О теореме сравнения углов для замкнутых кривых
Отримано оцінки кута між радіусом-вектором із точки всередині замкненої регулярної кривої та її зовнішньою нормаллю в залежності від відстані від точки до кривої. Розглянуто випадки повного однозв'язного двовимірного многовиду сталої та несталої гауссової кривини. We estimate an angle between t...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37789 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О теореме сравнения углов для замкнутых кривых / А.А. Борисенко, К.Д. Драч // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 7-11. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37789 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Борисенко, А.А. Драч, К.Д. 2012-10-22T16:40:00Z 2012-10-22T16:40:00Z 2011 О теореме сравнения углов для замкнутых кривых / А.А. Борисенко, К.Д. Драч // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 7-11. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37789 514.764.272 Отримано оцінки кута між радіусом-вектором із точки всередині замкненої регулярної кривої та її зовнішньою нормаллю в залежності від відстані від точки до кривої. Розглянуто випадки повного однозв'язного двовимірного многовиду сталої та несталої гауссової кривини. We estimate an angle between the radius vector from a point inside of the closed regular curve and its outer normal depending on the distance between the point and the curve. The cases of the complete connected two-dimensional manifold with constant and non-constant curvatures are considered. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О теореме сравнения углов для замкнутых кривых About an angle comparison theorem for closed curves Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О теореме сравнения углов для замкнутых кривых |
| spellingShingle |
О теореме сравнения углов для замкнутых кривых Борисенко, А.А. Драч, К.Д. Математика |
| title_short |
О теореме сравнения углов для замкнутых кривых |
| title_full |
О теореме сравнения углов для замкнутых кривых |
| title_fullStr |
О теореме сравнения углов для замкнутых кривых |
| title_full_unstemmed |
О теореме сравнения углов для замкнутых кривых |
| title_sort |
о теореме сравнения углов для замкнутых кривых |
| author |
Борисенко, А.А. Драч, К.Д. |
| author_facet |
Борисенко, А.А. Драч, К.Д. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
About an angle comparison theorem for closed curves |
| description |
Отримано оцінки кута між радіусом-вектором із точки всередині замкненої регулярної кривої та її зовнішньою нормаллю в залежності від відстані від точки до кривої. Розглянуто випадки повного однозв'язного двовимірного многовиду сталої та несталої гауссової кривини.
We estimate an angle between the radius vector from a point inside of the closed regular curve and its outer normal depending on the distance between the point and the curve. The cases of the complete connected two-dimensional manifold with constant and non-constant curvatures are considered.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37789 |
| citation_txt |
О теореме сравнения углов для замкнутых кривых / А.А. Борисенко, К.Д. Драч // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 7-11. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT borisenkoaa oteoremesravneniâuglovdlâzamknutyhkrivyh AT dračkd oteoremesravneniâuglovdlâzamknutyhkrivyh AT borisenkoaa aboutananglecomparisontheoremforclosedcurves AT dračkd aboutananglecomparisontheoremforclosedcurves |
| first_indexed |
2025-11-25T11:13:46Z |
| last_indexed |
2025-11-25T11:13:46Z |
| _version_ |
1850511120524115968 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
6 • 2011
МАТЕМАТИКА
УДК 514.764.272
© 2011
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Борисенко, К. Д. Драч
О теореме сравнения углов для замкнутых кривых
Отримано оцiнки кута мiж радiусом-вектором iз точки всерединi замкненої регуляр-
ної кривої та її зовнiшньою нормаллю в залежностi вiд вiдстанi вiд точки до кривої.
Розглянуто випадки повного однозв’язного двовимiрного многовиду сталої та несталої
гауссової кривини.
В работах [1–3] были даны оценки угла между радиусом-вектором и нормалью к гиперпо-
верхности в пространстве Лобачевского и в многообразии Адамара при условии, что нор-
мальная кривизна kn гиперповерхности в пространстве Лобачевского кривизны −1 удов-
летворяет неравенству kn > 1 или kn > λ, λ < 1. Для полного односвязного риманового
многообразия секционной кривизны 0 > K > −k2
1
аналогичная оценка дана для гиперпо-
верхности, нормальная кривизна которой kn > λ, λ 6 k1. В этой работе выполнено условие
λ > k1.
Пусть M2 — полное односвязное двумерное риманово многообразие, γ — замкнутая
вложенная кривая кривизны k > k0. Кривая γ ограничивает область, гомеоморфную кругу,
O — точка внутри этой области, h — минимальное расстояние от точки O до кривой. Для
произвольной точки P ∈ γ определим угол ϕ — угол между внешней нормалью к кривой
в точке P и геодезической из точки O в точку P , 0 6 ϕ < π/2.
Имеют место следующие оценки на угол ϕ.
Теорема 1. Пусть γ — регулярная класса Ck, k > 2, замкнутая вложенная кривая на
плоскости постоянной гауссовой кривизны.
1. Если на евклидовой плоскости кривизна кривой удовлетворяет неравенству k >
> k0 > 0, то
cosϕ >
√
2hk0 − h2k2
0
> hk0.
