Про одну змішану систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах
Систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах вперше наведено в операторній гамільтоновій формі шести рівнянь за радіальною координатою. The system of six equations of the Tymoshenko type for vibrations of plates in polar coordinates in the operator Hamilton form in the radi...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38142 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про одну змішану систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 67-70. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859711211041456128 |
|---|---|
| author | Шульга, М.О. |
| author_facet | Шульга, М.О. |
| citation_txt | Про одну змішану систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 67-70. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах вперше наведено в операторній гамільтоновій формі шести рівнянь за радіальною координатою.
The system of six equations of the Tymoshenko type for vibrations of plates in polar coordinates in the operator Hamilton form in the radial coordinate is first presented.
|
| first_indexed | 2025-12-01T05:53:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
© 2011
Член-кореспондент НАН України М. О. Шульга
Про одну змiшану систему рiвнянь типу Тимошенка
коливань пластин в полярних координатах
Систему рiвнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах вперше
наведено в операторнiй гамiльтоновiй формi шести рiвнянь за радiальною координатою.
Застосуванню гамiльтонового формалiзму в теорiї згинальних коливань пластин присвя-
ченi роботи [1–4]. В [2] формалiзм Гамiльтона реалiзований у кiрхгофовiй теорiї коливань
пластин в полярних координатах в її серединнiй площинi. Нижче систему рiвнянь типу
Тимошенка поперечних коливань пластин в полярних координатах вперше перетворено до
змiшаної системи шести рiвнянь в операторнiй канонiчнiй формi за радiальною координа-
тою.
В теорiї типу Тимошенка поперечних коливань тонкої пластини в полярних координатах
r, θ в її серединнiй площинi згинальнi Mrr i Mθθ та крутильний Mrθ моменти, перерiзуючi
сили Qr, Qθ, прогин w i кути повороту нормалi ψr, ψθ пов’язанi рiвняннями коливань
1
r
∂rMrr
∂r
+
1
r
∂Mrθ
∂θ
−
Mθθ
r
−Qr = −ρI1
∂2ψr
∂t2
,
1
r2
∂r2Mrθ
∂r
+
1
r
∂Mθθ
∂θ
−Qθ = −ρI1
∂2ψθ
∂t2
,
1
r
∂rQr
∂r
+
1
r
∂Qθ
∂θ
= ρh
∂2w
∂t2
(1)
i матерiальними спiввiдношеннями
Mrr = −D
(
∂ψr
∂r
+ ν
(
1
r
∂ψθ
∂θ
+
ψr
r
))
,
Mθθ = −D
(
ν
∂ψr
∂r
+
1
r
∂ψθ
∂θ
+
ψr
r
)
,
Mrθ =Mθr = −
1
2
(1− ν)D
(
∂ψθ
∂r
−
ψθ
r
+
1
r
∂ψr
∂θ
)
,
Qr = B3
(
∂w
∂r
− ψr
)
, }Qθ = B3
(
1
r
∂w
∂θ
− ψθ
)
,
(2)
в яких врахованi формули для деформацiй. В залежностях (1), (2) ρ, E, ν, G13 = G23 6=
6= 2(1− ν)E — густина, модуль Юнга, коефiцiєнт Пуассона, модулi зсуву матерiалу; D =
= I1E/(1− ν
2) — згинальна жорсткiсть; B3 = kGG13h = kGG23h — зсувна жорсткiсть; kG —
коефiцiєнт зсуву; h — товщина пластини; I1 = h3/12 — момент iнерцiї поперечного перерiзу
на одиницю довжини.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 67
Згiдно з роботами [2, 5, 6], запишемо систему (1), (2) в операторнiй нормальнiй формi
Кошi за радiальною координатою r
∂rMrr
∂r
=Mθθ −
∂Mrθ
∂θ
+ rQr − ρI1
∂2ψr
∂t2
,
∂ψθ
∂r
= −
2
(1− ν)D
Mrθ −
1
r
∂ψr
∂θ
+
ψθ
r
,
∂w
∂r
=
Qr
B3
+ ψr,
∂ψr
∂r
= −
Mrr
D
− ν
1
r
∂ψθ
∂θ
− ν
ψr
r
,
∂rMrθ
∂r
= −Mrθ −
∂Mθθ
∂θ
+ rQθ − rρI1
∂2ψθ
∂t2
,
∂rQr
∂r
= −
∂Qθ
∂θ
+ rρh
∂2w
∂t2
.
(3)
Згинальний Mrr i крутильний Mrθ моменти, перерiзуюча сила Qr, прогин w i кути пово-
роту нормалi ψr i ψθ при досконалому механiчному контактi залишаються неперервними
на перерiзах r = const розриву механiчних характеристик пластини. Функцiї rMrr, ψθ, w,
ψr, rMrθ, rQr вибираємо за основнi розв’язуючi функцiї i вiдповiдним чином перетворимо
одержану систему (3).
