О приближении функций обобщенными средними Бохнера–Рисса в пространствах Харди Hp, 0<p≤1
Отримано критерії збіжності загальних середніх Бохнера–Рісса у просторі Харді Hp(Dⁿ), 0<p≤1, де Dⁿ — одиничний полікруг в Cⁿ. Також знайдено точні порядки наближення функцій цими середніми через K-функціонали та спеціальні модулі гладкості. Convergence criteria of the generalized Bochner–Ries...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38154 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О приближении функций обобщенными средними Бохнера–Рисса в пространствах Харди Hp, 0<p≤1 / Ю.С. Коломойцев // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 17-22. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860127613747462144 |
|---|---|
| author | Коломойцев, Ю.С. |
| author_facet | Коломойцев, Ю.С. |
| citation_txt | О приближении функций обобщенными средними Бохнера–Рисса в пространствах Харди Hp, 0<p≤1 / Ю.С. Коломойцев // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 17-22. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Отримано критерії збіжності загальних середніх Бохнера–Рісса у просторі Харді Hp(Dⁿ), 0<p≤1, де Dⁿ — одиничний полікруг в Cⁿ. Також знайдено точні порядки наближення функцій цими середніми через K-функціонали та спеціальні модулі гладкості.
Convergence criteria of the generalized Bochner–Riesz means in Hardy spaces Hp(Dⁿ), 0<p≤1, where Dⁿ is a unit polydisk in Cⁿ, are obtained, and the exact orders of approximation of functions by these means via K-functionals and special moduli of smoothness are derived.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:42:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2011
Ю.С. Коломойцев
О приближении функций обобщенными средними
Бохнера–Рисса в пространствах Харди Hp, 0 < p 6 1
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским)
Отримано критерiї збiжностi загальних середнiх Бохнера–Рiсса у просторi Хардi
Hp(D
n), 0 < p 6 1, де Dn — одиничний полiкруг в C
n. Також знайдено точнi порядки
наближення функцiй цими середнiми через K-функцiонали та спецiальнi модулi глад-
костi.
Пусть R
n — n-мерное вещественное евклидово пространство, (x, y) =
n∑
j=1
xjyj, |x|q = (|x1|
q+
+ · · ·+ |xn|
q)1/q, |x| = |x|2, R
n
+ — подмножество точек из R
n с неотрицательными координа-
тами, Zn — с целыми координатами, Nn — с натуральными координатами, Zn
+ = Z
n⋂
R
n
+,
qN = {ν ∈ N : ν ≡ 0 (mod q)}. supp f — носитель функции f ; x+ = max{x, 0}. Единичный
поликруг обозначим через Dn = {z = (z1, . . . , zn) ∈ C
n : |zj | < 1, j = 1, . . . , n}. Биномиаль-
ные коэффициенты дробного порядка β > 0 будем обозначать через
(
β
k
)
=
β(β − 1) · · · (β − k + 1)
k!
, k ∈ N,
и
(
β
0
)
= 1.
Запись A(f, ε) ≍ B(f, ε) будет обозначать двустороннее неравенство с положительными
константами, не зависящими от f и ε.
Аналитическая в единичном поликруге Dn функция f принадлежит Hp(D
n), если
‖f |Hp
= sup
0<ρj<1
j=1,...,n
‖f(ρ1e
it1 , . . . , ρne
itn)‖p =
= sup
0<ρj<1
j=1,...,n
( ∫
[−π,π]n
|f(ρ1e
it1 , . . . , ρne
itn)|pdt1 · · · dtn
)1/p
< ∞.
Любая функция из Hp(D
n), p > 0, раскладывается в поликруге Dn в абсолютно схо-
дящийся степенной ряд
f(z) =
∑
k∈Zn
+
ck(f)z
k,
где zk = zk11 · · · zknn = ρk11 eik1t1 · · · ρknn eikntn , ck(f) = ck1,...,kn(f) — коэффициенты ряда Тейлора
функции f .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 17
Обобщенные ℓq-средние Бохнера–Рисса определим следующим образом:
Rβ,δ
ε;q (f, z) =
∑
k∈Zn
+
(1− (ε|k|q)
β)δ+ck(f)z
k, (1)
где x+ = max{x, 0}, а числа q, β, δ и ε > 0. При q = 2 средние (1) называют обобщен-
ными сферическими средними Бохнера–Рисса. Такие средние мы будем обозначать сим-
волом Rβ,δ
ε .
