Локальное поведение обобщенных квазиизометрий
Досліджено кільцеві Q-гомеоморфізми відносно p-модуля. Встановлено критерій належності цьому класу. Отримано оцінку міри образу кулі при таких відображеннях і досліджено асимптотичну поведінку в нулі. Доведено, що скінченно біліпшицеві гомеоморфізми є кільцевими Q-гомеоморфізмами відносно p-модуля....
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37779 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Локальное поведение обобщенных квазиизометрий / Р.Р. Салимов // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 23-28. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860120599792189440 |
|---|---|
| author | Салимов, Р.Р. |
| author_facet | Салимов, Р.Р. |
| citation_txt | Локальное поведение обобщенных квазиизометрий / Р.Р. Салимов // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 23-28. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Досліджено кільцеві Q-гомеоморфізми відносно p-модуля. Встановлено критерій належності цьому класу. Отримано оцінку міри образу кулі при таких відображеннях і досліджено асимптотичну поведінку в нулі. Доведено, що скінченно біліпшицеві гомеоморфізми є кільцевими Q-гомеоморфізмами відносно p-модуля. Це дає можливість описати асимптотичну поведінку в нулі скінченно біліпшицевих відображень, які є узагальненням ізометрій та квазіізометрій.
We consider the ring Q-|homeomorphisms with respect to the p-modulus and establish a belonging criterion for this class. We obtain a measure estimate for the image of a ball and investigate the asymptotic behavior at zero under such mappings. It is shown that the finitely bi-Lipschitz homeomorphisms are ring Qhomeomorphisms with respect to the p-modulus. This makes it possible to describe the asymptotic behavior of finitely bi-Lipschitz at zero maps which are a far-reaching generalization of isometries and quasiisometries.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:39:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2011
Р.Р. Салимов
Локальное поведение обобщенных квазиизометрий
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
Дослiджено кiльцевi Q-гомеоморфiзми вiдносно p-модуля. Встановлено критерiй належ-
ностi цьому класу. Отримано оцiнку мiри образу кулi при таких вiдображеннях i дослiд-
жено асимптотичну поведiнку в нулi. Доведено, що скiнченно бiлiпшицевi гомеоморфiз-
ми є кiльцевими Q-гомеоморфiзмами вiдносно p-модуля. Це дає можливiсть описати
асимптотичну поведiнку в нулi скiнченно бiлiпшицевих вiдображень, якi є узагальнен-
ням iзометрiй та квазiiзометрiй.
Напомним некоторые определения. Борелева функция ̺ : Rn → [0,∞] называется допусти-
мой для семейства кривых Γ в R
n, пишут ̺ ∈ admΓ, если
∫
γ
̺ds > 1 (1)
для всех γ ∈ Γ. Пусть p > 1. Тогда p-модуль семейства кривых Γ называется величина
Mp(Γ) = inf
̺∈admΓ
∫
Rn
̺p(x) dm(x). (2)
Здесь m обозначает меру Лебега в R
n.
Как известно, в основу геометрического определения квазиконформных отображений
по Ю. Вяйсяля (см. [1]), заданных в области G из R
n, n > 2, положено условие
Mn(fΓ) 6 KMn(Γ) (3)
для произвольного семейства Γ кривых γ в области G.
Целью данной работы является получение на основе используемой нами техники иссле-
дования аналога следующего результата из работы [2] для более общих классов.
Предположим, что f : B3 → B
3 — K-квазиконформное отображение такое, что f(0) =
= 0. Тогда
lim inf
x→0
|f(x)|
|x|γ
6 1,
где γ — постоянная, зависящая только от коэффициента квазиконформности K.
Для отображения f : D → R
n, имеющего в D частные производные почти всюду, пусть
f ′(x) — якобиева матрица отображения f в точке x, |f ′(x)| = max
h∈Rn\{0}
(|f ′(x)h|/|h|). Внешняя
дилатация отображения f в точке x есть величина
KO(x, f) =
|f ′(x)|n
|J(x, f)|
,
если J(x, f) 6= 0, KO(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KO(x, f) = ∞ в остальных точках.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 23
KI(x, f) — внутренняя дилатация f ,
KI(x, f) =
|J(x, f)|
l(f ′(x))n
,
если якобиан J(x, f) := det f ′(x) 6= 0, KI(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KI(x, f) = ∞. В фор-
муле выше, как обычно,
l(f ′(x)) = min
h∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h|
.
Угловой дилатацией отображения f в точке x ∈ G относительно x0 ∈ R
n называется
функция
Df (x, x0) =
J(x, f)
lnf (x, x0)
, (4)
где
lf (x, x0) = min
|h|=1
|∂hf(x)|
∣
∣
∣
∣
〈
h,
x− x0
|x− x0|
〉
∣
∣
∣
∣
.
