Екранування нестаціонарних хвиль клиноподібним пружним включенням
Поставлено задачу про поширення і екранування (слабких ударних) хвиль у пружному середовищі з клиноподібним включенням. На основі променевого методу запропоновано методику геометричної побудови фронтів відбитих і заломлених хвиль на поверхнях розділу та обчислення їх інтенсивностей, а також дослідже...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37784 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Екранування нестаціонарних хвиль клиноподібним пружним включенням / В. I. Гуляєв, П. З. Луговий, Ю.О. Заєць // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 66-71. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859649842534416384 |
|---|---|
| author | Гуляєв, В.І. Луговий, П.З. Заєць, Ю.О. |
| author_facet | Гуляєв, В.І. Луговий, П.З. Заєць, Ю.О. |
| citation_txt | Екранування нестаціонарних хвиль клиноподібним пружним включенням / В. I. Гуляєв, П. З. Луговий, Ю.О. Заєць // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 66-71. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Поставлено задачу про поширення і екранування (слабких ударних) хвиль у пружному середовищі з клиноподібним включенням. На основі променевого методу запропоновано методику геометричної побудови фронтів відбитих і заломлених хвиль на поверхнях розділу та обчислення їх інтенсивностей, а також досліджено ефект екранування розривних хвиль у випадках з'єднання середовищ без проковзування і з проковзуванням на площинах контакту.
The problem about propagation and screening of nonstationary waves in heterogeneous elastic media with a wedge-like inclusion is considered. On the basis of the ray method, a technique for the geometrical construction of the fronts of reflected and refracted waves on the dividing surfaces and for the calculation of their intensities is proposed. The effects of the screening for discontinuous waves by the interfaces with and without sliding between the contacting bodies are analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:32:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2011
В. I. Гуляєв, П. З. Луговий, Ю. О. Заєць
Екранування нестацiонарних хвиль клиноподiбним
пружним включенням
(Представлено академiком НАН України В. Д. Кубенком)
Поставлено задачу про поширення i екранування (слабких ударних) хвиль у пружному
середовищi з клиноподiбним включенням. На основi променевого методу запропоновано
методику геометричної побудови фронтiв вiдбитих i заломлених хвиль на поверхнях
роздiлу та обчислення їх iнтенсивностей, а також дослiджено ефект екранування роз-
ривних хвиль у випадках з’єднання середовищ без проковзування i з проковзуванням на
площинах контакту.
У зв’язку з питаннями матерiалознавства, сейсмологiї та сейсморозвiдки встановлення най-
бiльш загальних закономiрностей явищ поширення хвиль у пружному середовищi є одним
з найбiльш актуальних напрямкiв механiки деформiвного твердого тiла. Значна увага при-
дiляється вивченню рухiв розривних хвиль, що моделюються поверхнями фронтiв, якi пере-
носять iмпульс тиску [1, 2]. Такi хвильовi явища мають чiтко виражений ударний характер,
зумовлений тим, що середовище, яке знаходиться перед рухомою частиною фронту, перебу-
ває в недеформованому станi, за цiєю поверхнею функцiї напруження та деформацiї мають
скiнченне значення, а безпосередньо на поверхнi вiдбувається розрив неперервностi. Щоб
описати такi явища, зручно застосовувати нульове наближення променевого методу [3, 4].
Використання даного методу виключає необхiднiсть простежувати динамiчний процес на
всiй розглядуванiй областi поля i дає можливiсть обмежитись лише аналiзом динамiки се-
редовища на дослiджуванiй частинi поверхнi фронту.
Постановка задачi. Рiвняння динамiки iдеального лiнiйно-пружного середовища мiс-
тять наступнi спiввiдношення [1, 2].
Рiвняння руху елемента пружного середовища
3∑
k=1
∂σik
∂xk
+ fi = ρ
∂2ui
∂t2
(i = 1, 2, 3), (1)
де σik — компоненти тензора пружних напружень; xk — декартовi координати; fi — ком-
поненти вектора густини масових сил; ui — компоненти вектора пружних перемiщень; ρ —
густина речовини пружного середовища; t — час.
