Ренормгрупповой анализ нестационарной турбулентности
Within the renormalization group approach, a two-parametric model of turbulence for unsteady streams is constructed. The model includes additional terms, taking into account unsteady processes whose time scales surpass much more the scales of turbulence.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3815 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Ренормгрупповой анализ нестационарной турбулентности / A.A. Авраменко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 88-93. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860004703117508608 |
|---|---|
| author | Авраменко, A.A. |
| author_facet | Авраменко, A.A. |
| citation_txt | Ренормгрупповой анализ нестационарной турбулентности / A.A. Авраменко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 88-93. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Within the renormalization group approach, a two-parametric model of turbulence for unsteady streams is constructed. The model includes additional terms, taking into account unsteady processes whose time scales surpass much more the scales of turbulence.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:38:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2007
ТЕПЛОФIЗИКА
УДК 532.536
© 2007
A.A. Авраменко
Ренормгрупповой анализ нестационарной
турбулентности
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Б. И. Баском)
Within the renormalization group approach, a two-parametric model of turbulence for unsteady
streams is constructed. The model includes additional terms, taking into account unsteady
processes whose time scales surpass much more the scales of turbulence.
Методы ренормализационной группы (ренормгруппы) были первоначально развиты в кван-
товой теории поля [1, 2]. Затем эти методы успешно использовались для анализа критичес-
ких явлений при фазовых переходах второго рода [3–5]. Позже они нашли применение и для
описания развитой турбулентности. Значительный вклад в развитие данного направления
в исследовании турбулентности внесли Яхот и Оржег [6], которые получили замкнутую ре-
нормализационную k-ε-модель турбулентной вязкости (RNG k-ε-модель). Обстоятельный
обзор методов приложения ренормогруппы к проблемам турбулентности дан в работе [7].
Все указанные работы анализируют поведение турбулентности в предположении, что
вся нестационарность процесса заключается в высокочастотных турбулентных пульсациях.
Это позволяет при оценке интегралов по частоте, которые возникают из-за использования
d-мерного преобразования Фурье, ограничиваться энергетическим пределом ω → 0. Такое
упрощение приводит к неучету медленно протекающих (по сравнению с турбулентными
пульсациями) нестационарных процессов, характерных для реальных проблем гидродина-
мики. В настоящем исследовании сделана попытка устранить этот недостаток и учесть
нестационарность непосредственно самого потока.
Ренормгрупповой анализ используются для перенормировки уравнений Навье–Стокса
с целью “перекачки” быстрых мод в эффективный коэффициент переноса — турбулентную
вязкость. Уравнение Навье–Стокса в дивергентной форме имеет вид
(
∂
∂t
− ν0▽
2
)
un +
1
ρ
∂p
∂xn
+
∂unum
∂xm
− f = 0, (1)
где p — давление; t — время; un — компоненты скорости, соответствующие координатам xn;
ν — кинематическая вязкость; ρ — плотность. В (1) внешняя соленоидальная сила f пред-
ставляет собой белый гауссовский шум, а индекс “0” в молекулярной вязкости используется,
чтобы выделить этот параметр, так как далее с него начнется процедура перенормировки.
88 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Процедуру перенормировки удобно проводить в пространстве волновых чисел и часто-
ты. Поэтому необходимо “перевести” в это пространство уравнение (1). Это можно сделать
с помощью комплексного d-мерного преобразования Фурье [7]. Фурье-образы слагаемых
в уравнении (1) имеют вид:
un =
1
(2π)d+1
∫
k6kc
ddk
∫
dωUn(~k, ω) exp(i~k · ~x − iωt),
p =
1
(2π)d+1
∫
k6kc
ddk
∫
dωP (~k, ω) exp(i~k · ~x − iωt),
unum =
1
(2π)d+1
∫
k6kc
ddk
∫
dωWnm(~k, ω) exp(i~k · ~x − iωt),
f =
1
(2π)d+1
∫
k6kc
ddk
∫
dωF (~k, ω) exp(i~k · ~x − iωt),
(2)
где ω — частота; k — волновое число; ~k — вектор волнового числа; ~x — вектор координаты
точки; Wnm — Фурье-образ произведения двух компонент скорости. В образах (2) kc пред-
ставляет собой величину ультрафиолетового обрезания в пространстве волновых чисел.