Здесь ∂hf(x) обозначает производную отображения f в точке x по направлению h. Впер-
вые многомерный аналог угловой дилатации в случае p = n встречается в работе [3] для
исследования пространственных квазиконформных отображений.
1. Об одном новом классе отображений. Пусть G — область в R
n, n > 2, и пусть
Q : G → [1,∞] — измеримая функция. Гомеоморфизм f : G → R
n будем называть Q-гомео-
морфизмом относительно p-модуля, если
Mp(fΓ) 6
∫
D
Q(x) · ̺p(x) dm(x) (5)
для любого семейства Γ путей в G и любой допустимой функции ̺ для Γ.
Определение Q-гомеоморфизма относительно p-модуля впервые встречается в работе [4].
Такие отображения являются естественным обобщением квазиконформных и квазиизомет-
рических отображений. Заметим, что если Q(x) 6 K почти всюду при p = n, отображение f
K-квазиконформно (см. напр., [1]) и K-квазиизометрично в случае 1 < p 6= n (см. [5]). Це-
лью теории Q-гомеоморфизмов является установление взаимосвязей между различными
свойствами мажоранты Q и самого отображения f . Неравенство вида (5) при p = n уста-
новлено В.Я. Гутлянским совместно с К. Бишопом, О. Мартио и М. Вуориненом в работе [6]
для квазиконформных отображений, где Q было равно KI(x, f). Последнее обстоятельство,
собственно, и положило начало рассмотрению семейств отображений, удовлетворяющих
упомянутому выше соотношению. Отметим также, что неравенство вида (5) было установ-
лено Ю.Ф. Струговым в работе [7] для так называемых отображений, квазиконформных
в среднем. При p = n проблема локального поведения Q-гомеоморфизмов изучалась в R
n
в случае Q ∈ BMO (ограниченного среднего колебания), в случае Q ∈ FMO (конечного
среднего колебания) и в других случаях (см. [8]).
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
Напомним следующие термины. Пусть E, F ⊆ R
n — произвольные множества. Обо-
значим через ∆(E,F,G) семейство всех кривых γ : [a, b] → Rn, которые соединяют E и F
в G, т. е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ G при a < t < b. Пусть d0 = dist(z0, ∂G) и пусть
Q : G → [0,∞] — измеримая по Лебегу функция. Положим
A(x0, r1, r2) = {x ∈ R
n : r1 < |x− x0| < r2}, (6)
Si = S(x0, ri) = {x ∈ R
n : |x− x0| = ri}, i = 1, 2. (7)
Согласно работе Геринга [9] для квазиконформности отображений достаточно требо-
вать, чтобы условие вида (3) было выполнено для семейств кривых, соединяющих гранич-
ные компоненты произвольного сферического кольца из области G. Будем говорить, что
гомеоморфизм f : G → Rn является кольцевым Q-гомеоморфизмом относительно p-моду-
ля в точке x0 ∈ G (1 < p 6 n), если соотношение
Mp(∆(fS1, fS2, fG)) 6
∫
A
Q(x) · ηp(|x− x0|) dm(x) (8)
выполнено для любого кольца A = A(z0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < d0 и для каждой измеримой
функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2
∫
r1
η(r) dr > 1. (9)
Говорят, что гомеоморфизм f : G → Rn является кольцевым Q-гомеоморфизмом относи-
тельно p-модуля в области G, если условие (8) выполнено для всех точек x0 ∈ G.
В работе [10] впервые на плоскости было установлено неравенство вида (8) при p = 2
для квазиконформных отображений c Q(z), равным так называемой угловой дилатации
Df (z, z0), которая совпадает с (4), а затем в случае R
n, n > 2, c Q(x) = Df (x, x0) при
p = n в работе [3]. Понятие кольцевого Q-гомеоморфизма относительно p-модуля при p = 2
было впервые введено и использовалось для изучения вырожденных уравнений Бельтрами
в работе [11].
Ниже приведен критерий принадлежности классу кольцевых Q-гомеоморфизмов отно-
сительно p-модуля, который ранее был также установлен в работе [12] при p = n (см. так-
же [8]).
