Об одном методе определения комплексных корней дисперсионных уравнений
The paper presents a method for the numerical solution of systems of nonlinear equations with local convergence. The method is applied to determining the complex curves of dispersional spectra for an elastic isotropic infinite layer and a waveguide with square cross-section. Data presented tabularly...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3811 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одном методе определения комплексных корней дисперсионных уравнений / А.А. Бондаренко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 49-54. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859608749821394944 |
|---|---|
| author | Бондаренко, А.А. |
| author_facet | Бондаренко, А.А. |
| citation_txt | Об одном методе определения комплексных корней дисперсионных уравнений / А.А. Бондаренко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 49-54. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The paper presents a method for the numerical solution of systems of nonlinear equations with local convergence. The method is applied to determining the complex curves of dispersional spectra for an elastic isotropic infinite layer and a waveguide with square cross-section. Data presented tabularly or graphically are in good agreement with those given in the literature.
|
| first_indexed | 2025-11-28T08:35:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2007
МЕХАНIКА
УДК 539.3:534.1
© 2007
А.А. Бондаренко
Об одном методе определения комплексных корней
дисперсионных уравнений
(Представлено академиком НАН Украины В. Т. Гринченко)
The paper presents a method for the numerical solution of systems of nonlinear equations with
local convergence. The method is applied to determining the complex curves of dispersional
spectra for an elastic isotropic infinite layer and a waveguide with square cross-section. Data
presented tabularly or graphically are in good agreement with those given in the literature.
Проблема отыскания действительных корней системы нелинейных уравнений вида
f(x, y) = 0, g(x, y) = 0 (1)
принадлежит, согласно [1, 2], к числу труднейших задач численного анализа. Решением
системы (1) являются точки пересечения нулевых контуров функций f и g, т. е. линий
пересечения поверхностей, задаваемых указанными функциями, с плоскостью Oxy.
В настоящее время в литературе существует значительное число подходов к решению
данной задачи. В каждой конкретной ситуации необходимо знать дополнительную инфор-
мацию о поведении функций и расположении нулевых контуров. Например, в известном
методе Ньютона–Рафсона наряду с указанием начального приближения к решению тре-
буется дифференцируемость функций f и g. Большинство методов обладает локальной
сходимостью к корню, т. е. при неудачном выборе начальной точки алгоритм расходится.
Попытки обхода указанного ограничения сводятся к комбинированию метода Ньютона–
Рафсона с алгоритмами поиска минимальных значений функции. Созданные таким обра-
зом обобщенный метод Ньютона–Рафсона [1] (или метод релаксации) и многомерный ме-
тод секущих [2] (или метод Бройдена) являются менее чувствительными к выбору на-
чального приближения. Дальнейшее совершенствование методов с использованием подхо-
да Левенберга–Маквардта [1] приводит к их значительному усложнению. Такие методы
достаточно надежны и реализованы в качестве базовых алгоритмов в различных пакетах
прикладных программ.
Во многих случаях уравнения (1) выражаются в более конкретном виде, а именно,
отыскание корней уравнения F (z,Ω) = 0, где F — аналитическая функция комплексного
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 49
Рис. 1. Определение корней (x∗, y∗) системы уравнений (1 ) с использованием начального приближения
(x0, y0)
аргумента z = x+ iy при действительном параметре Ω. Например, в динамических задачах
теории упругости при изучении дисперсионных характеристик волноводов подобные урав-
нения связывают частоту Ω с комплексной константой распространения z. В этих случаях
поиск корней может осуществляться с помощью известной теоремы о вычетах аналитичес-
кой функции [3], что иногда связано с большими затратами времени вычислений даже при
использовании современной вычислительной техники.
В данной работе предлагается алгоритм, позволяющий достаточно просто определять
корни системы уравнений (1). Являясь комбинацией методов координатного шага и секу-
щих, метод обладает локальной сходимостью и требует знания хорошего начального при-
ближения, однако, оказывается удобным для решения определенного класса прикладных
задач. Суть предлагаемого подхода изложим с помощью геометрических построений.