Далее вводим допущение, что моды скорости исчезают при kc > k [6]. Это равносиль-
но предположению, что влияние отбрасываемых при этом мелкомасштабных мод сводится
к замене молекулярной вязкости ν0 на некоторое, зависящее от параметра обрезания, пе-
ренормированное значение ν0 = ν0(kc).
В Фурье пространстве уравнение Навье–Стокса имеет вид
G−1
0 (k)Un(~k, ω) = F (~k, ω) + λ0Mnml(~k)
∫
k6kc
ddσ
(2π)d
∫
d~ω
2π
Um(~σ, ω)Ul(~k − ~σ, ω − ~ω′), (3)
где G0 = (−iω + ν0k
2)−1 — пропагатор нулевого порядка, символический параметр λ0 вве-
ден для удобства при построении теории возмущений. В окончательном результате следует
принять λ0 = 1.
Корреляционная функция эффективных случайных сил имеет вид [6]
Fn(~k, ω)Fm(~k′, ω′) =
2(2π)d+1
kd−4+ε∗
D0Mnm(~k)δ(~k + ~k′)δ(ω + ω′),
где дельта-функция Дирака δ гарантирует статистическую однородность корреляционной
функции в пространстве и времени. Величина D0 пропорциональна скорости диссипации
энергии ε, а параметр ε∗ равен четырем [6]. Перейдем к непосредственной процедуре ренор-
мализационного анализа. Как уже отмечалось, основы этой процедуры были разработаны
в работе [6]. Согласно идеологии этой работы, данная процедура включает два этапа.
1. Разбиение поля скоростей и силы на медленную и быструю части
U(~k, ω) =
{
U<(~k, ω), 0 < k < kc exp(−τ),
U>(~k, ω), kc exp(−τ) < k < kc,
(4)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 89
F (~k, ω) =
{
F<(~k, ω), 0 < k < kc exp(−τ),
F>(~k, ω), kc exp(−τ) < k < kc
(5)
с последующим исключением высокочастотных мод U< путем решения уравнения для них
и подстановкой полученного решения в уравнение для медленных мод U>.
2. Перенормировка U , F и kc таким образом, чтобы вновь полученное уравнение выгля-
дело как исходное уравнение движения (1). На этом этапе производится ренормализация
коэффициентов переноса (эффективной вязкости). В соответствии с изложенным, подста-
вим (4) и (5) в (3). В результате получим
G−1
0 (k)U<
n (~k, ω) = F<(~k, ω) + λ0M
<
nml(
~k)
∫
k6kc
ddσ
(2π)d
∫
d~ω
2π
[U<
m(~σ, ω)U<
l (~k − ~σ, ω − ~ω) +
+ 2U<
m(~σ, ω)U>
l (~k − ~σ, ω − ~ω) + U>
m(~σ, ω)U>
l (~k − ~σ, ω − ~ω)],
G−1
0 (k)U>
n (~k, ω) = F>(~k, ω) + λ0M
>
nml(
~k)
∫
k6kc
ddσ
(2π)d
∫
d~ω
2π
[U<
m(~σ, ω)U<
l (~k − ~σ, ω − ~ω) +
+ 2U<
m(~σ, ω)U>
l (~k − ~σ, ω − ~ω) + U>
m(~σ, ω)U>
l (~k − ~σ, ω − ~ω)]
с соответствующей интерпретацией верхнего индекса Mnml.
