Розв'язки рівняння Дірака у неоднорідному магнітному полі
Досліджується вплив неоднорідностей магнітного поля на динаміку електронних збуджень в графені. Розглядається графен у постійному магнітному полі і полі Ааронова–Бома. Знаходяться власні функції і спектр гамільтоніана відповідної системи. Отримані розв'язки порівнюються з розв'язками при п...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37568 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Розв'язки рівняння Дірака у неоднорідному магнітному полі / А.О. Слободенюк // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 82-87. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37568 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Слободенюк, А.О. 2012-10-17T15:04:16Z 2012-10-17T15:04:16Z 2011 Розв'язки рівняння Дірака у неоднорідному магнітному полі / А.О. Слободенюк // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 82-87. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37568 537.633.9 Досліджується вплив неоднорідностей магнітного поля на динаміку електронних збуджень в графені. Розглядається графен у постійному магнітному полі і полі Ааронова–Бома. Знаходяться власні функції і спектр гамільтоніана відповідної системи. Отримані розв'язки порівнюються з розв'язками при постійному магнітному полі. We study the influence of inhomogeneities of a magnetic field on the dynamics of electronic excitations in graphene. Graphene in constant magnetic and Aharonov–Bohm's fields is considered. We found the eigenfunctions and the spectrum of the corresponding system's Hamiltonian. The obtained solutions are compared with the solutions at a constant magnetic field. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Фізика Розв'язки рівняння Дірака у неоднорідному магнітному полі Solutions of the Dirac equation in an inhomogeneous magnetic field Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Розв'язки рівняння Дірака у неоднорідному магнітному полі |
| spellingShingle |
Розв'язки рівняння Дірака у неоднорідному магнітному полі Слободенюк, А.О. Фізика |
| title_short |
Розв'язки рівняння Дірака у неоднорідному магнітному полі |
| title_full |
Розв'язки рівняння Дірака у неоднорідному магнітному полі |
| title_fullStr |
Розв'язки рівняння Дірака у неоднорідному магнітному полі |
| title_full_unstemmed |
Розв'язки рівняння Дірака у неоднорідному магнітному полі |
| title_sort |
розв'язки рівняння дірака у неоднорідному магнітному полі |
| author |
Слободенюк, А.О. |
| author_facet |
Слободенюк, А.О. |
| topic |
Фізика |
| topic_facet |
Фізика |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Solutions of the Dirac equation in an inhomogeneous magnetic field |
| description |
Досліджується вплив неоднорідностей магнітного поля на динаміку електронних збуджень в графені. Розглядається графен у постійному магнітному полі і полі Ааронова–Бома. Знаходяться власні функції і спектр гамільтоніана відповідної системи. Отримані розв'язки порівнюються з розв'язками при постійному магнітному полі.
We study the influence of inhomogeneities of a magnetic field on the dynamics of electronic excitations in graphene. Graphene in constant magnetic and Aharonov–Bohm's fields is considered. We found the eigenfunctions and the spectrum of the corresponding system's Hamiltonian. The obtained solutions are compared with the solutions at a constant magnetic field.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37568 |
| citation_txt |
Розв'язки рівняння Дірака у неоднорідному магнітному полі / А.О. Слободенюк // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 82-87. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT slobodenûkao rozvâzkirívnânnâdírakauneodnorídnomumagnítnomupolí AT slobodenûkao solutionsofthediracequationinaninhomogeneousmagneticfield |
| first_indexed |
2025-11-25T22:49:58Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:49:58Z |
| _version_ |
1850577323047256064 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2011
ФIЗИКА
УДК 537.633.9
© 2011
А.О. Слободенюк
Розв’язки рiвняння Дiрака у неоднорiдному магнiтному
полi
(Представлено академiком НАН України В.М. Локтєвим)
Дослiджується вплив неоднорiдностей магнiтного поля на динамiку електронних збуд-
жень в графенi. Розглядається графен у постiйному магнiтному полi i полi Ааронова–
Бома. Знаходяться власнi функцiї i спектр гамiльтонiана вiдповiдної системи. Отри-
манi розв’язки порiвнюються з розв’язками при постiйному магнiтному полi.
1. Електроннi властивостi графена — моношару атомiв вуглецю — активно дослiджуються
як теоретично, так i експериментально. Особливостi енергетичного спектра i двовимiрнiсть
структури роблять його вiдмiнним вiд багатьох iнших матерiалiв. Низькоенергетичнi еле-
ктроннi збудження в графенi при вiдсутностi неоднорiдностей його гратки добре описують-
ся парою двовимiрних рiвнянь Дiрака.
