Відновлення магнітного потенціалу в задачі Алексідзе
Розглянуто основні обмеження задачі Алексідзе. На її підставі подано економічний спосіб розв'язання задачі ітераційного уточнення трансформацій магнітного поля, виходячи з адитивного зображення магнітного потенціалу. Доведено теорему єдиності розв'язку вказаної задачі. The main limitations...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37791 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Відновлення магнітного потенціалу в задачі Алексідзе / Ю. I. Дубовенко // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 107-110. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859676760066490368 |
|---|---|
| author | Дубовенко, Ю.І. |
| author_facet | Дубовенко, Ю.І. |
| citation_txt | Відновлення магнітного потенціалу в задачі Алексідзе / Ю. I. Дубовенко // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 107-110. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто основні обмеження задачі Алексідзе. На її підставі подано економічний спосіб розв'язання задачі ітераційного уточнення трансформацій магнітного поля, виходячи з адитивного зображення магнітного потенціалу. Доведено теорему єдиності розв'язку вказаної задачі.
The main limitations of the Alexidze problem are considered. On its basis, the efficient method of solution of the problem of iterative specification of transformations of a magnetic field is given, proceeding from the additive presentation of a magnetic potential. A theorem of uniqueness of the solution of the problem is proved.
|
| first_indexed | 2025-11-30T16:22:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 550.831+550.8
© 2011
Ю. I. Дубовенко
Вiдновлення магнiтного потенцiалу в задачi Алексiдзе
(Представлено академiком НАН України В. I. Старостенком)
Розглянуто основнi обмеження задачi Алексiдзе. На її пiдставi подано економiчний спо-
сiб розв’язання задачi iтерацiйного уточнення трансформацiй магнiтного поля, виходя-
чи з адитивного зображення магнiтного потенцiалу. Доведено теорему єдиностi роз-
в’язку вказаної задачi.
У процесi вивчення особливостей трансформацiї регiональних та глобальних аномалiй по-
ля сили тяжiння g(x) у зовнiшньому просторi y+ виявлено, що їх з адекватною потребам
геофiзичної практики точнiстю доцiльно здiйснювати шляхом розв’язання нелiнiйної гра-
ничної задачi Алексiдзе1 [1] для рiвняння Лапласа, в граничних умовах якої безпосередньо
стоять значення сили тяжiння g(x) = | gradW (x)|. Узагальнена постановка задачi Алексi-
дзе така: знайти потенцiал W (x), x ∈ y+, який задовольняє всерединi замкнутої областi
y+ = y+
⋃
∂y рiвнянню Лапласа ∆W (x) = 0, x ∈ y+, а в точках межi ∂y Ляпунова облас-
тi y+ i в нескiнченностi — умовам:
3
∑
k=1
(
∂W (x)
∂xk
)2
= g2(x), xi ∈ ∂y,
lim
|x|→∞
W (x) → 0,
(1)
де g(x) — задана функцiя; y− — обмежена область точок евклiдового простору R
3, яка
зайнята масами Землi; y+ — її необмежене доповнення без мас, якi тяжiють; ∂y — межа
областей y− й y+ (поверхня вимiрювань).
Її розв’язок, у силу обраної однорiдної шаруватої моделi середовища, визначається по-
тенцiалом простого шару з невiдомою густиною, поширеною на контактнiй поверхнi типу
Ляпунова. Ця густина визначається як розв’язок рiвняння сили тяжiння [2], аналiтичний
вираз якого є наслiдком аналiзу властивостей модуля градiєнта потенцiалу | gradW (x)|,
а конкретний вигляд залежить вiд обраної моделi Землi. У плоскому випадку ця задача
отримала алгоритмiчне розв’язання за допомогою iтерацiй [3]. Точнiсть її розв’язку iстотно
залежить вiд мiри зумовленостi цiєї задачi, параметрiв числового методу (числа i розта-
шування фундаментальних розв’язкiв), наближень напряму шуканого градiєнта, напряму
зовнiшньої нормалi, уздовж якої обчислюють похiднi у граничних умовах (тобто врахування
векторної природи поля) [4]. Однак її розв’язання успiшне на простих моделях середовища
за певних обмежень на поведiнку розв’язку [4].