Настоящая работа посвящена вопросам сходимости средних Rβ,δ
ε;q , а также получению
двусторонних оценок скорости приближения функций рассматриваемыми средними в про-
странстве Hp(D
n), 0 < p 6 1, в случае q = 1, 2.
Отметим, что вопросы сходимости для средних (1), а также двусторонние оценки ско-
рости приближения функций рассматриваемыми средними и оценки для K-функциона-
лов в пространствах Харди Hp при 0 < p 6 1 изучались в работах [1–11]. Р.М. Тригу-
бом в работе [7] при δ > n/p − (n+ 1)/2 и четном натуральном β были получены дву-
сторонние оценки приближения функций средними Rβ,δ
ε из Hp(Dn) через K-функционал
и специальный модуль гладкости. Вит. В. Волчков [8] сформулировал подобные теоремы
для пространств Харди на шаре, а А.В. Товстолис [9] — на конусах в R
n. А.А. Соля-
ником в работе [4] при натуральном β была получена двусторонняя оценка приближения
функций f ∈ Hp(E2) (E2 — полуплоскость) соответствующими обобщенными средними
Бохнера–Рисса. С. Г. Прибегин [10], используя методы статьи [4], доказал двустороннюю
оценку приближения функций f ∈ Hp(D) средними Бохнера–Рисса с любым показателем
β > 1/p − 1 и δ > 1/p − 1. Приближения функций f ∈ Hp(Dn) средними Бохнера–Рисса
Rβ,δ
ε,1 для дробных и натуральных β изучались также в [11]. В частности, в работе [11] при
β ∈ N
⋃
(1/p − 1) и δ > n/p − 1 были получены оценки приближения функций рассматри-
ваемыми средними через обычные модули гладкости. Однако оценка сверху приближения
средними Rβ,δ
ε,1 отличалась от оценки снизу.
Заметим здесь, что при n = 1 разные модули гладкости эквивалентны между собой
(см. [12]). А при n > 2, как показано в работе [6], обычные модули гладкости при p = 1
для получения точных оценок приближения не подходят. Поэтому вводятся специальные
модули гладкости.
В этой работе получены критерии сходимости средних Rβ,δ
ε;q при q = 1, 2, а также най-
ден точный порядок приближения функций рассматриваемыми средними в пространстве
Hp(D
n), 0 < p 6 1, через K-функционал и через специальные модули гладкости.
1. Критерии сходимости. Сформулируем теоремы сходимости для обобщенных сред-
них Бохнера–Рисса.
Ключевую роль будут играть неравенства типа Бернштейна для аналитических триго-
нометрических полиномов. Множество аналитических тригонометрических полиномов по-
рядка не выше N определим следующим образом:
T +
N = span{ei(k,t) : k ∈ Z
n
+, |k| 6 N}.
В случае средних Rβ,δ
ε нам понадобится следующее неравенство типа Бернштейна:
‖∆β/2T‖p 6 CNβ‖T‖p, (2)
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
где ∆β — степень оператора Лапласа,
∆βT (eit1 , . . . , eitn) =
∑
|k|6N
|k|2βcke
i(k,t),
T (eit1 , . . . , eitn) =
∑
|k|6N
cke
i(k,t),
(3)
а C — константа, не зависящая от T и N . Отметим, что оператор ∆β аналогичным обра-
зом, можно определить для любой функции f ∈ Hp(D
n) путем умножения коэффициентов
Тейлора ck(f) на множитель |k|2β .
Будем говорить, что неравенство (2) имеет место в Hp(D
n), если (2) выполняется в p-нор-
ме для любого полинома T ∈ T +
N и всех N > 1 с положительной константой C, не зависящей
от T и N .
Из результатов работы [13] вытекает следующее предложение.
Предложение 1. Пусть 0 < p 6 1 и β ∈ 2N
⋃
(n(1/p − 1),∞). Тогда неравенство (2)
имеет место в Hp(D
n).