Значна частина дослiджень графена пов’язана з вивченням його електронних властивос-
тей у постiйному магнiтному полi. У зв’язку з цим цiкавим є питання щодо ролi неоднорiд-
ностей магнiтного поля в дослiджуваних системах. Прикладом такої неоднорiдностi може
бути потенцiал Ааронова–Бома (ПАБ). З точки зору експерименту, найбiльш близьким до
ПАБ є вектор-потенцiал вихору Абрикосова в надпровiдниках II роду.
Вивчення впливу неоднорiдностi магнiтного поля зводиться до пошуку власних функцiй
i власних значень гамiльтонiана системи, що є змiстом поставленої нами задачi, оскiльки
вони є необхiдною складовою при обчисленнi будь-яких спостережуваних.
2. Динамiка електронних збуджень у графенi описується парою двовимiрних гамiльто-
нiанiв Дiрака [1]
Ĥ(r, ζ) = −i~vFγ0ζγjζDj + γ0ζ∆. (1)
Параметр ζ = ±1 вiдповiдає першому i другому дiракiвським конусам, vF — швидкiсть Фер-
мi, ∆ — величина, що визначає масу збуджень, введена для загальностi розгляду, а γ-мат-
рицi мають такий вигляд:
γ0ζ = σ3, γ1ζ = iσ2, γ2ζ = −iσ1ζ. (2)
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
Вiдзначимо, що зображення γ-матриць (2) є одне з багатьох зображень, якi можуть бути
використанi для опису графена. Перехiд вiд одного зображення до iншого здiйснюється за
допомогою деякого унiтарного перетворення. Подовжена похiдна в (1) записується так:
Dj =
∂
∂xj
− i
e
~c
Aj , (3)
де e < 0 — заряд електрона; c — швидкiсть свiтла; Aj — компоненти вектор-потенцiалу A
у декартових координатах.
Оскiльки гамiльтонiани (1) мають однакову матричну структуру, розглядатимемо їх
одночасно, розрiзняючи параметром ζ. Задача на власнi значення i власнi функцiї має
звичайний вигляд
Ĥ(r, ζ)Ψ(r, ζ) = EΨ(r, ζ), (4)
де Ψ(r, ζ) є двовимiрним спiнором, а E — спектр енергiй гамiльтонiанiв. Вона зводиться до
розв’язання рiвнянь Дiрака в присутностi постiйного магнiтного поля i ПАБ.
3. При вiдшуканнi розв’язкiв вiдповiдних диференцiйних рiвнянь в присутностi ПАБ
виникають труднощi математичного характеру, якi пов’язанi з його сингулярнiстю [2]. Щоб
уникнути цiєї проблеми, введемо центрально-симетричний регуляризований потенцiал, який
залежить вiд розмiрного параметра R. Параметр визначає вiдстань (яка вiдраховується вiд
центра симетрiї системи), починаючи з якої регуляризований потенцiал збiгається з ПАБ.
При цьому потiк магнiтного поля, що мiститься в крузi радiусом R, повинен збiгається
з потоком ПАБ. Пiд розв’язками рiвняння Дiрака будемо розумiти розв’язок вiдповiдної
регулярної задачi в границi R → 0.
Як було показано в [3], остаточна вiдповiдь не залежить вiд вигляду регуляризованого
потенцiалу, а визначається лише величиною магнiтного потоку ПАБ. Тому для побудови
розв’язкiв регулярної задачi виберемо потенцiал
A(r) = Aϕ(r)eϕ, Aϕ(r) =
Br
2
+
~c
|e|
η
r
θ(r −R), (5)
де η ∈ [0, 1) характеризує величину потоку магнiтного поля Φ = ηΦ0 в одиницях Φ0 =
= 2π~c/|e|; θ(x) — сходинкова функцiя, а B — величина зовнiшнього магнiтного поля,
перпендикулярного до площини графена.