Задача (1) орiєнтована на аналiтичне продовження поля поза джерела аномальних мас
при заданiй з певною точнiстю моделi середовища, вiдомих обмеженнях на середовище та
1Очевидно, вперше задачу для поверхнi Ляпунова оприлюднено в доповiдi А.В. Чорного “Задача Алек-
сидзе для уравнения Лапласа и использование ее решений в геофизике // Теория и практика интерпретации
потенциальных полей”, Ленiнакан, 1986.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 107
похибки вимiрювань. На параметри середовища накладають обмеження у виглядi куско-
вої неперервностi i диференцiйовностi за Фреше — зображення приростiв розв’язкiв задачi
лiнiйною комбiнацiєю приростiв параметрiв моделi, тобто видiлення головної лiнiйної час-
тини шуканого розв’язку σ(ξ).
Основне апрiорне припущення щодо поведiнки шуканого розв’язку оберненої задачi —
лiнiйна незалежнiсть оператора розв’язку та його похiдних — забезпечується одним з ме-
тодiв [5]. Указаних обмежень достатньо для забезпечення числової збiжностi до точного
розв’язку. Виявлена неоднозначнiсть розв’язкiв задачi через їх скiнченну вертикальну роз-
дiльну здатнiсть, неадекватний вибiр моделi задачi та/або початкових наближень розв’язку
σ(ξ) властива самiй природi обернених задач з похiдними в граничних умовах (1). Точнiсть
дискретизацiї задачi залежить i вiд способу обчислень похiдних. До нюансiв числового
моделювання належать: осциляцiя iнтегральних ядер операторiв оберненої задачi; iстотна
залежнiсть вiзуалiзацiї цих ядер вiд обраного способу грiддiнгу. Нiвелювати осциляцiю мож-
на, задiявши конструкцiї типу iнтегралу Шварца для смуги [6], а нюанси графiчної вiзуалi-
зацiї потребують експериментального дослiдження та вибору адекватного iнструментарiю.
Незважаючи на складнощi числової реалiзацiї задачi Алексiдзе, вже можна окреслити
сферу її застосування: уточнення фiгури Землi та аналiтичних трансформацiй гравiмаг-
нiтних полiв. Зупинимось детальнiше на способi вiдновлення магнiтного потенцiалу в задачi
Алексiдзе.
Якщо магнiтний потенцiал зобразити як суму V (x) = U(x) + T (x) нормального маг-
нiтного потенцiалу U(x) для даної епохи та збурювального магнiтного потенцiалу T (x), то
розв’язок задачi вiдновлення магнiтного потенцiалу V (x)|x=0 за заданими на границi зна-
ченнями модуля його градiєнта Z(x) = | grad V (x)|, x ∈ ∂y, у спрощеному варiантi зведемо
до такого iтерацiйного процесу вiдновлення збурювального потенцiалу:
V
(i+1)
j (x) =
∂U(x)
∂xi
+
∂Ti+1(x)
∂xj
, V
(i+1)
jk (x) =
∂2U(x)
∂xi∂xk
+
∂2Ti+1(x)
∂xj∂xk
, (2)
де
∂Ti+1(x)
∂xj
= −
1
4π
∫
∂y
xj − ξj
|x− ξ|3
δi+1(ξ) dSξ ;
∂2Ti+1(x)
∂xj∂xk
=
3
4π
∫
∂y
(xj − ξj)(xk − ξk)
|x− ξ|5
δi+1(ξ) dSξ.
Далi визначаємо напрямнi косинуси cos(ni+1, xk) = V
(i+1)
k (x)/Zi+1(x) для визначення
наближення модуля градiєнта магнiтного потенцiалу:
Zi+2(x) = Zi+1(x)− ω2
3
∑
k=1
cos(ni+1, xk)xk, x ∈ ∂y, (3)
який потрiбен для обчислення чергового наближення збурювального магнiтного потенцiалу:
Ti+2(x) = Zi+2(x) cos(ni+1,m)− γ(x) cos(ν,m), x ∈ ∂y. (4)
Звiдси неважко знайти наближення магнiтного потенцiалу:
V (i+2)(x) = U(x) + Ti+2(x). (5)
108 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
За нормальний потенцiал доцiльно брати аномальне поле однорiдно намагнiченої сфе-
ри; у такому разi збурювальний потенцiал T (x) вiдбиватиме поле реальних об’єктiв, якi
не врахованi у цiй моделi. Крiм даних Z(x), x ∈ ∂y (по-сутi, це значення ∆Ta(x)), нам
вiдомi не лише рiвняння фiзичної поверхнi ∂y Землi, а й вектор одиничної нормалi m(x) =
= cos(xk,mx), k = 1, 2, 3 до цiєї поверхнi майже у будь-якiй її точцi. А оскiльки вiдо-
мо i нормальне поле U(x), то у будь-якiй точцi x замкнутої областi y+ можна обчисли-
ти нормаль ν(x) = cos(ν, xk) до еквiпотенцiальної поверхнi U(x) = Cx, яка проходить
через точку x, cos(ν, xk) =
1
γ
∂U(x)
∂xk
та значення cos(ν,m) =
3
∑
k=1
cos(ν, xk) cos(xk,m), де
1/γ(x) = | grad V (x)|.