Теперь необходимо исключить быстрые моды из уравнения для медленных мод. Эта
процедура изложена в работе [7]. В результате ее выполнения получаем
G−1(k)U<
n (~k, ω) = F<(~k, ω) + λ0M
<
nml(
~k)
∫
k6kc
ddσ
(2π)d
∫
d~ω
2π
[U<
m(~σ, ω)U<
l (~k − ~σ, ω − ~ω)],
G(k) = [−iω + k2(ν0 + R)]−1,
(6)
где
R = 8λ2
0k
−2D0M
<
hml(
~k)
∫
dd~σ
(2π)d
×
×
∫
d~ω
2π
G0(~k − ~σ, ω − ~ω)
|G0(~σ, ~ω)|2M>
lth(~k − ~σ)M>
mt(~σ)
σd−4+ε∗
— (7)
ренормализованный пропогатор, отличающийся от G0 на ренормализационную поправку.
Если теперь переименовать переменные в (6), убрав символ медленных мод, то сразу при-
ходим к исходному уравнению (3).
Для получения дифференциального уравнения, описывающего эффективную вязкость,
необходимо вычислить интеграл (7). Сначала берется интеграл по всему спектру частот.
С учетом проведенного интегрирования по частотам можно переписать выражение (7) сле-
дующим образом:
R = 4λ2
0k
−2D0M
<
hml(
~k)
∫
dd~σ
(2π)d
M>
lth(~k − ~σ)M>
mt(~σ)σ−d+2−ε∗
σ2ν2 + ν2(k − σ)2 − iνω
.
90 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Во всех предыдущих работах интеграл по волновым числам анализировался при ω = 0.
В отличие от указанного подхода, оценим интеграл по волновым числам в пределе ω → 0.
Тогда, используя биномиальный ряд, представим предыдущее выражение так:
R ≈
2λ2
0k
−2D0M
<
hml(
~k)
(2π)dν2
∫
dd~σ
(
1 +
~k · ~σ
σ2
+ i
ω
2σ2ν
)
M>
lth(~k − ~σ)M>
mt(~σ)σ−y−4, (8)
где y = d − 4 + ε∗.
Интеграл (8) можно разбить на два интеграла R ≈ R1 + R2, где
R1 =
2λ2
0k
−2D0M
<
hml(
~k)
(2π)dν2
∫
dd~σ
(
1 +
~k · ~σ
σ2
)
M>
lth(~k − ~σ)M>
mt(~σ)σ−y−4, (9)
R2 = i
λ2
0k
−2D0M
<
hml(
~k)ω
(2π)dν3
∫
dd~σM>
lth(~k − ~σ)M>
mt(~σ)σ−y−6. (10)
Интеграл (9) оценен в ряде работ [8, 10, 11] и имеет следующее значение:
R1 = Ad
λ2
0D0
ν2kε∗
c
exp(ε∗τ) − 1
ε∗
,
где Ad = Ãd
Sd
(2π)d
, Ãd =
d2 − d
2d(d + 2)
, Sd =
2πd/2
Γ(d/2)
.
Интеграл (10) равен
R2 = iBd
λ2
0D0
ν2kε∗
c
ω
νk2
c
exp[(ε∗ + 2)τ ] − 1
ε∗ + 2
,
где
Bd =
Sd
(2π)d
d2 − d − 2
4d(d + 2
.
Таким образом,
R ≈ Ad
λ2
0D0
ν2kε∗
c
exp(ε∗τ) − 1
ε∗
+ iBd
λ2
0D0
ν2kε∗
c
ω
νk2
c
exp[(ε∗ + 2)τ ] − 1
ε∗ + 2
.
Следовательно, ренормализованный пропагатор принимает вид
G(k) = [−iω(1 − k2γ) + k2(ν0 + ∆ν)]−1,
где ∆ν = R1 — поправка, ренормализующая вязкость и по сути представляющая собой
турбулентную вязкость,
γ =
R2
iω
= Bd
λ2
0D0
ν2kε∗
c
1
νk2
c
exp[(ε∗ + 2)τ ] − 1
ε∗ + 2
.
Преобразуем поправку γ следующим образом:
γ =
Bd
Ad
Ad
λ2
0D0
ν2kε∗
c
exp(ε∗τ) − 1
ε∗
1
νk2
c
ε∗ exp[(ε∗ + 2)τ ] − 1
(ε∗ + 2)[exp(ε∗τ) − 1]
.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 91
Устремляя разницу между локальными волновыми числами обрезания к нулю, т. е. в предел
τ → 0, получим
γ =
Bd
Ad
1
k2
c
.
