розв’язком задачi (1), (2) розумiємо функцiю u ∈ H
n
q (D), яка задовольняє рiвнян-
ня (1) у просторi H0
q−n(D) i умову Lju = ϕj у просторi Hq−1+j(Ω), j = 1, . . . , n.
2. Побудова формального розв’язку. Умови єдиностi. Розв’язок u задачi (1), (2)
має вигляд ряду Фур’є
u(t, x) =
∑
k∈Zp
uk(t) exp(ik, x), (4)
де функцiя uk(t), k ∈ Z
p, є розв’язком двоточкової нелокальної задачi для звичайних ди-
ференцiальних рiвнянь:
L
(
d
dt
, ik
)
uk(t) = 0, (5)
Ljuk(t) = ϕjk, j = 1, . . . , n. (6)
Умови єдиностi розв’язку u задачi (1), (2) випливають з умов єдиностi розв’язку uk(t)
задачi (5), (6) для кожного k ∈ Z
p.
У позначеннях vk(t) = col
(
uk(t),
duk(t)
dt
, . . . ,
dn−1uk(t)
dtn−1
)
, ϕk = col(ϕ1k, . . . , ϕnk),
Ak(a) =
[
0 En−1
Ank(a) (−An−1(ik) · · · −A1(ik))
]
,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 19
де Ank(a) = −in
p∑
j=1
ajkj − An(ik), Em — одинична матриця порядку m, задача (5), (6)
еквiвалентна нелокальнiй задачi на вiдрiзку [0, T ] для нормальної системи першого порядку
dvk(t)
dt
= Ak(a)vk(t), (7)
vk(0) − µvk(T ) = ϕk. (8)
Загальний розв’язок рiвняння (7) зображається формулою vk(t) = eAk(a)tC(k), де C(k) —
довiльний сталий вектор-стовпець. З умови (8) дiстанемо лiнiйну систему алгебричних рiв-
нянь
[En − µeAk(a)T ]C(k) = ϕk (9)
для визначення невiдомого вектора C(k). Задача (7), (8) має єдиний розв’язок vk(t) тодi й
тiльки тодi, коли є невиродженою матриця En−µe
Ak(a)T системи (9). Звiдси випливає таке
твердження про єдинiсть розв’язку задачi (1), (2):
Теорема 1. Для єдиностi розв’язку u задачi (1), (2) у просторi Hn
q (D) необхiдно та
достатньо, щоб виконувалась умова
∀k ∈ Z
p det[En − µeAk(a)T ] 6= 0. (10)
Умова (10) означає, що число 1/µ не є власним значенням матрицi eAk(a)T для жодно-
го вектора k ∈ Z
p. Якщо розв’язок vk(t) задачi (7), (8) — єдиний, то вiн зображається
формулою
vk(t) = eAk(a)t[En − µeAk(a)T ]−1ϕk. (11)
Отже, формальний розв’язок u задачi (1), (2) є рядом (4), в якому функцiя uk(t) є пер-
шою координатою вектора vk(t) iз формули (11).
Для доведення iснування розв’язку задачi (1), (2) маємо оцiнити функцiю вiд матрицi
Ak(a) у формулi (11). Позначимо через λ1k, λ2k, . . . , λnk власнi значення матрицi Ak(a), якi
також є коренями характеристичного рiвняння
L(λ, ik) ≡ λn +
n∑
j=1
Aj(ik)λ
n−j + in
n∑
j=1
ajk
n
j = 0, (12)
що вiдповiдає диференцiальному рiвнянню (5). Тодi числа (1 − µeλjkT )−1, де j = 1, . . . , n,
є власними значеннями матрицi [En − µeAk(a)T ]−1, а числа eλjkt(1 − µeλjkT )−1 — власними
числами матрицi eAk(a)t[En − µeAk(a)T ]−1.
Для збiжностi функцiонального ряду (4) у просторi H
n
q (D) достатньо оцiнити знизу
знаменники 1 − µeλjkT , а також рiзницi λlk − λjk, якi присутнi в зображеннi [5] матричної
функцiї eAk(a)t[En − µeAk(a)T ]−1.
