До побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття
Запропоновано підхід до побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття, який грунтується на розвиненні функції температури за товщиною покриття у ряд Тейлора. Отримано розрахункові варіанти узагальнених граничних умов з різною точністю...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38148 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | До побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття / В.А. Шевчук // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 76-82. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860175563300274176 |
|---|---|
| author | Шевчук, В.А. |
| author_facet | Шевчук, В.А. |
| citation_txt | До побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття / В.А. Шевчук // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 76-82. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Запропоновано підхід до побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття, який грунтується на розвиненні функції температури за товщиною покриття у ряд Тейлора. Отримано розрахункові варіанти узагальнених граничних умов з різною точністю. Також виведено формули відновлення для розподілу температури за товщиною покриття через граничні значення температури та її похідної.
An approach to constructing the generalized boundary conditions of convective heat exchange of bodies with the environment via thin nonplanar coatings, which is based on the use of the expansion of a temperature function in a Taylor series in the coating thickess has been suggested. Computational variants of generalized boundary conditions with different accuracies have been obtained. Restoration formulas for the temperature distribution over the coating thickness in terms of boundary values of the temperature and its derivative have also been derived.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:00:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2011
ТЕПЛОФIЗИКА
УДК 536.12:620.198
© 2011
В.А. Шевчук
До побудови узагальнених граничних умов
конвективного теплообмiну тiл iз середовищем через
тонкi неплоскi покриття
(Представлено членом-кореспондентом НАН України Р.М. Кушнiром)
Запропоновано пiдхiд до побудови узагальнених граничних умов конвективного тепло-
обмiну тiл iз середовищем через тонкi неплоскi покриття, який грунтується на роз-
виненнi функцiї температури за товщиною покриття у ряд Тейлора. Отримано роз-
рахунковi варiанти узагальнених граничних умов з рiзною точнiстю. Також виведено
формули вiдновлення для розподiлу температури за товщиною покриття через гранич-
нi значення температури та її похiдної.
Питання побудови узагальнених граничних умов (УГУ) теплообмiну тiл iз середовищем
через тонкi покриття привертають увагу широкого кола дослiдникiв [1–11]. При виведеннi
таких УГУ для випадку неплоских покриттiв використовується або апрiорне допущення про
постiйний [10] чи лiнiйний [8] розподiл температури за товщиною покриття, або наближене
рiвняння теплопровiдностi тонких оболонок [12, 13], як у роботах [3, 5–7, 11],
∆t+
∂2t
∂γ2
+ 2k
∂t
∂γ
=
1
a
∂t
∂τ
, (1)
∆ =
1
AB
[
∂
∂α
(
B
A
∂
∂α
)
+
∂
∂β
(
A
B
∂
∂β
)]
, (2)
де t — температура покриття; α, β, γ — криволiнiйнi ортогональнi координати; τ — час;
k = (k1 + k2)/2; A, B — коефiцiєнти першої квадратичної форми; k1, k2 — головнi кривини
базисної поверхнi оболонки; a — коефiцiєнт температуропровiдностi матерiалу покриття.
Використання наближеного рiвняння (1) дає можливiсть отримати наближенi УГУ лише
з точнiстю до доданкiв, якi включають лiнiйнi члени за товщиною покриття.
У цiй роботi пропонується пiдхiд, який дає можливiсть будувати УГУ з довiльною точ-
нiстю.
76 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
Постановка задачi. Як вихiдне вiзьмемо таке рiвняння тривимiрної задачi теплопро-
вiдностi для iзотропного покриття [14, 15]:
1
AB
[
∂
∂α
(
B
A
1 + k2γ
1 + k1γ
∂t
∂α
)
+
∂
∂β
(
A
B
1 + k1γ
1 + k2γ
∂t
∂β
)]
+
∂
∂γ
[
(1 + k1γ)(1 + k2γ)
∂t
∂γ
]
=
=
(1 + k1γ)(1 + k2γ)
a
∂t
∂τ
. (3)
Вважаємо, що на границi покриття — середовище має мiсце конвективний теплообмiн за
законом Ньютона
λ
∂t
∂γ
= µ(tc − t) при γ = δ, (4)
мiж покриттям i тiлом виконуються умови iдеального теплового контакту
t = tт, λ
∂t
∂γ
= λт
∂tт
∂γ
при γ = 0, (5)
а початкова умова така:
t|τ=0 = t0(α, β, γ). (6)
Тут tт, tс — температура тiла та середовища, вiдповiдно; δ — товщина покриття; λ, λт —
коефiцiєнти теплопровiдностi покриття та тiла; µ — коефiцiєнт тепловiддачi з поверхнi
покриття.