4. Зведемо задачу (4) до системи диференцiйних рiвнянь. Оскiльки потенцiал (5) є аксi-
ально-симетричним, зручно перейти до полярних координат r = (r, ϕ). Запишемо спiнор
у такому виглядi:
Ψ(r, ζ) =
(
ψ1(r, ζ)
iψ2(r, ζ)
)
. (6)
Тодi система рiвнянь Дiрака набуває вигляду
(E −∆)ψ1(r, ζ)− ~vF e
−iζϕ
(
∂
∂r
− iζ
r
∂
∂ϕ
− eζAϕ(r)
~c
)
ψ2(r, ζ) = 0, (7)
~vF e
iζϕ
(
∂
∂r
+
iζ
r
∂
∂ϕ
+
eζAϕ(r)
~c
)
ψ1(r, ζ) + (E +∆)ψ2(r, ζ) = 0. (8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 83
Розривнiсть потенцiалу (5) визначає такi умови зшивки для радiальних компонент спiнора
ψ1(r, ζ), ψ2(r, ζ):
ψ′
1(R + 0, ζ)− ψ′
1(R− 0, ζ) =
ζη
R
ψ1(R, ζ), ψ1(R+ 0, ζ) = ψ1(R− 0, ζ), (9)
ψ′
2(R + 0, ζ)− ψ′
2(R− 0, ζ) = −ζη
R
ψ2(R, ζ), ψ2(R+ 0, ζ) = ψ2(R − 0, ζ), (10)
де штрих означає диференцiювання за r.
5. Розглянемо систему рiвнянь для першого дiракiвського конуса, тобто при ζ = 1 (ви-
падок ζ = −1 розглядається аналогiчно). Розв’язок шукатимемо у виглядi
ψ1(r, 1) = ei(m−1)ϕψ1(r), ψ2(r, 1) = eimϕψ2(r). (11)
Рiвняння на радiальнi компоненти спiнора записуються таким чином:
ψ1(r) =
~vF
E −∆
(
d
dr
+
m+ ηθ(r −R)
r
+
r
2l2
)
ψ2(r), (12)
ψ2(r) = − ~vF
E +∆
(
d
dr
− m+ ηθ(r −R)− 1
r
− r
2l2
)
ψ1(r). (13)
Перейдемо до безрозмiрних координат y = r2/2l2, де l = (~c/|e|B)1/2 — магнiтна довжина.
Подамо (12) i (13) у формi, зручнiй для подальшого аналiзу. В областi y ∈ [0, ρ] система
зводиться до вигляду:
ψ1(y) =
~vF
(E −∆)l
1√
2y
(
2y
d
dy
+m+ y
)
ψ2(y), (14)
ψ2(x) = − ~vF
(E +∆)l
1√
2y
(
2y
d
dy
− (m− 1)− y
)
ψ1(y), (15)
а в областi y ∈ [ρ,∞) —
ψ1(y) =
~vF
(E −∆)l
1√
2y
(
2y
d
dy
+ (m+ η) + y
)
ψ2(y), (16)
ψ2(x) = − ~vF
(E +∆)l
1√
2y
(
2y
d
dy
− (m+ η − 1)− y
)
ψ1(y). (17)
Умови зшивки в нових координатах стандартнi
ψ′
1(ρ+ 0)− ψ′
1(ρ− 0) =
η
2ρ
ψ1(ρ), ψ1(ρ− 0) = ψ1(ρ+ 0), (18)
ψ′
2(ρ+ 0)− ψ′
2(ρ− 0) = − η
2ρ
ψ2(ρ), ψ2(ρ− 0) = ψ2(ρ+ 0), (19)
де тепер штрих означає диференцiювання за y, а ρ = R2/2l2 — параметр, який характеризує
розмiр регуляризованого потенцiалу в нових змiнних. Зведемо (14)–(17) до рiвнянь другого
порядку на кожну компоненту спiнора окремо. Для областi y ∈ [0, ρ] маємо систему:
{
d2
dy2
+
1
y
d
dy
− 1
y2
(
(m− 1)2
4
+
y2
4
+
m− 1
2
y − ε− 1
2
y
)}
ψ1(y) = 0, (20)
84 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
{
d2
dy2
+
1
y
d
dy
− 1
y2
(
m2
4
+
y2
4
+
m
2
y − ε+ 1
2
y
)}
ψ2(y) = 0. (21)
Тут ε = (E2 − ∆2)l2/(~vF )
2 — безрозмiрна величина, яка визначає спектр. Рiвняння для
областi y ∈ [ρ,∞) отримуються з попереднiх двох замiною m → m + η i вiдносяться до
рiвнянь гiпергеометричного типу [4]:
{
d2
dy2
+
1
y
d
dy
− 1
y2
(
(m+ η − 1)2
4
+
y2
4
+
m+ η − 1
2
y − ε− 1
2
y
)}
ψ1(y) = 0, (22)
{
d2
dy2
+
1
y
d
dy
− 1
y2
(
(m+ η)2
4
+
y2
4
+
m+ η
2
y − ε+ 1
2
y
)}
ψ2(y) = 0. (23)
Умови квадратичної iнтегрованостi i зшивки визначають вигляд хвильових функцiй.
