К оптимизации формы строго выпуклой оболочки, жестко закрепленной вдоль плоского края при внешнем давлении
Серед розглянутих у роботі оболонок знайдено таку, що має найбільше значення асимптотики критичного тиску. Among a number of shells under consideration, the shell with the greatest asymptotic value of critical pressure is found....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37781 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К оптимизации формы строго выпуклой оболочки, жестко закрепленной вдоль плоского края при внешнем давлении / В.И. Бабенко // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 60-65. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37781 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бабенко, В.И. 2012-10-22T16:20:12Z 2012-10-22T16:20:12Z 2011 К оптимизации формы строго выпуклой оболочки, жестко закрепленной вдоль плоского края при внешнем давлении / В.И. Бабенко // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 60-65. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37781 539.3 Серед розглянутих у роботі оболонок знайдено таку, що має найбільше значення асимптотики критичного тиску. Among a number of shells under consideration, the shell with the greatest asymptotic value of critical pressure is found. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка К оптимизации формы строго выпуклой оболочки, жестко закрепленной вдоль плоского края при внешнем давлении On the optimization of the shape of a strictly convex shell which is rigidly fixed along the flat edge under external pressure Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
К оптимизации формы строго выпуклой оболочки, жестко закрепленной вдоль плоского края при внешнем давлении |
| spellingShingle |
К оптимизации формы строго выпуклой оболочки, жестко закрепленной вдоль плоского края при внешнем давлении Бабенко, В.И. Механіка |
| title_short |
К оптимизации формы строго выпуклой оболочки, жестко закрепленной вдоль плоского края при внешнем давлении |
| title_full |
К оптимизации формы строго выпуклой оболочки, жестко закрепленной вдоль плоского края при внешнем давлении |
| title_fullStr |
К оптимизации формы строго выпуклой оболочки, жестко закрепленной вдоль плоского края при внешнем давлении |
| title_full_unstemmed |
К оптимизации формы строго выпуклой оболочки, жестко закрепленной вдоль плоского края при внешнем давлении |
| title_sort |
к оптимизации формы строго выпуклой оболочки, жестко закрепленной вдоль плоского края при внешнем давлении |
| author |
Бабенко, В.И. |
| author_facet |
Бабенко, В.И. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On the optimization of the shape of a strictly convex shell which is rigidly fixed along the flat edge under external pressure |
| description |
Серед розглянутих у роботі оболонок знайдено таку, що має найбільше значення асимптотики критичного тиску.
Among a number of shells under consideration, the shell with the greatest asymptotic value of critical pressure is found.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37781 |
| citation_txt |
К оптимизации формы строго выпуклой оболочки, жестко закрепленной вдоль плоского края при внешнем давлении / В.И. Бабенко // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 60-65. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovi koptimizaciiformystrogovypukloioboločkižestkozakreplennoivdolʹploskogokraâprivnešnemdavlenii AT babenkovi ontheoptimizationoftheshapeofastrictlyconvexshellwhichisrigidlyfixedalongtheflatedgeunderexternalpressure |
| first_indexed |
2025-11-24T15:56:14Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:56:14Z |
| _version_ |
1850849586437947392 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
6 • 2011
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2011
В.И. Бабенко
К оптимизации формы строго выпуклой оболочки,
жестко закрепленной вдоль плоского края при внешнем
давлении
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Серед розглянутих у роботi оболонок знайдено таку, що має найбiльше значення асимп-
тотики критичного тиску.
1. Ранее [1] автором было установлено, что среди односвязных, строго выпуклых жестко
закрепленных оболочек с высотой H и с плоским краем, ограничивающим область пло-
щадью S, наибольшее асимптотическое значение внешнего критического давления имеет
сегмент веретенообразной оболочки вращения. В данной работе ставится задача об отыска-
нии среди односвязных, строго выпуклых, жестко закрепленных оболочек с высотой H
и с заданным краем ∂F такой оболочки, для которой асимптотическое значение внешне-
го критического давления будет наибольшим. Задача рассматривается в классе оболочек,
очерченных по поверхностям второго порядка, т. е. срединная поверхность F оболочки — ли-
бо эллипсоид, либо эллиптический параболоид, либо двуполостной гиперболоид. Считается,
что край ∂F рассматриваемой оболочки плоский и что он лежит в плоскости, ортогональ-
ной оси симметрии поверхности F . Материал оболочки — линейно-упругий, однородный,
изотропный. Оболочка находится под действием равномерного внешнего давления P .
