Розв'язання тривимірної задачі комп'ютерної томографії з використанням невеликої кількості томограм
Пропонується метод відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла, який використовує лише чотири томограми. Метод будується за допомогою інтерфлетації функцій трьох змінних. Також пропонуються загальні вигляди щільностей об'єктів, що описуються функціями, які точно відновлюються за допомог...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37576 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Розв'язання тривимірної задачі комп'ютерної томографії з використанням невеликої кількості томограм / О.М. Литвин, Ю. I. Першина // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 40-44. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859591445189492736 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. Першина, Ю.І. |
| author_facet | Литвин, О.М. Першина, Ю.І. |
| citation_txt | Розв'язання тривимірної задачі комп'ютерної томографії з використанням невеликої кількості томограм / О.М. Литвин, Ю. I. Першина // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 40-44. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Пропонується метод відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла, який використовує лише чотири томограми. Метод будується за допомогою інтерфлетації функцій трьох змінних. Також пропонуються загальні вигляди щільностей об'єктів, що описуються функціями, які точно відновлюються за допомогою вказаної інформації.
A method of restoration of the internal structure of a three-dimensional body which uses only four tomograms is offered. The method is constructed with the help of interflatation functions of three variables. The general views of the density of objects described by functions which are precisely restored by means of the specified information are presented.
|
| first_indexed | 2025-11-27T15:12:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
5 • 2011
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 519.6
© 2011
О.М. Литвин, Ю. I. Першина
Розв’язання тривимiрної задачi комп’ютерної
томографiї з використанням невеликої кiлькостi
томограм
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Пропонується метод вiдновлення внутрiшньої структури тривимiрного тiла, який ви-
користовує лише чотири томограми. Метод будується за допомогою iнтерфлетацiї
функцiй трьох змiнних. Також пропонуються загальнi вигляди щiльностей об’єктiв,
що описуються функцiями, якi точно вiдновлюються за допомогою вказаної iнформацiї.
Свiтовi тенденцiї в галузi приладобудування в останнiй час набули значних змiн. Це викли-
кано необхiднiстю збiльшення якостi дiагностики, що приводить як до утворення нових ви-
сокоiнформативних дiагностичних приладiв, так i до модернiзацiї традицiйних технологiй.
Сучасний рiвень медичної технiки дозволяє виявити структурнi та функцiональнi змiни
одного i того ж органу за допомогою приладiв, що мають рiзний принцип дiї. В подiбних
умовах на перше мiсце виходить iнформацiйна складова дослiджень.
На даному етапi одним з найбiльш iнформативних методiв є томографiя, яка дає бiльше
iнформацiї про дослiджуваний об’єкт, нiж iншi вiдомi методи дiагностики.
Iстотно пiдвищити iнформативнiсть отриманих при томографiї даних можна шляхом
використання рiзних методiв розв’язання тривимiрних задач комп’ютерної томографiї, що
дозволяють роздивитись окремi частини дослiджуваного об’єкта пiд довiльним кутом.
Авторами були розобленi високоточнi методи тривимiрної комп’ютерної томографiї за
допомогою операторiв iнтерфлетацiї та мiшаної апроксимацiї [1]. В роботах [2–4] наводить-
ся загальний метод вiдновлення внутрiшньої структури тривимiрного тiла за допомогою
iнформацiї про неї у виглядi томограм, заданих на системi трьох груп перерiзаних площин,
в кожнiй з яких площини паралельнi. В роботах [2, 3] внутрiшня структура тривимiрного
тiла вiдновлювалася з використанням операторiв iнтерфлетацiї функцiй трьох змiнних (для
випадку, коли експериментальнi данi — томограми — задаються точно), а в роботi [4] — за
допомогою оператора мiшаної апроксимацiї (для випадку, коли iснує похибка в заданих
експериментальних даних). Авторами також був дослiджений новий метод вiдновлення
внутрiшньої структури динамiчного тривимiрного тiла (наприклад, серця) за допомогою
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
оператора iнтерфлетацiї [5, 6]. У вказаних роботах використовуються n експериментальних
даних — томограм, паралельних осi Ox, m томограм, паралельних осi Oy, та p томограм,
паралельних осi Oz. Був проведений обчислювальний експеримент, в якому використовува-
лося 235 томограм. Але отримання томограм за допомогою рентгенiвського комп’ютерного
томографа — це опромiнення пацiєнта. I одна iз задач комп’ютерної томографiї — зменши-
ти опромiнення. Тому актуальною є розробка методiв вiдновлення внутрiшньої структури
тривимiрного тiла за допомогою невеликої кiлькостi вхiдних даних, тобто томограм.
