О макроскопической размерности неспиновых многообразий

Показано, що макроскопічна вимірність універсального накриття замкненого n-вимірного (n≥5) неістотного цілком неспінового многовиду не перевищує n−2, що доводить гіпотезу Громова у цьому спеціальному випадку....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Болотов, Д.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2011
Назва видання:	Доповіді НАН України
Теми:	Математика
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38141
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О макроскопической размерности неспиновых многообразий / Д.В. Болотов // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 7-11. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38141
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-381412025-02-23T18:19:08Z О макроскопической размерности неспиновых многообразий On the macroscopic dimension of nonspin manifolds Болотов, Д.В. Математика Показано, що макроскопічна вимірність універсального накриття замкненого n-вимірного (n≥5) неістотного цілком неспінового многовиду не перевищує n−2, що доводить гіпотезу Громова у цьому спеціальному випадку. We prove that the macroscopic dimension of the universal covering of a closed n-dimensional (n≥5) inessential totally nonspin manifold is less or equal to n−2 that confirms the Gromov's conjecture in this special case. Автор выражает благодарность дирекции Института высших научных исследований (Франция), где была выполнена работа, а также проф. А.А. Борисенко за внимание к работе и полезные замечания. 2011 Article О макроскопической размерности неспиновых многообразий / Д.В. Болотов // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 7-11. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38141 515.165.7 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Болотов, Д.В. О макроскопической размерности неспиновых многообразий Доповіді НАН України
description	Показано, що макроскопічна вимірність універсального накриття замкненого n-вимірного (n≥5) неістотного цілком неспінового многовиду не перевищує n−2, що доводить гіпотезу Громова у цьому спеціальному випадку.
format	Article
author	Болотов, Д.В.
author_facet	Болотов, Д.В.
author_sort	Болотов, Д.В.
title	О макроскопической размерности неспиновых многообразий
title_short	О макроскопической размерности неспиновых многообразий
title_full	О макроскопической размерности неспиновых многообразий
title_fullStr	О макроскопической размерности неспиновых многообразий
title_full_unstemmed	О макроскопической размерности неспиновых многообразий
title_sort	о макроскопической размерности неспиновых многообразий
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38141
citation_txt	О макроскопической размерности неспиновых многообразий / Д.В. Болотов // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 7-11. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT bolotovdv omakroskopičeskojrazmernostinespinovyhmnogoobrazij AT bolotovdv onthemacroscopicdimensionofnonspinmanifolds
first_indexed	2025-11-24T07:30:55Z
last_indexed	2025-11-24T07:30:55Z
_version_	1849656035976937472
fulltext	оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 7 • 2011 МАТЕМАТИКА УДК 515.165.7 © 2011 Д.В. Болотов О макроскопической размерности неспиновых многообразий (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко) Показано, що макроскопiчна вимiрнiсть унiверсального накриття замкненого n-вимiр- ного (n > 5) неiстотного цiлком неспiнового многовиду не перевищує n−2, що доводить гiпотезу Громова у цьому спецiальному випадку. 