Побудова УГУ. Запишемо розвинення температури у покриттi в ряд Тейлора в околi
γ = 0:
t(γ) =
∞∑
m=0
γm
m!
t(m)(0). (7)
Пiдставляючи (7) в (5), отримаємо
t(0) = tт|γ=0, t′(0) =
λт
λ
∂tт
∂γ
∣∣∣∣
γ=0
. (8)
Пiдстановка (7) в (3) з урахуванням формул
1 + kiγ
1 + k3−iγ
= 1 +
∞∑
m=1
γm(−1)mkm−1
3−i (k3−i − ki) i = 1, 2;
1
(1 + k1γ)(1 + k2γ)
=
∞∑
m=0
(−1)mk(m)γ
m,
1 + (k1k2/k)γ
(1 + k1γ)(1 + k2γ)
= 1 +
∞∑
m=1
(−1)m
(
k(m) −
k1k2
k
k(m−1)
)
γm
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 77
дає
∞∑
m=0
γm
m∑
i=0
k(m−i)
i∑
j=0
(−1)m−j
j!
∆i−jt
(j)(0) + 2k
[
∞∑
m=0
γm
m!
t(m+1)(0) +
+
∞∑
m=1
γm
m−1∑
i=0
(−1)m−i
i!
(
k(m−i) −
k1k2
k
k(m−i−1)
)
t(i+1)(0)
]
+
+
∞∑
m=0
γm
m!
t(m+2)(0) =
1
a
∂
∂τ
∞∑
m=0
γm
m!
t(m)(0), 0 < γ < δ. (9)
Тут введено позначення k(m) =
m∑
j=0
km−j
1 kj2,
∆j =
1
AB
[
∂
∂α
(
B
A
kj−1
1 (k1 − k2)
∂
∂α
)
+
∂
∂β
(
A
B
kj−1
2 (k2 − k1)
∂
∂β
)]
,
j = 1, 2, . . . ; ∆0 = ∆.
З формули (9), прирiвнюючи члени при однакових степенях γ, отримаємо такi спiввiдно-
шення:
∆0t(0) + 2kt′(0) + t′′(0) =
1
a
∂t(0)
∂τ
,
−(2k∆0 +∆1)t(0) + (∆0 − 4k2 + 2k1k2)t
′(0) + 2kt′′(0) + t′′′(0) =
1
a
∂t′(0)
∂τ
,
n!
n∑
i=0
k(n−i)
i∑
j=0
(−1)n−j
j!
∆i−jt
(j)(0) +
+ 2k
[
t(n+1)(0) + n!
n−1∑
i=0
(−1)n−i
i!
(
k(n−i) −
k1k2
k
k(n−i−1)
)
t(i+1)(0)
]
+
+ t(n+2)(0) =
1
a
∂t(n)(0)
∂τ
, n > 2.
(10)
З (10) випливає
t′′(0) = −2kt′(0)−∆0t(0) +
1
a
∂t(0)
∂τ
,
t(n)(0) = −2kt(n−1)(0) − (n− 2)!
n−2∑
i=0
k(n−i−2)
i∑
j=0
(−1)n−j
j!
∆i−jt
(j)(0) −
− 2k(n − 2)!
n−3∑
i=0
(−1)n−i
i!
(
k(n−i−2) −
k1k2
k
k(n−i−3)
)
t(i+1)(0) +
1
a
∂t(n−2)(0)
∂τ
,
n > 3.