З цiєю метою з системи (3), користуючись двома невикористаними з рiвнянь (1) та (2),
виключаємо Mθθ i Qθ. Виразимо згинальний момент Mθθ i перерiзуючу силу Qθ через основ-
нi розв’язуючi функцiї rMrr, ψθ, w, ψr
Mθθ = νMrr − (1− v2)D
(
1
r
∂ψθ
∂θ
+
ψr
r
)
, Qθ = B3
(
−ψθ +
1
r
∂w
∂θ
)
. (4)
Пiсля вiдповiдних перетворень рiвнянь (3) одержимо систему змiшаних рiвнянь теорiї типу
Тимошенка коливань пластини в полярних координатах в операторнiй нормальнiй формi
Кошi
∂rMrr
∂r
=
ν
r
rMrr − (1− v2)D
1
r
∂ψθ
∂θ
− (1− v2)D
ψr
r
− ρI1
∂2ψr
∂t2
−
1
r
∂rMrθ
∂θ
+ rQr,
∂ψθ
∂r
=
ψθ
r
−
1
r
∂ψr
∂θ
−
2
(1− ν)D
1
r
rMrθ,
∂w
∂r
= ψr +
1
rB3
rQr,
∂ψr
∂r
= −
1
rD
rMrr −
ν
r
∂ψθ
∂θ
−
ν
r
ψr,
∂rMrθ
∂r
= −
ν
r
∂rMrθ
∂θ
+ (1− ν2)D
1
r
∂2ψθ
∂θ2
−B3rψθ − rρI1
∂2ψθ
∂t2
+B3
∂w
∂θ
+
+ (1− ν2)D
1
r
∂ψr
∂θ
−
1
r
rMrθ,
∂rQr
∂r
= B3
∂ψθ
∂θ
+ rρh
∂2w
∂t2
−B3
1
r
∂2w
∂θ2
(5)
вiдносно основних функцiй rMrr, ψθ, w, ψr, rMrθ, rQr.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
Покажемо, що система (4) є операторною гамiльтоновою системою [7] за просторовою
координатою r
∂qi
∂r
=
∂Ĥ
∂pi
,
∂pi
∂r
= −
∂Ĥ
∂qi
, i = 1, 2, 3. (6)
Для цього “канонiчнi” змiннi qi, pi i операторну функцiю Гамiльтона вiзьмемо у виглядi
q1
q2
q3
=
rMrr
ψθ
w
,
p1
p2
p3
=
ψr
rMrθ
rQr
, Ĥ =
1
2
P̂ijqiqj + R̂ijqipj +
1
2
Q̂ijpipj, (7)
де елементи операторних симетричних матриць P̂ij , Q̂ij i ненульовi елементи операторної
матрицi R̂ij мають такi значення:
−P̂11 = −
1
rD
, −P̂12 = −P̂21 = −
ν
r
, −P̂13 = −P̂31 = 0,
−P̂22 = (1− ν2)D
1
r
∂2
∂θ2
−B3r − rρI1
∂2
∂t2
, −P̂23 = −P̂32 = B3
∂
∂θ
,
−P̂33 = −B3
1
r
∂2
∂θ2
+ rρh
∂2
∂t2
,
Q̂11 = −(1− ν2)D
1
r
− ρI1
∂2
∂t2
, Q̂12 = Q̂21 = −
1
r
∂
∂θ
, Q̂13 = Q̂31 = 1,
Q̂22 = −
2
(1− ν)Dr
, Q̂23 = Q̂32 = 0, Q̂33 =
1
rB3
,
R̂11 =
ν
r
, R̂12 = −(1− ν2)D
1
r
∂
∂θ
, R̂22 =
1
r
.
(8)
В операторному виразi (7) i виконаннi диференцiювання в (6) оператори (8) P̂ij , Q̂ij,
R̂ij вважаються сталими величинами. В результатi такої процедури з (6) одержимо рiвнян-
ня (5). Це i доводить, що система (5) є операторною гамiльтоновою системою за просто-
ровою координатою r.
Коефiцiєнти системи (5), а значить i рiвнянь (1), (2), можуть бути довiльними функцi-
ями координати r з розривами першого роду.
Функцiї Mθθ i Qθ, якi не ввiйшли в систему (5), визначаються через основнi розв’язуючi
функцiї за формулами (4).