Теорема 1. Пусть G — область в R
n, n > 2, и пусть Q : G → [0,∞] — измеримая
функция. Гомеоморфизм f : G → Rn является кольцевым Q-гомеоморфизмом относитель-
но p-модуля в точке x0 ∈ G тогда и только тогда, когда для любых 0 < r1 < r2 < d0 =
= dist(x0, ∂G)
Mp(Γ(fS1, fS2)) 6
ωn−1
Ip−1
, (10)
где S1 и S2 — сферы |x − x0| = r1 и |x − x0| = r2, ωn−1 — площадь единичной сферы Sn−1
в R
n, I = I(x0, r1, r2) =
r2
∫
r1
dr
r(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
x0
(r)
, qx0
(r) — среднее значение функции Q над
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 25
сферой |x − x0| = r. При этом инфимум в выражении справа в (8) достигается только
для функции
η0(r) =
1
Ir(n−1)/(p−1)q
1/(p−1)
x0
(r)
. (11)
2. Искажение объема. В следующей лемме получена оценка меры образа шара при
кольцевых Q-гомеоморфизмах относительно p-модуля. Впервые оценка площади образа
круга при квазиконформных отображениях встречается в работе М.А. Лаврентьева [13].
Лемма 1. Пусть n > 2, f : Bn → B
n — кольцевой Q-гомеоморфизм относительно
p-модуля, f(0) = 0. Тогда при 1 < p < n имеет место оценка
m(fBr) 6 Ωn ·
(
1 +
n− p
p− 1
1
∫
r
dt
t(n−1)/(p−1)q1/(p−1)(t)
)n(p−1)/(p−n)
, (12)
а при p = n имеет место оценка
m(fBr) 6 Ωn · exp
{
−n
1
∫
r
dt
tq1/(n−1)(t)
}
, (13)
где q(t) — среднее значение Q(x) над сферой |x| = t.
3. Поведение в точке. Лемма 1 позволяет нам также описать асимптотическое пове-
дение кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля в нуле.
Теорема 2. Пусть n > 2, f : Bn → B
n — кольцевой Q-гомеоморфизм относительно
p-модуля, f(0) = 0. Тогда при 1 < p < n имеет место оценка
lim inf
x→0
|f(x)| ·
(
1 +
n− p
p− 1
1
∫
|x|
dt
t(n−1)/(p−1)q1/(p−1)(t)
)(p−1)/(n−p)
6 1, (14)
а при p = n имеет место оценка
lim inf
x→0
|f(x)| · exp
{ 1
∫
|x|
dt
tq1/(n−1)(t)
}
6 1, (15)
где q(t) — среднее значение Q(x) над сферой S(t) = {x ∈ R
n : |x| = t}.
4. Следствия для конечно билипшицевых отображений. Пусть гомеоморфизм
f : G → R
n, положим
L(x, f) = lim sup
y→x
|f(y)− f(x)|
|y − x|
(16)
и
l(x, f) = lim inf
y→x
|f(y)− f(x)|
|y − x|
. (17)
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
Будем говорить, что гомеоморфизм f : G → R
n является конечно билипшицевым, если
0 < l(x, f) 6 L(x, f) < ∞ (18)
для всех x ∈ G.
Угловой p-дилатацией отображения f в точке x ∈ G относительно x0 ∈ R
n называется
следующая функция:
Df,p(x, x0) =
J(x, f)
lpf (x, x0)
, (19)
если якобиан J(x, f) := det f ′(x) 6= 0, Df,p(x, x0) = 1, если f ′(x) = 0, и Df,p(x, x0) = ∞
в остальных точках.
В формуле (19)
lf (x, x0) = min
|h|=1
|∂hf(x)|
∣
∣
∣
∣
〈
h,
x− x0
|x− x0|
〉
∣
∣
∣
∣
,
где ∂hf(x) — производная отображения f в точке x по направлению h.
Можно доказать следующее утверждение, которое ранее было доказано для квазикон-
формных отображений в случае p = n с Q(x) = Df,n(x, x0) (см. [3]).
Лемма 2. Любой конечно билипшицевый гомеоморфизм является кольцевым Q-гомео-
морфизмом относительно p-модуля, 1 < p 6 n с Q(x) = Df,p(x, x0).
Это позволяет сформулировать следствие теоремы 2 для конечно билипшицевых ото-
бражений, которые являются далеко идущим обобщением изометрий и квазиизометрий.
Теорема 3. Пусть n > 2, f : Bn → B
n — конечно билипшицевый гомеоморфизм, f(0) =
= 0. Тогда при 1 < p < n имеет место оценка
lim inf
x→0
|f(x)| ·
(
1 +
n− p
p− 1
1
∫
|x|
dt
t(n−1)/(p−1)q1/(p−1)(t)
)(p−1)/(n−p)
6 1, (20)
а при p = n имеет место оценка
lim inf
x→0
|f(x)| · exp
{ 1
∫
|x|
dt
tq1/(n−1)(t)
}
6 1, (21)
где q(t) — среднее значение Q(x) = Df,p(x, x0) над сферой S(t) = {x ∈ R
n : |x| = t}.