Пусть задана некоторая начальная точка (x0, y0), которая достаточно близко расположе-
на к корню (x∗, y∗). Таким образом, нулевые контуры функций f(x, y) и g(x, y) пересекаются
в некоторой окрестности точки (x0, y0) (рис. 1). Для уточнения корня зададимся величи-
нами шагов hx и hy вдоль осей Ox и Oy, соответственно. Проведем через точку (x0, y0)
прямую x = x0. Перемещаясь вдоль нее с шагом hy, определим точки пересечения (x0, y
(0)
1 )
и (x0, y
(0)
2 ) с линиями f(x, y) = 0 и g(x, y) = 0 по смене знака функций при переходе через
соответствующий нулевой контур. Отступим от начальной точки вправо и влево вдоль оси
Ox и повторим описанные действия с точками (x0 + hx, y0) и (x0 − hx, y0). Определим рас-
стояния между ординатами трех пар точек пересечения построенных прямых с нулевыми
контурами функций следующим образом:
h(0) =
∣
∣y
(0)
2 − y
(0)
1
∣
∣, h(1) =
∣
∣y
(1)
2 − y
(1)
1
∣
∣, h(2) =
∣
∣y
(2)
2 − y
(2)
1
∣
∣.
Анализ вычисленных величин позволяет делать выводы о близости начального прибли-
жения к искомому корню. Если h(1) > h(0), а также h(2) > h(0) и h(0) < hy, то точка
(x0, (y
(0)
2 + y
(0)
1 )/2) является корнем системы уравнений (1) с точностью h = max(hx, hy).
Полученное решение можно уточнить, уменьшая значения шагов разбиения hx и hy. Если
h(2)
> h(0)
> h(1) (или h(1)
> h(0)
> h(2)), то корень расположен правее (левее) вдоль оси
Ox по отношению к начальной точке. Выбирая в качестве начальной точку с координатами
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
(x0+hx, (y
(1)
2 +y
(1)
1 )/2) (или (x0−hx, (y
(2)
2 +y
(2)
1 )/2)) для повторного прохождения алгоритма,
получим следующее приближение к корню системы уравнений (1).
Описанный метод плохо сходится в случае параллельного или почти параллельного рас-
положения нулевых линий f(x, y) = 0 и g(x, y) = 0 осям Ox и Oy, на что указывает выпол-
нение неравенств |y
(0)
1 | ≫ |y0| и |y
(0)
2 | ≫ |y0|. Тогда нулевые контуры следует пересекать
линиями x = y вместо x = const, изменив соответствующим образом остальные шаги ал-
горитма.
Нулевые контуры функций f(x, y) и g(x, y) могут располагаться совершенно произволь-
но, поэтому возникает важный вопрос о поиске хороших начальных приближений (x0, y0)
для надежности работы метода. Он может быть решен построением линий f(x, y) = 0
и g(x, y) = 0 по смене знака функции при переходе через соответствующий контур в каждой
прямоугольной ячейке, образованной в результате наложения на плоскость Oxy довольно
крупной сетки. Найденные таким образом точки пересечения нулевых контуров уточняю-
тся с помощью предложенного алгоритма.
Применение метода иллюстрируется построением комплексных участков дисперсионных
кривых упругого изотропного слоя и волновода квадратного поперечного сечения.
Для симметричных относительно срединной плоскости нормальных волн в упругом слое
дисперсионное соотношение, связывающее безразмерную частоту Ω = 2ωb/πc2 (2b — тол-
щина слоя; c2 — скорость волн сдвига в безграничной среде) с безразмерной постоянной
распространения z = 2zb/π, имеет вид [4]
F (z,Ω) = (2z2 − Ω2) cos
πα
2
sin
πβ
2
+ 4αβz2 sin
πα
2
cos
πβ
2
= 0, (2)
где α2 = Ω2/k2−z2; β2 = Ω2−z2; k2 = 2(1−ν)/(1−2ν); ν — коэффициент Пуассона материа-
ла. Функция F (z,Ω) в уравнении (2) в зависимости от значения величины z (вещественное,
мнимое или комплексное) является вещественной или комплексной. Процедура локализа-
ции комплексных корней основывается на определении их значений на плоскости Ω = 0,
т. е. на решении статической задачи. При Ω → 0 и конечном z уравнение (2) принимает вид
shπz + πz = 0. (3)
Характерной особенностью данного уравнения является независимость его корней от ко-
эффициента Пуассона ν. Нулевые контуры для функции в уравнении (3) представлены на
рис. 2 (сплошными линиями обозначены контуры Re F (z, 0) = 0, штриховыми — Im F (z, 0) =
= 0). Первые шесть комплексных корней, вычисленных предлагаемым методом, приведены
в табл. 1. Полученные результаты хорошо согласуются со значениями корней, найденными
с помощью релаксационной процедуры [5].