Спiввiдношення Кошi для обчислення деформацiй суцiльного середовища
εik =
1
2
(
∂ui
∂xk
+
∂uk
∂xi
)
(i, k = 1, 2, 3). (2)
Спiввiдношення Гука
σii = λ(ε11 + ε22 + ε33) (i = 1, 2, 3);
σij = µεij (i, j = 1, 2, 3, i 6= j),
(3)
де λ i µ — пружнi константи середовища.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
Пiд час розв’язування задач про поширення розривних хвиль в пружних середовищах
будемо використовувати променевий метод [3, 4]. Його застосування пов’язане з постанов-
кою i з розв’язком двох задач. Перша з них — кiнематична. Вона полягає в геометричнiй
побудовi променiв i системи рухомих еволюцiонуючих фронтiв, а також у виявленнi кау-
стик i геометричних сингулярностей, в околi яких iнтенсивнiсть поля необмежено (в рамках
iдеальної теорiї пружностi) зростає [5, 6]. Друга задача є чисто динамiчною, пов’язана iз
визначенням поля напружень в деякiй областi поверхнi хвильового фронту i розв’язується
за допомогою системи транспортних рiвнянь.
Розглянемо розв’язок рiвнянь (1)–(3) руху пружного iзотропного середовища у виглядi
плоскої монохроматичної хвилi з хвильовим числом k i фазовою швидкiстю v. Її фронтами
є поверхнi постiйних фаз
~n · ~r − vt = const, (4)
якi локально збiгаються з площадками, що перпендикулярнi орту ~n i рухаються зi швид-
кiстю ~v = v~n. В зв’язку з тим, що вектор перемiщень ~u неперервний на поверхнях фрон-
тiв P - i S-хвиль, для нього справджується представлення у виглядi променевого ряду [3, 4]
~u(~x, t) =
∞∑
k=0
~uk(t− τ)k+1
(k + 1)!
+
∞∑
k=0
~uk(t− τ)k+1
(k + 1)!
, (5)
де
~uk = −ϕk∇τ +∇ϕk−1; ~uk = −(∇τ)× (ψk~q) +∇× (ψk−1~q). (6)
Для значення тензора напружень σ̂ в околi фронту маємо вираз
σ̂(~x, t) =
∞∑
k=0
σ̂k(t− τ)k
k!
+
∞∑
k=0
σ̂k(t− τ)k
k!
. (7)
Спiввiдношення (5), (7) свiдчать про те, що при вибраних променевих апроксимацiях
i у випадку застосування нульового наближення вектор перемiщень ~u(~x, t) дорiвнює нулю
на поверхнi фронту i лiнiйно зростає вздовж внутрiшньої нормалi, а напруження стають
розривними на поверхнi, залишаючись постiйними вздовж цiєї ж нормалi в малому околi
фронту. З застосуванням променевого методу в динамiчнiй теорiї пружностi побудованi
рiвняння ейконалу
(∇τ)2 =
1
α2
; (∇τ)2 =
1
β2
(8)
i транспортнi рiвняння в рекурентнiй формi
2(∇τ) · (∇ϕk) + ϕk∇
2τ = ∇2ϕk−1; 2(∇τ) · (∇~ψk) + ~ψk∇
2τ = ∇2 ~ψk−1. (9)
Геометричний змiст рiвняння (8) пов’язаний iз визначенням геодезичної вiдстанi мiж
двома точками. Вiн виник внаслiдок узагальнення варiацiйної задачi про вiдшукання най-
коротшого шляху мiж двома точками в просторi [6]. Це поняття також передбачає i оптич-
ну iнтерпретацiю. Якщо припустити, у вiдповiдностi до принципу Ферма про найменший
час поширення свiтла, що променi свiтла є екстремалями вiдповiдної варiацiйної задачi, то
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 67
функцiя, мiнiмум якої потрiбно знайти, являє собою час, необхiдний для того, щоб свiтло
пройшло вiдстань мiж заданими точками. В оптичних задачах таку функцiю називають
ейконалом.
Як вiдзначено в [3, 4], нелiнiйнi з частинними похiдними першого порядку рiвняння
ейконалу (8) породжують систему звичайних диференцiальних рiвнянь
d~p
ds
= 0;
d~x
ds
= ~p;
dτ
ds
= |~p|2; ~p = ∇τ.
Її розв’язок подається у виглядi
~x = ~nξ + ~f ; τ =
ξ
α
; ∇τ =
~n
α
,
де ~n — одиничний вектор нормалi до поверхнi фронту; f — вектор, що визначає обриси
фронту в початковому положеннi; ξ — довжина променя. Вiн визначає сiмейство прямолi-
нiйних променiв x(s) i поверхонь хвильових фронтiв τ = const, перпендикулярних даним
променям. Аналогiчний розв’язок отримуємо i для S-хвилi.