Далее мы ограничимся рассмотрением только достаточно тонких оболочек с тем, чтобы
напряженно-деформированное состояние равновесия оболочки можно было считать в изве-
стной степени близким к безмоментному всюду, кроме некоторой области краевого эффекта
у края ∂F . Поэтому будем исходить из результатов исследований [2, 3]. Именно, с учетом
изотропности материала оболочки, равномерности внешнего давления и жесткого закрепле-
ния оболочки вдоль края из формулы (4.2) и из выводов п. 5 работы [3] заключаем, что для
асимптотического значения P∗ критического давления имеет место следующее выражение:
P∗ = min
(F )
2eK
1 + [1− 4K(T 1
1 T
2
2 − T 2
1 T
1
2 )/P
2]1/2
, (1)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
где e = 2Eδ2/
√
12(1 − ν2); K — гауссова кривизна поверхности F , минимум берется по
всем внутренним точкам срединной поверхности F ; δ — толщина оболочки; E и σ — мо-
дуль Юнга и коэффициент Пуассона материала оболочки; T β
α — смешанные компоненты
тензора усилий, определяемого из линейных уравнений безмоментной теории оболочек при
условии, что рассматриваемая оболочка находится под действием равномерного внешнего
давления P и что вдоль края тангенциальные составляющие смещения точек срединной по-
верхности F равны нулю (см. краевые условия (5.3) работы [3]). Здесь и далее, если особо
не оговорено, греческие индексы пробегают значения 1 и 2, а латинские — 1, 2, 3.
Так же, как в случае эллипсоидальных оболочек [4], при определении компонент тензора
усилий воспользуемся методом подобия при афинных преобразованиях [5].
2. Введем декартову систему координат x1, x2, x3, приняв за ось x3 ось симметрии по-
верхности F , перпендикулярную плоскости края ∂F , а за координатные плоскости xα = 0 —
плоскости симметрии поверхности F . Преследуя единообразие изложения для различных
форм рассматриваемых оболочек, отнесем F к гауссовой криволинейной системе коорди-
нат ξ1, ξ2 так, чтобы параметрическое задание поверхности F имело вид:
x1 = c1r(ϑ) cosϕ; x2 = c2r(ϑ) sinϕ; x3 = c3z(ϑ);
ck ≡ const 6= 0 (0 6 ϑ 6 ϑ0, 0 6 ϕ 6 2π),
(2)
где ϑ = ξ1, ϕ = ξ2, r(ϑ), z(ϑ) — функции, определяющие форму рассматриваемой оболочки
(они приведены в табл. 1, там же указаны ограничения на ϑ0); ϑ = 0 — вершина оболочки,
а ϑ = ϑ0 — уравнение края ∂F , который представляет собой эллипс с полуосями c1r(ϑ0),
c2r(ϑ0). Для определенности, не ограничивая общности, полагаем, что
c1 > c2. (3)
Обозначим через aαβ компоненты метрического тензора поверхности F в параметриза-
ции (2). Далее, наряду с исследуемой оболочкой со срединной поверхностью F , будем рас-
сматривать оболочку вращения со срединной поверхностью вращения F , декартовы коор-
динаты xk которой связаны с координатами xk поверхности F аффинным преобразованием
xk =
1
ck
xk. (4)
Из соотношений (2), (4) получаем уравнения поверхности F в следующей параметрической
форме:
x1 = r(ϑ) cosϕ; x2 = r(ϑ) sinϕ; x3 = z(ϑ) (0 6 ϑ 6 ϑ0, 0 6 ϕ 6 2π). (5)
Таблица 1
Функции Эллипсоид Параболоид Гиперболоид
r(ϑ) sinϑ tg ϑ
tg ϑ
(1− tg2 ϑ)1/2
z(ϑ) cosϑ −
1
2
tg2 ϑ −
1
(1− tg2 ϑ)1/2
τ (ϑ) tg
ϑ
2
tg ϑ ctg ϑ− (ctg2 ϑ− 1)1/2
Ur(ϑ) sin2
ϑ −
1
2
tg4 ϑ −
1
ctg2 ϑ− 1
ϑ0 0 < ϑ0 < π 0 < ϑ0 <
π
2
0 < ϑ0 <
π
4
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 61
Для поверхности вращения F координата ξ1 = ϕ — это азимутальный угол, а ξ2 = ϑ — угол
между осью x3 и нормалью n к F в данной точке (ϑ,ϕ). Край ∂F поверхности F — окруж-
ность ϑ = ϑ0 радиусом r(ϑ0). Здесь и далее для описания оболочки вращения используем
те же обозначения, что и для описания исследуемой оболочки со срединной поверхностью F ,
снабжая их чертой сверху, а именно: F и F , xk и xk, aαβ и aαβ, Tαβ и Tαβ, и т. д. Ниже для
справок приведены выражения для главных радиусов кривизны Rα и компонент метричес-
кого тензора aαβ поверхности F , для гауссовой кривизны K поверхности F :
R1 = R
3
2, R2 =
r
sinϑ
, a11 = R
2
1, a22 = r2, a12 = 0,
K = K
[
c1c2c3
∑
(
nk
ck
)2
]
−2
.