Таблица 1. Первые шесть комплексных корней уравнения shπz + πz = 0
n Re z Im z
1 0,7164 1,3408
2 0,9878 3,4099
3 1,1303 5,4346
4 1,2283 7,4479
5 1,3031 9,4564
6 1,3636 11,462
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 51
С учетом начальных приближений из табл. 1 вычислены первые три комплексные вет-
ви для симметричных волн в слое при ν = 0,31, числовые данные для которых приведены
в табл. 2. Результаты при ν = 0,3, полученные для случаев симметричных и антисиммет-
ричных волн в слое, с точностью до 10−4 совпадают с данными работы [6].
Дисперсионные соотношения для упругого волновода квадратного поперечного сече-
ния представляются бесконечной системой уравнений [7, 8], поиск корней которой является
сложной вычислительной задачей. Описание способов корректной редукции такой системы
и ее детальный анализ приведены в работе [4] и не являются предметом настоящего сооб-
щения. Равенство нулю определителя редуцированной системы дает уравнение для опреде-
ления комплексных корней [8, 9]. Для квадратного волновода даже в статическом случае
не удается записать дисперсионное соотношение в замкнутой аналитической форме. Распо-
ложение нулевых контуров при Ω = 0 в случае волновода квадратного поперечного сечения
зависит от коэффициента Пуассона и является более сложным по сравнению со слоем. На
рис. 3 изображены первые три точки пересечения нулевых контуров при (ν = 0,248), ко-
ординаты которых являются начальными приближениями при построении комплексных
участков дисперсионных кривых, представленных на рис. 4.
Таблица 2. Комплексные ветви дисперсионных кривых для симметричных волн в упругом слое при ν = 0,31
Ω
Первая ветвь Вторая ветвь Третья ветвь
Re z Im z Re z Im z Re z Im z
0,1 0,7167 1,3383 0,9879 3,4090 1,1304 5,4340
0,2 0,7174 1,3315 0,9881 3,4061 1,1305 5,4323
0,3 0,7187 1,3173 0,9886 3,4014 1,1308 5,4293
0,4 0,7203 1,2986 0,9892 3,3948 1,1311 5,4252
0,5 0,7224 1,2742 0,9900 3,3862 1,1316 5,4199
0,6 0,7248 1,2438 0,9909 3,3757 1,1321 5,4134
0,7 0,7271 1,2068 0,9920 3,3633 1,1327 5,4058
0,8 0,7296 1,1628 0,9932 3,3489 1,1333 5,3969
0,9 0,7314 1,1164 0,9945 3,3325 1,1340 5,3868
1,0 0,7325 1,0499 0,9958 3,3140 1,1348 5,3755
1,1 0,7317 0,9786 0,9973 3,2935 1,1356 5,3630
1,2 0,7277 0,8950 0,9987 3,2708 1,1365 5,3492
1,3 0,7173 0,7969 1,0001 3,2461 1,1373 5,3342
1,4 0,6951 0,6834 1,0015 3,2191 1,1382 5,3180
1,5 0,6555 0,5589 1,0028 3,1898 1,1390 5,3005
1,6 0,6047 0,4270 1,0039 3,1582 1,1398 5,2816
1,7 0,5552 0,2605 1,0048 3,1242 1,1405 5,2615
1,73 0,5414 0,1855 1,0050 3,1135 1,1407 5,2552
2,3 1,0009 2,8641 1,1423 5,1123
2,9 0,9566 2,4846 1,1338 4,9101
3,5 0,7678 1,9236 1,1022 4,6462
3,7 0,5962 1,6688 1,0826 4,5424
3,8 0,4335 1,5152 1,0703 4,4871
3,86 0,2402 1,4069 1,0620 4,4527
4,2 0,9973 4,2406
4,6 0,8585 3,9460
4,9 0,6537 3,6834
5,1 0,3631 3,4818
5,15 0,2061 3,4272
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Рис. 2. Нулевые контуры функции F (z) = sh πz+
+ πz
Рис. 3. Нулевые контуры дисперсионного соотноше-
ния для квадратного волновода при Ω = 0, ν = 0,248
Рис. 4. Дисперсионный спектр квадратного волновода, ν = 0,248
Таким образом, предлагаемый метод позволяет сравнительно просто находить действи-
тельные решения системы нелинейных уравнений и комплексные корни уравнений, встре-
чающихся в прикладных задачах. При использовании метода для расчета дисперсионных
характеристик волноведущих систем начальные приближения к корням легко определяю-
тся, что позволяет строить конкретные участки отдельных ветвей.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 53
1. Press W.H. et al. Numerical recipes in C: the art of scientific computing. – Cambridge: Cambridge Uni-
versity Press, 1992. – 964 p.
