О кривизне семейства кривых на плоскости
Доведено, що для послідовності регулярних кривих, яка задовольняє певні умови, довжини яких прямують до нескінченності, максимум кривини також прямує до нескінченності. It is proved that the maximum of the curvature of some family of curves tends to infinity with the lengths of curves....
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38146 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О кривизне семейства кривых на плоскости / А.А. Борисенко, М.А. Голицына // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 12-16. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860119764476624896 |
|---|---|
| author | Борисенко, А.А. Голицына, М.А. |
| author_facet | Борисенко, А.А. Голицына, М.А. |
| citation_txt | О кривизне семейства кривых на плоскости / А.А. Борисенко, М.А. Голицына // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 12-16. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Доведено, що для послідовності регулярних кривих, яка задовольняє певні умови, довжини яких прямують до нескінченності, максимум кривини також прямує до нескінченності.
It is proved that the maximum of the curvature of some family of curves tends to infinity with the lengths of curves.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:38:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514.764.77
© 2011
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Борисенко, М. А. Голицына
О кривизне семейства кривых на плоскости
Доведено, що для послiдовностi регулярних кривих, яка задовольняє певнi умови, дов-
жини яких прямують до нескiнченностi, максимум кривини також прямує до нескiн-
ченностi.
Здесь решается задача, поставленная Е.В. Жужомой. Она возникла в теории динамических
систем.
Теорема. Пусть γi — последовательность регулярных кривых с концами Ai, Bi, кото-
рые лежат на отрезке конечной длины AB и расположены в одной полуплоскости, ограни-
ченной прямой AB. Вместе с отрезками AiBi кривые γi образуют замкнутые вложенные
кривые, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) области Ωi, ограниченные этими кривыми, вложены друг в друга: Ωi 6 Ωi+1;
2) площади S(Ωi) областей Ωi ограничены: S(Ωi) 6 M , где M — постоянная;
3) длины l(γi) кривых γi стремятся к бесконечности.
Тогда найдется последовательность точек Xi на кривых γi такая, что кривизны кривых
в этих точках стремятся к бесконечности при i → ∞.
Доказательство. Предположим, что кривизны кривых γ ограничены одной и той же
постоянной: |k(x)| 6 1/R, где x ∈ γi. Пусть γ — одна из кривых γi. Возьмем криволиней-
ную полугеодезическую систему координат с базой γ в окрестности этой кривой. Метрика
плоскости в этой системе координат имеет вид
dσ2 = dt2 + (1− kt)ds2,
где s — параметр длины кривой γ, t — длина отрезка нормали к γ, отсчитываемой от точки
кривой внутрь области, ограниченной кривой. При 0 6 t 6 (
√
2 − 1)R, k 6 1/R, площадь
области
Σ: {0 6 t 6 d 6 (
√
2− 1)R, 0 6 s 6 l(γ)}
на плоскости с учетом кратности покрытия удовлетворяет неравенству
S >
√
2(
√
2− 1)d · l(γ). (1)
Из леммы 4 (см. текст далее) следует, что кратность покрытия меньше 4. В силу того, что
отрезок AB имеет конечную длину l0 и выполняется условие 2, площадь части области Σ,
которая лежит внутри Ω, удовлетворяет неравенству
4M >
√
2(
√
(2)− 1)dl(γ) − l0d. (2)
Поэтому при достаточно большом l(γ) это неравенство не имеет места. И найдется точка
области Σ, которая не принадлежит области Ω и лежит выше отрезка AB. Это значит, что
в какой-то точке N кривой γ внутренняя нормаль к γ пересечет кривую γ на расстоянии
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
меньше d в некоторой точке T . Ограничимся дугой γ′ кривой γ между точками N и T . По
лемме 3 в области Ω, ограниченной кривой γ′ и отрезком NT , лежит круг радиуса R.
