Исследование свободных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек на основе различных моделей
Досліджуються вільні коливання ортотропних циліндричних оболонок при різних граничних умовах на краях в уточненій постановці з застосуванням теорії Міндліна–Тимошенка та на основі тривимірної теорії пружності. Для розрахунку частот використовується чисельно-аналітичний підхід, який базується на заст...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37785 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Исследование свободных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек на основе различных моделей / Т.Л. Ефимова // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 72-78. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860077013239332864 |
|---|---|
| author | Ефимова, Т.Л. |
| author_facet | Ефимова, Т.Л. |
| citation_txt | Исследование свободных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек на основе различных моделей / Т.Л. Ефимова // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 72-78. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Досліджуються вільні коливання ортотропних циліндричних оболонок при різних граничних умовах на краях в уточненій постановці з застосуванням теорії Міндліна–Тимошенка та на основі тривимірної теорії пружності. Для розрахунку частот використовується чисельно-аналітичний підхід, який базується на застосуванні сплайн-апроксимації, а також методу колокації, дискретної ортогоналізації разом з методом покрокового пошуку. Проведено порівняння частот циліндричних оболонок з різними граничними умовами на торцях, отриманих в рамках різних моделей.
A problem of natural vibrations of orthotropic cylindrical shells under various boundary conditions of its end-faces within the framework of the Mindlin–Timoshenko theory and on the basis of 3-D elasticity theory is considered. Using the method of spline-approximation and collocation, the problems are solved by the steady-state numerical method of discrete orthogonalization with incremental search. The comparison of the frequencies of cylindrical shells with different boundary conditions on their ends within various models is performed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:14:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2011
Т.Л. Ефимова
Исследование свободных колебаний ортотропных
цилиндрических оболочек на основе различных моделей
(Представлено академиком НАН Украины Я.М. Григоренко)
Дослiджуються вiльнi коливання ортотропних цилiндричних оболонок при рiзних гра-
ничних умовах на краях в уточненiй постановцi з застосуванням теорiї Мiндлiна–
Тимошенка та на основi тривимiрної теорiї пружностi. Для розрахунку частот вико-
ристовується чисельно-аналiтичний пiдхiд, який базується на застосуваннi сплайн-ап-
роксимацiї, а також методу колокацiї, дискретної ортогоналiзацiї разом з методом
покрокового пошуку. Проведено порiвняння частот цилiндричних оболонок з рiзними гра-
ничними умовами на торцях, отриманих в рамках рiзних моделей.
При исследовании динамических характеристик оболочек средней толщины следует приме-
нять либо уточненную теорию оболочек, либо проводить расчеты с использованием трех-
мерной теории упругости. В случае анизотропных нетонких оболочек решение такой задачи
сопряжено со значительными трудностями. В научной литературе имеется ряд работ, посвя-
щенных исследованию колебаний полых цилиндров конечной длины в рамках трехмерной
теории упругости [1–7] и цилиндрических оболочек с использованием различных теорий [2,
8–10].
В данном сообщении для исследования свободных колебаний нетонких цилиндричес-
ких оболочек в рамках трехмерной теории упругости, а также уточненной теории оболо-
чек используется эффективная численная методика, которая базируется на применении
сплайн-аппроксимации, а также метода дискретной ортогонализации в сочетании с мето-
дом пошагового поиска.
Постановка задачи. Основные соотношения. Рассмотрим цилиндрическую оболоч-
ку с внутренним радиусом R−H и внешним радиусом R+H длиной L, изготовленную из
ортотропного материала и использованием трехмерной модели. Исходные уравнения трех-
мерной теории упругости для задачи о свободных неосесимметричных колебаниях в цилин-
дрической системе координат r, θ, z имеют вид:
уравнения движения
∂σr
∂r
+
1
r
∂σrθ
∂θ
+
∂σrz
∂z
+
σr − σθ
r
= ρ
∂2ur
∂t2
,
∂σrθ
∂r
+
1
r
∂σθ
∂θ
+
∂σθz
∂z
+ 2
σrθ
r
= ρ
∂2uθ
∂t2
,
∂σrz
∂r
+
1
r
∂σθz
∂θ
+
∂σz
∂z
+
σrz
r
= ρ
∂2uz
∂t2
,
(1)
соотношения Коши
er =
∂ur
∂r
, eθ =
1
r
(
ur +
uθ
∂θ
)
, ez =
∂uz
∂z
, 2eθz =
∂uθ
∂z
+
1
r
∂uz
∂θ
,
2erz =
∂ur
∂z
+
∂uz
∂r
, 2erθ =
∂uθ
∂r
−
1
r
uθ +
1
r
∂ur
∂r
,
(2)
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
закон Гука
σz = λ11er + λ12eθ + λ13ez,
σθ = λ12er + λ22eθ + λ23ez,
σr = λ13er + λ23eθ + λ33ez,
σrθ = λ44erθ, σrz = λ55erz, σθz = λ66eθz,
(3)
где элементы матрицы жесткости λij = λij(r, z) — непрерывные и дифференцируемые
функции координат r и z. Здесь t — временная координата, ur(r, z, t); uθ(r, z, t), uz(r, z, t) —
проекции полного перемещения точек цилиндра в направлениях, касательных, соответст-
венно, к координатным линиям r, θ, z; er, eθ, ez — относительные линейные деформации
в направлении координатных линий; eθz, erz, erθ — деформация сдвига; σr, σθ, σz — нормаль-
ные напряжения; σθz, σrz, σrθ — касательные напряжения; плотность материала ρ(r, z) —
непрерывная функция координат r и z.