(11)
78 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
З формул (8) i (11) одержуємо зображення для похiдної n-го порядку функцiї температури
покриття на поверхнi роздiлу тiло — покриття через граничнi значення температури тiла
та її похiдної:
t(n)(0) = cntт|γ=0 + dn
∂tт
∂γ
∣∣∣∣
γ=0
, (12)
де коефiцiєнти cn, dn визначаються за рекурентними спiввiдношеннями
c0 = 1, d0 = 0, c1 = 0, d1 =
λт
λ
, (13)
ϕ2 = −2kϕ1 −∆0ϕ0 +
1
a
∂
∂τ
ϕ0,
ϕn = −2kϕn−1 − (n− 2)!
n−2∑
i=0
k(n−i−2)
i∑
j=0
(−1)n−j
j!
∆i−jϕj −
− 2k(n − 2)!
n−3∑
i=0
(−1)n−i
i!
(
k(n−i−2) −
k1k2
k
k(n−i−3)
)
ϕi+1 +
1
a
∂
∂τ
ϕn−2,
ϕ = c, d; n > 3.
(14)
Пiдстановка виразу (12) у розвинення (7) приводить до такого зображення температури
у покриттi:
t(γ) =
∞∑
m=0
γm
m!
(
cmtт|γ=0 + dm
∂tт
∂γ
∣∣∣∣
γ=0
)
. (15)
Пiдставляючи розклад (15) в граничну умову (4) i враховуючи (13), отримуємо при γ = 0:
∞∑
m=1
δm
m!
(λcm+1 + µcm)tт +
[
λт +
∞∑
m=1
δm
m!
(λdm+1 + µdm)
]
∂tт
∂γ
− µ(tс − tт) = 0. (16)
Оскiльки спiввiдношення (16) пов’язує граничнi значення температури tт та її похiдної
∂tт/∂γ у тiлi iз значенням температури tс в середовищi, то його можна трактувати як уза-
гальнену граничну умову для визначення температури в тiлi, яка враховує вплив покриття
на перебiг процесу теплопереносу в тiлi.
Розрахунковi варiанти УГУ. Вираз (16) є загальним вихiдним спiввiдношенням для
отримання розрахункових варiантiв УГУ з рiзною точнiстю.
При вiдкиданнi доданкiв в умовi (16), якi мiстять товщину, одержуємо, як частковий
випадок, умову теплообмiну за Ньютоном
λт
∂tт
∂γ
− µ(tс − tт) = 0. (17)
Якщо обмежитися в (16) лише лiнiйним доданком за товщиною при температурi tт, отри-
маємо
∆̃tт − λт
∂tт
∂γ
+ µ(tс − tт) = Ω
∂tт
∂τ
, (18)
де ∆̃ = Λ∆, а Λ = λδ, Ω = λδ/a — приведенi теплопровiднiсть i теплоємнiсть покриття.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 79
Для одновимiрного (∆̃ = 0) випадку умова (18) збiгається з умовою, одержаною в [10]
за схемою “зосередженої ємностi”.
Якщо залишити в (16) лише лiнiйнi члени при температурi tт i похiднiй ∂tт/∂γ, мати-
мемо такий варiант УГУ:
∆̃tт − λт
(
1− 2K +
µ
H
)
∂tт
∂γ
+ µ(tс − tт) = Ω
∂tт
∂τ
. (19)
Тут K = δk — приведена середня кривина; H = λ/δ — теплопроникнiсть покриття.
Вираз (19) збiгається (або еквiвалентний за точнiстю) з вiдповiдними УГУ конвектив-
ного теплообмiну тiл з покриттями, якi були отриманi при застосуваннi iнших пiдходiв
у роботах [3, 6, 7, 11] та у [5] при нехтуваннi теплообмiну випромiненням. Для плоских
(K = 0) покриттiв у випадку одновимiрної (∆̃ = 0) стацiонарної (Ω = 0) теплопровiдностi
УГУ (19) збiгається з ефективною граничною умовою в [2].
Якщо залишити в (16) лiнiйнi члени при температурi tт i квадратичнi члени при похiднiй
∂tт/∂γ, отримаємо такий варiант УГУ:
∆̃
[
tт +
λт
2H
∂tт
∂γ
]
− λт
[
1− 2K(1− 2K)−K1K2 +
µ
H
(1−K)
]
∂tт
∂γ
+
+ µ(tс − tт) = Ω
[
∂tт
∂τ
+
λт
2H
∂2tт
∂τ∂γ
]
, (20)
де K1K2 = δk1δk2 — приведена гауссова кривина оболонки покриття.