При цьому кожна радiальна компонента ψ1(r) i ψ2(r) залежатиме вiд ρ.
Як було сказано вище, шукана вiдповiдь визначається асимптотичним значенням спе-
ктра i власних спiнорiв при прямуваннi цього параметра до нуля. Неважко бачити, що при
ρ→ 0 область визначення (22) i (23) переходить на всю площину. Тому граничнi розв’язки
повиннi задовольняти цю систему диференцiйних рiвнянь або аналогiчну їй (16) i (17).
6. Отримаємо власнi значення i власнi функцiї розглянутої вище системи (14)–(17).
В границi ρ → 0 спектр легко записати:
E = ±En,m = ±
√
∆2 + ε20(2n + |m+ η − 1|+m+ η + 1), E = −∆, (24)
де n — невiд’ємнi цiлi числа; m пробiгає множину цiлих чисел, а ε0 = ~vF /l — характерний
масштаб енергiй в системi. Надалi пiд En,m розумiтимемо додатну величину квадратного
кореня.
Вiдзначимо таку особливiсть розглядуваної задачi. Спектром (22) є набiр чисел ±En,m.
З аналiзу (23) випливає, що крiм ±En,m це рiвняння мiстить додатковi власнi значення
з абсолютною величиною |E| = ∆. Зрозумiло, що спiнор, який вiдповiдає цiй енергiї, має
нульову першу компоненту ψ1(r) = 0 i повинен задовольняти систему (16), (17). Обидвi
умови виконуються лише при одному iз двох значень енергiї ±∆, а саме, коли E = −∆.
Неважко переконатися, що таке власне значення можливе лише при n = 0 i m 6 0.
Для запису розв’язкiв зручно використати такий вираз [5]:
Jn
ν (ξ) =
√
Γ(n+ 1)
Γ(n+ ν + 1)
e−ξ/2ξν/2Lν
n(ξ), (25)
де Lν
n(ξ) — узагальнений полiном Лагерра степеня n i параметром ν > −1.
Розглянемо випадок E = ±En,m. При m > 0 отримуємо:
Ψ±
n,m(r, 1) =
1
2l
√
πEn,m
(√
En,m ±∆ei(m−1)ϕJn
m+η−1(y)
±
√
En,m ∓∆eimϕJn
m+η(y)
)
; (26)
для m = 0 —
Ψ±
n,0(r, 1) =
1
2l
√
πEn,0
(√
En,0 ±∆e−iϕJn
1−η(y)
∓
√
En,0 ∓∆Jn+1
−η (y)
)
(27)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 85
i для m < 0 —
Ψ±
n,m(r, 1) =
1
2l
√
πEn,m
(√
En,m ±∆ei(m−1)ϕJn
|m+η−1|(y)
∓
√
En,m ∓∆eimϕJn+1
|m+η|(y)
)
. (28)
Нарештi розглянемо E = −∆. Як було сказано вище, власнi спiнори iснують при n = 0,
m 6 0 i мають вигляд
Ψ0,m(r, 1) =
1√
2πl
(
0
eimϕJ0
|m|−η(y)
)
. (29)
Одержанi розв’язки при B → 0 переходять у хвильовi функцiї неперервного спектра [6]
i в хвильовi функцiї для графена в постiйному магнiтному полi при η → 0. Слiд також
вiдзначити сингулярну поведiнку розв’язкiв при m = 0, якої немає при вiдсутностi ПАБ.
7. Аналогiчним чином можна отримати спектр i розв’язки задачi для другого дiра-
кiвського конуса. Випишемо їх для загальностi.