На цилиндрических поверхностях оболочки при r = R ± H отсутствуют напряжения,
и граничные условия принимают вид
σr(r, z, t) = 0, σrθ(r, z, t) = 0, σrz(r, z, t) = 0. (4)
На торцах z = 0 и z = L рассмотрим следующие граничные условия:
1) σr = 0, uθ = 0, ur = 0 или
∂uz
∂z
= 0, uθ = 0, ur = 0; (5)
2) σrz = 0, σθz = 0, uz = 0 или
∂ur
∂z
= 0,
∂uθ
∂z
= 0, uz = 0; (6)
3) ur = 0, uθ = 0, uz = 0. (7)
Так как все точки оболочки совершают гармонические колебания с частотой ω, а также
в силу периодичности рассматриваемых функций по координате θ, перемещения можна
представить в виде (далее знак̂опускается)
ur(r, θ, z) = ûr(r, z) cos nθ exp(iωt),
uθ(r, θ, z) = ûθ(r, z) sin nθ exp(iωt),
uz(r, θ, z) = ûz(r, z) cos nθ exp(iωt).
(8)
Выбрав в качестве неизвестных функций компоненты вектора перемещений ur(r, z),
uθ(r, z), uz(r, z), запишем разрешающую систему уравнений относительно перемещений в ви-
де [6]
Lig = 0, (9)
где Li (i = 1, 2, 3) — линейные дифференциальные операторы второго порядка, а g =
= {ur(r, z), uθ(r, z), uz(r, z)}.
Рассмотрим задачу о свободных колебаниях круговых цилиндрических оболочек уточ-
ненной постановке Миндлина–Тимошенко, которая базируется на гипотезе прямой линии,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 73
в соответствии с которой в системе координат γ, θ, z, (−h/2 6 γ 6 h/2, 0 6 θ 6 2π,
0 6 z 6 L) перемещения можно записать в виде
uγ(γ, θ, z) = w(θ, z), uθ(γ, θ, z) = v(θ, z) + γψθ(θ, z),
uz(γ, θ, z) = u(θ, z) + γψz(θ, z).
(10)
Здесь u(θ, z), v(θ, z), w(θ, z) — перемещения координатной поверхности, ψθ(θ, z), ψz(θ, z) —
функции, которые характеризуют полный поворот прямолинейного элемента. В соответ-
ствии с (10) выражения для деформаций примут вид
eθ(γ, θ, z) = εθ(θ, z) + γκθ(θ, z), ez(γ, θ, z) = εz(θ, z) + γκz(θ, z),
eθz(γ, θ, z) = εθz(θ, z) + 2γκθz(θ, z), eγθ(γ, θ, z) = γθ(θ, z),
eγz(γ, θ, z) = γz(θ, z).
(11)
В (11) εθ, εz, εθz — тангенциальные, κθ, κz, κθz — изгибные деформации координатной
поверхности, γθ, γz — углы поворота нормали, обусловленные поперечными сдвигами.