У випадку незалежних компонент a1, . . . , ap вектора a встановлено твердження про те,
що рiвняння (12) має простi коренi для майже всiх (стосовно мiри Лебега в просторi Rp)
векторiв a, усiх (за винятком скiнченної кiлькостi) векторiв k ∈ Z
p (див. [6]). Дане тверд-
ження випливає з вiдокремленостi вiд нуля дискримiнанта многочлена L(λ, ik) степеневою
функцiєю.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
Для встановлення подiбних умов вiдокремленостi вiд нуля дискримiнанта многочлена
L(λ, ik) у випадку алгебрично залежних коефiцiєнтiв a1, . . . , ap, з яких випливає простота
всiх коренiв рiвняння (12), вводимо поняття δ-нормальностi (див. [7]) алгебричного много-
виду (3) щодо дискримiнанта многочлена L(λ, ik).
3. δ-нормальнiсть алгебричного многовиду. Нехай точка a0 ∈ R
p задовольняє рiв-
няння R(a0) = 0 i є некритичною точкою полiномiальної функцiї R(a), тобто ∇R|a=a0 6= 0,
де ∇ — градiєнт. Не втрачаючи загальностi, будемо вважати, що ∂apR(a)|a=a0 6= 0.
Таким чином, в околi U некритичної точки a0 функцiї R рiвняння R(a) = 0 задає
(p − 1)-вимiрну поверхню M = {a ∈ U : R(a) = 0} у просторi R
p. Поверхня M є околом
точки a0 алгебричного многовиду, яка визначається як перетин околу U точки a0 в просторi
R
p i алгебричного многовиду R(a) = 0.
На пiдставi теореми про неявну функцiю алгебричний многовид R(a) = 0 в деякому
замкненому околi U точки a0 має явний вигляд ap = f(a), де a = (a1, . . . , ap−1), функцiя f(a)
визначена та достатньо гладка в околi Up = πap(U) точки a0 ∈ R
p−1, причому a0p = f(a0),
πap(U) — проекцiя U вздовж осi ap.
Введемо поняття δ-нормальностi поверхнi (алгебричного многовиду) M щодо дискримi-
нанта D(a, k) характеристичного многочлена L(λ, ik).
Означення 1. Вектор a з Rp називається δ-нормальним, якщо для всiх (крiм скiнченної
кiлькостi) векторiв k ∈ Z
p виконується нерiвнiсть
|D(a, k)| > k̃−δ, δ ∈ R. (13)
Означення 2. Поверхня M називається δ-нормальною, якщо майже всюди на M вико-
нується умова δ-нормальностi. Число δ називається показником нормальностi поверхнi M .
Зауваження. Деяка властивiсть виконана майже всюди на поверхнi M , якщо вона ви-
конана для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R
p−1) точок a в околi Up.
Позначимо через θ(q,m) мультиiндекс iз множини Z
p
+, що задається формулою
θ(q,m) = (0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸
q−1
, d−m, 0, . . . , 0,m), q = 1, . . . , p − 1, m = 0, 1, . . . , d.
Теорема 2. Нехай iснують такi сталi C1 > 0 та ψ ∈ R, що для всiх (ξ, η) ∈ Z
2\{η 6= 0}
при q = 1, . . . , p − 1 виконуються нерiвностi
∣∣∣∣∣
d∑
m=0
(−1)mαθ(q,m)ξ
mηd−m
∣∣∣∣∣ > C1(|ξ|+ |η|)ψ . (14)
Тодi поверхня M є δ-нормальною при δ > (n − 1)(n(d − ψ) + dp − n).
