Групи автоморфізмів ортогональних сум напівгруп
Доведено, що група автоморфізмів ортогональної суми ортогонально нерозкладних напівгруп є ізоморфною прямому добутку вінцевих добутків груп. We prove that the automorphism group of an orthogonal sum of orthogonal indecomposable semigroups is isomorphic to the direct product of wreath products of gro...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37802 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Групи автоморфізмів ортогональних сум напівгруп / А.В. Жучок // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 12-16. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859723168220971008 |
|---|---|
| author | Жучок, А.В. |
| author_facet | Жучок, А.В. |
| citation_txt | Групи автоморфізмів ортогональних сум напівгруп / А.В. Жучок // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 12-16. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доведено, що група автоморфізмів ортогональної суми ортогонально нерозкладних напівгруп є ізоморфною прямому добутку вінцевих добутків груп.
We prove that the automorphism group of an orthogonal sum of orthogonal indecomposable semigroups is isomorphic to the direct product of wreath products of groups.
|
| first_indexed | 2025-12-01T10:24:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.53
© 2011
А.В. Жучок
Групи автоморфiзмiв ортогональних сум напiвгруп
(Представлено членом-кореспондентом НАН України В.В. Шарком)
Доведено, що група автоморфiзмiв ортогональної суми ортогонально нерозкладних на-
пiвгруп є iзоморфною прямому добутку вiнцевих добуткiв груп.
Одним iз шляхiв розв’язку задачi описання властивостей алгебраїчних систем є отриман-
ня характеристик їх груп автоморфiзмiв. Групи автоморфiзмiв рiзних алгебр розглядалися
багатьма дослiдниками. Вивчення автоморфiзмiв класичних груп було започатковано ро-
ботою О. Шраєра i Б.Л. Ван-дер-Вардена [1], у якiй описано автоморфiзми групи PSLn
(n > 3) над довiльним полем. Перший крок у теорiї автоморфiзмiв над кiльцями зробили
Л.К. Хуа та I. Райнер [2]. Автоморфiзми алгебри iнцидентностi скiнченної квазiупоряд-
кованої множини описанi Ю.А. Дроздом та П. Колесником [3]. Вивчення автоморфiзмiв
напiвгруп набуло розвитку в роботах iнших дослiдникiв. Так, К.Д. Магiлл [4] розглянув
автоморфiзми напiвгрупи бiнарних вiдношень, а I. Левi та Г. Вуд [5] — автоморфiзми напiв-
груп перетворень. Описання автоморфiзмiв напiвгруп ендоморфiзмiв вiльного моноїда та
вiльної напiвгрупи наведено в роботi Г. Машевицького та Б.М. Шайна [6], а напiвгруп обер-
нених матриць з невiд’ємними елементами — в роботi О. I. Бунiної та О.В. Михальова [7].
Ми розглядатимемо групу автоморфiзмiв конструкцiї ортогональної суми напiвгруп.
Вибiр цiєї конструкцiї вмотивовано тим фактом, що, як було доведено С. Богдановичем
та М. Чiричем [8], кожна напiвгрупа з нулем є ортогональною сумою ортогонально нероз-
кладних напiвгруп. Розклади напiвгруп в ортогональнi суми вивчалися також Є.C. Ля-
пiним [9, 10], С. Шварцом [11]. У роботах П.С. Венкатесана [12], Т. Холла [13] охаракте-
ризовано ортогональнi суми цiлком 0-простих напiвгруп. Деякi типи ортогональних сум
напiвгруп описано Г. Лаллементом i М. Петричем [14].
У цiй роботi доведено, що група автоморфiзмiв ортогональної суми ортогонально не-
розкладних напiвгруп є iзоморфною прямому добутку вiнцевих добуткiв груп. Отриманий
результат було анонсовано в [15]. Показано також, що ортогональнi суми не визначаються
своїми групами автоморфiзмiв.
1. Основнi поняття та позначення. 1.1. Нехай I — напiвгрупа iдемпотентiв. Напiв-
групу S = S0 називають 0-сполукою напiвгруп Si, i ∈ I, якщо S =
⋃
i∈I
Si, Sα
⋂
Sβ = {0} при
α 6= β i для будь-яких α, β ∈ I має мiсце умова SαSβ ⊆ Sαβ. Якщо Sα 6= {0} для будь-якого
α ∈ I та SαSβ = {0} для будь-яких рiзних α, β ∈ I, то 0-сполуку називають ортогональною
сумою напiвгруп Sα, α ∈ I, та позначають
0⋃
α∈I
Sα.