Нижче пропонується метод вiдновлення внутрiшньої структури тривимiрного тiла, який
використовує чотири томограми та будується за допомогою iнтерфлетацiї функцiй трьох
змiнних. А також наводяться загальнi вигляди щiльностей або коефiцiєнтiв поглинання
об’єктiв, якi описуються функцiями, що точно вiдновлюються за допомогою вказаної iн-
формацiї.
Постановка задачi. Нехай функцiя f(x, y, z) ∈ C(s,p,0)(Ω), s, p = 0, N , Ω ⊂ R3 являє со-
бою щiльнiсть тривимiрного тiла (або коефiцiєнт поглинання, послаблення тощо) та заданi
чотири площини x = xk, y = yl, k, l = 1, 2. Не обмежуючи загальностi, беремо площини,
перпендикулярнi двом координатним осям, наприклад осi Ox та Oy. З комп’ютерного то-
мографа отриманi томограми, якi лежать на заданих площинах. Задача полягає в тому,
щоб за вказаними вхiдними даними побудувати оператор, який буде вiдновлювати дослiд-
жуваний об’єкт, та навести загальний вигляд функцiй, якi будуть вiдновлюватися точно
побудованим оператором.
Опис методу. Наведемо необхiднi визначення.
Визначення 1. Слiдом функцiї f(x, y, z) на площинi Π будемо називати функцiю двох
змiнних ω(x, y) або ω(x, z), або ω(y, z), яка в кожнiй точцi цiєї площини набуває тих самих
значень, що й функцiя f(x, y, z)
f(x, y, z)|Π = ω|Π.
Визначення 2. Iнтерфлетацiєю функцiї f(x, y, z) називається вiдновлення (можливо,
наближене) функцiї f(x, y, z) в точках мiж заданими площинами за допомогою слiдiв на
цих площинах.
Визначення 3. Томограмою на площинi Π будемо називати одну з трьох функцiй
T(x) =
f(xΠ(y, z), y, z),
f(x, yΠ(x, z), z),
f(x, y, zΠ(x, y)),
x =
(x, y),
(x, z),
(y, z).
Визначимо оператор, за допомогою якого буде вiдновлюватися внутрiшня структура
тривимiрного тiла, що задана у виглядi функцiї f(x, y, z).
Теорема 1. Нехай функцiя f(x, y, z) ∈ C(s,p,0)(Ω), s, p = 0, N , Ω ⊂ R3 являє собою
внутрiшню структуру тривимiрного тiла та заданi чотири площини x = xk, y = yl,
k, l = 1, 2. Оператор
L(x, y, z) = (L1 + L2 − L1L2)f(x, y, z),
де
L1f(x, y, z) =
2
∑
i=1
N
∑
s=0
hi,s(x)f
(s,0,0)(xi, y, z);
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 41
L2f(x, y, z) =
2
∑
j=1
N
∑
p=0
gj,p(y)f
(0,p,0)(x, yj , z);
L1L2f(x, y, z) =
2
∑
i=1
2
∑
j=1
N
∑
s=0
N
∑
p=0
hi,sgj,p(x)f
(s,p,0)(xi, yj , z),
де hi,s, gj,p — допомiжнi функцiї з властивостями
hu,s(xv) = δuv, gu,s(yv) = δuv,
δuv — символ Кронекера,
2
∑
i=1
hi,s(x) = 1,
2
∑
j(x)=1
gj,p(x) = 1, s, p = 0, N,
є оператором iнтерфлетацiї функцiй трьох змiнних, який задовольняє умови
∂L(x, y, z)
∂xp
∣
∣
∣
∣
x=xk
=
∂f(x, y, z)
∂xp
∣
∣
∣
∣
x=xk
, p = 0, N, k = 1, 2; (1)
∂L(x, y, z)
∂ys
∣
∣
∣
∣
y=yl
=
∂f(x, y, z)
∂ys
∣
∣
∣
∣
y=yl
, s = 0, N, l = 1, 2. (2)
Оператор iнтерфлетацiї, визначений в теоремi 1, вiдновлює внутрiшню структуру три-
вимiрного тiла за вiдомими чотирма томограмами, що лежать на заданих площинах. Ви-
значимо похибку вiдновлення цим оператором.