Шуканi перемiщення, напруження та їх iнтенсивностi виражаються через знайденi з роз-
в’язку транспортних рiвнянь (9) величини ϕk i ~ψk (k = 0, 1, 2, . . .).
Граничнi умови на площинах роздiлу пружних середовищ. Застосуємо запро-
понований пiдхiд для вивчення загальних закономiрностей перетворення бiжучих хвиль
в неоднорiдних пружних середовищах. Вони можуть бути використанi для розв’язання тех-
нiчної задачi екранування та динамiчного захисту об’єктiв, що лежать за площиною роздiлу
i чутливих до динамiчного впливу. Для визначення умов бiльш ефективного екранування
розривної хвилi розглянемо двi моделi контакту двох пружних середовищ на площинi їх
роздiлу. В першiй моделi на площинi роздiлу середовища з’єднанi з дотриманням умов
неперервностi нормальних i дотичних напружень i перемiщень, у другiй моделi використо-
вуються умови контакту з можливим проковзуванням по площинi роздiлу i рiвностi нулю
на нiй дотичних напружень.
Контакт двох середовищ без проковзування. Розглянемо випадок, коли в пружному
середовищi I знаходиться пружне включення шару середовища II клиноподiбного типу
(рис. 1), з’єднаний без проковзування по площинах G1 i G2. Властивостi середовища ви-
значаються такими механiчними параметрами: λ1, λ2, µ1, µ2 — параметри Ламе; ρ1, ρ2 —
густини. Нехай в середовищi I на площину G1 пiд кутом θ1− падає плоска поздовжня роз-
ривна P -хвиля з одиничним значенням розриву поздовжньої швидкостi u̇1−. Простежимо
за характером проникнення даної хвилi в середовище II i далi знову в середовище в I,
проходячи через площини G1, G2, i якi iнтенсивностi мають утворенi хвилi.
При виведеннi рiвнянь динамiчної взаємодiї розривної хвилi з площиною G з’єднання
двох середовищ використовуємо умови нерозривностi на G перемiщень ~u i напружень σ [7, 8]
(~u(i) + ~u(r))|G; (σ̂(i) · ~n+ σ̂(r) · ~n)|G = σ̂(t) · ~n|G, (10)
де iндексами t, r, i t позначенi параметри падаючої, вiдбитої та заломленої хвиль, вiдповiдно;
~n — вектор одиничної нормалi до площини G. Рiвностi (10) зводяться до системи рiвнянь
α1ρ1 cos
2 θ1+u̇1+ − β1ρ1 sinψ1+ cosψ1+v̇1+ − α2ρ2 cos
2 θ2+u̇2+ −
− β2ρ2 sinψ2+ cosψ2+v̇2+ = −α1ρ1 cos
2 θ1−u̇1−;
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
Рис. 1. Схема перетворення променiв плоскої розривної хвилi пiд час проходження клиноподiбного шару
пружного включення
α1ρ1 sin θ1+ cos θ1+u̇1+ + β1ρ1 cos
2 ψ1+v̇1+ + α2ρ2 sin θ2+ cos θ2+u̇2+ −
− β2ρ2 cos
2 ψ2+v̇2+ = −α1ρ1 sin θ1− cos θ1−u̇1−;
(11)
cos θ1+u̇1+ − sinψ1+v̇1+ + cos θ2+u̇2+ + sinψ2+v̇2+ = cos θ1−u̇1−;
sin θ1+u̇1+ + cosψ1+v̇1+ − sin θ2+u̇2+ + cosψ2+v̇2+ = − sin θ1−u̇1−.
Вона застосовується для знаходження чотирьох невiдомих значень швидкостей u̇1+, v̇1+,
u̇2+, v̇2+.