Далее средние Rβ,δ
ε;q будем называть сходящимися в Hp(D
n), если
lim
ε→0
‖f −Rβ,δ
ε;q (f)‖Hp
= 0
для каждой функции f ∈ Hp(D
n).
Теорема 1. Пусть 0 < p 6 1, β > 0 и неравенство (2) имеет место в Hp(D
n). Средние
Rβ,δ
ε сходятся в пространстве Hp(D
n) тогда и только тогда, когда δ > n/p− (n+ 1)/2.
Из теоремы 1 и предложения 1 получаем следующее утверждение.
Следствие 1. Пусть 0 < p 6 1 и β ∈ 2N
⋃
(n((1/p) − 1),∞). Средние Rβ,δ
ε сходятся
в пространстве Hp(D
n) тогда и только тогда, когда δ > n/p − (n+ 1)/2.
Можно показать, что при β ∈ ((n/2)((1/p)−1), n((1/p)−1)]\(2N) предположение о спра-
ведливости неравенства (2) в Hp(D
n) является необходимым условием для сходимости сред-
них Rβ,δ
ε .
Для средних Rβ,δ
ε,1 имеет место следующий критерий сходимости.
Теорема 2. Пусть 0 < p 6 1 и β > 0. Средние Rβ,δ
ε,1 сходятся в пространстве Hp(D
n)
тогда и только тогда, когда δ > (1/p) − 1.
В качестве вспомогательного результата при доказательстве теоремы 2 получен аналог
неравенства типа Бернштейна для дифференциального оператора Rβ, который определяет-
ся по формуле
Rβf(z) =
∑
k
|k|β1 ck(f)z
k. (4)
Теорема 3. Пусть 0 < p 6 1, β > 0 и N > 1. Тогда для любого полинома T ∈ T +
N
имеет место неравенство
‖RβT‖p 6 CNβ‖T‖p, (5)
где константа C не зависит от T и N .
2. Двусторонние оценки приближения. Для исследования скорости приближения
функций обобщенными средними Бохнера–Рисса мы будем использовать K-функционалы
пары пространств, определяемых дифференциальными операторами (3) и (4).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 19
Положим
Kβ(f, ε)Hp
= inf
g
{‖f − g‖Hp
+ εβ‖∆β/2g‖Hp
}.
Теорема 4. Пусть f ∈ Hp(D
n), 0 < p 6 1, δ > n/p− (n+ 1)/2, β > 0 и неравенство (2)
имеет место в Hp(D
n). Тогда
‖f −Rβ,δ
ε (f)‖Hp
≍ Kβ(f, ε)Hp
, ε > 0.
Из теоремы 4 и предложения 1 получаем:
Следствие 2. Пусть 0 < p 6 1, δ > n/p− (n+ 1)/2 и β ∈ 2N
⋃
(n((1/p) − 1),∞). Тогда
‖f −Rβ,δ
ε (f)‖Hp
≍ Kβ(f, ε)Hp
, ε > 0.
Для оценки приближения средними Rβ,δ
ε,1 введем следующий K-функционал:
Kβ,1(f, ε)Hp
= inf
g
{‖f − g‖Hp
+ εβ‖Rβg‖Hp
}.
Теорема 5. Пусть f ∈ Hp(D
n), 0 < p 6 1, δ >
1
p
− 1 и β > 0. Тогда
‖f −Rβ,δ
ε;1 (f)‖Hp
≍ Kβ,1(f, ε)Hp
, ε > 0.
Рассмотрим вопрос об эквивалентности скорости приближения функций обобщенными
средними Бохнера–Рисса Rβ,δ
ε и модуля гладкости. Для наших целей мы будем использовать
следующий специальный модуль гладкости (см. [7]):
ω0
β(f, ε)p =
∥∥∥∥∥
∫
|x|61
dx
∫
|y|61
dy · · ·
∫
|w|61
∞∑
ν=0
(
β
ν
)
(−1)νf((·)eiεν(x+y+···+w))dw
∥∥∥∥∥
Hp
.
Здесь число ε > 0, а интеграл (усреднение) берется по декартовому произведению m еди-
ничных шаров в R
n при m >
2n
n+ 1
(
1
p
−
1
2
)
.