В работе [6] показано, что в том же пределе τ → 0
ν =
(
3AdD0
k−ε∗
c
ε∗
)1/3
. (11)
Выражая отсюда волновое число kc и подставляя полученный результат в выражение для γ,
получим
γ =
Bd
Ad
1
k2
c
= Bd
(
ν3ε∗
3A
(ε∗+2)/2
d D0
)2/ε∗
.
С учетом этого выражения преобразуем ренормализованный пропагатор, а затем подставим
его в уравнения (6) и вернемся из пространства Фурье в физическую область. В результате
получаем окончательную ренормализованную форму уравнения Навье–Стокса
∂un
∂t
+
∂
∂t
∂
∂xm
[
Bd
(
ν3
t ε∗
3A
(ε∗+2)/2
d D0
)2/ε∗ ∂un
∂xm
]
+
∂unum
∂xm
=
=
1
ρ
∂p
∂xn
+
∂
∂xm
[
(ν0 + νt)
∂un
∂xm
]
, (12)
где турбулентная вязкость νt определяется по формуле [6]
νt = 0,0847
k2
ε
.
Здесь k — кинетическая энергия турбулентности; ε — скорость диссипации.
Аналогичная процедура перенормировки для уравнения энергии
(
∂
∂t
− a∇2
)
T + λ0
∂(Tun)
∂xn
= 0
дает (a — температуропроводность)
∂T
∂t
+
∂
∂t
∂
∂xn
[(
ν3
t ε∗
3AdD0
)2/ε∗ ∂T
∂xn
]
+
∂unT
∂xn
=
∂
∂xn
[
(a0 + at)
∂T
∂xn
]
, (13)
где турбулентная температуропроводность определяется через турбулентное число Пранд-
тля и турбулентную вязкость на основе трансцендентного уравнения
∣∣∣∣
Pr−1
t −a
Pr−1 −a
∣∣∣∣
(a+1)/(a+b)∣∣∣∣
Pr−1
t +b
Pr−1 +b
∣∣∣∣
(b−1)/(a+b)
=
ν0
νt
,
где
a =
1
2
(√
4
d − 1
d
Ã−1
d + 1 − 1
)
, b =
1
2
(√
4
d − 1
d
Ã−1
d + 1 + 1
)
.
92 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №12
Для практического применения предложенной модели необходимо также получить диф-
ференциальные уравнения для величин, входящих в модель турбулентности, а именно,
уравнения для кинетической энергии турбулентных пульсаций и скорости диссипации энер-
гии. В данном приближении эти уравнения имеют вид
∂k
∂t
+
∂
∂t
∂
∂xn
[(
ν3
t ε∗
3AdD0
)2/ε∗ ∂k
∂xn
]
+
∂unk
∂xn
= 2νtS
2
nm − ε +
∂
∂xn
(
ν0 + νt
PrK
∂k
∂xn
)
, (14)
∂ε
∂t
+
∂
∂t
∂
∂xn
[(
ν3
t ε∗
3AdD0
)2/ε∗∂ε
∂xn
]
+
∂unε
∂xn
= 2C1ενt
ε
k
S2
nm−C2ε
ε2
k
+
∂
∂xn
(
ν0+νt
Prε
∂ε
∂xn
)
, (15)
где PrK определяется из уравнения [6]
∣∣∣∣
Pr−1
K −a
1 − a
∣∣∣∣
(a+1)/(a+b)∣∣∣∣
Pr−1
K +b
1 + b
∣∣∣∣
(b−1)/(a+b)
=
ν0
νt
.
Здесь Prε = PrK , C1ε = 1,42 и C2ε = 1,68 [12, 13].
Таким образом, предложена модель турбулентности для нестационарных течений, кото-
рая включает уравнения движения (12), уравнение неразрывности, уравнение энергии (13),
уравнение кинетической энергии турбулентности (14) и уравнение скорости диссипации (15).