Здесь и далее принято правило суммирования Энштейна по немым индексам; n1 = sinϑ×
× cosϕ, n2 = sinϑ sinϕ, n3 = cos ϑ — проекции орта нормали n к F на оси декартовой
системы координат.
3. Переходим к выводу выражений для компонент тензора усилий. Выпишем уравне-
ния (3.2) и (3.4) из [6, с. 559] для контравариантных компонент тензора усилий Tαβ, опи-
сывающего безмоментное напряженное состояние равновесия рассматриваемой оболочки
в векторной форме (2.29) из [6, с. 555]. Спроектируем их на оси декартовой системы коор-
динат x1, x2, x3, получим:
(√
aTαβxk/β
)
/α
+
√
aXk = 0, (6)
где индекс после черты означает частную производную по соответствующей координате ξ1
или ξ2; X
k — проекции на оси декартовой системы координат вектора плотности X поверх-
ностной нагрузки; в нашем случае X = −Pn (n — орт нормали к F ); a = det(aαβ).
При аффинном преобразовании (4) уравнения (6) будут ковариантными, если принять
следующие условия преобразования для компонент тензора усилий и проекций вектора
плотности поверхностной нагрузки [5]:
√
aTαβ =
√
aT
αβ
,
√
aXk = ck
√
aX
k
. (7)
Действительно, подставим соотношения (4), (7) в (6), получим
(
√
aT
αβ
xk/β
)
/α
+
√
aX
k
= 0. (8)
Таким образом, исходная задача о решении системы уравнений (6) для исследуемой
оболочки со срединной поверхностью F сводится к решению системы уравнений (8) для
оболочки вращения со срединной поверхностью F , находящейся под действием поверх-
ностной нагрузки, проекции вектора плотности X которой p1, p2 и p3 соответственно на
координатные базисные векторы системы ξ1, ξ2 на F и на нормаль n равны:
p1 = Pc3(−d3 cos 2ϕ− d1 + d2) sinϑ cos ϑ,
p2 = Pc3d3 sinϑ sin 2ϕ,
p3 = Pc3(−d3 sin
2 ϑ cos 2ϕ− d1 sin
2 ϑ− d2 cos
2 ϑ),
(9)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
где
d1 =
c21 + c22
2c1c2
, d2 =
c1c2
c23
, d3 =
c22 − c21
2c1c2
.
Общее решение уравнений (8) ищем в виде рядов Фурье. Приведем окончательные ре-
зультаты, полученные для физических компонент T
(αβ)
= T
αβ√
aααaββ тензора усилий,
в следующем виде:
T
(αβ)
= −Pc3t
αβ
∗
; t11
∗
= R2t
11, t12
∗
= t12, t22
∗
=
1
R2
t22, (10)
где
tαβ = tαβ0 +
d3
r2
[
tαβr +
∞
∑
k=1
λkt
αβ
k τ2k
]
;
t110 =
d2
2
, t120 = 0, t220 = R
2
2(d1 sin
2 ϑ+ d2 cos
2 θ)− d2
2
;
t11r = Ur cos 2ϕ, t12r = Vr sin 2ϕ, t22r = (r4 − Ur) cos 2ϕ;
t11k = −t22k = cos 2kϕ, t12k = − sin 2kϕ;
Vr(ϑ) = −τ
2
dUr
dϑ
/
dτ
dϑ
;
τ = τ(ϑ), Ur = Ur(ϑ) — функции, вид которых зависит от формы рассматриваемой обо-
лочки, они приведены в табл. 1; λk — постоянные, подлежащие определению из условий
жесткого закрепления оболочки вдоль края ∂F .
