Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами
Визначено абсолютно неперервні процеси, які збігаються до мультифрактального броунівського руху за ймовірністю в просторах типу Бєсова. Одержано результат про збіжність розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь з такими процесами до розв'язку рівняння з мультифрактальним броунівським...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38147 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами / К.В. Ральченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 27-31. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859676180875051008 |
|---|---|
| author | Ральченко, К.В. |
| author_facet | Ральченко, К.В. |
| citation_txt | Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами / К.В. Ральченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 27-31. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Визначено абсолютно неперервні процеси, які збігаються до мультифрактального броунівського руху за ймовірністю в просторах типу Бєсова. Одержано результат про збіжність розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь з такими процесами до розв'язку рівняння з мультифрактальним броунівським рухом. Аналогічні наближення побудовано для випадку двопараметричних процесів.
We define absolute continuous stochastic processes that converge to a multifractal Brownian motion in Besov-type spaces. The convergence of solutions of stochastic differential equations with such processes to a solution of the equation with multifractal Brownian motion is proved. Similar approximations are constructed in the case of two-parameter processes.
|
| first_indexed | 2025-11-30T16:22:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
© 2011
К.В. Ральченко
Наближення мультифрактальних процесiв i полiв
абсолютно неперервними процесами
(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)
Визначено абсолютно неперервнi процеси, якi збiгаються до мультифрактального бро-
унiвського руху за ймовiрнiстю в просторах типу Бєсова. Одержано результат про
збiжнiсть розв’язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь з такими процесами до
розв’язку рiвняння з мультифрактальним броунiвським рухом. Аналогiчнi наближення
побудовано для випадку двопараметричних процесiв.
Дробовий броунiвський рух (ДБР) є популярною моделлю для дослiдження процесiв з дов-
гостроковою залежнiстю, що виникають, наприклад, у комп’ютерних мережах, на фiнансо-
вих ринках тощо. Але стацiонарнiсть приростiв ДБР iстотно обмежує область його засто-
сувань. Зокрема, вiн не дозволяє моделювати процеси, регулярнiсть траєкторiй i “глибина
пам’ятi” яких змiнюється з часом. У зв’язку з цим останнiм часом було запропоновано де-
кiлька узагальнень ДБР, а саме: мультифрактальний броунiвський рух (МБР) з рухомим
середнiм [1], МБР типу Вольтерра [2, 3], гармонiзований МБР [4].
У данiй роботi ми будуємо абсолютно неперервнi процеси, якi наближують одно- i дво-
параметричний МБР. Ми доводимо збiжнiсть апроксимацiй у просторах типу Бєсова. Як
наслiдок, ми одержуємо результат про збiжнiсть розв’язкiв вiдповiдних стохастичних ди-
ференцiальних рiвнянь.
1. Апроксимацiя мультифрактального броунiвського руху.
1.1. Означення 1. Нехай для β ∈ (0, 1) W β
0 = W β
0 ([0, T ]) — простiр вимiрних функцiй
f : [0, T ] → R з
‖f‖0,β := sup
t∈[0,T ]
(
|f(t)|+
t
∫
0
|f(t)− f(s)|
(t− s)1+β
ds
)
<∞.
Також нехай W β
1 = W β
1 ([0, T ]) — простiр вимiрних функцiй f : [0, T ] → R з
‖f‖1,β := sup
06s<t6T
(
|f(t)− f(s)|
(t− s)β
+
t
∫
s
|f(u)− f(s)|
(u− s)1+β
du
)
<∞.
Нехай (Ω,F ,P) — повний iмовiрнiсний простiр. Дробовим броунiвським рухом (ДБР)
з параметром Хюрста H ∈ (0, 1) називається центрований гауссiвський процес BH =
= {BH
t , t > 0} зi стацiонарними приростами та коварiацiйною функцiєю
E(BH
t B
H
s ) =
1
2
(t2H + s2H − |t− s|2H).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 27
Припустимо, що функцiя H : [0,+∞) → (1/2, 1) задовольняє умову Гельдера з показни-
ком γ > 1/2: iснує стала C1 > 0 така, що для будь-яких t1, t2 ∈ [0,+∞)
|Ht1 −Ht2 | 6 C1|t1 − t2|
γ .