1. Расслоения и классифицирующие пространства. Рассмотрим некоторые понятия, связанные с расслоениями, используемые нами в дальнейшем. Пусть F → E → B — локально тривиальное расслоение с базой B, типичным слоем F и тотальным пространством E. Пусть G — структурная группа данного расслоения. Изве- стно, что классифицировать такие расслоения с точностью до изоморфизма можно на языке отображений в классифицирующее пространство BG. А именно, каждому расслое- нию соответствует так называемое классифицирующее отображение f : B → BG, причем два таких отображения гомотопны тогда и только тогда, когда соответствующие расслое- ния изоморфны. Напомним, что классифицирующее пространство BG зависит только от структурной группы G и определенно однозначно с точностью до гомотопической эквива- лентности. Например, если E — k-мерное векторное расслоение со структурной группой O(k), то классифицирующим пространством будет бесконечномерное пространство Грас- смана Gr(k,∞) = ⋃ n>0 G(k, k+n), обозначаемое обычно как BO(k). В ориентируемом случае, когда структурная группа редуцируется к SO(k), это будет пространство ориентируемых k-мерных плоскостей Gr+(k,∞), обозначаемое BSO(k). Можно рассматривать классы стабильной эквивалентности векторных расслоений, а именно, считать два расслоения µ и ν над B-эквивалентными, если существуют тривиаль- ные расслоения N1 и N2 над B такие, что µ⊕N1 ∼= ν⊕N2. В этом случае классифицирующим пространством будет пространство BO = lim → BO(k) (соответственно, BSO = lim → BSO(k)). Например, известная теорема Уитни гласит, что любое гладкое многообразие можно реа- лизовать, как вложенное гладкое подмногообразие в евклидовом пространстве достаточно большой размерности. Можно показать, что класс стабильной эквивалентности нормаль- ного расслоения не зависит от вложения и корректно определяет класс стабильного нор- мального расслоения. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 7 Наконец, если расслоение является регулярным накрытием, в частности универсальным накрытием, то классифицирующим пространством является асферическое пространство Bπ, а классифицирующее отображение f : B → Bπ индуцирует изоморфизм фундамен- тальных групп. Напомним, что асферическое пространство — это пространство, чье уни- версальное накрытие стягиваемо. Такие пространства имеют тривиальные гомотопические группы, за исключением фундаментальной группы, т. е. являются K(π, 1)-пространствами. 2. Макроскопическая размерность. Понятие макроскопической размерности ввел М. Громов. Напомним ее определение. Определение 1. Макроскопическая размерность собственного метрического пространс- тва X не превышает k, или dimmcX 6 k, если существует k-мерный полиэдр P k и собствен- ное непрерывное отображение h : X → P k такое, что Diam(h−1(p)) 6 ε для некоторого ε > 0 и произвольного p ∈ P k. Скажем, что dimmcX = k, если k — наименьшее из чисел, для которых выполнено dimmcX 6 k. Замечание 1. Пусть Mn — компактное риманово многообразие и классифицирующее отображение f : Mn → Bπ есть отображение в k-скелет1 Bπ(k), тогда поднятие данного отображения до отображения универсальных накрытий f̃ : M̃n → Eπ(k) в точности означа- ет, что dimmc M̃ n 6 k. (Метрика на M̃n предполагается поднятой из Mn.) М. Громовым была сформулирована cледующая гипотеза: Гипотеза 1. Если макроскопическая размерность универсального накрытия компа- ктного риманова многообразия Mn меньше n, то она меньше n − 1. М. Громов также сформулировал гомотопический аналог этой гипотезы: Гипотеза 2. Если классифицирующее отображение f : Mn → Bπ можно прогомото- пировать на Bπ(n−1), то его можно прогомотопировать и на Bπ(n−2). Ясно, что из гипотезы 2 и замечания 1 немедленно следует гипотеза 1. Эти гипотезы оказались верными в размерности 3 [1], и найдены контрпримеры в раз- мерностях больше 3 [2]. Построенные контрпримеры являются спиновыми многообразиями. Именно спиновость многообразия, как показывает данная работа, является препятствием к справедливости гипотезы 2. 