Устойчивость пластины с трещиной при неоднородном докритическом состоянии
The plane problem of stability of a rectangular plate with central crack under uniaxial compressing of end-walls is considered. Conditions of fixing the end–walls correspond, in integral form, to conditions of a hinge unit. The approximate solution of the problems of elasticity and stability are ob...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3812 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Устойчивость пластины с трещиной при неоднородном докритическом состоянии / Е.Ю. Коханенко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 60-63. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859639018251091968 |
|---|---|
| author | Коханенко, Е.Ю. |
| author_facet | Коханенко, Е.Ю. |
| citation_txt | Устойчивость пластины с трещиной при неоднородном докритическом состоянии / Е.Ю. Коханенко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 60-63. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | The plane problem of stability of a rectangular plate with central crack under uniaxial compressing of end-walls is considered. Conditions of fixing the end–walls correspond, in integral form,
to conditions of a hinge unit. The approximate solution of the problems of elasticity and stability are obtained by the variation-difference method. The example of calculation of critical parameters is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:20:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
1. Гавриленко Г.Д., Мацнер В.И. Устойчивость и несущая способность подкрепленных оболочек с осе-
симметричными вмятинами // Theoret. Foundations of Civil Engineering. – Polish – Ukrainian Transacti-
ons, Warsaw – Dnepropetrovsk, June 2004. – Vol. 2. – P. 629–636.
2. Гавриленко Г.Д., Мацнер В.И., Ситник А.С. Устойчивость и несущая способность подкрепленных
оболочек с осесимметричными вмятинами и выпучинами // Ibid. – Polish – Ukrainian Transactions,
Warsaw – Dnepropetrovsk, June 2005. – 13. – P. 99–106.
3. Кукарина А.И., Мацнер В.И., Сивак Э.Ф. О влиянии начальных погибей на собственные колебания
ребристых цилиндрических оболочек // Прикл. механика. – 1982. – 18, № 4. – С. 58–63.
4. Кiльчевський М.О. Курс теоретичної механiки. – Київ: Рад. шк., 1957. – Т 2. – 462 с.
5. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / Кармишин А. В, Ляскавец В. А.,
Мяченков В. И., Фролов А.Н. – Москва: Машиностроение, 1975. – 376 с.
6. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Решетарь А.Д. О формах изгибных колебаний сферических оболо-
чек с начальными неправильностями // Прикл. механика. – 1988. – 24, № 12. – С. 30–38.
Поступило в редакцию 08.05.2007Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 539.3
© 2007
Е.Ю. Коханенко
Устойчивость пластины с трещиной при неоднородном
докритическом состоянии
(Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем)
The plane problem of stability of a rectangular plate with central crack under uniaxial compressi-
ng of end-walls is considered. Conditions of fixing the end–walls correspond, in integral form,
to conditions of a hinge unit. The approximate solution of the problems of elasticity and stabi-
lity are obtained by the variation-difference method. The example of calculation of critical
parameters is given.
В [1–3] рассмотрена задача устойчивости шарнирно закрепленной пластины с централь-
ной трещиной при одноосном сжатии, обеспечивающем однородное начальное состояние
в теле пластины. В качестве математической модели использованы уравнения трехмер-
ной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел (ТЛТУДТ) [4]. Ни-
же рассматривается аналогичная задача для случая неоднородного докритического со-
стояния.
Прямоугольная изотропная пластина достаточно протяженная в направлении оси Ox3
и имеет в этом направлении сквозную трещину шириной t. В направлении трещины плас-
тина сжимается нагрузкой интенсивности
◦
p
22(x1) =
◦
p
22, обеспечивающей в теле пластины
состояние плоской деформации в плоскости x3 = const, где пластина имеет размеры 2l1 ·2l2.
К решению задачи устойчивости применяются уравнения (ТЛТУДТ) и используется второй
вариант теории. Задача формулируется в безразмерной форме. При этом размеры пластины
нормированы ее длиной l2, а напряжения и поверхностная нагрузка отнесены к величине
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Рис. 1
E/(1−ν2). Трещина параллельна оси Ox2 и имеет величину t. На рис. 1 приведена, с учетом
симметрии решения, расчетная схема, где
◦
p =
◦
p
22(1 − ν2)
E
=
◦
ε, (1)
т. е. безразмерная начальная нагрузка
◦
p равна начальной деформации
◦
ε на торцах пласти-
ны. На торцах пластины заданы условия
◦
u1 = 0 ∧
◦
τ =
◦
p, где нагрузка
◦
p является мертвой
для начального напряженного состояния. Такие условия закрепления торцов соответству-
ют, в интегральной форме, условиям шарнирного закрепления [4].
Для нахождения критических параметров пластины требуется определить из решения
задачи упругости безразмерные напряжения
◦
τ ij основного состояния, а затем из решения
уравнений ТЛТУДТ определять критические характеристики устойчивости пластины.