Можливi рiзнi узагальнення ДБР зi змiнною функцiєю Хюрста. Ми розглядатимемо
узагальнення вигляду Yt = BHt
t , де {BH
t , t ∈ [0, T ],H ∈ (1/2, 1)} — така сiм’я випадкових
величин, що
(i) для фiксованого H ∈ (1/2, 1) {BH
t , t ∈ [0, T ]} — ДБР з параметром Хюрста H;
(ii) для будь-яких t ∈ [0, T ], H1, H2 ∈ (1/2, 1)
E(BH1
t −BH2
t )2 6 C2(H1 −H2)
2.
Наприклад, це може бути будь-яке з узагальнень, запропонованих в роботах [1–4].
Введемо позначення Hmin := min{γ, min
t∈[0,T ]
Ht}.
1.2. Апроксимацiя мультифрактального броунiвського руху. Розглянемо таку апрокси-
мацiю:
BHt,ε
t :=
1
φt(ε)
t+φt(ε)
∫
t
BHs
s ds =
1
φt(ε)
φt(ε)
∫
0
B
Hu+t
u+t du, (1)
де φt(ε) = φ(t, ε) : [0, T ] × R+ → R+ — набiр вимiрних функцiй, який задовольняє умови:
1) sup
t∈[0,T ]
φt(ε) → 0, ε → 0+;
2) для всiх t, s ∈ [0, T ] i для всiх ε > 0
∣
∣
∣
∣
φs(ε)− φt(ε)
φs(ε)
∣
∣
∣
∣
6 C3|t− s|Hmin,
де C3 — стала, яка не залежить вiд ε.
У ролi φt(ε) можна розглядати, наприклад, функцiї виду φt(ε) = ψt · ε, де функцiя ψt
вiдокремлена вiд нуля та задовольняє умову Гельдера з показником Hmin.
Теорема 1. Для довiльного β ∈ (0,Hmin)
‖BH,ε −BH‖1,β
P
−→ 0, ε→ 0 + .
1.3. Наближення розв’язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь. Розглянемо сто-
хастичне диференцiальне рiвняння з МБР:
Xt = X0 +
t
∫
0
b(s,Xs) ds +
t
∫
0
σ(s,Xs) dB
Hs
s , t ∈ [0, T ]. (2)
Наближення для розв’язку цього рiвняння природно будувати як розв’язок
Xε
t = X0 +
t
∫
0
b(s,Xε
s ) ds+
t
∫
0
σ(s,Xε
s ) dB
Hs,ε
s , t ∈ [0, T ],
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
де процеси BHs,ε
s , ε > 0, визначенi формулою (1). Але спершу треба визначити, коли розв’я-
зок рiвняння (2) iснує та єдиний.
Припустимо, що коефiцiєнти b(t, x), σ(t, x) майже напевне задовольняють такi умови
(сталi LN , MN та функцiя b0 можуть залежати вiд ω).
I. σ(t, x) — диференцiйовна за x; iснують сталi 1−Hmin < κ 6 1 та (1/Hmin)−1 < δ 6 1,
i для кожного N > 0 iснує MN > 0 таке, що:
(i) для всiх x ∈ R i t ∈ [0, T ]
|σ(t, x)− σ(t, y)| 6M0|x− y|;
(ii) для всiх |x|, |y| 6 N i t ∈ [0, T ]
∣
∣
∣
∣
∂
∂x
σ(t, x) −
∂
∂x
σ(t, y)
∣
∣
∣
∣
6MN |x− y|δ;
(iii) для всiх x ∈ R, t, s ∈ [0, T ]
|σ(t, x)− σ(s, x)| +
∣
∣
∣
∣
∂
∂x
σ(t, x)−
∂
∂x
σ(s, x)
∣
∣
∣
∣
6M0|t− s|κ.
II. Iснує b0 ∈ Lρ(0, T ), ρ > 2, i для кожного N > 0 iснує LN > 0 таке, що:
(iv) для всiх |x|, |y| 6 N i t ∈ [0, T ]
|b(t, x)− b(t, y)| 6 LN |x− y|;
(v) для всiх x ∈ R i t ∈ [0, T ]
|b(t, x)| 6 L0|x|+ b0(t).
Нехай α0 = min{1/2,κ, δ/(1 + δ)}.
