О векторе Пойтинга для электроцепей с полигармонической входной электродвижущей силой
Дано математичну інтерпретацію вектора Пойтинга при наявності на вході електроланки полігармонічної електрорушійної сили. A mathematical interpretation of the Poynting vector for electrical circuits with polyharmonic input voltage is given....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37556 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О векторе Пойтинга для электроцепей с полигармонической входной электродвижущей силой / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 94-98. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859868328113209344 |
|---|---|
| author | Божко, А.Е. |
| author_facet | Божко, А.Е. |
| citation_txt | О векторе Пойтинга для электроцепей с полигармонической входной электродвижущей силой / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 94-98. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дано математичну інтерпретацію вектора Пойтинга при наявності на вході електроланки полігармонічної електрорушійної сили.
A mathematical interpretation of the Poynting vector for electrical circuits with polyharmonic input voltage is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:49:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2011
ЕНЕРГЕТИКА
УДК 621.3(075.8)
© 2011
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко
О векторе Пойтинга для электроцепей
с полигармонической входной электродвижущей силой
Дано математичну iнтерпретацiю вектора Пойтинга при наявностi на входi електро-
ланки полiгармонiчної електрорушiйної сили.
В работах [1–3] и др. вектор Пойтинга для многочастотных входных напряжений в электро-
цепях не был математически проанализирован. Поэтому эту задачу рассмотрим ниже.
Полигармоническая электродвижучая сила (ЭДС) является вектором и записывается
соотношением вида
UΣ(t) =
n
∑
α=1
Uα(t) =
n
∑
α=1
Uαa sin(ωαt+ ϕα), (1)
где Eαa — амплитуда; ωα — круговая частота; φα — начальная фаза α-й гармоники.
При приложении UΣ(t) ко входу электроцепи с реактивными элементами (L-индуктив-
ностью, C-емкостью) в этой цепи автоматически изменяется ее структура [4], так как для
каждой α-й гармоники тока iΣ(t), являющегося также полигармоническим, будет свое пол-
ное сопротивление zα =
√
R2 + (ωαL− 1/(ωαC))2. Каждая α-я гармоника тока iα(t) яв-
ляется вектором. Поэтому суммарный ток iΣ(t) в электроцепи равняется векторной сумме
n-векторов iα(t). Но все Uα(t) приложены к одной точке (ко входу электроцепи). В этой
ситуации возникает вопрос о балансе энергии в электрической цепи.
Известно [1, 2], что электрические соотношения в электромагнитном поле математичес-
ки описывает теорема Умова–Пойтинга. Для мгновенных значений эта теорема выражается
в виде [1]
−
∮
S
∏
d
→
S =
∫
V
γE2dV +
∂
∂t
∫
V
(
εaE
2
2
+
µaH
2
2
)
dV, (2)
где
∏
— вектор Пойтинга; S — замкнутая поверхность; V — объем; γE2 — энергия теплоты
в единице объема; εaE
2/2 — электрическая энергия в единице объема; µaH
2/2 — магнитная
94 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
энергия в единице объема; εa — диэлектрическая проницаемость; µa — магнитная прони-
цаемость; H — напряженность магнитного поля; E — напряженность электрического поля
(
U =
∫
l
Edl
)
.
В выражении (2)
∮
S
∏
dS является потоком вектора Пойтинга
∏
= [E ·H] через замкну-
тую поверхность S, ограниченную объемом V ,
∫
V
γE2dV — энергия, выделяющаяся в виде
теплоты в единицу времени в объеме V ,
∂
∂t
(
εaE
2
2
+
µaH
2
2
)
является скоростью измене-
ния электромагнитной энергии в единице объема V , т. е. электромагнитная мощность. Как
видно из (2), теорема Умова–Пойтинга формирует уравнение энергетического баланса меж-
ду входной мощностью электроцепи (потока вектора Пойтинга) и расходуемой мощностью
в этой цепи (электромагнитной энергии в единицу времени). Возвращаясь к выражению (1),
видим, что в нашем случае к электроцепи приложен вектор переменной ЭДС EΣ(t), кото-
рый вызывает в цепи переменные токи iα(t), α = 1, n.
Вектор EΣ(t) равен геометрической сумме векторов Eα(t), а это значит, что в этом
случае уравнение (2) должно быть представлено в следующем виде:
−
∮
S
∏
ΣdS =
∫
V
γ(E1 + E2 + · · ·+ En)
2dV +
∂
∂t
∫
V
{[
εa
2
(E1 + E2 + · · · + En)
2
]
+
+
[
µa
2
(H1 +H2 + · · ·+Hn)
2
]}
dV. (3)
Здесь Hα, обусловленные Eα, α = 1, n, также являются векторами.