Без урахування в (16) степенiв, вищих за квадратичнi, отримуємо такий варiант УГУ:
∆̃
[(
1− 2K +
µ
2H
)
tт +
λт
2H
∂tт
∂γ
]
− ∆̃1tт −
−λт
[
1− 2K(1 − 2K)−K1K2 +
µ
H
(1−K)
]
∂tт
∂γ
+ µ(tс − tт) =
= Ω
[(
1−K +
µ
2H
)
∂tт
∂τ
+
λт
2H
∂2tт
∂τ∂γ
]
, (21)
де ∆̃1 = 0,5δΛ∆1.
Вiдзначимо, що варiант УГУ (21) не збiгається з вiдповiдними УГУ в [5, 7], оскiльки
за вихiдне спiввiдношення там приймається наближене рiвняння теплопровiдностi (1), хоча
для часткового випадку плоских покриттiв результати збiгаються [1, 7].
Слiд зауважити, що УГУ (18)–(21) мiстять похiднi за часом вiд граничної температури
tт, а УГУ (20), (21) — ще й вiд її похiдної ∂tт/∂γ. З контактних умов (5) i початкової
умови (6) отримаємо
tт|γ=0,τ=0 = t0(α, β, 0),
∂tт
∂γ
∣∣∣∣
γ=0,τ=0
=
λ
λт
∂t0(α, β, γ)
∂γ
∣∣∣∣
γ=0
. (22)
Вирази (22) можуть бути використанi при застосуваннi вiдповiдних УГУ (18)–(21).
Формули вiдновлення. Формула (15) слугує формулою вiдновлення для температур-
ного поля в покриттi пiсля розв’язування вiдповiдної задачi теплопровiдностi в областi тiла
з УГУ.
80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
Для випадку обмеження лiнiйними членами розкладу в (15) отримуємо
t(γ) = tт|γ=0 + γ
λт
λ
∂tт
∂γ
∣∣∣∣
γ=0
, (23)
а для випадку обмеження квадратичними членами розкладу в (15) —
t(γ) =
(
1 +
γ2
2
(
−∆+
1
a
∂
∂τ
))
tт
∣∣∣∣
γ=0
+γ(1− kγ)
λт
λ
∂tт
∂γ
∣∣∣∣
γ=0
. (24)
Отже, в роботi наведено пiдхiд до побудови узагальнених граничних умов конвективного
теплообмiну тiл iз середовищем через тонкi неплоскi покриття, який грунтується на вико-
ристаннi точного рiвняння теплопровiдностi в покриттi i розвинення функцiї температури
за товщиною покриття в ряд Тейлора. Цей пiдхiд дає можливiсть отримувати розрахунковi
варiанти узагальнених граничних умов з рiзною точнiстю.
1. Подстригач Я.С., Шевчук П.Р. Температурные поля и напряжения в телах с тонкими покрытиями //
Тепл. напряжения в элементах конструкций. – 1967. – Вып. 7. – С. 227–233.
2. Равин В.С. Об эффективных граничных условиях в задачах стационарной теплопроводности //
Инж.-физ. журн. – 1967. – 13, № 4. – С. 540–541.
3. Иващук Д.В. Исследование теплодиффузионных процессов и напряженного состояния в телах с
покрытиями: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Львов, 1978. – 16 с.
4. Коляно Ю. М., Хомякевич Е.П. Граничные условия для определения обобщенных динамических
температурных напряжений в телах с покрытиями // Термомех. процессы в кусочно-однородных
элементах конструкций. – Киев: Наук. думка, 1978. – С. 43 – 50.
5. Шевчук П.Р., Гаврись А.П. Влияние лучевого нагрева на температурные режимы и остаточные
напряжения при высокотемпературном напылении покрытий // Мат. методы и физ.-мех. поля. –
1989. – Вып. 30. – С. 69–73.
6. Флейшман Н.П. Математичнi моделi теплового спряження середовищ iз тонкими чужорiдними про-
шарками або покриттями // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1993. – Вип. 39. – С. 30–34.
7. Шевчук В.А. Обобщенные граничные условия теплообмена тела со средой через многослойное тонкое
покрытие // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1995. – Вып. 38. – С. 116–120.