Не ограничивая общности, можно считать, что точки Ai, Bi сходятся к точкам A, B
и также сходятся касательные в этих точках. Если возьмем на кривых γi дуги конечной
длины, отсчитываемые от точек Ai, Bi, ограниченные константой, то из этих дуг можно
выбрать сходящуюся подпоследовательность, длины этих дуг также сходятся. Пусть мы
вписали круг радиуса R в область Ωk; Ak+1, Bk+1 — концы кривой γk+1. Возьмем на кри-
вой γk+1 точки A′
k+1, B′
k+1 так, чтобы дуги Ak+1A
′
k+1, Bk+1B
′
k+1 имели длину h, где h
достаточно мало.
Пусть dk = min |CD|, где
1) C,D ∈ γk+1;
2) C,D /∈ Ak+1A
′
k+1;
3) C,D /∈ Bk+1B
′
k+1;
4) CD
⋂
γk 6= ∅.
Возьмем кривую γi, i > k, длина которой
l(γi) >
4M + l0dk√
2(
√
(2)− 1)dk
,
и повторим для нее доказательство, которое было дано для кривой γ = γk. Мы получим, что
в области Ωi содержится круг Di радиуса R. Покажем, что хорда NiTi, которая является
аналогом хорды NT , не пересекает область Ω. Точки пресечения хорды NiTi с кривой γk+1
не могут принадлежать либо дуге Ak+1A
′
k+1, либо дуге Bk+1B
′
k+1, так как эти дуги сходя-
тся при i → ∞ одновременно с касательными. При достаточно малом h хорда NiTi близка
к касательным дуги, которую она стягивает на кривой γ и кривой γi. А это противоречит
тому, что либо в точке Ni, либо Ti хорда перпендикулярна касательной. И так как дли-
на хорды NiTi меньше dk, то хорда NiTi не пересекает кривую γk. Поэтому круг Di не
пересекается с кругом D.
Повторив эту процедуру неограниченное число раз, мы получим, что при i → ∞ облас-
ти Ωi содержат неограниченное число непересекающихся кругов радиуса R. Отсюда сле-
дует, что площади областей Ωi стремятся к бесконечности при i → ∞. Это противоречит
условию теоремы.
Формулировка лемм.
Лемма 1 [1]. Пусть γ(s) — плоская кривая кривизны |k| 6 1/R. Выберем так прямо-
угольную систему координат, что точка γ(0) совпавдает с началом координат, а каса-
тельная совпадает с осью y.
Пусть S1, S2 — полуокружности радиуса R с центрами в точках (R,O), (−R,O),
которые касаются оси y в точке γ(0). Пусть
x = x(s), y = y(s); x = x1(s), y = y1(s); x = x2(s), y = y2(s) —
параметрические задания кривых γ, S1, S2, где s — параметр длины этих кривых, отсчи-
тываемый от точки γ(0). Тогда
x′2(s) 6 x′(s) 6 x′1(s), 0 6 s 6
π
2
R.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 13
Лемма 2 [1]. Пусть γ(s) — плоская кривая кривизны |k| 6 1/R. Пусть Z(s), Y (s) —
левосторонняя и правосторонняя окружности радиуса R, касательные к кривой γ в точке
γ(s). Пусть D(s) — расстояние от центра окружности Y (s) до центра окружности Z(o).
Тогда D(s) — монотонно неубывающая функция s для 0 6 s 6 πR/2.
Лемма 3. Пусть γ(s) — плоская кривая кривизны |k| 6 1/R, стянутая хордой AB дли-
ны d. Вместе с хордой кривая является замкнутой вложенной кривой, ограничивающей
область Ω. Пусть α — угол в точке B между отрезком BA и касательной к кривой γ
в точке B.
Если d < (
√
2 − 1) sinαR, то в область Ω можно вписать круг радиуса R.
Доказательство. Рассмотрим случай 0 < α 6 π/2. Оценка, которую мы получим,
будет верна и для π/2 < α < π.
Пусть S1 — окружность радиуса R, касающаяся γ в точке B, которая в окрестности
точки B проходит вне области Ω, O1 — центр этой окружности. Пусть S′ — окружность
радиуса r′, одновременно касающаяся отрезка AB и кривой γ. Гомотетическим преобразо-
ванием с коэффициентом λ > 1 с центром в точке касания окружностью S′ отрезка AB мы
получим окружность S радиуса r, которая касается окружности S1, r
′
6 r. Если окруж-
ность S′ была вписана в область Ω, то окружность S в общем случае нет. Дадим оценку на r.