Якщо S =
0⋃
α∈I
Sα — ортогональна сума напiвгруп Sα, α ∈ I, то сiмейство D = {Sα | α ∈
∈ I} називають ортогональною декомпозицiєю напiвгрупи S, а напiвгрупи Sα, α ∈ I, —
ортогональними компонентами напiвгрупи S або компонентами в D.
Якщо D i D′ — двi ортогональнi декомпозицiї напiвгрупи S = S0, то кажуть, що D
є бiльше, нiж D′, якщо кожна компонента в D є пiдмножиною деякої компоненти в D′.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
Напiвгрупу S = S0 називають ортогонально нерозкладною, якщо D = {S} є єдиною
ортогональною декомпозицiєю напiвгрупи S.
1.2. Для довiльної напiвгрупи T через AutT будемо позначати групу автоморфiзмiв
напiвгрупи T . Якщо
∏
i∈Y
Gi — прямий добуток груп Gi, i ∈ Y , a ∈
∏
i∈Y
Gi, то через [a]i
позначатимемо i-ту компоненту елемента a.
1.3. Нехай G — довiльна група, X — довiльна непорожня множина, ℑ[X] — симетрична
група на множинi X. Через G =
∏
x∈X
Gx позначимо прямий добуток iзоморфних копiй Gx
групи G, iндексованих елементами множини X, та покладемо
ρ : ℑ[X] → AutG : γ 7→ γρ = ργ ,
де ργ((ax)) = (aγ(x)) для всiх (ax) ∈ G. Безпосередньо перевiряється, що вiдображення ρ
є гомоморфiзмом.
На множинi G × ℑ[X], визначивши операцiю за правилом
((ax), γ1)((bx), γ2) = ((ax)ργ1((bx)), γ1γ2),
отримаємо групу, яку називають вiнцевим добутком групи G iз симетричною групою ℑ[X]
та позначають через Gıℑ[X].
2. Автоморфiзми ортогональних сум напiвгруп. У роботi [8] доведено, що кожна
напiвгрупа з нулем є ортогональною сумою ортогонально нерозкладних напiвгруп. При
цьому вiдповiдна ортогональна декомпозицiя є найбiльшою (див. п.1.1). Виходячи з цього
результату, будемо розглядати ортогональну суму ортогонально нерозкладних напiвгруп.
У цьому пунктi описано автоморфiзми ортогональної суми ортогонально нерозкладних
напiвгруп. У термiнах прямих та вiнцевих добуткiв груп дослiджено структуру групи авто-
морфiзмiв цiєї конструкцiї. Показано також, що ортогональнi суми не визначаються своїми
групами автоморфiзмiв.
2.1. Опишемо всi пiднапiвгрупи ортогональної суми довiльних напiвгруп.
Нехай S =
0⋃
i∈I
Si — ортогональна сума довiльних напiвгруп Si, i ∈ I, Ti — довiльна,
але фiксована пiднапiвгрупа напiвгрупи Si, i ∈ I. Для кожного I ′ ⊆ I, |I ′| > 1 покладемо
TI′ =
⋃
i∈I′
Ti, T
0
I′ = TI′
⋃
{0}.
Легко доводиться таке твердження.
Лема 1. Повний список пiднапiвгруп ортогональної суми довiльних напiвгруп Si, i ∈ I,
такий:
1) пiднапiвгрупи всiх напiвгруп Si, i ∈ I;
2) пiднапiвгрупи T 0
I′, I
′ ⊆ I, |I ′| > 1.
2.2. Нехай S =
0⋃
i∈I
Si — ортогональна сума довiльних, ортогонально нерозкладних на-
пiвгруп Si, i ∈ I. Якщо Y ⊆ I та {Si}i∈Y — множина всiх попарно не iзоморфних напiвгруп
сiмейства {Si}i∈I , то через Kj позначимо ортогональну суму напiвгруп Si, i ∈ I, iзоморфних
напiвгрупi Sj, j ∈ Y . Очевидно, що {Kj | j ∈ Y } — ортогональна декомпозицiя напiвгру-
пи S (див. п. 1.1).