8. Комаров Г.М. Умови спряження через термiчно тонкий шар в задачах теплопровiдностi // Доп. НАН
України. – 1996. – № 7. – С. 26–31.
9. Al Nimr M.A., Alcam M.K. A generalized boundary condition // Int. J. Heat and Mass Transfer. – 1997. –
33, No 1–2. – P. 157–161.
10. Аттетков А.В., Беляков Н.С. Температурное поле неограниченного твердого тела, содержащего
цилиндрический канал с термически тонким покрытием его поверхности // Теплофизика высоких
температур. – 2006. – 44, № 1. – С. 136–140.
11. Shevchuk V.A. Modeling and computation of heat transfer in a system “body-multilayer coating” // Heat
Transfer Research. – 2006. – 37, Iss. 5. – P. 412–423.
12. Мотовиловец И.А. Теплопроводность пластин и тел вращения. – Kиев: Наук. думка, 1969. – 144 с.
13. Подстригач Я.С., Швец Р.Н. Термоупругость тонких оболочек. – Kиев: Наук. думка, 1978. – 344 с.
14. Подстригач Я.С., Чернуха Ю.А. Об уравнениях теплопроводности для тонкостенных элементов
конструкций // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1975. – Вып. 2. – С. 54–59.
15. Дяконюк Л.М., Муха I.С., Савула Я.Г. Моделювання i дослiдження тепломасоперенесення у бага-
тошарових середовищах з тонкими включеннями // Доп. НАН України. – 1998. – № 12. – С. 101–107.
Надiйшло до редакцiї 03.02.2011Iнститут прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 81
V.A. Shevchuk
On constructing the generalized boundary conditions of convective heat
exchange of bodies with environment via thin nonplanar coatings
An approach to constructing the generalized boundary conditions of convective heat exchange of bo-
dies with the environment via thin nonplanar coatings, which is based on the use of the expansion of
a temperature function in a Taylor series in the coating thickess has been suggested. Computational
variants of generalized boundary conditions with different accuracies have been obtained. Restora-
tion formulas for the temperature distribution over the coating thickness in terms of boundary
values of the temperature and its derivative have also been derived.
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38148 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:00:03Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шевчук, В.А. 2012-10-31T13:49:26Z 2012-10-31T13:49:26Z 2011 До побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття / В.А. Шевчук // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 76-82. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38148 536.12:620.198 Запропоновано підхід до побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття, який грунтується на розвиненні функції температури за товщиною покриття у ряд Тейлора. Отримано розрахункові варіанти узагальнених граничних умов з різною точністю. Також виведено формули відновлення для розподілу температури за товщиною покриття через граничні значення температури та її похідної. An approach to constructing the generalized boundary conditions of convective heat exchange of bodies with the environment via thin nonplanar coatings, which is based on the use of the expansion of a temperature function in a Taylor series in the coating thickess has been suggested. Computational variants of generalized boundary conditions with different accuracies have been obtained. Restoration formulas for the temperature distribution over the coating thickness in terms of boundary values of the temperature and its derivative have also been derived. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Теплофізика До побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття On constructing the generalized boundary conditions of convective heat exchange of bodies with environment via thin nonplanar coatings Article published earlier |
| spellingShingle | До побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття Шевчук, В.А. Теплофізика |
| title | До побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття |
| title_alt | On constructing the generalized boundary conditions of convective heat exchange of bodies with environment via thin nonplanar coatings |
| title_full | До побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття |
| title_fullStr | До побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття |
| title_full_unstemmed | До побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття |
| title_short | До побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття |
| title_sort | до побудови узагальнених граничних умов конвективного теплообміну тіл із середовищем через тонкі неплоскі покриття |
| topic | Теплофізика |
| topic_facet | Теплофізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38148 |
| work_keys_str_mv | AT ševčukva dopobudoviuzagalʹnenihgraničnihumovkonvektivnogoteploobmínutílízseredoviŝemčereztonkíneploskípokrittâ AT ševčukva onconstructingthegeneralizedboundaryconditionsofconvectiveheatexchangeofbodieswithenvironmentviathinnonplanarcoatings |