2. Если в плоскости Лобачевского кривизны K = −k21 кривизна кривой удовлетворяет
неравенству k > k0 > k1, то
cosϕ >
√
1−
sh2((r − h)k1)
sh2(rk1)
>
sh(hk1)
sh(rk1)
, (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 7
где r = (1/k1) arccth(k0/k1) — радиус окружности кривизны k0 на плоскости Лобачевского
кривизны −k21.
3. Если на сфере кривизны K = k21 кривизна кривой γ удовлетворяет неравенству
k > k0 > 0, то
cosϕ >
√
1−
sin2((r − h)k1)
sin2(rk1)
>
sin(hk1)
sin(rk1)
, (2)
где r = (1/k1) arcctg(k0/k1) — радиус окружности кривизны k0 на сфере кривизны k21.
Аналогичный результат имеет место, если объемлющее пространство является римано-
вым многообразием непостоянной кривизны.
Теорема 2. Пусть γ — регулярная класса Ck замкнутая вложенная кривая в полном
односвязном двумерном римановом многообразии M2.
1. Если гауссова кривизна многообразия M2 удовлетворяет неравенству 0 > K > −k21,
k1 > 0, и кривизна кривой γ k > k0 > k1, то выполняется неравенство (1).
2. Если гауссова кривизна многообразия M2 удовлетворяет неравенству k2
2
> K > k2
1
,
кривая лежит в круге радиуса r = π/k2 с центром в точке O и кривизна кривой γ k >
> k0 > 0, то выполняется неравенство (2).
Пусть точка O — полюс полярной системы координат на римановом многообразии M2,
кривая γ(s) принадлежит области регулярности этой системы координат, s — параметр
длины на кривой γ. Метрика M2 имеет вид
dσ2 = du2 + g(u, v)dv2;
u = u(s), v = v(s) — естественная параметризация кривой, k(s), µ(s) — соответственно
кривизны кривой γ(s) и окружности радиуса u(s) в точке γ(s) с центром в точке O. Кри-
визны взяты относительно внутренних нормалей; ϕ(s) — угол между внешней нормалью
к кривой γ в точке γ(s) и радиальным направлением (1, 0) в точке γ(s).
Лемма 1 [2, 3].
k(s) = cosϕµ(s)−
dϕ
ds
.
Лемма 2 [4, 5]. Пусть гауссова кривизна риманового многообразия M2 удовлетворяет
одному из следующих условий:
1) K > k21, k1 > 0, и окружность радиуса u принадлежит области регулярности
полярной системы координат с полюсом в центре окружности;
2) 0 > K > −k2
1
, k1 > 0.
Тогда кривизна µ(u, v) окружности радиуса u удовлетворяет неравенству
µ(u, v) 6 µ0(u),
где µ0(u) — кривизна окружности радиуса u на плоскости постоянной кривизны соот-
ветственно:
1) k2
1
;
2) −k2
1
.
Заметим, что на евклидовой плоскости µ0(u) = 1/u, на сфере кривизны k21 µ0(u) =
= k1 ctg k1u, на плоскости Лобачевского кривизны −k21 µ0(u) = k1 cth k1u.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
Лемма 3. Пусть M2 — плоскость кривизны, γ — окружность радиуса r, O — точ-
ка внутри круга, ограниченного окружностью на расстоянии h от окружности. Тогда
угол ϕ между геодезической из точки О в точку окружности γ(s) и внешней нормалью
к окружности удовлетворяет неравенству:
1) в случае евклидовой плоскости
cosϕ >
√
2h
r
−
h2
r2
>
h
r
;
2) в случае сферы кривизны k21
cosϕ >
√
1−
sin2((r − h)k1)
sin2(rk1)
>
sinhk1
sin rk1
;
3) в случае пространства Лобачевского кривизны −k21
cosϕ >
√
1−
sh2(k1(r − h))
sh2(k1r)
>
sh k1h
sh k1r
.
Во всех случаях равенство достигается в направлении, перпендикулярном геодезической,
соединяющей центр окружности с точкой O.
Доказательство теоремы 1. Введем на плоскости постоянной кривизны полярную
систему координат с полюсом в точке O. Тогда по лемме 1 кривизна кривой γ удовлетворяет
уравнению
k = µ0 cosϕ−
dϕ
ds
.
Перейдем к заданию кривой параметром u и перепишем это уравнение в виде
k = µ0(u) cosϕ− sinϕ
dϕ
du
. (3)
Возьмем на плоскости постоянной кривизны окружность S кривизны k0. Возьмем точ-
ку O1 на расстоянии h от этой окружности и полярную систему координат с полюсом
в точке O1. Здесь будем обозначать β — угол между внешней нормалью к окружности
и геодезической с точки O1 до точки окружности S. По лемме 1
k0 = µ0(u) cos β − sin β
dβ
du
. (4)
Вычтем из уравнения (3) уравнение (4) и воспользуемся условием теоремы k > k0.