Уравнения движения имеют вид
∂Nz
∂z
+
1
R
∂Nθz
∂θ
= ρh
∂2u
∂t2
,
1
R
∂Nθ
∂θ
+
∂Nzθ
∂z
+
1
R
Qθ = ρh
∂2v
∂t2
,
∂Qz
∂z
+
1
R
∂Qθ
∂θ
−
1
R
Nθ = ρh
∂2w
∂t2
,
∂Mz
∂z
+
1
R
∂Mθz
∂θ
−Qz = ρ
h3
12
∂2ψz
∂t2
,
1
R
∂Mθ
∂θ
+
∂Mzθ
∂z
−Qθ = ρ
h3
12
∂2ψzθ
∂t2
,
(12)
причем Nzθ − MθzR
−1 − Nθz = 0; Nz, Nθ, Nzθ, Nθz — тангенциальные усилия; Qz, Qθ —
перерезывающие усилия; Mz, Mθ, Mzθ, Mθz — изгибные и скручивающие моменты; ρ —
плотность материала оболочки; h — толщина оболочки.
Соотношения упругости для ортотропных оболочек симметричной структуры по толщи-
не относительно выбранной координатной поверхности запишеим в виде
Nz = C11εz + C12εθ, Nθ = C12εz + C22εθ, Nθz = C66εθz ,
Nzθ = C66εθz + 2D66
1
R
κθz, Mz = D11κz +D12κθ, Mθ = D11κz +D22κθ,
Mθz =Mzθ = 2D66κθz, Qθ = K2γθ, Qz = K1γz,
(13)
где
K1 =
5
6
hG13; K2 =
5
6
hG23; Cij = Bijh; Dij =
Bijh
3
12
;
B11 =
E1
1− ν1ν2
, B22 =
E2
1− ν1ν2
, B12 =
ν2E1
1− ν1ν2
=
ν1E2
1− ν1ν2
, B66 = G12,
G13, G23, G12 — модули поперечных сдвигов; E1, E2 — модули упругости; ν1, ν2 — коэф-
фициенты Пуассона. На криволинейных контурах z = 0, L рассмотрим такие граничные
условия:
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
1) контур жестко защемлен
u = v = w = ψθ = ψz = 0;
2) контур шарнирно оперт и свободный в направлении образующей
∂u
∂z
= v = w =
∂ψz
∂z
= ψθ = 0.
При θ = 0, π задаются условия симметрии
∂u
∂θ
= v =
∂w
∂θ
=
∂ψz
∂θ
= ψθ = 0.
Так как все точки оболочки совершают гармонические колебания с частотой ω, а также
в силу периодичности рассматриваемых функций по координате θ, перемещения и полные
углы поворота можно представить в виде (далее знак̂опускается)
u(θ, z, t) = û(θ, z) exp(iωt), v(θ, z, t) = v̂(r, z) exp(iωt),
w(θ, z, t) = ŵ(r, z) exp(iωt), ψθ(θ, z, t) = ψ̂θ(r, z) exp(iωt),
ψz(θ, z, t) = ψ̂z(r, z) exp(iωt).
(14)
Выбрав в качестве неизвестных функций компоненты вектора перемещений срединной
поверхности и полные углы поворота, разрешающую систему уравнений в частных произ-
водных можно записать в виде [4]
Lif = 0, (15)
где Li (i = 1, 5) — линейные дифференциальные операторы второго порядка, а f =
= {u(r, z), v(r, z), w(r, z), ψθ (r, z), ψz(r, z)}.
Система уравнений (9) (или (15)) с соответствующими граничными условиями пред-
ставляет собой двумерную краевую задачу на собственные значения.
Метод решения. Решение задачи (9) для трехмерной теории упругости представим
в виде
ur(r, z) =
N∑
i=0
uri(r)ϕ1i(z),
uθ(r, z) =
N∑
i=0
uθi(r)ϕ2i(z),
uz(r, z) =
N∑
i=0
uzi(r)ϕ3i(z),
(16)
где uri, uθi, uzi — искомые функции переменной r, ϕji(z) (j = 1, 2, 3; i = 1, . . . , N) — ли-
нейные комбинации кубических В-сплайнов на равномерной сетке ∆: 0 = z0 < z1 < · · · <
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 75
< zN = L с учетом граничных условий при z = 0 и z = L. Для уточненной неклассической
теории решение задачи (15) решение задачи представим в виде
u(r, z) =
N∑
i=0
ui(r)ϕ1i(z), v(r, z) =
N∑
i=0
vi(r)ϕ2i(z),
w(r, z) =
N∑
i=0
wi(r)ϕ3i(z), ψθ(r, z) =
N∑
i=0
ψθi(r)ϕ4i(z),
ψz(r, z) =
N∑
i=0
ψzi(r)ϕ5i(z).