Теорема 1. Якщо поверхня Землi ∂y є множиною Ляпунова, то магнiтний потен-
цiал V (x), x ∈ y+, даної епохи вiдновлюється однозначно з напруженостi Z(x), x ∈ ∂y,
магнiтного поля цiєї епохи.
Схематично доведемо збiжнiсть послiдовних наближень Vi(x), i = 0, ∞, до магнiтного
потенцiалу реальної Землi V (x), x ∈ y+. Припустимо, що вже збудоване i − 1 наближення
як магнiтного потенцiалу V0(x), V1(x), . . . , Vi−1(x), так i напрямних косинусiв cos(n0, xk) =
= cos(ν, xk), . . . , cos(ni, xk), k = 1, 3, i = 0, 1, 2, нормалi n(x) до еквiпотенцiальної поверхнi
V (y) = Cx, яка проходить через розглядувану точку x ∈ y+.
На подальшому i-му кроцi послiдовно визначимо
cos(ni,m) =
3
∑
k=1
cos(ni, xk) cos(xk,m)
та граничну умову
Fi(x) = Z(x) cos(ni,m)− γ(x) cos(ν,m)
для знаходження i-го наближення густини δi(x) потенцiалу простого шару Ti(x) з лiнiйного
iнтегрального рiвняння Фредгольма:
δi(x) +
∫
∂y
K(x, ξ)δi(ξ) dSξ = 2Fi(x), x ∈ ∂y, (6)
з ядром
K(x, ξ) =
1
2π
∂
∂mx
1
|x− ξ|
= −
1
2π
cos(u,m)
|x− ξ|
,
де u = x − ξ. Далi обчислимо наближення
Ti(x)=
1
4π
∫
∂y
δi(ξ)
|x− ξ|
dSξ, Vi(x)= U(x)+ Ti(x), Zi(x)=
√
√
√
√
2
∑
k=1
(
∂Vi(x)
∂xk
)2
, x ∈ y+, (7)
та i + 1 наближення напрямних косинусiв нормалi n(x) за формулою
cos(ni, xk) =
1
Zi(x)
∂Vi(x)
∂xk
, k = 1, 3.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 109
Послiдовнiсть {Ti(x)} збiгається, що є наслiдком iз теореми, доведеної А.В. Чорним [7]
(про природу потенцiалу наразi не йдеться).
Теорема 2. Якщо величиною ε2(x) квадрату вiдношення модуля градiєнта збурюваль-
ного потенцiалу до модуля нормального потенцiалу можна знехтувати порiвняно з ε(x),
то послiдовнiсть розв’язкiв {Ti(x)} граничних задач
∆Ti+1(x) = 0, x ∈ y+, lim
|x|→∞
Ti+1(x) → 0,
∂Ti+1(x)
∂mx
= Fi+1(x), x ∈ ∂y, (8)
збiгається до збурювального потенцiалу T (x), x ∈ y−, якщо ‖T (x)‖C ≪ ‖U(x)‖C .
Але виконання останньої умови при вiдновленнi магнiтного потенцiалу зовсiм не обов’яз-
кове, оскiльки гранична умова ∂Ti+1(x)/∂mx = Fi+1(x), x ∈ ∂y, є простiшою, нiж гранична
умова Fi(x) = Z(x) cos(ni,m) − γ(x) cos(ν,m). Для збiжностi послiдовностi {Ti(x)} достат-
ньо, щоб iснувала нерiвнiсть Z(x) < γ(x)/ cos(ν,m), x ∈ ∂y.
Зауважимо, що вказана схема вiдновлення потенцiалу Ti(x) значно економiчнiша за
обсягом очислень, нiж схема, що запропонована в статтi [8].