Сформулируем задачу теории упругости. Отыскивается функция
◦
v = (
◦
v1,
◦
v2) безраз-
мерных упругих смещений, удовлетворяющая следующим соотношениям:
уравнениям равновесия
∂
◦
τ im
∂xm
= 0, |x1| 6 l1 ∧ 0 6 x2 6 l2, (2)
граничным условиям
◦
τ im = 0, |x1| 6 l1 ∧ 0 6 x2 6 l2,
◦
τ21 =
◦
v2 = 0, |x1| 6 l1 ∧ x2 = 0,
◦
v1 = 0 ∧
◦
τ22 =
◦
p, |x1| 6 l1 ∧ x2 = l2;
(3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 61
условию на трещине
◦
τ im = 0, x1 = ±0 ∧ 0 6 x2 6 t. (4)
Закон Гука в безразмерной форме имеет вид
◦
τ ii = cim
◦
εmm,
◦
τ12 = 2g
◦
ε12,
◦
εij =
1
2
(
∂
◦
vi
∂xj
+
∂
◦
vj
∂xi
)
,
cii =
(1 − ν)2
1 − 2ν
, c12 = c21 =
ν(1 − ν)
1 − 2ν
, g = 1 − ν.
(5)
В (4) линия x1 = −0 относится к левому берегу трещины. В соответствии с (1), безразмерная
величина p может быть принята в качестве параметра нагружения при решении задачи
устойчивости.
Для нахождения критических параметров требуется определить первое собственное ре-
шение (p1,v1) = (
∗
p,
∗
v) спектральной задачи, удовлетворяющей следующим соотношениям:
уравнениям в возмущениях
∂
∂xi
{
τim + p
(
◦
τ ij
∂
◦
vm
∂xj
)}
= 0, |x1| 6 l1 ∧ 0 6 x2 6 l2; (6)
граничным условиям
v1 = 0 ∧ τ22 + p
◦
τ22
∂v2
∂x2
= 0, |x1| = l1 ∧ x2 = l2,
τ1m = 0, |x1| 6 l1 ∧ 0 6 x2 6 l2,
τ21 = v2 = 0, |x1| 6 l1 ∧ x2 = 0;
(7)
условию на сторонах трещины
τ1m = 0, x1 = ±0 ∧ 0 6 x2 6 t. (8)
Закон Гука для компонент возмущений определяется из (5), где следует опустить ин-
декс “◦”.
Безразмерная и размерная критические нагрузки определяются из соотношений
pкр =
1
2l1
l1
∫
−l1
◦
p(x1)dx,
pкр
22
=
E
1 − ν2
pкр.
(9)
Безразмерная и размерная собственные функции
∗
v и
∗
u =
∗
v · l2 характеризуют возмуще-
ния смещений (форму потери устойчивости) пластины. Приближенное решение задач (2)–
(5) и (6)–(9) получено вариационно-разностным методом.
В качестве примера рассмотрена пластина с техническими постоянными E = 200 ГПа,
ν = 0,25 и следующими размерами: l1 = 0,2, l2 = 1, t = 0,4; параметр тонкостенности
α = l1/l2 = 0,2, нагрузка
◦
p
22 = −1 ГПа.
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Рис. 2
Из решения задачи определена критическая нагрузка pкр
22
= 1,668. На рис. 2 изображен
график функции
∗
v1(x1 = 0, x2), представляющий форму потери устойчивости пластины
в сечении x1 = 0.
1. Гладун Е.Ю. Плоская задача трехмерной устойчивости пластины с трещиной // Доп. НАН України. –
2000. – № 9. – С. 55–57.
2. Гладун Е.Ю. Зависимость критической нагрузки от геометрических характеристик шарнирно закре-
пленной пластины с трещиной // Прикл. механика. – 2000. – 36, № 9. – С. 112–122.
3. Гузь А.Н., Гладун Е.Ю. О трехмерной устойчивости пластины с трещиной // Там же. – 2001. – 37,
№ 10. – С. 53–62.
4. Guz A.N. Fundamentals of the three-dimensional theory of stability of deformable bodies. – Berlin: Sprin-
ger, 1999. – 555 p.
Поступило в редакцию 24.04.2007Киевский национальный университет
технологий и дизайна
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 63
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3812 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:20:03Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коханенко, Е.Ю. 2009-07-10T11:16:28Z 2009-07-10T11:16:28Z 2007 Устойчивость пластины с трещиной при неоднородном докритическом состоянии / Е.Ю. Коханенко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 60-63. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3812 539.3 The plane problem of stability of a rectangular plate with central crack under uniaxial compressing of end-walls is considered. Conditions of fixing the end–walls correspond, in integral form, to conditions of a hinge unit. The approximate solution of the problems of elasticity and stability are obtained by the variation-difference method. The example of calculation of critical parameters is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Устойчивость пластины с трещиной при неоднородном докритическом состоянии Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость пластины с трещиной при неоднородном докритическом состоянии Коханенко, Е.Ю. Механіка |
| title | Устойчивость пластины с трещиной при неоднородном докритическом состоянии |
| title_full | Устойчивость пластины с трещиной при неоднородном докритическом состоянии |
| title_fullStr | Устойчивость пластины с трещиной при неоднородном докритическом состоянии |
| title_full_unstemmed | Устойчивость пластины с трещиной при неоднородном докритическом состоянии |
| title_short | Устойчивость пластины с трещиной при неоднородном докритическом состоянии |
| title_sort | устойчивость пластины с трещиной при неоднородном докритическом состоянии |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3812 |
| work_keys_str_mv | AT kohanenkoeû ustoičivostʹplastinystreŝinoiprineodnorodnomdokritičeskomsostoânii |