3. Основной результат. Прежде чем сформулировать основной результат, напомним некоторые определения. Ориентируемое многообразие называется спиновым, если его касательное расслоение допускает спиновую структуру. Спиновая структура на n-мерном векторном расслоении E со структурной группой SO(n) определяется следующим образом. Будем предполагать, что n > 3. Обозначим через ξ0 : Spin(n) → SO(n) универсальное двулистное накрытие группы Ли SO(n) группой Ли Spin(n). Пусть PG(E) обозначает главное расслоение, соответствую- щее векторному расслоению E со структурной группой G. Тогда спиновой структурой на E называется главное Spin(n)-расслоение PSpin(E) вместе с двулистным накрытием ξ : PSpin(E) → PSO(E) такое, что ξ(pg) = ξ(p)ξ0(g) для всех p ∈ PSpin(E) и всех g ∈ Spin(n). Оказывается, что ориентируемое многообразие является спиновым тогда и только тогда, когда оно имеет тривиальный второй класс Штифеля–Уитни (см. [3]). Соответственно, неспиновым называется многообразие, которое не является спиновым. 1Напомним, что i-скелетом P (i) клеточного комплекса P называется объединение клеток размерности, не превосходящей i. 8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7 Следуя [4], дадим следующее определение. Определение 2. Вполне неспиновым многообразием назовем многообразие, у которого универсальное накрытие неспиновое. Это эквивалентно тому, что универсальное накрытие (а значит, и само многообразие) имеет нетривиальный второй класс Штифеля–Уитни. Напомним также определение несущественного многообразия. Согласно М. Громову, замкнутое многообразие называется несущественным, если клас- сифицирующее отображение f : Mn → Bπ можно продеформировать в Bπ(n−1). Нетрудно показать, что если Mn ориентируемо, то несущественность Mn эквивалентна условию f∗[M n] = 0 (см. [5]), где [Mn] ∈ Hn(M n,Z) обозначает фундаментальный класс многообразия Mn. Оказывается, что гипотеза 2 верна для вполне неспиновых многообразий. Цель данной работы — доказать следующую теорему. Теорема 1. Если Mn, n > 5, — несущественное вполне неспиновое многообразие, то- гда классифицирующее отображение f : Mn → Bπ можно продеформировать в Bπ(n−2). В частности, для риманова несущественного вполне неспинового многообразия имеем dimmc M̃ n 6 n − 2. Доказательство. Поскольку речь идет об универсальном накрытии, будем предпо- лагать, что наше многообразие ориентируемо, переходя, если необходимо, к двулистному накрытию. Напомним, что группа ориентируемых бордизмов Ω∗(X) пространства X состоит из классов эквивалентности пар (M,f), где M — гладкое ориентируемое многообразие, а f : M → X — непрерывное отображение. Пары (M,f) и (N, g) эквивалентны, если су- ществует пара (W,F ) (бордизм) такая, что ∂W = M ∐ N и F \|M = f , а F \|N = g. Заметим, что если X — одноточечное пространство, то мы получим определение обычных ориенти- руемых бордизмов. Класс элемента (M,f) обозначим через [M,f ]. Выпишем точную последовательность пары для групп ориентируемых бордизмов Ω∗(Bπ): → Ωn(Bπ(n−2)) → Ωn(Bπ) j → Ωn(Bπ,Bπ(n−2)) → . (*) Рассмотрим спектральную последовательность Атьи–Хирцебруха для относитель- ных бордизмов Ω∗(Bπ,Bπ(n−2)) (см. [6]). Заметим, что для k > 0 имеем Ωk(Bπ,Bπ(n−2)) ∼= Ωk(Bπ/Bπ(n−2)). Напомним, что член E2 p,q спектральной последователь- ности имеет вид E2 p,q = Hp(Bπ,Bπ(n−2); Ωq(∗)). Учитывая, что для ориентируемых бордизмов точки верны равенства Ω1(∗) = Ω2(∗) = 0 и пространство Bπ/Bπ(n−2) является (n − 2)-связным, элементы E2 pq записываются в виде таблицы следующим образом: . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 ∗ ∗ n–1 n 0 0 0 0 ∗ ∗ H H H HY d2 H H H HY ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 9 Нетрудно видеть, что диагональ p + q = n состоит из единственного элемента E2 0n ∼= ∼= E∞ 0n ∼= Hn(Bπ,Bπ(n−2); Ω0(∗)) ∼= Hn(Bπ,Bπ(n−2);Z). Это означает, что Ωn(Bπ,Bπ(n−2)) ∼= ∑ p+q=n Hp(Bπ,Bπ(n−2); Ωq(∗)) ∼= Hn(Bπ,Bπ(n−2);Z) ∼= Hn(Bπ,Z). Поэтому Ωn(Bπ,Bπ(n−2)) ∼= Hn(Bπ,Z), и для любого элемента [Pn, h] ∈ Ωn(Bπ) имеем j([Pn, h]) = h∗[P n]. Таким образом, если Mn несущественное, то из (∗) следует, что класс [Mn, f ] ∈ Ωn(Bπ) является образом класса [T, g] ∈ Ωn(Bπ(n−2)). Иными словами, сущест- вует бордизм (W,F ), связывающий (Mn, f) и (T, g). В [7] авторы рассматривают группу бордизмов Ωn(Bπ×BSO). Обозначим через νN : N → → BSO классифицирующее отображение для стабильного нормального расслоения много- образия N . Тогда пары (Mn, f×νMn) и (T, g×νT ) будут бордантны и в