Доведення. Дискримiнант D(a, k) є результантом [8, c. 17] многочлена L(λ, ik) та його
похiдної L′
λ(λ, ik), який можна зобразити за допомогою Ljk(a) значень многочлена L(λ, ik)
на коренях µ1k, . . . , µn−1,k, його похiдної L′
λ(λ, ik) формулою
D(a, k) = (−1)n(n−1)/2nn
n−1∏
j=1
Ljk(a), (15)
де Ljk(a) := L(µjk, ik) = a1(ik1)
n + · · · + ap(ikp)
n + ljk, ljk = µnjk +
n∑
r=1
Aj(ik)µ
n−r
jk .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 21
Для встановлення оцiнки знизу (13) дискримiнанта D(a, k) розглянемо його як функцiю
незалежних параметрiв a1, . . . , ap−1, попередньо виключивши з умови
R(a) ≡
d∑
j=0
(
∑
|s|6d−j
αs,ja
s
)
ajp = 0,
де s = (s1, . . . , sp−1), a = (a1, . . . , ap−1), алгебрично залежний параметр ap.
Для цього використаємо технiку виключення [8] за допомогою результанта res
ap
(D, R)
многочленiв D(a, k) i R(a) за змiнною ap. Використавши властивостi результанта, на основi
формули (15) отримаємо таке зображення для результанта res
ap
(D, R):
res
ap
(D, R) = (−1)n(n−1)d/2nnd
n−1∏
j=1
Rjk(a), (16)
де Rjk(a) = res
ap
(Ljk(a), R(a)). З iншого боку, результант res
ap
(D, R) можна зобразити фор-
мулою
res
ap
(D, R) = αn−1
0,d
d∏
j=1
D(a, ajp, k), (17)
де a1p, . . . , a
d
p — коренi рiвняння R(a, ap) = 0 за змiнною ap.
Позначимо a1p = a1p(a) ту вiтку, яка збiгається з функцiєю f , тобто a1p(a) ≡ f(a) в око-
лi Up, тодi D(a, k) = D(a, f(a), k) для точок a ∈ M , де a = πap(a).
Оскiльки з формули (15) випливає нерiвнiсть |D(a, k)| 6 C2k̃
n(n−1) для будь-яких a ∈M
та k ∈ Z
p, де стала C2 не залежить вiд k, то з рiвностей (16) та (17) маємо
|D(a, f(a), k)| >
k̃−n(n−1)(d−1)| resap(D, R)|
|α0,d|(n−1)Cd−1
2
>
nndk̃−n(n−1)(d−1)
|α0,d|(n−1)Cd−1
2
n−1∏
j=1
|Rjk(a)|. (18)
Оцiнимо знизу кожну з функцiй Rjk(a), j = 1, . . . , n − 1, на множинi Up за допомогою
метричного пiдходу. Для цього нам знадобиться допомiжна лема про оцiнку мiри виняткової
множини для полiномiв.
Лема. Нехай F (y) ≡ F (y1, . . . , ym) — полiном степеня d з комплексними коефiцiєнта-
ми, визначений в обмеженiй однозв’язнiй областi G ⊂ R
m. Якщо
|∇dF | ≡ |∂dy1F |+ · · · + |∂dymF | 6= 0,
то
mes
Rm
{y ∈ G : |F (y)| < ε} 6 c d
√
ε
|∇dF |
,
де додатна стала c залежить вiд m, d та областi G.
Доведення. Значення виразу |∇dF | не залежить вiд y. Нехай |∂dy1F | = max
i=1,...,m
|∂dyiF |,
тодi |∇dF | > |∂dy1F | > |∇dF |/m.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
Зобразимо полiном F (y) у виглядi
F (y) =
∂dy1F (y)
d!
d∏
i=1
(y1 − λi(y2, . . . , ym)),
де λi(y2, . . . , yp), i = 1, . . . , d, — коренi рiвняння F (y) = 0 за змiнною y1, звiдки
A := mes
Rm
{y ∈ G : |F (y)| < ε} =
{
y ∈ G :
d∏
i=1
∣∣yi − λi(y2, . . . , ym
∣∣ < εd!
|∂dy1F |
}
.
Легко бачити, що хоча б для одного iндекса j буде виконуватися нерiвнiсть
∣∣y1 − λj(y2, . . . , ym
∣∣ <
(
εd!
|∂dy1F |
)1/d
, j ∈ {1, . . . ,m}.