Теорема 2. Припустимо, що α ∈ (1 − Hmin, α0), X0 — випадкова величина, а коефi-
цiєнти рiвняння (2) задовольняють умови (i)–(v) з ρ > 1/α. Тодi iснує єдиний розв’язок
{Xt, t ∈ [0, T ]} рiвняння (2), X ∈ L0(Ω,F ,P,Wα
0 [0, T ]), траєкторiї якого майже напевне
належать до простору C1−α[0, T ].
Нехай BHs,ε
s , ε > 0, визначенi формулою (1).
Теорема 3. Припустимо, що виконанi умови теореми 2. Тодi
sup
t∈[0,T ]
|Xt −Xε
t |
P
−→ 0, ε→ 0+.
2. Апроксимацiя полiв.
2.1. Означення 2. Нехай s, t ∈ R
2
+, s = (s1, s2), t = (t1, t2). Будемо писати s < t, якщо
s1 < t1 i s2 < t2. Для s < t позначимо [s, t] = [s1, t1]× [s2, t2] ⊂ R
2
+. Для функцiї f : R2
+ → R
розглядатимемо прирости
∆sf(t) := f(t)− f(s1, t2)− f(t1, s2) + f(s), s, t ∈ R
2
+.
Нехай T = (T1, T2) ∈ (0,∞)2, [0, T ] = [0, T1] × [0, T2].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 29
W β1,β2
1 = W β1,β2
1 ([0, T ]) — простiр вимiрних функцiй f : [0, T ] → R, для яких
‖f‖1,β1,β2
= sup
06s<t6T
(
|∆sf(t)|
(t1 − s1)β1(t2 − s2)β2
+
1
(t2 − s2)β2
t1
∫
s1
|ft−(u, s2)− ft−(s)|
(u− s1)1+β1
du+
+
1
(t1 − s1)β1
t2
∫
s2
|ft−(s1, v)− ft−(s)|
(v − s2)1+β2
dv +
∫
[s,t]
|∆sf(r)|
(r1 − s1)1+β1(r2 − s2)1+β2
dr
)
<∞,
де ft−(s) := f(s) − f(s1, t2−) − f(t1−, s2) + f(t−).
2.2. Загальна теорема. Нехай {Bt, t ∈ [0, T ]} — випадкове поле, яке задовольняє умови:
1) Bt — гауссiвське;
2) iснують сталi C > 0 та λ > 1 такi, що для будь-яких s, t ∈ [0, T ]
E(∆sBt)
2
6 C({t1 − s1}{t2 − s2})
λ; (3)
3) траєкторiї Bt — неперервнi з iмовiрнiстю 1.
Розглянемо таку апроксимацiю:
Bε
t =
1
ε2
t1+ε
∫
t1
t2+ε
∫
t2
Bsds =
1
ε2
∫
[0,ε]2
Bs+tds.
Теорема 4. Для довiльних β1, β2 ∈ (0, λ/2)
‖Bε −B‖1,β1,β2
P
−→ 0, ε→ 0 + .
2.3. Дробове броунiвське поле. Випадкове поле {BH
t , t ∈ [0, T ]} називається дробовим
броунiвським полем з iндексом Хюрста H = (H1,H2) ∈ (0, 1)2, якщо воно задовольняє
умови:
1) BH
t — гауссiвське поле, BH
t = 0, t ∈ ∂R2
+;
2) EBH
t = 0, EBH
t B
H
s =
1
4
∏
i=1,2
(t2Hi
i + s2Hi
i − |ti − si|
2Hi).
Таке поле має неперервну модифiкацiю завдяки критерiю Колмогорова. Його прирости
задовольняють тотожнiсть
E(∆sB
H
t )2 = |t1 − s1|
2H1 |t2 − s2|
2H2 .
Тому для BH
t нерiвнiсть (3) виконується з λ = 2min{H1,H2}. Таким чином, згiдно з теоре-
мою 4, при Hi > 1/2 для довiльних β1, β2 ∈ (0,H1 ∧H2) має мiсце збiжнiсть апроксимацiй:
‖BH,ε −BH‖1,β1,β2
P
−→ 0, ε→ 0+,
де BH,ε
t =
1
ε2
t1+ε
∫
t1
t2+ε
∫
t2
BH
s ds.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
2.4. Анiзотропне мультифрактальне броунiвське поле. Розглянемо функцiю H(t) =
= (H1(t),H2(t)) : [0, T ] → (1/2, 1)2 . Нехай сталi µ, ν такi, що
1
2
< µ < min
t∈[0,T ]
Hi(t) 6 max
t∈[0,T ]
Hi(t) < ν < 1, i = 1, 2.