Важную роль при доказательстве оценок приближения через модуль гладкости ω0
β иг-
рает условие
∫
|x|61
dx
∫
|y|61
dy · · ·
∫
|w|61
(1− ei(t,x+y+···+w))βdw 6= 0 при t ∈ R
n \ {0}. (6)
Замечание 1. Известно, что условие (6) имеет место, например, при β ∈ (0, 1) (см. [14]).
Теорема 6. Пусть f ∈ Hp(D
n), 0 < p 6 1, δ > n/p − (n+ 1)/2, β > 0, неравенство (2)
имеет силу в Hp(D
n) и выполняется соотношение (6). Тогда
‖f −Rβ,δ
ε (f)‖Hp
≍ ω0
β(f, ε)p, ε > 0.
Из теоремы 6 и следствия 2 получаем:
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
Следствие 3. Пусть f ∈ Hp(D
n), 0 < p 6 1, δ > n/p − (n+ 1)/2, β ∈ 2N
⋃
(n((1/p) −
− 1),∞) и выполняется соотношение (6). Тогда
‖f −Rβ,δ
ε (f)‖Hp
≍ ω0
β(f, ε)p, ε > 0.
Из теорем 4 и 6 получаем:
Следствие 4. Пусть f ∈ Hp(D
n), 0 < p 6 1, β > 0, неравенство (2) имеет место
в Hp(D
n) и выполняется соотношение (6). Тогда
Kβ(f, ε)Hp
≍ ω0
β(f, ε)p, ε > 0.
Перейдем к оценкам приближения функций средними Rβ,δ
ε,1 . Введем специальный модуль
гладкости
ω̃β(f, ε)p =
∥∥∥∥∥
∞∑
ν=0
(
β
ν
)
(−1)νf(e−νε(·))
∥∥∥∥∥
Hp
. (7)
При целых β модуль гладкости (7) был введен в работе [12] (см. также [15, гл. 8]).
Теорема 7. Пусть f ∈ Hp(D
n), 0 < p 6 1, δ > (1/p) − 1 и β > 0. Тогда
‖f −Rβ,δ
ε,1 (f)‖Hp
≍ ω̃β(f, ε)p, ε > 0.
Из теорем 5 и 7 получаем:
Следствие 5. Пусть f ∈ Hp(D
n), 0 < p 6 1, и β > 0. Тогда
K̃β(f, ε)Hp
≍ ω̃β(f, ε)p, ε > 0.
1. Стороженко Э.А. О теоремах типа Джексона в H
p, 0 < p < 1 // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1980. –
44, № 4. – С. 946–692.
2. Валашек Я. О приближениях в многомерных пространствах Харди H
p, 0 < p 6 1 // Сообщ. АН
ГССР. – 1982. – 105, № 1. – С. 21–24.
3. Oswald P. On some approximation properties of real Hardy spaces (0 < p 6 1) // J. Approx. Theory. –
1984. – 40, No 1. – P. 45–65.
4. Solyanik A.A. On the order of approximation to functions of H
p(R) (0 < p 6 1) by certain means of
Fourier integrals // Anal. Math. – 1986. – 12. – P. 59–75.
5. Colzani L. Jackson theorems in Hardy spaces and approximation by Riesz means // Approx. Theory. –
1987. – 49, No 3. – P. 240–251.
6. Тригуб Р.М. Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость рядов Фурье и приближение
полиномами функций на торе // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1980. – 44, № 6. – С. 1378–1409.
7. Тригуб Р.М. Мультипликаторы в пространстве Харди Hp(D
m) при p ∈ (0, 1] и аппроксимативные
свойства методов суммирования степенных рядов // Мат. сб. – 1997. – 188, № 4. – С. 145–160.
8. Волчков Вит.В. Мультипликаторы степенных рядов на областях Рейнхарта и их применение // Доп.
НАН України. – 1997. – № 4. – С. 22–26.
9. Tovstolis A.V. Fourier multipliers in Hardy spaces in tube domains over open cones and their applica-
tions // Meth. Func. Anal. Topol. – 1998. – 4, No 1. – P. 68–89.