За допомогою викладеного пiдходу виконанi дослiдження явищ перетворення плоскої
розривної P -хвилi пiд час її проходження через клиноподiбний шар пружного середови-
ща з вiдмiнними механiчними властивостями. Порахованi значення швидкостей u̇1+, v̇1+,
u̇2+, v̇2+ взаємодiї падаючої пiд рiзними кутами θ1− P -хвилi спочатку з першою площиною
контакту G1 i наступної взаємодiї P2-, S2-хвиль, що проникли в середовище II, iз другою
площиною контакту G2 (рис. 1). За середовища I i II вибранi, вiдповiдно, доломiт та вугiл-
ля, як однi з найбiльш поширених в природi порiд, а кут мiж площинами роздiлу G1 та G2
становить ϕ = ±10◦. На рис. 2, а наведено графiки змiни функцiй iнтенсивностей u̇u22++,
v̇u22++, хвиль, вiдбитих вiд площини G2 при взаємодiї хвилi u̇2+, що проникла iз середови-
ща I в середовище II, залежно вiд кута падiння θ1− хвилi u̇1− на площину G2. Поздовжнi
i поперечнi хвилi, що проникли в середовище I через площину G2, вiдповiдно, позначенi
u̇u3++ i v̇u3++. При θ1− = −2,6◦ реалiзується ефект повного внутрiшнього вiдбиття на G2 та
iнтенсивнiсть всiх перетворених хвиль прямує до нескiнченностi. Можна бачити, що хвилi,
якi проникли через площину G2, мають майже вдвiчi меншу iнтенсивнiсть порiвняно з по-
чатковою падаючою u̇1− хвилею. В даному випадку розглянута комбiнацiя середовищ має
помiтнi екрануючi властивостi.
Контакт двох середовищ на площинi роздiлу з проковзуванням. Якщо реалiзується ви-
падок контакту тiл з проковзуванням, то на площинi G в системi (10) залишаються вiрними
лише умови рiвностi нормальних компонент перемiщень i напружень, двi iншi умови замi-
нюються рiвнiстю нулю дотичних напружень на обох площинах контакту. У цьому випадку
система (11) замiнюється рiвняннями
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 69
α1ρ1 cos
2 θ1+u̇1+ − β1ρ1 sinψ1+ cosψ1+v̇1+ − α2ρ2 cos
2 θ2+u̇2+ −
− β2ρ2 sinψ2+ cosψ2+v̇2+ = −α1ρ1 cos
2 θ1−u̇1−;
α1ρ1 sin θ1+ cos θ1+u̇1+ + β1ρ1 cos
2 ψ1+v̇1+ = −α1ρ1 sin θ1− cos θ1−u̇1−;
α2ρ2 sin θ2+ cos θ2+u̇2+ − β2ρ2 cos
2 ψ2+v̇2+ = 0;
cos θ1+u̇1+ − sinψ1+v̇1+ + cos θ2+u̇2+ + sinψ2+v̇2+ = cos θ1−u̇1−.
(12)
Рис. 2. Графiки iнтенсивностi розривних заломлених (u̇u
3++, v̇
u
3++) i вiдбитих (u̇u
22++, v̇
u
22++) хвиль на пло-
щинi G2 клиноподiбного пружного тiла: а — середовище I — доломiт, середовище II — вугiлля, контакт
середовищ без проковзування; б — середовище I — доломiт, середовище II — вугiлля, контакт середовищ
з проковзуванням; в — середовище I — вугiлля, середовище II — доломiт, контакт середовищ з проковзу-
ванням
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
З її допомогою дослiджена вищерозглянута система двох середовищ зi змiненими умо-
вами їх взаємодiї. Графiчнi результати, наведенi на рис. 2, б, вiдповiдають результатам на
рис. 2, а. Вони свiдчать про те, що хвиля v̇u22++ має значно меншу iнтенсивнiсть, в той час як
iнтенсивностi iнших хвиль залишилися практично незмiнними. Якщо порядок проходження
середовищ I та II помiняти мiсцями, то зона пропускання розривних хвиль клиноподiбним
включенням з доломiту iстотно зменшується i виявляється рiвною −10,5◦ < θ1− < 10,5◦.
Графiки iнтенсивностi розривних хвиль, що сформувалися на площинi G2 для цього випад-
ку, показанi на рис. 2, в. Видно, що в зонi пропускання цих хвиль їх iнтенсивностi мають
досить малi значення, тому в даному випадку на клиноподiбному включеннi бiльш помi-
тний ефект екранування розривних хвиль.
1. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. – Москва: Мир, 1972. – 183 с.
2. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. – Москва: Мир, 1978. – 307 с.
3. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. – Ленинград: Наука, 1980. –
280 с.