Зафiксуємо змiннi (y2, . . . , ym) = (y02, . . . , y
0
m) i введемо множини
A(y02 , . . . , y
0
m) =
{
y1 ∈ G1 :
∣∣y1 − λ1(y
0
2 , . . . , y
0
m)
∣∣ · · ·
∣∣y1 − λd(y
0
2, . . . , y
0
m)
∣∣ < εd!
|∂dy1F |
}
,
Ai(y
0
2 , . . . , y
0
m) =
{
y1 ∈ G1 :
∣∣y1 − λi(y
0
2 , . . . , y
0
m)
∣∣ <
(
εd!
|∂dy1F |
)1/d}
, i = 1, . . . , p,
де G1 — множина таких точок y1 iз множини G, якi мiстяться на перетинi гiперплощин
y2 = y02 , . . . , ym = y0m. Оскiльки для мiри множини Ai(y
0
2 , . . . , y
0
m) справедлива оцiнка
mes
R
Ai(y
0
2 , . . . , y
0
m) 6 2
(
εd!
|∂dy1F |
)1/d
, i = 1, . . . , p,
то iз включень A(y02 , . . . , y
0
m) ⊂ Aj(y
0
2 , . . . , y
0
m) ⊂
d⋃
i=1
Ai(y
0
2 , . . . , y
0
m) для деякого j випливає
нерiвнiсть mes
R
A(y02 , . . . , y
0
m) 6
d⋃
i=1
mesRAi(y
0
2, . . . , y
0
m) 6 2d(εd!/|∂dy1F |)
1/d.
Iнтегруючи останню нерiвнiсть за множиною G̃ = πy1(G) (G̃— проекцiя G вздовж осi y1),
за теоремою Фубiнi отримуємо mes
Rm
A =
∫
G̃
mesRA(y
0
2, . . . , y
0
m)dy
0
2 · · · dy
0
m, звiдки випливає
оцiнка для мiри множини A
mes
Rm
A 6 2d
∣∣∣∣∣
∫
G̃
dy02 · · · dy
0
m
∣∣∣∣∣
(
εd!
|∂dy1F |
)1/d
6 2d(d!m)1/d mes
Rm−1
G̃
(
ε
|∇dF |
)1/d
,
тобто mes
Rp
A 6 c(ε/|∇dF |)1/d, де c = 2d(d!m)1/d mes
Rm−1
G̃, що i треба було довести.
Продовжимо доведення теореми 2.
Введемо для кожного вектора k ∈ Z
p \ {0} множини N1
k , . . . , N
n−1
k за формулою
N j
k = {a ∈ Up : |Rjk(a)| < C3k̃
n(d−1)−δ/(n−1)}, де δ — показник нормальностi,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 23
Cn−1
3 = |α0,d|
n−1Cd−1
2 /nnd, а також множини N1, . . . , Nn−1, де N j — множина точок a ∈
∈ Up, для яких безлiч разiв (стосовно вектора k) виконується нерiвнiсть |Rjk(a)| <
< C3k̃
n(d−1)−δ/(n−1) .
Оскiльки Rjk(a) = ind
d∑
m=0
(−1)mk
n(d−m)
p
( ∑
|s|6d−m
αs,ma
s
)
(a1k
n
1 + · · ·+ap−1k
n
p−1+ i
−nljk)
m,
то
∂daqRjk(a) = d!
d∑
m=0
(−1)mαθ(q,m)k
nm
q kn(d−m)
p , q = 1, . . . , p − 1.
З умов (14) теореми для вектора k 6= 0 випливає оцiнка |∂daqRjk(a)| > C1d!(|k
n
q |+ |knp |)
ψ,
q = 1, . . . , p − 1, звiдки
|∇dRjk(a)| =
p−1∑
q=1
|∂daqRjk(a)| > C4k̃
nψ, (19)
де C4 — деяка додатна стала, що не залежить вiд k.