Как легко видеть, при p → n (20) переходит в (21).
1. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lecture Notes in Math. Vol. 229. –
Berlin: Springer, 1971. – 229 p.
2. Ikoma K. On the distortion and correspondence under quasiconformal mappings in space // Nagoya
Math. J. – 1965. – 25. – P. 175–203.
3. Gutlyanskii V.Ya., Golberg A. On Lipschitz continuity of quasiconformalmappings in space // J. d’Anal.
Math. – 2009. – 109, No 1. – P. 233–251.
4. Golberg A. Differential properties of (α,Q)-homeomorphisms // Further Progress in Analysis. – Singapure:
World Scientific Publ., 2009. – P. 218–228.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 27
5. Gehring F.W. Lipschitz mappings and the p-capacity of ring in n-space [Advances in the theory of Riemann
surfaces, Proc. Conf. Stonybrook, N.Y., 1969] // Ann. Math. Stud. – 1971. – 66. – P. 175–193.
6. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Intern.
J. Math. and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397–1420.
7. Стругов Ю.Ф. Компактность классов отображений, квазиконформных в среднем // Докл. АН
СССР. – 1978. – 243, № 4. – С. 859–861.
8. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer,
2009. – 367 p.
9. Gehring F.W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103. –
P. 353–393.
10. Gutlyanski V., Martio O., Sugava T., Vuorinen M. On the degenerate Beltrami equation // Trans. Amer.
Math. Soc. – 2005. – 357, No 3. – P. 875–900.
11. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solutions of Beltrami equations // J. d’Anal. Math. – 2005. –
96. – P. 117–150.
12. Рязанов В.И., Севостьянов Е.А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеоморфиз-
мов // Сиб. мат. журн. – 2007. – 48, № 6. – С. 1361–1376.
13. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического
типа. – Москва: Изд-во АН СССР, 1962. – 136 с.
Поступило в редакцию 23.09.2010Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
R.R. Salimov
The local behavior of generalized quasiisometries
We consider the ring Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus and establish a belonging
criterion for this class. We obtain a measure estimate for the image of a ball and investigate
the asymptotic behavior at zero under such mappings. It is shown that the finitely bi-Lipschitz
homeomorphisms are ring Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus. This makes it possible
to describe the asymptotic behavior of finitely bi-Lipschitz at zero maps which are a far-reaching
generalization of isometries and quasiisometries.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37779 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:39:06Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Салимов, Р.Р. 2012-10-22T16:11:39Z 2012-10-22T16:11:39Z 2011 Локальное поведение обобщенных квазиизометрий / Р.Р. Салимов // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 23-28. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37779 517.5 Досліджено кільцеві Q-гомеоморфізми відносно p-модуля. Встановлено критерій належності цьому класу. Отримано оцінку міри образу кулі при таких відображеннях і досліджено асимптотичну поведінку в нулі. Доведено, що скінченно біліпшицеві гомеоморфізми є кільцевими Q-гомеоморфізмами відносно p-модуля. Це дає можливість описати асимптотичну поведінку в нулі скінченно біліпшицевих відображень, які є узагальненням ізометрій та квазіізометрій. We consider the ring Q-|homeomorphisms with respect to the p-modulus and establish a belonging criterion for this class. We obtain a measure estimate for the image of a ball and investigate the asymptotic behavior at zero under such mappings. It is shown that the finitely bi-Lipschitz homeomorphisms are ring Qhomeomorphisms with respect to the p-modulus. This makes it possible to describe the asymptotic behavior of finitely bi-Lipschitz at zero maps which are a far-reaching generalization of isometries and quasiisometries. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Локальное поведение обобщенных квазиизометрий The local behavior of generalized quasiisometries Article published earlier |
| spellingShingle | Локальное поведение обобщенных квазиизометрий Салимов, Р.Р. Математика |
| title | Локальное поведение обобщенных квазиизометрий |
| title_alt | The local behavior of generalized quasiisometries |
| title_full | Локальное поведение обобщенных квазиизометрий |
| title_fullStr | Локальное поведение обобщенных квазиизометрий |
| title_full_unstemmed | Локальное поведение обобщенных квазиизометрий |
| title_short | Локальное поведение обобщенных квазиизометрий |
| title_sort | локальное поведение обобщенных квазиизометрий |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37779 |
| work_keys_str_mv | AT salimovrr lokalʹnoepovedenieobobŝennyhkvaziizometrii AT salimovrr thelocalbehaviorofgeneralizedquasiisometries |