Асимптотика збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу
Одержано критерій асимптотичної поведінки для збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу. A criterion of the asymptotic behavior for perturbed stochastic differential difference equations of the neutral type is obtained....
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37780 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотика збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу / I.В. Малик, Б.В. Савчук // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 52-56. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859491444009467904 |
|---|---|
| author | Малик, І.В. Савчук, Б.В. |
| author_facet | Малик, І.В. Савчук, Б.В. |
| citation_txt | Асимптотика збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу / I.В. Малик, Б.В. Савчук // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 52-56. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Одержано критерій асимптотичної поведінки для збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу.
A criterion of the asymptotic behavior for perturbed stochastic differential difference equations of the neutral type is obtained.
|
| first_indexed | 2025-11-24T16:59:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21,519.718
© 2011
I. В. Малик, Б. В. Савчук
Асимптотика збурених стохастичних
диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
Одержано критерiй асимптотичної поведiнки для збурених стохастичних диференцi-
ально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу.
Нехай на ймовiрнiсному базисi [1] (Ω, F, P,ℑ), де ℑ := {Ft, t > 0} — фiльтрацiя, задано
випадковий процес x(t), який задовольняє лiнiйне стохастичне диференцiально-рiзницеве
рiвняння нейтрального типу (НCДРР)
dDxt = {Lxt + f(t)}dt+ {Gxt + g(t)}dw(t) (1)
та невипадкову початкову умову
x0 = ϕ. (2)
Тут випадковий процес x(t) := x(t, ω) : R+ × Ω → R1; xt := {x(t + s),−h 6 s 6 0 ∈
∈ C([−h, 0]) — вiдрiзок траєкторiї; ϕ ∈ C([−h, 0]); f(t), g(t) — неперервно-диференцiйовнi
детермiнованi функцiї, для яких рiвняння (1) має сенс; w(t) := w(t, ω) — одновимiрний
випадковий вiнеровий процес, що узгоджений з ℑ; D, L, G — рiзницевi оператори, заданi
спiввiдношеннями [2, 3]:
Dxt :=
n
∑
i=0
δix(t− τi); Lxt :=
n
∑
i=0
lix(t− τi); Gxt :=
n
∑
i=0
gix(t− τi), (3)
де 0 = τ0 < τ1 < · · · < τn = h < ∞; δi, li, gi — дiйснi константи, причому δ0 = 1 i
n
∑
i=1
|δi| < 1.
Зауваження 1. При Dxt := x(t), Lxt := −lx(t), Gxt := 0, f(t) ≡ 0, g(t) ≡ g = const,
h = 0, рiвняння (1) перетвориться в рiвняння
dx(t) = −lx(t)dt+ gdw(t), (4)
розв’язок якого прийнято називати процесом Орнштейна–Уленбека.
Для задачi (1), (2) має мiсце теорема iснування та єдиностi з точнiстю до стохастичної
еквiвалентностi сильного розв’язку x(t) ∈ R1, для якого iснує Ex2(t) < ∞.
Зауважимо, що асимптотика частинного випадку НСДРР (1), а саме f ≡ 0, g ≡ 0,
розглядалася в [4]. В данiй роботi також буде використана методика [4].
Поряд з рiвнянням (1) розглянемо вiдповiдне незбурене детермiноване диференцiаль-
но-рiзницеве рiвняння нейтрального типу (НДДРР)
dDyt = Lytdt (5)
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
та початкову умову
y0 = ϕ. (6)
Сформулюємо результати, якi будуть використанi при доведеннi основного результату
даної роботи.
Лема 1 [2]. Якщо
n
∑
i=1
|δi| < 1,
то тривiальний розв’язок y(t) ≡ 0 НДДРР (5), (6) є експоненцiально стiйкий тодi i тiльки
тодi, коли всi коренi характеристичного квазiполiнома
V (z) := z
{
n
∑
i=0
δie
−τiz
}
−
n
∑
i=0
lie
−τiz (7)
лежать в лiвiй пiвплощинi комплексної площини C, а точнiше
∃ ρ > 0, ∀ z ∈ C : V (z) = 0 ⇒ Re z < −ρ. (8)
Розглянемо функцiю Кошi X(t) [2, 3] як розв’язок (5), що задовольняє початкову умову
X(t) := 1(t) =
{
0, −h 6 t < 0,
1, t = 0.
(9)
Має мiсце
Лема 2 [3]. Функцiя Кошi X(t) має вигляд
X(t) =
1
2πi
∫
Re z=µ
eztV −1(z) dz,
де µ > −ρ.