Таким чином, достатньо, крiм того, вказати, що якiсть числового розв’язку — середньо-
квадратичне вiдхилення (варiацiя) параметрiв моделi задачi та вхiдних даних вiд початко-
вого наближення на поточнiй iтерацiї — контролюється за критерiєм нев’язки за додаткової
умови дотримання мiнiмальної роздiльної здатностi. У будь-якому разi, вона залежить вiд
мiри зумовленостi конкретної числової задачi та вибору початкових наближень розв’язку.
1. Дубовенко Ю. I. Задача Алексiдзе для вiдновлення потенцiалу сили тяжiння // Геофiз. журн. – 2009. –
31, № 6. – С. 132–139.
2. Дубовенко Ю. I. Редукцiя задачi Алексiдзе до рiвняння сили тяжiння // Доп. НАН України. – 2009. –
№ 12. – С. 112–119.
3. Дубовенко Ю. I. Розв’язнiсть задачi Алексiдзе // Там само. – 2010. – № 1. – С. 115–122.
4. Дубовенко Ю. I. Деякi проблеми обчислення трансформацiй гравiтацiйного поля // Вiсн. Київ. нац.
ун-ту iм. Тараса Шевченка. Сер. Геологiя. – 2010. – Вип. 51. – С. 14–21.
5. Алексидзе М. А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. –
Москва: Наука, 1978. – 351 с.
6. Дубовенко Ю. I. Вiдновлення контактної границi в шаруватому середовищi // Геофiз. журн. – 2002. –
24, № 6. – С. 36–41.
7. Чорний А. В. Про нову задачу для рiвняння Лапласа // Вiсн. Київ. нац. ун-ту iм. Тараса Шевченка. –
1995. – Вип. 13. – С. 72–80.
8. Якимчик А. И. О способе решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода // Доп. НАН
України. – 2000. – № 12. – С. 156–159.
Надiйшло до редакцiї 31.08.2010Iнститут геофiзики iм. С. I. Субботiна
НАН України, Київ
Yu. I. Dubovenko
A magnetic potential restoration in the Alexidze problem
The main limitations of the Alexidze problem are considered. On its basis, the efficient method of
solution of the problem of iterative specification of transformations of a magnetic field is given,
proceeding from the additive presentation of a magnetic potential. A theorem of uniqueness of the
solution of the problem is proved.
110 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37791 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T16:22:18Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дубовенко, Ю.І. 2012-10-22T16:42:58Z 2012-10-22T16:42:58Z 2011 Відновлення магнітного потенціалу в задачі Алексідзе / Ю. I. Дубовенко // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 107-110. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37791 550.831+550.8 Розглянуто основні обмеження задачі Алексідзе. На її підставі подано економічний спосіб розв'язання задачі ітераційного уточнення трансформацій магнітного поля, виходячи з адитивного зображення магнітного потенціалу. Доведено теорему єдиності розв'язку вказаної задачі. The main limitations of the Alexidze problem are considered. On its basis, the efficient method of solution of the problem of iterative specification of transformations of a magnetic field is given, proceeding from the additive presentation of a magnetic potential. A theorem of uniqueness of the solution of the problem is proved. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Науки про Землю Відновлення магнітного потенціалу в задачі Алексідзе A magnetic potential restoration in the Alexidze problem Article published earlier |
| spellingShingle | Відновлення магнітного потенціалу в задачі Алексідзе Дубовенко, Ю.І. Науки про Землю |
| title | Відновлення магнітного потенціалу в задачі Алексідзе |
| title_alt | A magnetic potential restoration in the Alexidze problem |
| title_full | Відновлення магнітного потенціалу в задачі Алексідзе |
| title_fullStr | Відновлення магнітного потенціалу в задачі Алексідзе |
| title_full_unstemmed | Відновлення магнітного потенціалу в задачі Алексідзе |
| title_short | Відновлення магнітного потенціалу в задачі Алексідзе |
| title_sort | відновлення магнітного потенціалу в задачі алексідзе |
| topic | Науки про Землю |
| topic_facet | Науки про Землю |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37791 |
| work_keys_str_mv | AT dubovenkoûí vídnovlennâmagnítnogopotencíaluvzadačíaleksídze AT dubovenkoûí amagneticpotentialrestorationinthealexidzeproblem |