Рассмотрим четырехугольник O1OPB, где O — центр окружности S, P — точка касания
окружностью S отрезка AB. OP = r, OO1 = R + r, OB = R, PB = d1 6 d.
Рассмотрим △OO1B; ∠OBO1 = π/2 + α − ϕ, где
ϕ = ∠PBO; sinϕ =
r
√
r2 + d2
1
; cosϕ =
d1
√
r2 + d2
1
;
(R+ r)2 = OO2
1 = r2 + d21 +R2 + 2
√
r2 + d2
1
·R sin(α− ϕ);
2Rr = d21 + 2Rd1 sinα− 2Rr cosα;
r =
d1
(
d1
2R
+ sinα
)
1 + cosα
; r 6
d
(
d
2R
+ sinα
)
1 + cosα
.
Теперь проведем через точку B вторую окружность S2 радиуса R, касательную к кри-
вой γ в точке B. Наибольшее расстояние точки этой окружности от прямой AB рав-
но 2R sin2(α/2). Из леммы 1 следует, что наибольшее расстояние дуги кривой γ длины
s 6 πR/2 от прямой AB будет не меньше 2R sin2(α/2). Поэтому в максимально высо-
кой точке P0 кривой γ окружность, касательная к кривой и отрезку AB, имеет радиус
> R sin2(α/2).
Но если
d
(
d
2R
+ sinα
)
1 + cosα
< R sin2
α
2
; d < R sinα(
√
2− 1),
то окружность, касательная к γ и отрезку AB в этой точке, не лежит внутри замкну-
той области Ω. Рассмотрим окружность максимального радиуса, касательную к кривой γ
в точке P0 и вписанную в область Ω. Если радиус этой окружности > R0, то утверждение
леммы доказано. Если радиус этой окружности меньше R, то эта окружность не касается
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
отрезка AB, а касается внутри кривой γ еще по крайней мере одной точки Q0, отличной
от точки P0. В этом случае рассмотрим дугу кривой γ между точками P0, Q0. Окруж-
ности максимального радиуса, касательные к кривой γ в точке P дуги P0Q0 и вписанные
в область Ω, также не касаются отрезка AB.
Г. Пестов и В. Ионин доказали следующую теорему [2]: Если кривизна замкнутой вло-
женной кривой |k| 6 1/R, то найдется круг радиуса R, целиком лежащий внутри зам-
кнутой области, ограниченной этой кривой.
Рассмотрим дугу γ′ кривой γ между точками P0, Q0. Следуя [2], для точек этой дуги
введем интегральный круг кривизны.
Будем говорить, что круг C(Y ) есть интегральный круг кривизны кривой γ′ в точке Y ,
если C(Y ) лежит целиком в области Ω и либо окружность C(Y ) касается γ′ по крайней мере
в двух различных точках, одна из которых Y , либо C(Y ) есть обычный круг кривизны
кривой γ′ в точке Y .
Так как круги C(Y ) для Y ∈ γ′ не касаются отрезка AB и касаются кривой γ только
в точках кривой γ′, то, следуя ходу доказательства теоремы Пестова–Ионина с использова-
нием лемм 2, 3 из [2], мы получаем существование круга радиуса R, вписанного в область Ω.
Лемма 4. Пусть точка Q лежит на внутренних нормалях к кривой γ в точках P1,
P2 ∈ γ; P1Q = d1 < R; P2Q = d2 < R;
P1P2 = h < R
(
√
4
(
1−
√
2
2
)
+ 1− 1
)
;
. Тогда угол ϕ = ∠P1QP2 > π/2.
Доказательство. Проведем окружности S(P1), S(P2) радиуса R, касательные к γ в то-
чках P1P2 и в окрестности точек P1, P2 лежащие вне области Ω.
Рассмотрим несколько случаев.