Лема 3. Розв’язок НСДРР (1), (2) задовольняє стохастичне iнтегральне рiвняння
(аналог формули варiацiї сталої)
x(t) = y(t) +
t
∫
0
X(t− s)f(s)ds+
t
∫
0
X(t− s){Gxs + g(s)}dw(s). (10)
Доведення. Подiємо на випадковий процес x(t) (10) рiзницевим оператором D (3):
Dxt = D
(
y(t) +
t
∫
0
X(t− s)f(s)ds+
t
∫
0
X(t− s){Gxs + g(s)}dw(s)
)
=
= Dyt +
t
∫
0
DXt−sf(s)ds+
t
∫
0
DXt−s{Gxs + g(s)}dw(s).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 53
Використовуючи останню формулу, обчислимо dDxt:
dDxt = Lytdt+DX0f(t) dt−
t
∫
0
dDXt−sf(s) ds+DX0{Gxt + g(t)}dw(t) +
+
t
∫
0
dDXt−s{Gxs + g(s)}dw(s) = Lytdt+ f(t) dt+
+
t
∫
0
LXt−sf(s)dsdt+ {Gxt + g(t)}dw(t) +
t
∫
0
LXt−s{Gxs + g(s)}dw(s) dt =
= L
(
yt +
t
∫
0
X(t− s)f(s) ds+
t
∫
0
X(t− s){Gxs + g(s)}dw(s)
)
dt+
+ f(t) dt+ {Gxt + g(t)}dw(t) = {Lxt + f(t)}dt+ {Gxt + g(t)}dw(t).
Лема 3 доведена.
Зауваження 2. Використовуючи лему 3, отримаємо, що процес Орншейна–Уленбека
(розв’язок задачi (4), (2)) має вигляд
x(t) = ϕ(0)e−lt + g
t
∫
0
et−sdw(s).
Означення. Розв’язок задачi (1), (2) назвемо експоненцiально стiйким в середньому
квадратичному, якщо iснують сталi M > 0 i c > 0, такi, що ∀ t > 0 i ϕ ∈ C([−h, 0]), ‖ϕ‖ 6= 0
E|x(t)|2 6 Me−ct‖ϕ‖2, (11)
де ‖ϕ‖ := sup
−h6t60
|ϕ(t)|.
Теорема. Нехай виконуються такi умови:
1) тривiальний розв’язок задачi (5), (6) асимптотично стiйкий;
2) характеристичнi показники функцiй f та g задовольняє спiввiдношення
lim
t→∞
ln |g(t)|
t
=: K1 < 0, lim
t→∞
ln |f(t)|
t
=: K2 < ρ
(у випадку фiнiтної функцiї f або g покладемо Ki = −∞, i = 1, 2).
Тодi для того щоб
lim
t→∞
E(Gxt + g(t))2 = 0, (12)
необхiдно i достатньо виконання нерiвностi
B :=
1
π
∞
∫
0
|G(is)|2|V (is)|−2ds < 1, (13)
де G(z) :=
n
∑
i=0
gie
−τiz, i =
√
−1 — уявна одиниця.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
Доведення. Використовуючи (10), отримаємо
Gxt + g(t) = g(t) +Gyt +
t
∫
0
GXt−sf(s) ds+
t
∫
0
GXt−s{Gxs + g(s)} dw(s).
Отже, вiрне спiввiдношення
E(Gxt + g(t))2 =
(
g(t) +Gyt +
t
∫
0
GXt−sf(s) ds
)2
+
t
∫
0
H2(t− s)E(Gxs + g(s))2ds, (14)
де H(t) := GXt.
Введемо до розгляду випадковий процес ξ та функцiю u, що заданi такими спiввiдно-
шеннями:
ξ(t) := Gxt + g(t), u(t) := g(t) +Gyt +
t
∫
0
GXt−sf(s) ds. (15)
На основi (15) рiвнiсть (14) набуває вигляду
Eξ2(t) = u2(t) +
t
∫
0
H2(t− s)Eξ2(s) ds. (16)
Для дослiдження поведiнки Eξ2 застосуємо перетворення Лапласа
Λ(z) :=
∞
∫
0
e−ztEξ2(t) dt.