Выражение (3) четко показывает, что в энергетическом плане, даже если электроцепь
является линейной, принцип суперпозиции применить нельзя. Квадраты геометрических
сумм в (3) записываются следующими выражениями:
(E1 + E2 + · · ·+ En)
2 =
n
∑
α=1
E2
α + 2
C2
n
∑
αl 6=αm,
l=1,n, m=1,n
Eαl ·Eαm,
(H1 +H2 + · · · +Hn)
2 =
n
∑
α=1
H2
α + 2
C2
n
∑
αl 6=αm,
αl=1,n, αm=1,n
Hαl ·Hαm.
(4)
С учетом (4) выражение (3) принимает вид
−
∮
S
∏
ΣdS =
∫
V
[
γ
(
n
∑
α=1
E2
α
)
+ 2
∫
V
γ
(
C2
n
∑
αl 6=αm,
l=1,n, m=1,n
Eαl · Eαm
)]
dV +
+
∂
∂t
∫
V
[
εa
2
(
n
∑
α=1
E2
α
)
+
∂
∂t
∫
V
(
C2
n
∑
αl 6=αm,
αl=1,n, αm=1,n
Eαl · Eαm
)
+
µa
2
(
n
∑
α=1
H2
α
)
+
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 95
+
µa
2
(
C2
n
∑
αl 6=αm,
αl=1,n, αm=1,n
Hαl ·Hαm
)]
dV. (5)
Как видим, в (5) входят квадраты векторов Eα, Hα и скалярные произведения векторов
Eαl, Eαm и Hαl, Hαm.
Известно [3], что скалярное произведение
Eαl, Eαm = |Eαl| · |Eαm| cos(Eαl
∧Eαm).
Точно так же
Hαl,Hαm = |Hαl| · |Hαm| cos(Hαl
∧Hαm),
где (Eαk
∧Eαm), (Hαl
∧Hαm) — углы между векторами.
Исходя из этого,
E2
α = |Eα|2, H2
α = |Hα|2, α = 1, n.
Заметим, что в декартовых координатах [3]
Eαl ·Eαm = (
◦
i Eαlx +
◦
j Eαly +
◦
k Eαlz)(
◦
i Eαmx +
◦
j Eαmy +
◦
k Eαmz) =
= Eαlx · Eαmx +Eαly · Eαmy + Eαlz · Eαmz ,
Hαl ·Hαm = (
◦
i Hαlx +
◦
j Hαly +
◦
k Hαlz)(
◦
i Hαmx +
◦
j Hαmy +
◦
k Hαmz) =
= Hαlx ·Hαmx +Hαly ·Hαmy +Hαlz ·Hαmz,
где Eαlp, Eαmp, Hαlp, Hαmp, p = x, y, z — проекции векторов Eαl, Eαm, Hαl, Hαm на
координатные оси x, y, z;
◦
i,
◦
j,
◦
k — орты, направленные по координатным осям x, y, z.
Выражения для cos(Eαl
∧Eαm), cos(Hαl
∧Hαm) следующие [3]:
cos(a ∧, b) =
axbx + ayby + azbz
(√
a2x + a2y + a2z
)
+
(√
b2x + b2y + b2z
) ,
где a = Eαl или Hαl, b = Eαm или Hαm.
Как было отмечено ранее, вектор Пойтинга является векторным произведением век-
торов E и H и имеет с учетом закона полного тока [1] размерность мощности (вольт ×
× ампер/м2), отнесенную к единице поверхности S.
Известно [1, 2], что для электроцепей переменного тока вводится в математическое упо-
требление комплексный вектор Пойтинга
.
∏
= [
..
EH] и, учитывая [1, 2], что
−
∮
S
.
∏
dS = −
∫
V
diV
.
∏
dV =
∫
V
(
.
E rot
.
H −
.
H rot
.
E) dV, (6)
96 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
из (2) получим
rot
.
H = γ
.
E+jkωεa
.
E,
rot
.
E = −jkωµa
.
H,
}
(7)
где jk =
√
−1.
Подставляя (7) в (6), получим
−
∮
S
.
∏
dS =
∫
V
γE2dV + 2jω
∫
V
(
µaH
2
2
− εaE
2
2
)
dV = P + jkQ,
где P =
∫
V
γE2dV — активная мощность; Q = 2ω
∫
V
(µaH
2/2 − εaE
2/2) dV — реактивная
мощность, j =
√
−1.
При полигармонических Eα, Hα, α = 1, n, комплексная форма выражения (5) имеет вид
−
∮
S
.
∏
Σ
dS =
∫
V
γ
(
n
∑
α=1
.
Eα
)2
dV + 2j
∫
V
[
µ0
(
n
∑
α=1
ωα
.
Hα
2
)2
− εa
(
n
∑
α=1
ωα
.