(17)
Подставляя представление (17) в уравнения (15) (либо (16) в уравнения (9)), требуем их
удовлетворения в заданных точках коллокации ξk ∈ [0, L], k = 0, N [4]. В результате по-
лучаем одномерную краевую задачу, которую для трехмерной теории упругости можно
записать в виде
dY
dr
= A(r, ω)Y, (18)
B1Y = 0 при r = R−H, B2Y = 0 при r = R+H,
где Y = {ur, u
′
r, uθ, u
′
θ, uz , u
′
z}; ur = {ur0, ur1, . . . , urN}; uθ = {uθ0, uθ1, . . . , uθN}; uz =
= {uz0, uz1, . . . , uzN}; A — квадратная матрица; B1, B2 — прямоугольные матрицы гра-
ничных условий. Аналогично для теории оболочек получаем одномерную краевую задачу
dY
dθ
= A(θ, ω)Y, (19)
B1Y = 0 при θ = 0, B2Y = 0 при θ = π,
где Y = {u, u′, v, v′, w,w′, ψθ, ψ
′
θ, ψz , ψ
′
z}; u = {u0, u1, . . . , uN}; v = {v0, v1, . . . , vN}; w =
= {w0, w1, . . . , wN}; ψθ = {ψθ0, ψθ1, . . . , ψθN}; ψz = {ψz0, ψz1, . . . , ψzN}; A — квадратная
матрица; B1, B2 — прямоугольные матрицы граничных условий.
Задачи на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравне-
ний (18) с соответствующими граничными условиями решалась методом дискретной орто-
гонализации в сочетании с методом пошагового поиска [2].
Решение задачи. Анализ результатов. Для оценки точности предложенной ме-
тодики приводилось сравнение (табл. 1) первых четырех обезразмеренных частот ωi =
= ωiH
√
ρ/G0, G0 = 104 МПа колебаний полого ортотропного цилиндра с шарнирно опер-
тыми торцами (H/R = 0,1, H/L = 0,05), полученных: А) в рамках трехмерной теории
Таблица 1
ωi n A B C
ω1 2 0,0412 0,0436 0,0434
ω2 1 0,0529 0,0530 0,0529
ω3 3 0,0547 0,0562 0,0559
ω4 1 0,0562 0,0598 0,0592
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
Таблица 2
H/L H/R ωi n Трехмерная модель Модель Миндлина
1/40 1/10 ω1 2 0,0276 0,0275
ω2 1 0,0298 0,0298
ω3 3 0,0507 0,0483
1/20 1/10 ω1 2 0,0543 0,0542
ω2 1 0,0526 0,0625
ω3 3 0,0681 0,0676
1/10 1/4 ω1 1 0,1404 0,1390
ω2 2 0,1592 0,1552
ω3 3 0,2533 0,2431
с применением возможного в данном случае разложения ur = ũr(r) sin(mπz/L), uθ =
= ũθ(r) × sin(mπz/L), uz = ũz(r) cos(mπz/L) с последующим решением одномерной зада-
чи методом дискретной ортогонализации; В) с использованием метода сплайн-коллокации
в рамках трехмерной модели; С ) с использованием метода сплайн-коллокации и модели
Тимошенко–Миндлина. Параметры ортотропии материала для расчетов выбирались таки-
ми: Er = 0,42G0, Eθ = 1,31G0, Ez = 1,79G0, Gθz = 0,28G0, Grθ = Grz = 0,24G0, νzθ = 0,15,
νrθ = 0,31, νrz = 0,08. Для трехмерной теории расчеты проводились для различных зна-
чений параметра волноообразования n и выстраивались в порядке возрастания. При срав-
нении соответствующих частот следует учесть, что при использовании численных методов
происходила перестройка третьей и четвертой частот, которые соответствовали значени-
ям параметра волнообразования n = 3 и n = 1, соответственно. При этом максимальное
различие частот не превышает 0,05%.
Проводилось сравнение частоты колебаний ортотропного цилиндра с выше указанными
жесткостными параметрами в рамках данных моделей для различных значений H/L и H/R
(табл. 2). Рассматривался цилиндр с жестко защемленными торцами.
Для оболочек с H/R = 0,1 различие частот не превышает 0,24%. При этом следует отме-
тить, что для довольно толстой оболочки с H/R = 0,25 уточненная теория дает хорошее
совпадение (различие до 1%).
1. Григоренко А.Я. Численное решение задачи о свободных осесимметричных колебаниях полого ор-
тотропного цилиндра при различном закреплении торцов // Прикл. механика. – 1997. – 33, № 5. –
С. 49–54.
2. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Китайгородский А.Б., Шинкарь А.И. Свободные колебания эле-
ментов оболочечных конструкций. – Киев: Наук. думка, 1986. – 172 с.
3. Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л. Применение метода сплайн-апроксимации для решения задач об осе-
симметричных свободных колебаниях толстостенных ортотропных цилиндров // Прикл. механика. –
2008. – 44, № 10. – С. 74–85.
4. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – Киев: Наук.
думка, 1981. – 284 с.
5. Ефимова Т.Л. Численное решение задачи о неосесимметричных свободных колебаниях ортотропных
неоднородных цилиндров на основе метода сплайн-коллокации // Доп. НАН України. – 2010. – № 3. –
С. 58–64.
6. Heyliger P.R. Axisymmetric free vibrations of finite anisotropic cylinders // J. Sound and Vibration. –
1991. – 148, No 3. – P. 507–520.
7. Loy C.T., Lam K.Y. Vibration of thick cylindrical shells on the basis of three-dimensional theory of
elasticity // Ibid. – 1999. – 226, No 4. – P. 719–737.
8. Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л., Соколова Л.В. Свободные колебания круговых цилиндрических
оболочек переменной толщины в уточненной постановке // Теорет. и прикл. механика. – 2008. –
Вып. 43. – С. 111–117.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 77
9. Leissa A.W. Vibration of shells. – Washington: NASA, 1973. – 428 p.
10. Sividas K.R., Ganesan N. Free vibration of circular cylindrical shells with axially varying thickness //
J. Sound and Vibration. – 1991. – 147, No 1. – P. 73–85.
Поступило в редакцию 22.07.2010Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
T. L. Efimova
Investigation of free vibrations of orthotropic cylindrical shells within
the framework of different models
A problem of natural vibrations of orthotropic cylindrical shells under various boundary condi-
tions of its end-faces within the framework of the Mindlin–Timoshenko theory and on the basis
of 3-D elasticity theory is considered. Using the method of spline-approximation and collocation,
the problems are solved by the steady-state numerical method of discrete orthogonalization with
incremental search. The comparison of the frequencies of cylindrical shells with different boundary
conditions on their ends within various models is performed.
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37785 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:14:20Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ефимова, Т.Л. 2012-10-22T16:30:59Z 2012-10-22T16:30:59Z 2011 Исследование свободных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек на основе различных моделей / Т.Л. Ефимова // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 72-78. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37785 539.3 Досліджуються вільні коливання ортотропних циліндричних оболонок при різних граничних умовах на краях в уточненій постановці з застосуванням теорії Міндліна–Тимошенка та на основі тривимірної теорії пружності. Для розрахунку частот використовується чисельно-аналітичний підхід, який базується на застосуванні сплайн-апроксимації, а також методу колокації, дискретної ортогоналізації разом з методом покрокового пошуку. Проведено порівняння частот циліндричних оболонок з різними граничними умовами на торцях, отриманих в рамках різних моделей. A problem of natural vibrations of orthotropic cylindrical shells under various boundary conditions of its end-faces within the framework of the Mindlin–Timoshenko theory and on the basis of 3-D elasticity theory is considered. Using the method of spline-approximation and collocation, the problems are solved by the steady-state numerical method of discrete orthogonalization with incremental search. The comparison of the frequencies of cylindrical shells with different boundary conditions on their ends within various models is performed. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Исследование свободных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек на основе различных моделей Investigation of free vibrations of orthotropic cylindrical shells within the framework of different models Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование свободных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек на основе различных моделей Ефимова, Т.Л. Механіка |
| title | Исследование свободных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек на основе различных моделей |
| title_alt | Investigation of free vibrations of orthotropic cylindrical shells within the framework of different models |
| title_full | Исследование свободных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек на основе различных моделей |
| title_fullStr | Исследование свободных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек на основе различных моделей |
| title_full_unstemmed | Исследование свободных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек на основе различных моделей |
| title_short | Исследование свободных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек на основе различных моделей |
| title_sort | исследование свободных колебаний ортотропных цилиндрических оболочек на основе различных моделей |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37785 |
| work_keys_str_mv | AT efimovatl issledovaniesvobodnyhkolebaniiortotropnyhcilindričeskihoboločeknaosnoverazličnyhmodelei AT efimovatl investigationoffreevibrationsoforthotropiccylindricalshellswithintheframeworkofdifferentmodels |