10. Прибегин С. Г. Приближение функций из H
p, 0 < p 6 1, обобщенными средними Рисса с дробным
показателем // Мат. сб. – 2006. – 197, № 7. – С. 77–86.
11. Прибегин С.Г. О некоторых методах суммирования степенных рядов для функций из H
p(Dn), 0 <
< p < ∞ // Там же. – 2009. – 200, № 2. – С. 89–106.
12. Товстолис А. В., Тригуб Р.М. Эквивалентность разных модулей гладкости в пространствах Харди //
Тр. Ин-та прикл. математики и механики. – 1998. – 3. – С. 201–210.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 21
13. Runovski K., Schmeisser H.-J. On some extensions of Berenstein’s inequality for trigonometric polyno-
mials // Functiones et Approxim. – 2001. – 29. – P. 125–142.
14. Тригуб Р.М. Мультипликаторы Фурье и K-функционалы гладких функций // Укр. мат. вiсн. – 2005. –
2, No 2. – С. 236–280.
15. Trigub R.M., Belinsky E. S. Fourier analysis and approximation of functions. – Dordrecht: Kluwer, 2004. –
585 p.
Поступило в редакцию 20.10.2010Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
Yu. S. Kolomoitsev
On the approximation of functions by generalized Bochner–Riesz means
in Hardy spaces Hp, 0 < p 6 1
Convergence criteria of the generalized Bochner–Riesz means in Hardy spaces Hp(D
n), 0 < p 6 1,
where Dn is a unit polydisk in C
n, are obtained, and the exact orders of approximation of functions
by these means via K-functionals and special moduli of smoothness are derived.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38154 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:42:58Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коломойцев, Ю.С. 2012-10-31T14:04:30Z 2012-10-31T14:04:30Z 2011 О приближении функций обобщенными средними Бохнера–Рисса в пространствах Харди Hp, 0<p≤1 / Ю.С. Коломойцев // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 17-22. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38154 517.5 Отримано критерії збіжності загальних середніх Бохнера–Рісса у просторі Харді Hp(Dⁿ), 0<p≤1, де Dⁿ — одиничний полікруг в Cⁿ. Також знайдено точні порядки наближення функцій цими середніми через K-функціонали та спеціальні модулі гладкості. Convergence criteria of the generalized Bochner–Riesz means in Hardy spaces Hp(Dⁿ), 0<p≤1, where Dⁿ is a unit polydisk in Cⁿ, are obtained, and the exact orders of approximation of functions by these means via K-functionals and special moduli of smoothness are derived. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика О приближении функций обобщенными средними Бохнера–Рисса в пространствах Харди Hp, 0<p≤1 On the approximation of functions by generalized Bochner–Riesz means in Hardy spaces Hp, 0<p≤1 Article published earlier |
| spellingShingle | О приближении функций обобщенными средними Бохнера–Рисса в пространствах Харди Hp, 0<p≤1 Коломойцев, Ю.С. Математика |
| title | О приближении функций обобщенными средними Бохнера–Рисса в пространствах Харди Hp, 0<p≤1 |
| title_alt | On the approximation of functions by generalized Bochner–Riesz means in Hardy spaces Hp, 0<p≤1 |
| title_full | О приближении функций обобщенными средними Бохнера–Рисса в пространствах Харди Hp, 0<p≤1 |
| title_fullStr | О приближении функций обобщенными средними Бохнера–Рисса в пространствах Харди Hp, 0<p≤1 |
| title_full_unstemmed | О приближении функций обобщенными средними Бохнера–Рисса в пространствах Харди Hp, 0<p≤1 |
| title_short | О приближении функций обобщенными средними Бохнера–Рисса в пространствах Харди Hp, 0<p≤1 |
| title_sort | о приближении функций обобщенными средними бохнера–рисса в пространствах харди hp, 0<p≤1 |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38154 |
| work_keys_str_mv | AT kolomoicevûs opribliženiifunkciiobobŝennymisrednimibohnerarissavprostranstvahhardihp0ltp1 AT kolomoicevûs ontheapproximationoffunctionsbygeneralizedbochnerrieszmeansinhardyspaceshp0ltp1 |