Враховуючи нерiвнiсть (19), при фiксованому k, k ∈ Z
p \ {0}, застосуємо лему до полi-
нома Rjk(a) для оцiнки зверху мiри множини N j
k . У результатi маємо
mes
Rd−1
N j
k 6 C5k̃
n(d−1−ψ)
d
− δ
d(n−1) , (20)
де C5 — незалежна вiд k додатна стала.
Оскiльки δ > (n− 1)(d(p+ n)− n(1 + ψ)), то ряд
∑
k∈Zp\{0}
mesN j
k є збiжним i на пiдставi
леми Бореля–Кантеллi маємо, що множина точок a ∈ Up, якi потрапляють у нескiнченну
кiлькiсть множин N j
k , k ∈ Z
p \ {0}, дорiвнює нулевi, тобто mes
Rp−1
N j = 0 для j = 1, . . . , n− 1.
Отже, для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R
p−1) векторiв a ∈ Up нерiвностi
|Rjk(a)| > C3k̃
n(d−1)−δ/(n−1), j = 1, . . . , n− 1, (21)
виконуються для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв k ∈ Z
p.
З нерiвностей (18) i (21) випливає, що для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R
p−1)
векторiв a ∈ Up нерiвнiсть |D(a, f(a), k)| > k̃−δ виконується для всiх (крiм скiнченної кiль-
костi) векторiв k ∈ Z
p, тобто поверхня M є δ-нормальною. Теорему доведено.
4. Умови iснування єдиного розв’язку. Надалi будемо припускати, що виконуються
умови (10) та (14). Тодi iснує константа Ka > 0 (залежна вiд a, a ∈ M) така, що для
k̃ > Ka рiвняння L(λ, ik) має рiзнi коренi λ1k, . . . , λnk майже всюди на поверхнi M , причому
µeλlkT 6= 1, l = 1, . . . , n. Звiдси випливає, що при k̃ > Ka розв’язок uk(t) задачi (5), (6)
зображається формулою
uk(t) =
n∑
l,j=1
(−1)n+jSn−j[λlk]e
λlkt
(1− µeλlkT )L′
λ(λlk, ik)
ϕjk, (22)
де L′
λ(λlk, ik) =
n∏
i=1,i 6=l
(λlk − λik), S0[λlk] = 1, Sq[λlk] — сума всiх можливих добуткiв чисел
λ1k, . . ., λl−1,k, λl+1,k, . . . , λnk, узятих по q штук в кожному добутку.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
Для доведення належностi розв’язку
∑
k∈Zp
uk(t)e
i(k,x) до простору H
n
q (D) достатньо для
кожного вектора k ∈ Z
p оцiнити зверху функцiї uk(t) та їх похiднi до n-го порядку вклю-
чно. Величини 1− µeλlkT , L′
λ(λlk), ik) у формулi (22) є знаменниками, якi, взагалi, можуть
як завгодно наближатися при k̃ → ∞ до нуля. Тому такi вирази називають малими зна-
менниками i в оцiнюваннi знизу цих знаменникiв полягає проблема малих знаменникiв для
задачi (1), (2).
Позначимо
C6 = 1 + sup
k∈Zp
max
l=1,...,n
{
|λlk|
k̃
}
, C7 = sup
k∈Zp
max
q=0,...,n,
l=1,...,n
|Sq[λl(a, k)]|
k̃q
,
тодi
(∀ k ∈ Z
p) |λjk| 6 C6k̃, |Sn−j[λlk]| 6 C7k̃
n−j , j = 1, . . . , n. (23)
На пiдставi δ-нормальностi поверхнi M , першої з нерiвностей (23) та iз зображення
D(a, k) =
∏
16α<β6n
(λαk − λβk)
2 випливає, що оцiнка
|L′
λ(λlk, ik)| >
|D(a, k)|1/2
(2C6k̃)(n−1)(n−2)/2
> C8k̃
−δ+(n−1)(n−2)/2, (24)
де C8 = (2C6)
−(n−1)(n−2)/2, виконується майже всюди на поверхнi M для k̃ > Ka.
Для оцiнки знизу виразу |1 − µeλlkT | зафiксуємо вектор a ∈ M i розглянемо його як
функцiю вiд змiнної µ на вiдрiзку I.