1. Пусть окружности S(P1), S(P2) пересекаются в точке P и длины дуг окружностей
P1P , P2P не превосходят πR/4. Тогда из леммы 1 следует, что длина дуги P1P2 кривой γ не
превосходит πR/2. В этом случае из леммы 2 следует невозможность пересечения нормалей
в точке Q.
2. Окружности пересекаются в точке P , но длина одной из дуг P1P , P2P больше πR/4.
Тогда длина отрезка P1P2 = h >
(
√
4(1−
√
2/2) + 1 − 1
)
R. По условию леммы h удовле-
творяет противоположному неравенству и этот вариант не реализуется.
3. Окружности S(P1), S(P2) не пересекаются. Вращаем их вокруг точек P1, P2 так,
чтобы они коснулись в точке P . При этом углы ϕ1, ϕ2, которые образуют окружности
с отрезком P1P2, уменьшатся. Так как длина P1P2 = h <
(
√
4(1−
√
2/2) + 1 − 1
)
R, то
в новом положении на окружности высекаются дуги длины меньше π/4.
Рассмотрим криволинейный треугольник, обрисованный новым положением окружнос-
тей и отрезком P1P2, ϕ
′
1, ϕ
′
2 — углы между отрезком P1P2 и новыми окружностями. Тогда
(π − ϕ′
1) + (π − ϕ′
2) + π − α1 − α2 = 2π,
где α1, α2 есть повороты дуг окружностей P1P , P2P ;
ϕ′
1 + ϕ′
2 = π − α1 − α2 >
π
2
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 15
Первоначальные углы ϕ1 > ϕ′
1, ϕ2 > ϕ′
2. И угол ϕ = ϕ1 + ϕ2 = ∠P1QP2 > π/2, чем
утверждение леммы доказано.
Так как h < d1 + d2, то взяв
d1 + d2 <
(
√
4
(
1−
√
2
2
)
+ 1− 1
)
R,
мы удовлетворим условия леммы и получим, что точки области Ω покрываются множест-
вом Σ криволинейной системы координат с кратностью меньше 4.
1. Dubins L. E. On curves of minimal length with a constraint on average curvature, and with prescribed
initial and terminal positions and tangents // Amer. J. Math. – 1957. – 79. – P. 497–516.
2. Пестов Г., Ионин В. О наибольшем круге, вложенном в замкнутую кривую // Докл. АН СССР. –
1959. – 127, № 6. – С. 1170–1172.
Поступило в редакцию 23.09.2010Харьковский национальный университет
им. В.Н. Каразина
Corresponding Member of the NAS of Ukraine A.A. Borisenko, M. A. Golitsyna
About the curvature of some family of plane curves
It is proved that the maximum of the curvature of some family of curves tends to infinity with the
lengths of curves.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38146 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:38:18Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Борисенко, А.А. Голицына, М.А. 2012-10-31T13:47:22Z 2012-10-31T13:47:22Z 2011 О кривизне семейства кривых на плоскости / А.А. Борисенко, М.А. Голицына // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 12-16. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38146 514.764.77 Доведено, що для послідовності регулярних кривих, яка задовольняє певні умови, довжини яких прямують до нескінченності, максимум кривини також прямує до нескінченності. It is proved that the maximum of the curvature of some family of curves tends to infinity with the lengths of curves. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О кривизне семейства кривых на плоскости About the curvature of some family of plane curves Article published earlier |
| spellingShingle | О кривизне семейства кривых на плоскости Борисенко, А.А. Голицына, М.А. Математика |
| title | О кривизне семейства кривых на плоскости |
| title_alt | About the curvature of some family of plane curves |
| title_full | О кривизне семейства кривых на плоскости |
| title_fullStr | О кривизне семейства кривых на плоскости |
| title_full_unstemmed | О кривизне семейства кривых на плоскости |
| title_short | О кривизне семейства кривых на плоскости |
| title_sort | о кривизне семейства кривых на плоскости |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38146 |
| work_keys_str_mv | AT borisenkoaa okriviznesemeistvakrivyhnaploskosti AT golicynama okriviznesemeistvakrivyhnaploskosti AT borisenkoaa aboutthecurvatureofsomefamilyofplanecurves AT golicynama aboutthecurvatureofsomefamilyofplanecurves |