Лема 2. AutS ∼=
∏
j∈Y
AutKj .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 13
Доведення. Нехай ϕ — автоморфiзм напiвгрупи S. Очевидно, що 0ϕ = 0. Вiзьмемо
довiльну компоненту Si, i ∈ I, напiвгрупи S. Згiдно з лемою 1 або Siϕ = T 0
I′ для деякої
множини I ′ ⊆ I, |I ′| > 1, або Siϕ ⊆ Sj для деякого j ∈ I.
Припустимо, що Siϕ = T 0
I′ . Оскiльки напiвгрупа T 0
I′ є ортогонально розкладною, то
за припущенням i напiвгрупа Si, i ∈ I, є ортогонально розкладною. Але це суперечить
умовi ортогональної нерозкладностi компонент Si, i ∈ I, напiвгрупи S. Отже, Siϕ ⊆ Sj для
деякого j ∈ I.
Зафiксуємо далi j ∈ I та припустимо, що Sj =
⋃
i∈Λ
Siϕ, де Λ — деяка пiдмножина
множини I. Тодi з бiєктивностi ϕ випливає, що Siϕ
⋂
Skϕ = {0} для будь-яких i, k ∈ Λ,
i 6= k. При цьому для всiх a ∈ Si, b ∈ Sk (i, k ∈ Λ, i 6= k) маємо:
aϕ ∗ bϕ = (a ∗ b)ϕ = 0ϕ = 0.
Це означає, що напiвгрупа Sj є ортогональною сумою напiвгруп Siϕ, i ∈ Λ. Але це знову
суперечить умовi ортогональної нерозкладностi напiвгруп Si, i ∈ I. Отже, Sj = Siϕ для
деякого i ∈ Λ.
З останньої рiвностi та з бiєктивностi ϕ випливає, що кожний автоморфiзм ϕ напiвгру-
пи S однозначно визначається множиною iзоморфiзмiв ϕτ
i : Si → Siτ , i ∈ I, де τ — деяка
бiєкцiя множини I.
Обернене твердження є очевидним.
Нехай далi ϕ — автоморфiзм напiвгрупи S =
0⋃
j∈Y
Kj , {ϕj}j∈Y — множина автоморфiз-
мiв ϕj напiвгруп Kj , j ∈ Y . Тодi
sϕ = sϕj ⇔ s ∈ Kj , j ∈ Y,
для всiх s ∈ S.
Для зручностi автоморфiзм ϕ напiвгрупи S ототожнимо з набором {ϕj}j∈Y .
Визначимо вiдображення
ω : AutS →
∏
j∈Y
AutKj : ϕ = {ϕj}j∈Y 7→ ϕω = ϕ̃,
де [ϕ̃]j = ϕj (див. п.1.2) для всiх j ∈ Y , яке є бiєктивним за побудовою.
Якщо ξ = {ξj}j∈Y ∈ AutS, то ξω = ξ̃, а (ϕξ)ω = (ϕω)(ξω), оскiльки [
∼
ϕξ]j = [ϕ̃]j [ξ̃]j для
всiх j ∈ Y . Дiйсно, для довiльного s ∈ Kj матимемо
s(ϕξ) = s(ϕξ)j = (sϕ)ξ = (sϕj)ξ = (sϕj)ξj = s(ϕjξj),
звiдки (ϕξ)j = ϕjξj.
Таким чином, ω — iзоморфiзм.
Лему доведено.
2.3. У позначеннях п. 2.2 для кожного j ∈ Y покладемо Kj =
0⋃
i∈Aj
Si, де Aj ⊆ I.
Нижченаведена теорема описує будову груп AutKj , j ∈ Y , в термiнах вiнцевих добуткiв,
визначених у п. 1.3.
Теорема 1. AutKj
∼= AutSj ıℑ[Aj ], j ∈ Y .
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
Доведення. Згiдно з лемою 2 кожний автоморфiзм ψ напiвгрупи Kj однозначно ви-
значається множиною {ψδ
i }i∈Aj
iзоморфiзмiв ψδ
i : Si → Siδ, i ∈ Aj , де δ — деяка бiєкцiя
множини Aj .
Автоморфiзм ψ ототожнимо з {ψδ
i }i∈Aj
. Для всiх i, l ∈ Aj зафiксуємо далi iзоморфiзми
f (i,l) : Si → Sl, якi задовольняють умову f (i,l)f (l,i) = f (i,i), де f (i,i) — тотожнi автоморфiзми,
та визначимо вiдображення
θ : AutKj → AutSj ıℑ[Aj ] : ψ = {ψδ
i }i∈Aj
7→ ψθ = (ψ, δ),
поклавши [ψ]i = f (j,i)ψδ
i f
(iδ,j) для всiх i ∈ Aj (див. п. 1.2). Покажемо, що θ — гомоморфiзм.