Тогда мы получим
µ0(cosϕ− cos β)− sinϕ
dϕ
du
+ sin β
dβ
du
= k − k0 > 0. (5)
Введем функцию f(u) = cosϕ(u) − cos β(u). Из (5) следует, что она удовлетворяет не-
равенству
f ′ + µ0f > 0, f(h) = 0. (6)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 9
Рассмотрим дугу кривой γ от точки Q0 такой, что dist(O,Q0) = dist(O, γ) = h, до точ-
ки Q1, на которой функция u(s) возрастает. Будем проводить доказательство для случая 3.
Оно самое сложное, в остальных случаях доказательство аналогично.
Если кривая γ не является окружностью, а точка O не является ее центром, то h <
< π/(2k1). Действительно, в силу условия теоремы k > 0 кривая γ лежит в замкнутой
полусфере. Отсюда и получаем ограничение на h. Покажем, что при u, близком к h, f(u) > 0
и не совпадает с нулем, если в окрестности Q0 дуга кривой не является дугой окружности
кривизны k0. Действительно, если сколь угодно близко к h найдется значение u такое, что
f(u) < 0, то найдется u0(s), близкое к h, при котором
f(u0) < 0, f ′(u0) < 0. (7)
Так как µ0(u0) > 0, то неравенства (7) противоречат неравенству (6).
Возьмем близкое к h значение u1 такое, что f(u1) > 0. Рассмотрим уравнение
g′ + µ0(u)g = 0,
g(u1) = f(u1) > 0.
(8)
В случае 3 µ0(u) = k1 ctg k1u и тогда решение (8)
g =
f(u1) sin k1u1
sin k1u
.
Сравним решение неравенства (6) и уравнения (8) с одним и тем же начальным усло-
вием. В точках, где f − g < 0,
(f − g)′ > −µ0(f − g) > 0 (9)
при u1 6 u 6 π/(2k1), так как в этом интервале µ0(u) > 0. Так как f(u1)−g(u1) = 0, то среди
точек, в которых f−g < 0, найдется такая точка u2, что f(u2)−g(u2) < 0, f ′(u2)−g′(u2) < 0,
что противоречит неравенству (9). Поэтому при u1 6 u 6 π/(2k1) f > g > 0.
При u > π/(2k1), µ0(u) < 0 f(π/(2k1)) − g(π/(2k1)) > 0. Поэтому из неравенства (9)
следует, что f ′
−g′ > 0. Поэтому при u > π/(2k1) на участке кривой γ, где u = u(s) является
монотонной возрастающей функцией, f > 0. Это значит, что cosϕ(u) > cos β(u). А оценка на
cosβ(u) дана в лемме 3. Отсюда мы и получим утверждение теоремы 1 для выбранной дуги.
Кривая γ является объединением таких дуг, которые отличаются только минимальными
расстояниями hi от точки O до выбранной дуги. Оценив угол ϕ на каждом участке кривой,
где функция u = u(s) монотонна, мы получим оценку для замкнутой кривой.
Если hi > π/(2k1), то f(hi) > 0 и из неравенства (6) следует f ′ > 0 и f > 0 на этой
дуге кривой.
Доказательство теоремы 2. В этом случае уравнение (3) перепишется в виде
k = µ(u, v) cos ϕ− sinϕ
dϕ
du
. (10)
Уравнение (4) не изменится. Вычтем из уравнения (10) уравнение (4):
µ(u, v) cosϕ− µ0 cos β − sinϕ
dϕ
du
+ sin β
dβ
du
= k − k0 > 0. (11)
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
По лемме 2 µ(u, v) 6 µ0. Тогда
µ0(cosϕ− cos β) +
d
du
(cosϕ− cos β) > k − k0 > 0.
И это неравенство совпадает с неравенством (6). Минимальное расстояние h до кривой γ от
точки O меньше π/(2k1). Это следует из леммы 2 и неотрицательности кривизны кривой γ.
Если h = π/(2k1), то кривая γ является окружностью с центром в точке O и одновре-
менно замкнутой геодезической. Дальнейшее доказательство совпадает с доказательством
теоремы 1.
1. Borisenko A.A., Miquel V. Total curvatures of convex hypersurfaces in hyperbolic space // Ill. J. Math. –
1999. – 43, No 2. – P. 61–78.
2. Borisenko A.A., Gallego E., Reventos A. Relation between area and volume for λ-convex sets in Hadamard
manifolds // Different. Geom. and Its Appl. – 2001. – 14. – P. 267–280.
3. Borisenko A.A. Convex sets in Hadamard manifolds // Ibid. – 2002. – 17. – P. 111–121.
4. Petersen P. Riemannian geometry. – Graduate texts in mathematics. Vol. 171. – New York: Springer,
1998. – 411 p.
5. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Введение в Риманову геометрию. – Ст.-Петербург: Наука, 1994. – 388 с.
Поступило в редакцию 23.09.2010Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.A. Borisenko, K.D. Drach
About an angle comparison theorem for closed curves
We estimate an angle between the radius vector from a point inside of the closed regular curve
and its outer normal depending on the distance between the point and the curve. The cases of
the complete connected two-dimensional manifold with constant and non-constant curvatures are
considered.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 11
|