4. Подильчук Ю.Н., Рубцов Ю.К. Лучевые методы в теории распространения и рассеяния волн. – Киев:
Наук. думка, 1988. – 220 с.
5. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. – Москва: Фазис, 1996. – 334 с.
6. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. – Москва: Наука, 1980. –
304 с.
7. Гуляев В.И., Луговой П. З., Крицкий В. Б., Иванченко Г.М. Отражение и преломление плоских ра-
зрывных волн параболоидными поверхностями раздела анизотропных упругих сред // Геофизич.
журн. – 2005. – 27, № 6. – С. 418–426.
8. Lugovoy P. Z., Gouliaev V. I. Propagation of shock wave fronts in anisotropic layered media // Shock
Compression of Condensed Matter / Ed. by M. D. Furnish, L.C. Chhabidas, R. S. Hixson. – Melville, NY:
American Institute of Physics, USA. – 1999. – P. 1287–1290.
Надiйшло до редакцiї 18.11.2010Нацiональний транспортний унiверситет, Київ
Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
V. I. Gulaev, P. Z. Lugovoy, Yu. O. Zaets’
Screening of nonstationary waves by a wedge-like elastic inclusion
The problem about propagation and screening of nonstationary waves in heterogeneous elastic media
with a wedge-like inclusion is considered. On the basis of the ray method, a technique for the
geometrical construction of the fronts of reflected and refracted waves on the dividing surfaces and
for the calculation of their intensities is proposed. The effects of the screening for discontinuous
waves by the interfaces with and without sliding between the contacting bodies are analyzed.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 71
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37784 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:32:28Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гуляєв, В.І. Луговий, П.З. Заєць, Ю.О. 2012-10-22T16:24:28Z 2012-10-22T16:24:28Z 2011 Екранування нестаціонарних хвиль клиноподібним пружним включенням / В. I. Гуляєв, П. З. Луговий, Ю.О. Заєць // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 66-71. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37784 539.3 Поставлено задачу про поширення і екранування (слабких ударних) хвиль у пружному середовищі з клиноподібним включенням. На основі променевого методу запропоновано методику геометричної побудови фронтів відбитих і заломлених хвиль на поверхнях розділу та обчислення їх інтенсивностей, а також досліджено ефект екранування розривних хвиль у випадках з'єднання середовищ без проковзування і з проковзуванням на площинах контакту. The problem about propagation and screening of nonstationary waves in heterogeneous elastic media with a wedge-like inclusion is considered. On the basis of the ray method, a technique for the geometrical construction of the fronts of reflected and refracted waves on the dividing surfaces and for the calculation of their intensities is proposed. The effects of the screening for discontinuous waves by the interfaces with and without sliding between the contacting bodies are analyzed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Екранування нестаціонарних хвиль клиноподібним пружним включенням Screening of nonstationary waves by a wedge-like elastic inclusion Article published earlier |
| spellingShingle | Екранування нестаціонарних хвиль клиноподібним пружним включенням Гуляєв, В.І. Луговий, П.З. Заєць, Ю.О. Механіка |
| title | Екранування нестаціонарних хвиль клиноподібним пружним включенням |
| title_alt | Screening of nonstationary waves by a wedge-like elastic inclusion |
| title_full | Екранування нестаціонарних хвиль клиноподібним пружним включенням |
| title_fullStr | Екранування нестаціонарних хвиль клиноподібним пружним включенням |
| title_full_unstemmed | Екранування нестаціонарних хвиль клиноподібним пружним включенням |
| title_short | Екранування нестаціонарних хвиль клиноподібним пружним включенням |
| title_sort | екранування нестаціонарних хвиль клиноподібним пружним включенням |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37784 |
| work_keys_str_mv | AT gulâêvví ekranuvannânestacíonarnihhvilʹklinopodíbnimpružnimvklûčennâm AT lugoviipz ekranuvannânestacíonarnihhvilʹklinopodíbnimpružnimvklûčennâm AT zaêcʹûo ekranuvannânestacíonarnihhvilʹklinopodíbnimpružnimvklûčennâm AT gulâêvví screeningofnonstationarywavesbyawedgelikeelasticinclusion AT lugoviipz screeningofnonstationarywavesbyawedgelikeelasticinclusion AT zaêcʹûo screeningofnonstationarywavesbyawedgelikeelasticinclusion |