Спектр рiвняння Дiрака при ζ = −1 набуває форми
E = ±En,m, E = ∆. (30)
Для випадку E = ±En,m розв’язки при m > 0 записуються таким чином:
Ψ±
n,m(r,−1) =
1
2l
√
πEn,m
(
∓
√
En,m ±∆eimϕJn
m+η(y)√
En,m ∓∆ei(m−1)ϕJn
m+η−1(y)
)
; (31)
для m = 0 —
Ψ±
n,0(r,−1) =
1
2l
√
πEn,0
(
±
√
En,0 ±∆Jn+1
−η (y)
√
En,0 ∓∆e−iϕJn
1−η(y)
)
(32)
i для m < 0 —
Ψ±
n,m(r,−1) =
1
2l
√
πEn,m
(
±
√
En,m ±∆eimϕJn+1
|m+η|(y)√
En,m ∓∆ei(m−1)ϕJn
|m+η−1|(y)
)
. (33)
Розглянемо електроннi збудження, що вiдповiдають енергiї E = ∆. Власнi спiнори iсну-
ють при умовi n = 0, m 6 0:
Ψ0,m(r,−1) =
1√
2πl
(
eimϕJ0
|m|−η(y)
0
)
. (34)
8. Додавання до системи з постiйним магнiтним полем ПАБ призводить до iстотної
змiни розв’язкiв вiдповiдних диференцiйних рiвнянь. Тому природно використовувати їх
при дослiдженнi властивостей графена зi структурами, якi характеризуються потоком маг-
нiтного поля (наприклад, магнiтними домiшками [7]).
Iншим прикладом подiбних структур є точковi дефекти. Такi особливостi гратки графе-
на, неоднорiдностi його поверхнi або її натяг в термiнах рiвняння Дiрака описуються вве-
денням деякого ефективного калiбрувального поля, аналогiчного електромагнiтному векто-
ру-потенцiалу [8]. Зокрема, точковий дефект еквiвалентний введенню ПАБ, центр симетрiї
86 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
якого збiгається з розташуванням дефекту. Тому отриманi розв’язки можуть бути викорис-
танi для визначення особливостей поведiнки електронних збуджень графена в присутностi
постiйного магнiтного поля поблизу дефекту.
Зауважимо, що оскiльки розв’язки були одержанi в рамках iдеалiзованої задачi, виникає
питання про ефективнiсть їх використання в конкретних ситуацiях. Сьогоднi створення
електронної двовимiрної системи з магнiтним вихором не є складним [9, 10], тому питання
застосовностi розв’язкiв може бути вирiшене експериментально.
1. Gusynin V. P., Sharapov S.G., Carbotte J. P. AC conductivity of graphene: from tight-binding model to
2+1-dimensional quantum electrodynamics // Int. J. Mod. Phys. B. – 2007. – 21, No 27. – P. 4611–4658.
2. Sitenko Yu.A. Self-adjointness of the Dirac Hamiltonian and fermion number fractionization in the back-
ground of a singular magnetic vortex // Phys. Lett. B. – 1996. – 387, No 2. – P. 334–340.
3. Hagen C.R. Aharonov–Bohm scattering of particles with spin // Phys. Rev. Lett. – 1990. – 64, No 5. –
P. 503–506.
4. Никифоров А.Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. – Москва: Наука,
1978. – 350 с.
5. Melrose D.B., Parle A. J. Quantum electrodynamics in strong magnetic fields. I. Electron states // Aust.
J. Phys. – 1983. – 36, No 6. – P. 755–774.
6. Slobodeniuk A.O., Sharapov S.G., Loktev V.M. Aharonov–Bohm effect in relativistic and nonrelativistic
two-dimensional electron gases: a comparative study // Phys. Rev. B. – 2010. – 82, No 7. – P. 075316–1–
075316–11.
7. Desbois J., Ouvry S., Texier C. Hall conductivity for two-dimensional magnetic systems // Nucl. Phys.
B. – 1997. – 500, No 1–3. – P. 486–510.
8. Cortijo A., Vozmediano M.A.H. Effects of topological defects and local curvature on the electronic proper-
ties of planar graphene // Ibid. – 2007. – 763, No 3. – P. 293–308.
9. Geim A.K., Bending S. J., Grigorieva I.V. Assymmetric scattering and diffraction of two-dimensional
electrons at quantized tubes of magnetic flux // Phys. Rev. Lett. – 1992. – 69, No 15. – P. 2252–2255.
10. Bending S. J., von Klitzing K., Ploog K. Weak localization in a distribution of magnetic flux tubes //
Ibid. – 1990. – 65, No 8. – P. 1060–1063.
Надiйшло до редакцiї 12.11.2010Iнститут теоретичної фiзики
iм. М.М. Боголюбова НАН України, Київ
A.O. Slobodeniuk
Solutions of the Dirac equation in an inhomogeneous magnetic field
We study the influence of inhomogeneities of a magnetic field on the dynamics of electronic exci-
tations in graphene. Graphene in constant magnetic and Aharonov–Bohm’s fields is considered.
We found the eigenfunctions and the spectrum of the corresponding system’s Hamiltonian. The
obtained solutions are compared with the solutions at a constant magnetic field.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 87
|