Операторну гамiльтонову систему (5) можна одержати з “iзохронної” варiацiї функцiо-
нала
I(rMrr, ψθ, w, ψr , rMrθ, rQr) =
b∫
a
{
ψr
∂(rMrr)
∂r
+ (rMrθ)
∂ψθ
∂r
+ (rQr)
∂w
∂r
−
−
[
1
2
1
rD
(rMrr)
2 +
ν
r
∂θ(rMrr)ψθ +
1
2
(
rρI1∂
2
t +B3r − (1− ν2)D
1
r
∂2θ
)
ψ2
θ −
−B3∂θψθw+
1
2
(
−rρh∂2t +
B3
r
∂2θ
)
w2−
1
2
(1− ν2)D
1
r
ψ2
r−
1
r
∂θψr(rMrθ) +
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 69
+ ψr(rQr)−
1
2
2
(1− ν)D
1
r
(rMrθ)
2 +
1
2
1
rB3
(rQr)
2 +
+
ν
r
(rMrr)ψr − (1− ν2)D
1
r
∂θψθψr +
1
r
ψθ(rMrθ)
]}
dr. (9)
При варiюваннi функцiонала оператори P̂ij = P̂ji, Q̂ij = Q̂ji, R̂ij слiд вважати замороже-
ними (сталими) i переставними з варiацiями
δ(P̂ij , Q̂ij , R̂ij)ambn = (P̂ij , Q̂ij , R̂ij)(amδbn + bnδam) =
= δbn(P̂ij , Q̂ij , R̂ij)am + δam(P̂ij , Q̂ij, R̂ij)bn. (10)
Таким чином, в данiй роботi система рiвнянь типу Тимошенка коливань пластин в по-
лярних координатах вперше перетворена до змiшаної системи шести рiвнянь в операторнiй
гамiльтоновiй формi за радiальною координатою. При гармонiчних коливаннях f(r, θ, t) =
= Re fa(r, θ) exp iωt ця система стає системою звичайних диференцiальних рiвнянь в га-
мiльтоновiй формi за просторовою координатою вiдносно амплiтудних значень польових
функцiй.
1. Шульга М.О. О гамильтоновом формализме в теории типа Тимошенко изгиба пластин // Теорет. и
прикл. механика. – 2009. – Вып. 45. – С. 3–7.
2. Шульга М.О. Про одну змiшану систему рiвнянь поперечних коливань пластин в полярних коорди-
натах // Доп. НАН України. – 2011. – № 5. – С. 78–81.
3. Шульга О.М. Построение решений уравнений колебаний классической теории пластин с периодиче-
скими по одной координате параметрами // Теорет. и прикл. механика. – 1995. – Вып. 25. – С. 109–113.
4. Шульга О.М. Волновые решения уравнений типа Тимошенко поперечных колебаний пластины c
периодическими по одной координате параметрами // Там же. – 1996. – Вып. 26. – С. 105–111.
5. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. – Киев: Наук. думка, 1981. –
200 с.
6. Шульга В.М. До розв’язку рiвнянь теорiї пружностi в цилiндричних координатах // Доп. НАН
України. – 1998. – № 6. – С. 80–82.
7. Павловський М.А. Теоретична механiка. – Київ: Технiка, 2002. – 512 с.
Надiйшло до редакцiї 19.10.2010Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
Corresponding Member of the NAS of Ukraine M. O. Shul’ga
About one mixed system of equations of the Tymoshenko type for
vibrations of plates in polar coordinates
The system of six equations of the Tymoshenko type for vibrations of plates in polar coordinates in
the operator Hamilton form in the radial coordinate is first presented.
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38142 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T05:53:20Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шульга, М.О. 2012-10-31T13:31:36Z 2012-10-31T13:31:36Z 2011 Про одну змішану систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах / М.О. Шульга // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 67-70. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38142 539.3 Систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах вперше наведено в операторній гамільтоновій формі шести рівнянь за радіальною координатою. The system of six equations of the Tymoshenko type for vibrations of plates in polar coordinates in the operator Hamilton form in the radial coordinate is first presented. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Про одну змішану систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах About one mixed system of equations of the Tymoshenko type for vibrations of plates in polar coordinates Article published earlier |
| spellingShingle | Про одну змішану систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах Шульга, М.О. Механіка |
| title | Про одну змішану систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах |
| title_alt | About one mixed system of equations of the Tymoshenko type for vibrations of plates in polar coordinates |
| title_full | Про одну змішану систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах |
| title_fullStr | Про одну змішану систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах |
| title_full_unstemmed | Про одну змішану систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах |
| title_short | Про одну змішану систему рівнянь типу Тимошенка коливань пластин в полярних координатах |
| title_sort | про одну змішану систему рівнянь типу тимошенка коливань пластин в полярних координатах |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38142 |
| work_keys_str_mv | AT šulʹgamo proodnuzmíšanusistemurívnânʹtiputimošenkakolivanʹplastinvpolârnihkoordinatah AT šulʹgamo aboutonemixedsystemofequationsofthetymoshenkotypeforvibrationsofplatesinpolarcoordinates |