Якщо λ = {λσi }i∈Aj
∈ AutKj (λ визначається бiєкцiєю σ), то λθ = (λ, σ), а
ψλ = {ψδ
i }i∈Aj
{λσi }i∈Aj
= {µδσi }i∈Aj
= µ,
де µδσi = ψδ
i λ
σ
iδ для всiх i ∈ Aj. Тодi µθ = (µ, δσ), причому [µ]i = f (j,i)µδσi f
(iδσ,j), i ∈ Aj .
Далi, перемножуючи ψθ та λθ, отримуємо
(ψθ)(λθ) = (ψ, δ)(λ, σ) = (ψρδ(λ), δσ),
де
[ρδ(λ)]i = [λ]iδ, i ∈ Aj ,
[ψρδ(λ)]i = [ψ]i[ρδ(λ)]i = [ψ]i[λ]iδ = f (j,i)ψδ
i f
(iδ,j)f (j,iδ)λσiδf
(iδσ,j) =
= f (j,i)ψδ
i f
(iδ,iδ)λσiδf
(iδσ,j) = f (j,i)ψδ
i λ
σ
iδf
(iδσ,j), i ∈ Aj .
Порiвнюючи [ψρδ(λ)]i з [µ]i при всiх i ∈ Aj , встановлюємо, що (ψλ)θ = (ψθ)(λθ), звiд-
ки θ — гомоморфiзм.
Нехай ψ 6= λ. Якщо δ 6= σ, то очевидно, що ψθ 6= λθ. Припустимо, що δ = σ. Тодi
ψδ
i 6= λδi для деякого i ∈ Aj . Це у свою чергу означає, що f (j,i)ψδ
i f
(iδ,j) 6= f (j,i)λδi f
(iδ,j), тобто
[ψ]i 6= [λ]i для деякого i ∈ Aj i, отже, ψθ 6= λθ.
Крiм цього, для довiльного елемента (β, t) ∈ AutSj ıℑ[Aj ] iснує автоморфiзм d =
= {dti}i∈Aj
∈ AutKj такий, що dti = f (i,j)[β]if
(j,it) для всiх i ∈ Aj . Таким чином, θ — бiєкцiя.
Теорему доведено.
2.4. З результатiв пп. 2.2, 2.3 випливає основний результат роботи:
Теорема 2. Група автоморфiзмiв AutS ортогональної суми ортогонально нерозкла-
дних напiвгруп Si, i ∈ I, є iзоморфною прямому добутку
∏
j∈Y
AutSj ıℑ[Aj ] вiнцевих добут-
кiв груп автоморфiзмiв AutSj напiвгруп Sj iз симетричними групами ℑ[Aj] на множи-
нах Aj , j ∈ Y .
2.5. При вивченнi груп автоморфiзмiв тих чи iнших напiвгруп природним є питання
про визначуванiсть цих напiвгруп їх групами автоморфiзмiв. Розглянемо це питання для
ортогональної суми напiвгруп.
Нехай H — клас напiвгруп. Говорять, що напiвгрупа T ∈ H визначається (з точнiстю
до iзоморфiзму) групою автоморфiзмiв, якщо для будь-якої напiвгрупи T ′ ∈ H з того, що
AutT ′ ∼= AutT , випливає, що T ′ ∼= T .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №6 15
Нехай L — напiвгрупа лiвих нулiв, |L| = n, L0 = L
⋃
{0} — напiвгрупа L iз зовнiшньо
приєднаним нулем. Очевидно, що L0 — ортогонально нерозкладна напiвгрупа (див. п. 1.1),
у якої AutL0 ∼= ℑ[L], де ℑ[L] — симетрична група на множинi L.
Нехай M — ортогональна сума n напiвгруп, iзоморфних напiвгрупi T = {a, 0} з опера-
цiєю a2 = a, a · 0 = 0 · a = 0 · 0 = 0. Очевидно, що
AutM ∼= AutT ıℑ[L] ∼= ℑ[L] (див. п. 2.3).
Таким чином, з iзоморфiзму AutL0 ∼= AutM не випливає iзоморфiзм L0 ∼= M , а також
група автоморфiзмiв ортогональної суми напiвгруп не визначає число компонент ортого-
нальної суми.