На основi (16) та властивостей перетворення Лапласа отримаємо:
Λ(z) =
∞
∫
0
e−ztu2(t) dt+ Λ(z)
∞
∫
0
e−ztH2(t) dt
або
Λ(z) =
∞
∫
0
e−ztu2(t) dt
1−
∞
∫
0
e−ztH2(t) dt
. (17)
При умовi 2 теореми зрозумiло, що
∞
∫
0
e−ztu2(t) dt 6 K < ∞ при Re z > 0,
тобто функцiя
∞
∫
0
e−ztu2(t) dt є аналiтичною i не має полюсiв при Re z > 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 55
Розглянемо знаменник правої частини рiвняння (17) 1 −
∞
∫
0
e−ztH2(t) dt. Якщо функцiя
P (z) :=
∞
∫
0
e−ztH2(t) dt менша за модулем 1 при Re z > 0, то функцiя Λ(z) є аналiтичною
i не має полюсiв при Re z > 0. Це означає, що оригiнал Eξ2(t) := E(Gxt + g(t))2 поводить
себе як експонента у вiд’ємному степенi.
Необхiднiсть доведена.
Доведемо достатнiсть. Припустимо, що умова (13) виконана, проте
lim
t→∞
E(Gxt + g(t))2 = ∞.
В цьому випадку, згiдно з властивостями перетворення Лапласа, для Λ iснує дiйсний
полюс z0. А це, за умовами теореми, означає, що
∞
∫
0
e−z0tH2(t) dt = 1,
що є неможливим внаслiдок того, що P — монотонно спадна функцiя дiйсного аргументу
та P (0) < 1.
Достатнiсть доведена. Теорема 1 доведена.
Зауваження 3. Якщо припустити, що рiзницевий оператор G досить “хороший”, а саме,
lim
t→∞
E(Gxt)
2 = lim
t→∞
Ex2(t),
то умову (12) можна замiнити такою:
lim
t→∞
Ex2(t) = 0. (18)
Автори висловлюють щиру вдячнiсть за увагу до даної роботи та цiннi поради проф.
В.К. Ясинському та акад. НАН України В. С. Королюку.
1. Жакод Ж., Ширяєв А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов: В 2-х т. – Москва: Физ-
матлит, 1994. – Т. 2. – 473 с.
2. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения – Москва: Мир, 1967. – 545 с.
3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. – Москва: Мир, 1984. – 420 с.
4. Малик I.В., Ясинський В.К. Експоненцiальна поведiнка в середньому квадратичному розв’язку сто-
хастичних диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу // Доп. НАН України. – 2008. –
№ 8. – С. 22–27.
5. Гихман И.И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 1982. – 612 с.
Надiйшло до редакцiї 29.06.2010Чернiвецький нацiональний унiверситет
iм. Юрiя Федьковича
I. V. Malyk, B.V. Savchuk
Asymptotics of perturbed stochastic differential difference equations of
the neutral type
A criterion of the asymptotic behavior for perturbed stochastic differential difference equations of
the neutral type is obtained.
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37780 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-24T16:59:04Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Малик, І.В. Савчук, Б.В. 2012-10-22T16:18:24Z 2012-10-22T16:18:24Z 2011 Асимптотика збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу / I.В. Малик, Б.В. Савчук // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 52-56. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37780 519.21,519.718 Одержано критерій асимптотичної поведінки для збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу. A criterion of the asymptotic behavior for perturbed stochastic differential difference equations of the neutral type is obtained. Автори висловлюють щиру вдячнiсть за увагу до даної роботи та цiннi поради проф. В.К. Ясинському та акад. НАН України В. С. Королюку. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Асимптотика збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу Asymptotics of perturbed stochastic differential difference equations of the neutral type Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотика збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу Малик, І.В. Савчук, Б.В. Інформатика та кібернетика |
| title | Асимптотика збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу |
| title_alt | Asymptotics of perturbed stochastic differential difference equations of the neutral type |
| title_full | Асимптотика збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу |
| title_fullStr | Асимптотика збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу |
| title_full_unstemmed | Асимптотика збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу |
| title_short | Асимптотика збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу |
| title_sort | асимптотика збурених стохастичних диференціально-різницевих рівнянь нейтрального типу |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37780 |
| work_keys_str_mv | AT malikív asimptotikazburenihstohastičnihdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹneitralʹnogotipu AT savčukbv asimptotikazburenihstohastičnihdiferencíalʹnoríznicevihrívnânʹneitralʹnogotipu AT malikív asymptoticsofperturbedstochasticdifferentialdifferenceequationsoftheneutraltype AT savčukbv asymptoticsofperturbedstochasticdifferentialdifferenceequationsoftheneutraltype |