Eα
2
)2]
dV. (8)
При раскрытии векторных сумм
n
∑
α=1
и после возведения их в квадрат получим выра-
жение (8) в комплексной форме, в принципе, эквивалентное выражению (5), т. е. взаимное
влияние гармонических составляющих в комплексной форме также проявляется. Вслед-
ствие того, что ЭДС UΣ(t), выражаемая (1), является многочастотной, то в (8) компле-
ксная форма Eαae
jϕαejωαt, α = 1, n, должна быть применена к каждой гармонике отдельно.
В этом случае (8) при n даже больше трех становится громоздким выражением. Но зная,
что активная мощность каждой гармоники Pα = U̇αiα cos(Uα
∧Iα), реактивная мощность
Qα = U̇αIα sin(Uα
∧iα), где U̇α = (Uα)e
jϕαejωαt, İα = (Iα)e
jΨαejωαt. Здесь iα, İα — вектор
и комплексная форма тока в цепи α-й гармоники; Ψα — угол сдвига между векторами Uα
и iα. Ток iα следует определять на основе закона полного тока [1] по формуле
∮
l
Hdl = i.
С практической точки зрения, при наличии в электроцепи индуктивности L в виде обмотки
(О) провода, намотанной на ферромагнитный сердечник, или даже без него, закон полного
тока выражается зависимостью
w
n
∑
α=1
iα =
(
n
∑
α=1
Hα
)
l, (9)
где w — число витков обмотки; l — длина магнитной силовой линии.
Из (9) видно, что гармоника тока iα наводит внутри обмотки магнитное поле с напряжен-
ностью Hα. Выражение (9) справедливо при пропускании полигармонического тока
n
∑
α=1
iα
по одной обмотке. Если для каждого iα имеется в электроцепи своя обмотка (Оα) с числом
витков wα, то закон полного тока имеет математическую интерпретацию следующего вида:
n
∑
α=1
iαωα =
(
n
∑
α=1
Hα
)
l.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 97
В этом случае имеются взаимные влияния одних токов на другие, т. е. в цепи будут так
называемые взаимоиндуктивности, которые необходимо учитывать.
Таким образом, в результате данного исследования показано, что при полигармони-
ческой выходной ЭДС UΣ(t) значительно усложняется математическая трактовка вектора
Пойтинга. Более облегченные решения могут быть, если осуществлять расчеты в проек-
циях относительно координат x, y, z. Комплексная форма в данном случае громоздка, но
возможна для описания энергетического баланса в электроцепи.
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. – Москва: Высш. шк.,
1978. – 232 с.
2. Даревский А.И., Кухаркин Е.С. Теоретические основы электротехники. Ч. II. Основы электромаг-
нитного поля / Под ред. проф. П.А. Ионкина. – Москва: Высш. шк., 1965. – 284 с.
3. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. – Москва: Наука, 1965. – 780 с.
4. Божко А.Е. Сингуларисная теория сигналов и систем. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2009. – 414 с.
Поступило в редакцию 02.06.2009Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.E. Bozhko
On the Poynting vector for electric circuits with polyharmonic input
electromotive force
A mathematical interpretation of the Poynting vector for electrical circuits with polyharmonic input
voltage is given.
98 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37556 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:49:06Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Божко, А.Е. 2012-10-17T14:46:28Z 2012-10-17T14:46:28Z 2011 О векторе Пойтинга для электроцепей с полигармонической входной электродвижущей силой / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 94-98. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37556 621.3(075.8) Дано математичну інтерпретацію вектора Пойтинга при наявності на вході електроланки полігармонічної електрорушійної сили. A mathematical interpretation of the Poynting vector for electrical circuits with polyharmonic input voltage is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Енергетика О векторе Пойтинга для электроцепей с полигармонической входной электродвижущей силой On the Poynting vector for electric circuits with polyharmonic input electromotive force Article published earlier |
| spellingShingle | О векторе Пойтинга для электроцепей с полигармонической входной электродвижущей силой Божко, А.Е. Енергетика |
| title | О векторе Пойтинга для электроцепей с полигармонической входной электродвижущей силой |
| title_alt | On the Poynting vector for electric circuits with polyharmonic input electromotive force |
| title_full | О векторе Пойтинга для электроцепей с полигармонической входной электродвижущей силой |
| title_fullStr | О векторе Пойтинга для электроцепей с полигармонической входной электродвижущей силой |
| title_full_unstemmed | О векторе Пойтинга для электроцепей с полигармонической входной электродвижущей силой |
| title_short | О векторе Пойтинга для электроцепей с полигармонической входной электродвижущей силой |
| title_sort | о векторе пойтинга для электроцепей с полигармонической входной электродвижущей силой |
| topic | Енергетика |
| topic_facet | Енергетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37556 |
| work_keys_str_mv | AT božkoae ovektorepoitingadlâélektrocepeispoligarmoničeskoivhodnoiélektrodvižuŝeisiloi AT božkoae onthepoyntingvectorforelectriccircuitswithpolyharmonicinputelectromotiveforce |