2. Broyden C.G. A class of methods for solving nonlinear simultaneous equations // Math. Comp. – 1965. –
19. – P. 577–593.
3. Свешников А. Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1979. –
319 с.
4. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – Киев: Наук.
думка, 1981. – 283 с.
5. Златин А.Н. О корнях некоторых трансцендентных уравнений, встречающихся в теории упруго-
сти // Прикл. механика. – 1980. – 16, № 12. – С. 69–74.
6. Potter D. S., Leedham C.D. Normalized numerical solutions for Rayleigh’s frequency equation // J. Acoust.
Soc. Amer. – 1967. – 41. – P. 148–153.
7. Гринченко В.Т., Мелешко В. В. Дисперсионные свойства нормальных волн в прямоугольном упругом
волноводе // X Всесоюз. акуст. конф. – Москва, 1983. – С. 96–99.
8. Костржицкая Е.В., Мелешко В. В. Распространение гармонических волн в упругом прямоугольном
волноводе // Прикл. механика. – 1990. – 26, № 8. – С. 69–78.
9. Hayashi T., Tamayama C., Murase M. Wave structure analysis of guided waves in a bar with an arbitrary
cross-section // Ultrasonics. – 2006. – 41. – P. 17–24.
Поступило в редакцию 08.05.2007Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
УДК 539.3
© 2007
Г.Д. Гавриленко, В.И. Мацнер
Свободные колебания гладких цилиндрических
оболочек с локальными осесимметричными прогибами
(Представлено академиком НАН Украины Я.М. Григоренко)
A new approach to the problem of cylindrical shells vibrations is used for the estimation of the
free oscillation frequency of shells with initial local axisymmetric deflections. The analytical
solution and the results of calculations are presented.
1. Методика расчета оболочек с прогибами. Рассматриваются свободные колеба-
ния цилиндрической оболочки с осесимметричными начальными прогибами в виде вмятин
и выпучин (одиночных или регулярных). Части оболочки ℓn+1 − ℓn (n = 1, 2, 3, . . ., N , где
N — число вмятин и выпучин) вследствие наличия начальных прогибов будут искривле-
ны вдоль образующей по радиусам ρn и рассматриваются как оболочки, близкие по форме
к цилиндрическим с радиусами кривизны r, ρn. Полагается, что радиус r имеет столь малое
изменение, что можно считать его постоянным по всей длине оболочки. Схема рассматри-
ваемой оболочки показана на рис. 1.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3811 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T08:35:19Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бондаренко, А.А. 2009-07-10T11:15:36Z 2009-07-10T11:15:36Z 2007 Об одном методе определения комплексных корней дисперсионных уравнений / А.А. Бондаренко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 49-54. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3811 539.3:534.1 The paper presents a method for the numerical solution of systems of nonlinear equations with local convergence. The method is applied to determining the complex curves of dispersional spectra for an elastic isotropic infinite layer and a waveguide with square cross-section. Data presented tabularly or graphically are in good agreement with those given in the literature. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Об одном методе определения комплексных корней дисперсионных уравнений Article published earlier |
| spellingShingle | Об одном методе определения комплексных корней дисперсионных уравнений Бондаренко, А.А. Механіка |
| title | Об одном методе определения комплексных корней дисперсионных уравнений |
| title_full | Об одном методе определения комплексных корней дисперсионных уравнений |
| title_fullStr | Об одном методе определения комплексных корней дисперсионных уравнений |
| title_full_unstemmed | Об одном методе определения комплексных корней дисперсионных уравнений |
| title_short | Об одном методе определения комплексных корней дисперсионных уравнений |
| title_sort | об одном методе определения комплексных корней дисперсионных уравнений |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3811 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkoaa obodnommetodeopredeleniâkompleksnyhkorneidispersionnyhuravnenii |