Указанная система уравнений замыкается выражением для турбулентной вязкости, выра-
жением для турбулентного числа Прандтля и выражениями для “числа Прандтля кинети-
ческой энергии турбулентности”.
1. Stueckelberg E.C.G., Peterman A. Ila normalisation des constantes dans la theorie des quanta // Helvetica
Phys. Acta. – 1953. – 26. – P. 499–520.
2. Gell-Mann M., Low F. Quantum electrodynamics at small distances // Phys. Rev. – 1954. – 95, No 5. –
P. 1300–1312.
3. Wilson К. G. Renormalization group and critical phenomena and the Kondo problem // Phys. Rev. B. –
1971. – 4. – P. 3174–3187.
4. Wilson К. G. The renormalization group: Critical phenomena and the Kondo problem // Rev. Mod. Phys. –
1975. – No 4. – P. 773–840.
5. Wilson K.G., Fisher M. Critical exponents in 3.99 dimensions // Phys. Rev. Letts. – 1972. – 28, No 4. –
P. 240–243.
6. Yakhot V, Orszag S.A. Renormalization group analysis of turbulence. I. Basic theory // J. Sci. Соmp.
1986. – 1, No 1. – P. 3–51.
7. McComb W.D. The physics of fluid turbulence. – Oxford: Clarendon Press, 1990. – 572 p.
8. Forster D., Nelson D.R., Stephen M. J. Large-distance and longtime properties of a randomly stirred
fluid // Phys. Rev. А. – 1977. – 16, No 2. – P. 732–749.
9. Коллинз Дж. Перенормировка: Введение в теорию перенормировок, ренормализационной группы и
операторных разложений. – Москва: Мир, 1988. – 446 с.
10. Sukoriansky S., Galperin B., Staroselsky I. Cross-term and ε-expansion in the RNG theory of turbulence //
Fluid Dynamics Research. – 2003. – 33. – P. 319–331.
11. Xiao-Hong Wang, Feng Wu. One modification to the Yakhot-Orszag calculation in the renormalization-
group theory of turbulence // Phys. Rev. E. – 1993. – 48, No 1. – P. 37–38.
12. Smith L.M., Reynolds W. С. On the Yakhot-Orszag renormalization group method for deriving turbulence
statistics and models // Phys. Fluids A. – 1992. – 4, No 2. – P. 364–390.
13. Yakhot V., Smith L.M. The renormalization group, the ε-expansion and derivation of turbulence models //
J. Sci. Comput. – 1992. – 7. – P. 35–52.
Поступило в редакцию 19.04.2007Институт технической теплофизики
НАН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №12 93
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-3815 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:38:15Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Авраменко, A.A. 2009-07-10T11:20:02Z 2009-07-10T11:20:02Z 2007 Ренормгрупповой анализ нестационарной турбулентности / A.A. Авраменко // Доп. НАН України. — 2007. — № 12. — С. 88-93. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3815 532.536 Within the renormalization group approach, a two-parametric model of turbulence for unsteady streams is constructed. The model includes additional terms, taking into account unsteady processes whose time scales surpass much more the scales of turbulence. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Теплофізика Ренормгрупповой анализ нестационарной турбулентности Article published earlier |
| spellingShingle | Ренормгрупповой анализ нестационарной турбулентности Авраменко, A.A. Теплофізика |
| title | Ренормгрупповой анализ нестационарной турбулентности |
| title_full | Ренормгрупповой анализ нестационарной турбулентности |
| title_fullStr | Ренормгрупповой анализ нестационарной турбулентности |
| title_full_unstemmed | Ренормгрупповой анализ нестационарной турбулентности |
| title_short | Ренормгрупповой анализ нестационарной турбулентности |
| title_sort | ренормгрупповой анализ нестационарной турбулентности |
| topic | Теплофізика |
| topic_facet | Теплофізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/3815 |
| work_keys_str_mv | AT avramenkoaa renormgruppovoianaliznestacionarnoiturbulentnosti |