Теорема 2. Нехай внутрiшня структура тривимiрного тiла описується функцiєю
f(x, y, z) ∈ C(1,1,0)(Ω), Ω ⊂ R3. Тодi для похибки Rf(x, y, z) наближеного вiдновлення вну-
трiшньої структури f(x, y, z) тривимiрного тiла оператором L(x, y, z), побудованим за
допомогою заданого набору площин та томограм, що лежать на цих площинах, викону-
ється рiвнiсть:
Rf(x, y, z) = f(x, y, z)− L(x, y, z) = (I − L1 − L2 + L1L2)f(x, y, z) =
=
2
∑
k=1
2
∑
l=1
hk(x)gl(y)
x
∫
xk
y
∫
yl
f (1,1,0)(u, v, z) dudv. (3)
Теорема 3. Нехай внутрiшня структура тривимiрного тiла описується функцiєю
f(x, y, z) ∈ C(2,2,0)(Ω), Ω ⊂ R3. Тодi для похибки Rf(x, y, z) наближеного вiдновлення вну-
трiшньої структури f(x, y, z) тривимiрного тiла оператором L(x, y, z), побудованим за
допомогою заданого набору площин та томограм, що лежать на цих площинах, вико-
нується рiвнiсть:
Rf(x, y, z) = f(x, y, z)− Lf(x, y, z) = (I − L1 − L2 + L1L2)f(x, y, z) =
=
2
∑
k=1
2
∑
l=1
hk(x)gl(y)
x
∫
xk
y
∫
yl
f (2,2,0)(u, v, z)(xk − u)(yl − v) dudv. (4)
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
Тепер знайдемо загальний вигляд функцiй, що описують внутрiшню структуру три-
вимiрного тiла, якi точно будуть вiдновлюватися за допомогою оператора iнтерфлетацiї,
побудованого в теоремi 1, використовуючи чотири томограми, що лежать на заданих пло-
щинах x = xk, y = yl, k, l = 1, 2. Розглянемо два випадки:
1) функцiя неперервна та має двi неперервнi похiднi, тобто f(x, y, z) ∈ C(1,1,0)(Ω), Ω ⊂
⊂ R3. Для точного вiдновлення похибка наближення повинна дорiвнювати нулю. Iз загаль-
ного вигляду похибки (3) випливає, що повинна виконуватися рiвнiсть
x
∫
xk
y
∫
yl
f (1,1,0)(u, v, z) dudv = 0.
Для виконання цiєї рiвностi повинно виконуватися f (1,1,0)(x, y, z) = 0. Розв’яжемо це ди-
ференцiальне рiвняння:
f (0,1,0)(x, y, z) =
∫
f (1,1,0)(x, y, z) dx = ϕ(y, z);
f (0,0,0)(x, y, z) =
∫
f (0,1,0)(x, y, z) dy =
∫
ϕ(y, z) dv + ψ(x, z) = w(y, z) + ψ(x, z).
Тобто, функцiя, яка точно вiдновлюється за допомогою оператора iнтерфлетацiї, визначе-
ного в теоремi 1, має вигляд:
f(x, y, z) = w(y, z) + ψ(x, z);
2) функцiя неперервна та має чотири неперервнi похiднi, тобто f(x, y, z) ∈ C(2,2,0)(Ω),
Ω ⊂ R3. Для точного вiдновлення похибка наближення повинна дорiвнювати нулю. Iз за-
гального вигляду похибки (4) випливає, що повинна виконуватися рiвнiсть:
x
∫
xk
y
∫
yl
f (2,2,0)(u, v, z)(xk − u)(yl − v) dudv = 0.
Для виконання цiєї рiвностi повинно виконуватися f (2,2,0)(x, y, z) = 0. Розв’яжемо це ди-
ференцiальне рiвняння:
f (1,2,0)(x, y, z) =
∫
f (2,2,0)(x, y, z) dx = ϕ1(y, z);
f (0,2,0)(x, y, z) =
∫
f (1,2,0)(x, y, z) dx =
∫
ϕ1(y, z) dx = xϕ1(y, z) + ϕ2(y, z);
f (0,1,0)(x, y, z) =
∫
(xϕ1(y, z) + ϕ2(y, z)) dy = x
∫
ϕ1(y, z)dy +
∫
ϕ2(y, z) dy + ψ1(x, z);
f (0,0,0)(x, y, z) =
∫
[
x
∫
ϕ1(y, z)dy +
∫
ϕ2(y, z)dy + ψ1(x, z)
]
dy =
= x
∫
[
∫
ϕ1(y, z)dy
]
dy +
∫
[
∫
ϕ2(y, z)dy
]
dy + yψ1(x, z) + ψ2(x, z).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №5 43
Тобто, функцiя, яка точно вiдновлюється за допомогою вищевиведеного оператора iнтер-
флетацiї, має вигляд:
f(x, y, z) = x
∫
[
∫
ϕ1(y, z)dy
]
dy +
∫
[
∫
ϕ2(y, z)dy
]
dy + yψ1(x, z) + ψ2(x, z).
Таким чином, в данiй роботi запропонований та дослiджений метод вiдновлення внутрiш-
ньої структури тривимiрного тiла за допомогою всього чотирьох томограм, паралельних осi
Oz i взаємно перпендикулярних мiж собою. Встановлено клас функцiй, якi описують вну-
трiшню структуру тiла i точно можуть бути вiдновленi за допомогою розробленого методу.
1. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiї та деякi її застосування. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
2. Литвин О.М., Першина Ю. I. Математична модель вiдновлення внутрiшньої структури тривимiр-
ного об’єкта за вiдомими його томограмами з використанням iнтерфлетацiї функцiй // Доп. НАН
України. – 2005. – № 1. – С. 20–24.
3. Литвин О.М., Першина Ю. I. Математична модель вiдновлення тривимiрних об’єктiв за їх томо-
грамами на системi трьох груп перерiзаних площин з використанням iнтерфлетацiї функцiї // Там
само. – 2005. – № 8. – С. 67–71.
4. Литвин О.М., Першина Ю. I. Метод вiдновлення внутрiшньої структури тривимiрного тiла з ви-
користанням томограм та мiшаної апроксимацiї // Таврiчний вiсник iнформатики та математики. –
2008. – № 2. – С. 18–24.
5. Lytvyn O.M., Pershina Y. I., Nechuyviter O. P. et al. Construction methods of 4D mathematical models
of 3D bodies on a basis of interlineation, interflatation, blending approximation and wavelets. What,
Where, When: Multi-dimensional Advances for Industrial Process Monitoring: Proceedings of International
Symposium 23–24 June 2009. – Leeds, UK. – 2009. – P. 443–453.
6. Першина Ю. I. 4D математична модель 3D тiла в комп’ютернiй томографiiї. Питання оптимiзацiї
обчислень (ПОО – XXXV): Працi Мiжнар. симп. 24–29 вересня 2009 p. – Київ: Iн-т кiбернетики iм.
В.М. Глушкова НАН України, 2009. – Т. 2. – С. 188–193.
Надiйшло до редакцiї 21.12.2009Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
O.M. Lytvyn, Y. I. Pershina
The solution of a three-dimensional problem of computer tomography
with the use of a small number of tomograms
A method of restoration of the internal structure of a three-dimensional body which uses only four
tomograms is offered. The method is constructed with the help of interflatation functions of three
variables. The general views of the density of objects described by functions which are precisely
restored by means of the specified information are presented.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37576 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-27T15:12:41Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. Першина, Ю.І. 2012-10-17T15:21:11Z 2012-10-17T15:21:11Z 2011 Розв'язання тривимірної задачі комп'ютерної томографії з використанням невеликої кількості томограм / О.М. Литвин, Ю. I. Першина // Доп. НАН України. — 2011. — № 5. — С. 40-44. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37576 519.6 Пропонується метод відновлення внутрішньої структури тривимірного тіла, який використовує лише чотири томограми. Метод будується за допомогою інтерфлетації функцій трьох змінних. Також пропонуються загальні вигляди щільностей об'єктів, що описуються функціями, які точно відновлюються за допомогою вказаної інформації. A method of restoration of the internal structure of a three-dimensional body which uses only four tomograms is offered. The method is constructed with the help of interflatation functions of three variables. The general views of the density of objects described by functions which are precisely restored by means of the specified information are presented. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Розв'язання тривимірної задачі комп'ютерної томографії з використанням невеликої кількості томограм The solution of a three-dimensional problem of computer tomography with the use of a small number of tomograms Article published earlier |
| spellingShingle | Розв'язання тривимірної задачі комп'ютерної томографії з використанням невеликої кількості томограм Литвин, О.М. Першина, Ю.І. Інформатика та кібернетика |
| title | Розв'язання тривимірної задачі комп'ютерної томографії з використанням невеликої кількості томограм |
| title_alt | The solution of a three-dimensional problem of computer tomography with the use of a small number of tomograms |
| title_full | Розв'язання тривимірної задачі комп'ютерної томографії з використанням невеликої кількості томограм |
| title_fullStr | Розв'язання тривимірної задачі комп'ютерної томографії з використанням невеликої кількості томограм |
| title_full_unstemmed | Розв'язання тривимірної задачі комп'ютерної томографії з використанням невеликої кількості томограм |
| title_short | Розв'язання тривимірної задачі комп'ютерної томографії з використанням невеликої кількості томограм |
| title_sort | розв'язання тривимірної задачі комп'ютерної томографії з використанням невеликої кількості томограм |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37576 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom rozvâzannâtrivimírnoízadačíkompûternoítomografíízvikoristannâmnevelikoíkílʹkostítomogram AT peršinaûí rozvâzannâtrivimírnoízadačíkompûternoítomografíízvikoristannâmnevelikoíkílʹkostítomogram AT litvinom thesolutionofathreedimensionalproblemofcomputertomographywiththeuseofasmallnumberoftomograms AT peršinaûí thesolutionofathreedimensionalproblemofcomputertomographywiththeuseofasmallnumberoftomograms |