4. Задачу об определении вектора смещения U точек поверхности F так же, как и в [4],
сводим к задаче об определении вектора смещения U точек поверхности вращения F по
компонентам тензора ее тангенциальной деформации εαβ при условиях равенства нулю тан-
генциальных составляющих вектора U вдоль края ∂F . Из этих условий получаем (см. [4])
следующую систему уравнений, которым должны удовлетворять физические компоненты
ε(αβ) = εαβ/
√
aααaββ тензора деформаций поверхности F :
ϑ0
∫
0
π/2
∫
0
[(R
2
2ε
∗
11 − ε∗22) cos 2kϕ− 2R2ε
∗
12 sin 2kϕ]τ
2k R2dϑdϕ
sinϑ
√
a∗
= 0, (11)
где k = 1, 2, . . .;
ε∗αβ = − Eδ
√
a∗
Pc1c2c3
ε(α,β); a∗ = det(a∗αβ); a∗αβ =
aαβ
c1c2
√
aααaββ
. (12)
Выпишем соотношение упругости (2.3) из [5, с. 115] для исходной оболочки с учетом
равенств (7), (10), εαβ = εαβ [4] и обозначений (12) в следующем виде:
ε∗αβ = (a∗αρa
∗
βσ − νc∗αρc
∗
βσ)t
ρσ
∗
, (13)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 63
где
c∗11 = c∗22 = 0; c∗12 = c∗21 =
√
a∗;
a∗11 =
(
d1 +
tg2 ϑ
d2
− d3 cos 2ϕ
)
cos2 ϑ; a∗22 = d1 + d3 cos 2ϕ;
a∗12 = d3 cos ϑ sin 2ϕ, a∗ =
[
1 +
tg2 ϑ
d2
(d1 + d3 cos 2ϕ)
]
cos2 ϑ.
Подставим выражения (10), (13) для tαβ
∗
, ε∗αβ в условия (11), получим бесконечную сис-
тему линейных алгебраических уравнений для определения констант λk. После того как
константы λk будут определены, находим искомое асимптотическое значение критического
давления P∗ по формуле (1), которая теперь принимает следующий вид:
P∗ =
2e
c23
min
(ϑ,ϕ)
k∗
1 + [1− 4k∗(t11t22 − t12t12)]1/2
, где k∗ =
K
(d2a∗)2
.
В общем виде эта задача решается численно.
5. Вернемся к исходной задаче п. 1. Пусть r1 и r2 — полуоси эллипса ∂F — общего края
рассматриваемых оболочек, а H — их общая высота, которую примем за единицу. Для
параболоидов, не ограничивая общности, полагаем c3 = 1, тогда для них ϑ0 = arctg
√
2,
cα = rα/
√
2. Для эллипсоидальных оболочек: cα = rα/ sinϑ0, ϑ0 = arccos(1 − 1/c3). Для
гиперболоидальных оболочек: cα = rα(ctg
2 ϑ0 − 1)1/2, ϑ0 = arctg[1 − (1 + 1/c3)
−2)]1/2. В по-
следних двух случаях имеем произвол в задании коэффициента c3. Из возможных его зна-
чений выбираем то, которое сообщает максимум P∗.
Таким образом, было показано, что среди рассматриваемых здесь оболочек наибольшее
асимптотическое значение критического давления имеет сегмент Fe эллипсоидальной обо-
лочки вращения с осью вращения, параллельной большей оси эллипса ∂F — края оболочки.
6. Аналитические выкладки показывают, что к этому же результату мы придем,
если для асимптотического значения критического давления принять вместо (1) форму-
лу А.В. Погорелова [7]
P∗∗ = 2emin
(F )
K.
А так как [1] P∗ 6 P∗∗, то для рассматриваемых здесь оболочек справедлива следую-
щая оценка асимптотического значения критического давления P∗ 6 2eKe, где Ke =
= (2H/(r1r2 +H2r1/r2))
2 — наименьшее значение гауссовой кривизны срединной поверх-
ности сегмента Fe эллипсоидальной оболочки вращения; r1 > r2.
1. Бабенко В.И. К оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканонической фор-
мы // Доп. НАН України. – 2009. – № 9. – С. 57–61.
2. Бабенко В.И. Геометрическое исследование неустойчивости безмоментных оболочек // Укр. геометр.
сборник. – Харьков: Изд-во Харьков. ун-та, 1972. – Вып. 12. – С. 12–22.
3. Бабенко В.И. Потеря устойчивости непологих строго выпуклых анизотропных оболочек // Изв. АН
СССР. Механика тв. тела. – 1977. – № 2. – С. 95–103.
4. Бабенко В.И. Критические нагрузки для непологих разноосных эллипсоидальных оболочек при дав-
лении // Прикл. механика. – 1977. – 13, № 4. – С. 29–33.
5. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. – Ленинград: Судпромгиз, 1962. – 430 с.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
6. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. – Москва: Физматгиз, 1959. – 628 с.
7. Погорелов А.В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. – Москва: Наука,
1967. – 279 с.
Поступило в редакцию 01.10.2010Физико-технический институт низких температур
им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков
V. I. Babenko
On the optimization of the shape of a strictly convex shell which is
rigidly fixed along the flat edge under external pressure
Among a number of shells under consideration, the shell with the greatest asymptotic value of
critical pressure is found.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 65
|