1. Schreier O., van der Varden B.L. Die Automorphismen der projektiven Gruppen // Abh. Math. Semin.
Univ. Hamburg. – 1928. – 6. – P. 303–322.
2. Hua L.K., Reiner I. Automorphisms of unimodular groups // Trans. Amer. Math. Soc. – 1951. – 71. –
P. 331–348.
3. Drozd Y., Kolesnik P. Automorphisms of incidence algebras // Communs Algebra. – 2007. – 35, No 12. –
P. 3851–3854.
4. Magill K.D. Automorphisms of the semigroup of all relations on a set // Canad. Math. Bull. – 1966. –
9. – P. 73–77.
5. Levi I., Wood G.R. On automorphisms of transformation semigroups // Semigroup Forum. – 1994. – 48. –
P. 63–70.
6. Mashevitzky G., Schein B.M. Automorphisms of the endomorphism semigroup of a free monoid or a free
semigroup // Proc. Amer. Math. Soc. – 2003. – 131. – P. 1655–1660.
7. Бунина Е.И., Михалев А. В. Автоморфизмы полугруппы обратимых матриц с неотрицательными
элементами // Фундамент. и прикл. математика. – 2005. – 11, вып. 2. – С. 3–23.
8. Bogdanovic S., Ciric M. Orthogonal sums of semigroups // Isr. J. Math. – 1995. – 90. – P. 423–428.
9. Ляпин Е.С. Нормальные комплексы ассоциативных систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1950. –
14, № 2. – С. 179–192.
10. Ляпин Е.С. Полупростые коммутативные ассоциативные системы // Там же. – 1950. – 14, № 4. –
С. 367–380.
11. Schwarz S. On semigroups having a kernel // Čz. Math. J. – 1951. – 1 (76). – P. 229–264.
12. Venkatesan P. S. On a class of inverse semigroups // Amer. J. Math. – 1962. – 84. – P. 578–582.
13. Hall T. On the natural order of ℑ-class and of idempotents in a regular semigroups // Glasgow Math. J. –
1970. – 11. – P. 167–168.
14. Lallement G., Petrich M. Decomposition I-matricielles dùne demi-groupe // J. Math. Pures et Appl. –
1966. – 45. – P. 67–117.
15. Zhuchok A.V. Automorphism groups of orthogonal sums of semigroups // 6th Intern. Algebraic Conf. in
Ukraine: Abstracts. – Kamenetch-Podolskiy, 2007. – P. 252.
Надiйшло до редакцiї 26.10.2010Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
A.V. Zhuchok
Automorphism groups of orthogonal sums of semigroups
We prove that the automorphism group of an orthogonal sum of orthogonal indecomposable semi-
groups is isomorphic to the direct product of wreath products of groups.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-37802 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T10:24:24Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Жучок, А.В. 2012-10-22T16:58:08Z 2012-10-22T16:58:08Z 2011 Групи автоморфізмів ортогональних сум напівгруп / А.В. Жучок // Доп. НАН України. — 2011. — № 6. — С. 12-16. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37802 512.53 Доведено, що група автоморфізмів ортогональної суми ортогонально нерозкладних напівгруп є ізоморфною прямому добутку вінцевих добутків груп. We prove that the automorphism group of an orthogonal sum of orthogonal indecomposable semigroups is isomorphic to the direct product of wreath products of groups. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Групи автоморфізмів ортогональних сум напівгруп Automorphism groups of orthogonal sums of semigroups Article published earlier |
| spellingShingle | Групи автоморфізмів ортогональних сум напівгруп Жучок, А.В. Математика |
| title | Групи автоморфізмів ортогональних сум напівгруп |
| title_alt | Automorphism groups of orthogonal sums of semigroups |
| title_full | Групи автоморфізмів ортогональних сум напівгруп |
| title_fullStr | Групи автоморфізмів ортогональних сум напівгруп |
| title_full_unstemmed | Групи автоморфізмів ортогональних сум напівгруп |
| title_short | Групи автоморфізмів ортогональних сум напівгруп |
| title_sort | групи автоморфізмів ортогональних сум напівгруп |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/37802 |
| work_keys_str_mv | AT žučokav grupiavtomorfízmívortogonalʹnihsumnapívgrup AT žučokav automorphismgroupsoforthogonalsumsofsemigroups |