Теорема 3. Для довiльних 0 < ε < 1 i γ > p iснує така множина Bε, що mes
R
Bε 6 ε
i для всiх векторiв µ ∈ I \ Bε та k ∈ Z
p виконуються оцiнки
|1− µeλjkT | > C9εk̃
−γ max{1, eRe λjkT }, j = 1, . . . , n, (25)
де
C9 =
1
2
max
{
1,
1
2n|µ|S
,
1
2S
}
, S =
∑
k̃>Ka
k̃−γ .
Доведення здiйснюється за схемою п. 4.1 з роботи [4].
Зауважимо, що умова (10) виконується для майже всiх точок (µ, a) iз множини I × Up.
Теорема 4. Нехай a0 — некритична точка алгебричного многовиду (3), для якого ви-
конується умова (14), i нехай ϕj ∈ Hq−j+χ(Ω), j = 1, . . . , n, де χ > 1 + p + (n − 1)(n(d −
−ψ)+ dp)/2. Тодi для всiх векторiв µ ∈ I \Bε, майже всюди на поверхнi M , де mes
R
Bε 6 ε,
0 < ε < 1, iснує єдиний розв’язок u задачi (1)–(3) з простору H
n
q (D), який неперервно
залежить вiд функцiй ϕ1, . . . , ϕn.
Доведення. З формул (11), (22) та нерiвностей (24), (25) випливає, що для r = 0, . . . , n
нерiвнiсть
∣∣∣∣
druk(t)
dtr
∣∣∣∣ 6
C10
n∑
j=1
|ϕjk|, k̃ 6 Ka,
C11
n∑
j=1
k̃r+n−j+γ+
δ+(n−1)(n−2)
2 |ϕjk|, k̃ > Ka,
(26)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 25
виконується для µ ∈ I\Bε, майже всюди на поверхнi M , де γ > p, δ > (n−1)(n(d−ψ)+dp−n),
C10 = max
k̃6K
max
t∈[0,T ],
r=0,...,n
n∑
j=1
∣∣∣
dr
dtr
(eLk(a)t[En − µeLk(a)T ]−1)1j
∣∣∣, C11 =
Cn6C7
C8C9ε
.
Тодi з формули для норми в просторi Hn
q (D) та нерiвностей (26) отримуємо оцiнку для
квадрата норми розв’язку
‖u‖2
Hn
q (D) =
∑
k∈Zp
k̃2(q−r)
n∑
r=0
max
t∈[0,T ]
∣∣∣∣
druk(t)
dtr
∣∣∣∣
2
6
6 C12
∑
k∈Zp
n∑
j=1
k̃2(q+γ+δ/2+n(n−1)/2+1−j) |ϕjk|
2 = C12
n∑
j=1
‖ϕj‖
2
Hq−j+χ(Ω),
де C12 = 2(n + 1)max{C2
10, C
2
11}. Теорему доведено.
Зауваження. Для iснування розв’язку задачi (1)–(3) на правi частини нелокальних
умов ϕj потрiбно накладати бiльшу на число (n − 1)(n(d − ψ) + dp)/2 гладкiсть порiв-
няно з випадком незалежних коефiцiєнтiв. Це число залежить не тiльки вiд порядку n
рiвняння (1) i кiлькостi просторових змiнних p, а й вiд чисел d та ψ, якi характеризують
алгебричний многовид коефiцiєнтiв.
1. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. – Москва: Наука, 1980. – 208 с.
2. Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными
производными. – Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с.
3. Пташник Б.И., Iлькiв В.С., Кмiть I.Я., Полiщук В.М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз
частинними похiдними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 216 с.
4. Iлькiв В.С., Савка I.Я. Нелокальна двоточкова задача для рiвнянь iз частинними похiдними
та лiнiйно залежними коефiцiєнтами // Мат. методи i фiз.-мех. поля. – 2008. – 51, № 4. –
С. 48–58.
5. Iлькiв В. С., Пташник Б.Й. Задачi з нелокальними умовами для рiвнянь iз частинними похiдни-
ми. Метричний пiдхiд до проблеми малих знаменникiв // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 12. –
С. 1624–1650.