группе Ωn(Bπ×BSO) и соединяются бордизмом (W,F×νW ). Авторы отмечают, что если Mn — вполне неспиновое многообразие (а значит, таковым является и W ), то бордизм (W,F × νW ) можно выбрать так, что F × νW : W → Bπ ×BSO будет 3-эквивалентностью2. Это, как поясняют авторы, следует из того, что ядро отображения (F × νW )∗ : π2(W ) → π2(Bπ × BSO) (в отличие от ядра F∗ : π2(W ) → π2(Bπ)) можно реализовать вложенными двумерными сферами с триви- альным нормальным расслоением, которые убиваются хирургией. Следовательно, так как сквозное отображение F × νW ◦ i является 2-эквивалентностью, а F × νW : W → Bπ×BSO является 3-эквивалентностью, вложение i : Mn → W будет 2-эквивалентностью. Теперь, так как n > 5, согласно основному результату [8], i : Mn → W будет также и гео- метрической 2-эквивалентностью. Это означает, что существует функция Морса µ : W → I с критическими точками, находящимися внутри W , размерности, не превосходящей n − 3 (см. также [9]). Но это означает, что W есть след последовательных перестроек, размерности не более n−3, что, в свою очередь, эквивалентно тому, что W гомотопически ретрагируется на T ⋃ i Di, где Di — набор приклеенных к T дисков размерности, не превосходящей n− 2. Пусть r : W → T ⋃ i Di — деформационная ретракция, а r′ : T ⋃ i Di → W — гомотопически обратное к r вложение. Ясно, что композиция Fr′r : W → Bπ гомотопна F . Заметим, что Fr′ совпадает с g на T и Fr′ можно прогомотопировать на Bπ(n−2) по теореме о клеточной аппроксимации. Поэтому F : W → Bπ можно прогомотопировать на Bπ(n−2). Ограничение этой гомотопии на Mn дает нам гомотопию f : Mn → Bπ на Bπ(n−2). Теорема доказана. Открытый вопрос: верна ли теорема в случае n = 4? Следствие 1. Пусть Mn — замкнутое вполне неспиновое многообразие, имеющее фун- даментальную группу Z m и допускающее метрику положительной скалярной кривизны, где 5 6 n 6 7 и m > n. Тогда dimmc M̃ n 6 n − 2. Доказательство. Утверждение 4.3 из работы [4] гласит, что многообразие, удовлетво- ряющее условию теоремы, должно быть несущественным. Поэтому результат немедленно следует из основной теоремы. Автор выражает благодарность дирекции Института высших научных исследований (Фран- ция), где была выполнена работа, а также проф. А.А. Борисенко за внимание к работе и полезные замечания. 2Отображение, индуцирующее изоморфизм первых k− 1 гомотопических групп и эпиморфизм k-й гомо- топической группы, называется k-эквивалентностью. 10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7 1. Bolotov D. Macroscopic dimension of 3-manifolds // Math. Physics, Analysis and Geometry. – 2003. – 6. – P. 291–299. 2. Bolotov D. Gromov’s macroscopic dimension conjecture // Algebraic and Geometric Topology. – 2006. – 6. – P. 1669–1676. 3. Lawson H.B., Michelson M.L. Spin geometry // Princeton Mathematical Series. 38. – Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1989. – 427 p. 4. Chang S. Positive scalar curvature of totally nonspin manifolds // Proc. AMS. – 2010. – 138, No 5. – P. 1621–1632. 5. Bolotov D., Dranishnikov A. On Gromov’s scalar curvature conjecture // Ibid. – 2010. – 138, No 4. – P. 1517–1524. 6. Коннер П., Флойд Э. Гладкие периодические отображения. – Москва: Мир, 1969. – 339 с. 7. Rosenberg J., Stolz S. A “stable” version of the Gromov–Lawson conjecture // Contemp. Math. – 1995. – 181. – P. 405–418. 8. Wall C. T.C. Geometrical connectivity I // London Math. Soc. – 1971. – 2. – P. 597–604. 9. Милнор Дж. Теорема об h-кобордизме. – Москва: Мир, 1969. – 115 с. Поступило в редакцию 15.10.2010Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков D.V. Bolotov On the macroscopic dimension of nonspin manifolds We prove that the macroscopic dimension of the universal covering of a closed n-dimensional (n > 5) inessential totally nonspin manifold is less or equal to n − 2 that confirms the Gromov’s conjecture in this special case. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 11

О макроскопической размерности неспиновых многообразий

Репозитарії

Схожі ресурси