Припустимо, що iснують додатнi сталi c1, c2 такi, що для будь-яких t, s ∈ [0, T ]:
(H1) |Hi(t)−Hi(s)| 6 c1(|t1 − s1|
ν + |t2 − s2|
ν);
(H2) |∆sHi(t)| 6 c2(|t1 − s1| |t2 − s2|)
ν .
Мультифрактальне броунiвське поле {B
H(t)
t , t ∈ [0, T ]} з функцiональним iндексом
Хюрста H(t) визначається формулою
B
H(t)
t :=
∫
R2
∏
i=1,2
[
(ti − ui)
Hi(t)−1/2
+ − (−ui)
Hi(t)−1/2
+
]
dWu, t ∈ [0, T ],
де s+ = max{s, 0}, W = {Ws, s ∈ R
2} — стандартне вiнерiвське поле.
Теорема 5. Траєкторiї поля B
H(t)
t неперервнi з iмовiрнiстю 1.
Теорема 6. Iснує стала C > 0 така, що для будь-яких s, t ∈ [0, T ]
E(∆sB
H(t)
t )2 6 C(|t1 − s1| |t2 − s2|)
2µ.
З теорем 5 i 6 випливає, що анiзотропне мультифрактальне броунiвське поле {B
H(t)
t , t ∈
∈ [0, T ]} задовольняє умови теореми 4. Тому для довiльних β1, β2 ∈ (0, µ)
‖B
H(t),ε
t −B
H(t)
t ‖1,β1,β2
P
−→ 0, ε→ 0+,
де BH(t),ε
t =
1
ε2
t1+ε
∫
t1
t2+ε
∫
t2
BH(s)
s ds.
1. Peltier R. F., Lévy Véhel J. Multifractional Brownian motion: definition and preliminary results // INRIA
research report. – 1995. – No 2645. – 39 p.
2. Boufoussi B., Dozzi M., Marty R. Local time and Tanaka formula for a Volterra type multifractional
Brownian motion // Bernoulli. – 2010. – 16, No 4. – P. 1294–1311.
3. Ральченко К.В., Шевченко Г.М. Властивостi траєкторiй мультифрактального броунiвського руху //
Теорiя ймовiрностей. та матем. статистика. – 2009. – 80. – С. 106–116.
4. Benassi A., Jaffard S., Roux D. Gaussian processes and pseudodifferential elliptic operators // Rev. Math.
Iberoamer. – 1997. – 13, No 1. – P. 19–89.
Надiйшло до редакцiї 14.10.2010Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
K.V. Ralchenko
Absolute continuous approximations for multifractal processes and fields
We define absolute continuous stochastic processes that converge to a multifractal Brownian mo-
tion in Besov-type spaces. The convergence of solutions of stochastic differential equations with
such processes to a solution of the equation with multifractal Brownian motion is proved. Similar
approximations are constructed in the case of two-parameter processes.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 31
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38147 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T16:22:24Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ральченко, К.В. 2012-10-31T13:48:28Z 2012-10-31T13:48:28Z 2011 Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами / К.В. Ральченко // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 27-31. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38147 519.21 Визначено абсолютно неперервні процеси, які збігаються до мультифрактального броунівського руху за ймовірністю в просторах типу Бєсова. Одержано результат про збіжність розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь з такими процесами до розв'язку рівняння з мультифрактальним броунівським рухом. Аналогічні наближення побудовано для випадку двопараметричних процесів. We define absolute continuous stochastic processes that converge to a multifractal Brownian motion in Besov-type spaces. The convergence of solutions of stochastic differential equations with such processes to a solution of the equation with multifractal Brownian motion is proved. Similar approximations are constructed in the case of two-parameter processes. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами Absolute continuous approximations for multifractal processes and fields Article published earlier |
| spellingShingle | Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами Ральченко, К.В. Математика |
| title | Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами |
| title_alt | Absolute continuous approximations for multifractal processes and fields |
| title_full | Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами |
| title_fullStr | Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами |
| title_full_unstemmed | Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами |
| title_short | Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами |
| title_sort | наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38147 |
| work_keys_str_mv | AT ralʹčenkokv nabližennâmulʹtifraktalʹnihprocesívípolívabsolûtnoneperervnimiprocesami AT ralʹčenkokv absolutecontinuousapproximationsformultifractalprocessesandfields |