6. Берник В.И., Пташник Б.И., Салыга Б.О. Аналог многоточечной задачи для гиперболическо-
го уравнения с постоянными коэффициентами // Дифференц. уравнения. – 1977. – 13, № 4. –
С. 637–645.
7. Симотюк М.М. Метричнi оцiнки дискримiнанта многочлена, коефiцiєнти якого лежать на гладкiй
кривiй // Мат. вiсн. НТШ. – 2006. – 3. – С. 149–156.
8. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. – Ст.-Петербург: НИИ химии
СПбГУ, 2002. – 72 с.
9. Илькив В.С. Нелокальная краевая задача для дифференциального уравнения в частных производ-
ных с постоянными коэффициентами // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1982. – № 5. – С. 15–19.
Надiйшло до редакцiї 13.07.2010Нацiональний унiверситет “Львiвська полiтехнiка”
Iнститут прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
V. S. Il’kiv, I. Ya. Savka
A problem with nonlocal conditions for partial differential equations
with constant algebraically dependent coefficients
We established conditions for the unique solvability of a problem with nonlocal two-point boundary
conditions for partial differential equations with constant algebraically dependent coefficients in
terms of the Diophantine properties of the discriminant of the characteristic polynomial on an
algebraic manifold. The property of normality of the manifold is investigated, and the index of
normality is determined.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 27
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37553 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T00:30:41Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ільків, В.С. Савка, І.Я. 2012-10-17T14:41:55Z 2012-10-17T14:41:55Z 2011 Задача з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними і сталими алгебрично залежними коефіцієнтами / В.С. Iлькiв, I.Я. Савка // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 18-27. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37553 517.95+511.7 Встановлено умови однозначної розв'язності задачі з нелокальними двоточковими умовами для рівнянь із частинними похідними та сталими алгебрично залежними коефіцієнтами в термінах діофантових властивостей дискримінанта характеристичного рівняння на алгебричному многовиді. Досліджено властивість нормальності многовиду та визначено показник нормальності. We established conditions for the unique solvability of a problem with nonlocal two-point boundary conditions for partial differential equations with constant algebraically dependent coefficients in terms of the Diophantine properties of the discriminant of the characteristic polynomial on an algebraic manifold. The property of normality of the manifold is investigated, and the index of normality is determined. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Задача з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними і сталими алгебрично залежними коефіцієнтами A problem with nonlocal conditions for partial differential equations with constant algebraically dependent coefficients Article published earlier |
| spellingShingle | Задача з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними і сталими алгебрично залежними коефіцієнтами Ільків, В.С. Савка, І.Я. Математика |
| title | Задача з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними і сталими алгебрично залежними коефіцієнтами |
| title_alt | A problem with nonlocal conditions for partial differential equations with constant algebraically dependent coefficients |
| title_full | Задача з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними і сталими алгебрично залежними коефіцієнтами |
| title_fullStr | Задача з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними і сталими алгебрично залежними коефіцієнтами |
| title_full_unstemmed | Задача з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними і сталими алгебрично залежними коефіцієнтами |
| title_short | Задача з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними і сталими алгебрично залежними коефіцієнтами |
| title_sort | задача з нелокальними умовами для рівнянь із частинними похідними і сталими алгебрично залежними коефіцієнтами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37553 |
| work_keys_str_mv | AT ílʹkívvs zadačaznelokalʹnimiumovamidlârívnânʹízčastinnimipohídnimiístalimialgebričnozaležnimikoefícíêntami AT savkaíâ zadačaznelokalʹnimiumovamidlârívnânʹízčastinnimipohídnimiístalimialgebričnozaležnimikoefícíêntami AT ílʹkívvs aproblemwithnonlocalconditionsforpartialdifferentialequationswithconstantalgebraicallydependentcoefficients AT savkaíâ aproblemwithnonlocalconditionsforpartialdifferentialequationswithconstantalgebraicallydependentcoefficients |