Порядковая сходимость в эргодических теоремах в перестановочно инвариантных пространствах
Наведено необхідні і достатні умови порядкової збіжності чезаровських середніх для абсолютних стисків у перестановно інваріантних просторах. Розглянуто випадок простору з нескінченною мірою. Розгляд порядкової збіжності приводить як до домінантної, так і до індивідуальної ергодичної теореми. Класичн...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38156 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Порядковая сходимость в эргодических теоремах в перестановочно инвариантных пространствах / М.А. Муратов, Ю.С. Пашкова, Б.А. Рубштейн // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 23-26. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38156 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Муратов, М.А. Пашкова, Ю.С. Рубштейн, Б.А. 2012-10-31T14:15:05Z 2012-10-31T14:15:05Z 2011 Порядковая сходимость в эргодических теоремах в перестановочно инвариантных пространствах / М.А. Муратов, Ю.С. Пашкова, Б.А. Рубштейн // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 23-26. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38156 517.98 Наведено необхідні і достатні умови порядкової збіжності чезаровських середніх для абсолютних стисків у перестановно інваріантних просторах. Розглянуто випадок простору з нескінченною мірою. Розгляд порядкової збіжності приводить як до домінантної, так і до індивідуальної ергодичної теореми. Класичні домінантна та індивідуальна ергодичні теореми в просторах Lp і класах Зигмунда Llog^r L одержано як окремі випадки. We find necessary and sufficient conditions for the order convergence of Cesáro averages of positive absolute contractions in permutatively invariant spaces. We study the case where the measure is infinite. The investigation of the order convergence includes both dominated and individual ergodic theorems. The classical dominated and individual ergodic theorems for spaces Lp and Zygmund classes Llog^p L are obtained as particular cases. Работа выполнена при частичной поддержке гранта ГФФИ, проект № 40.1/008. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Порядковая сходимость в эргодических теоремах в перестановочно инвариантных пространствах Order convergence of ergodic theorems for permutatively invariant spaces Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Порядковая сходимость в эргодических теоремах в перестановочно инвариантных пространствах |
| spellingShingle |
Порядковая сходимость в эргодических теоремах в перестановочно инвариантных пространствах Муратов, М.А. Пашкова, Ю.С. Рубштейн, Б.А. Математика |
| title_short |
Порядковая сходимость в эргодических теоремах в перестановочно инвариантных пространствах |
| title_full |
Порядковая сходимость в эргодических теоремах в перестановочно инвариантных пространствах |
| title_fullStr |
Порядковая сходимость в эргодических теоремах в перестановочно инвариантных пространствах |
| title_full_unstemmed |
Порядковая сходимость в эргодических теоремах в перестановочно инвариантных пространствах |
| title_sort |
порядковая сходимость в эргодических теоремах в перестановочно инвариантных пространствах |
| author |
Муратов, М.А. Пашкова, Ю.С. Рубштейн, Б.А. |
| author_facet |
Муратов, М.А. Пашкова, Ю.С. Рубштейн, Б.А. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Order convergence of ergodic theorems for permutatively invariant spaces |
| description |
Наведено необхідні і достатні умови порядкової збіжності чезаровських середніх для абсолютних стисків у перестановно інваріантних просторах. Розглянуто випадок простору з нескінченною мірою. Розгляд порядкової збіжності приводить як до домінантної, так і до індивідуальної ергодичної теореми. Класичні домінантна та індивідуальна ергодичні теореми в просторах Lp і класах Зигмунда Llog^r L одержано як окремі випадки.
We find necessary and sufficient conditions for the order convergence of Cesáro averages of positive absolute contractions in permutatively invariant spaces. We study the case where the measure is infinite. The investigation of the order convergence includes both dominated and individual ergodic theorems. The classical dominated and individual ergodic theorems for spaces Lp and Zygmund classes Llog^p L are obtained as particular cases.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38156 |
| citation_txt |
Порядковая сходимость в эргодических теоремах в перестановочно инвариантных пространствах / М.А. Муратов, Ю.С. Пашкова, Б.А. Рубштейн // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 23-26. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT muratovma porâdkovaâshodimostʹvérgodičeskihteoremahvperestanovočnoinvariantnyhprostranstvah AT paškovaûs porâdkovaâshodimostʹvérgodičeskihteoremahvperestanovočnoinvariantnyhprostranstvah AT rubšteinba porâdkovaâshodimostʹvérgodičeskihteoremahvperestanovočnoinvariantnyhprostranstvah AT muratovma orderconvergenceofergodictheoremsforpermutativelyinvariantspaces AT paškovaûs orderconvergenceofergodictheoremsforpermutativelyinvariantspaces AT rubšteinba orderconvergenceofergodictheoremsforpermutativelyinvariantspaces |
| first_indexed |
2025-11-25T20:39:11Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:39:11Z |
| _version_ |
1850527717650333696 |
| fulltext |
УДК 517.98
© 2011
М. А. Муратов, Ю. С. Пашкова, Б. А. Рубштейн
Порядковая сходимость в эргодических теоремах
в перестановочно инвариантных пространствах
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.С. Самойленко)
Наведено необхiднi i достатнi умови порядкової збiжностi чезаровських середнiх для аб-
солютних стискiв у перестановно iнварiантних просторах. Розглянуто випадок просто-
ру з нескiнченною мiрою. Розгляд порядкової збiжностi приводить як до домiнантної,
так i до iндивiдуальної ергодичної теореми. Класичнi домiнантна та iндивiдуальна ер-
годичнi теореми в просторах Lp i класах Зигмунда L logr L одержано як окремi випадки.
Пусть (Ω, µ) — пространство с бесконечной σ-конечной неатомической мерой, L0 =
= L0(Ω, µ) — пространство всех µ-измеримых почти всюду конечных функций f на Ω
и Lp = Lp(Ω, µ), 1 6 p 6 +∞.
В случае, когда Ω = R+ = [0,∞) и µ = m — мера Лебега на [0,+∞), будем писать
L0 = L0(R+,m).
Линейный оператор T : L1 + L∞ → L1 + L∞ называется абсолютным сжатием или
(L1,L∞)-сжатием, если T является сжатием как в L1, так и в L∞. Обозначим через PAC
множество всех положительных абсолютных сжатий.
Для любых T ∈ PAC и f ∈ L1+L∞ рассмотрим чезаровские средние An,T f =
1
n
n−1
∑
k=0
T kf
и соответствующую доминантную функцию BT f = sup
n>1
An,T |f |.
Банахово пространство (E, ‖ · ‖E) измеримых функций из L0(Ω, µ) называется переста-
новочно инвариантным (п. и.) или симметричным, если из f ∈ L0, g ∈ E и f∗
6 g∗ следует,
что f ∈ E и ‖f‖E 6 ‖g‖E. Здесь f∗ — невозрастающая, непрерывная справа перестановка
функции |f |,
f∗(x) := inf{y ∈ [0,+∞) : nf (y) 6 x}, x ∈ [0,∞),
где nf — функция распределения |f |: nf (y) = µ{w ∈ Ω : |f(w)| > y}.
Напомним, что последовательность {fn}
∞
n=1 ⊂ E называется порядково сходящейся к f ∈
∈ E (fn
(o)
−→ f), если существуют такие 0 6 gn ∈ E, что |fn − f | 6 gn ↓ 0 при n → ∞.
Известно, что:
1) E является порядково полной подрешеткой порядково полной решетки L0;
2) последовательность {fn}
∞
n=1 порядково сходится в E (fn
(o)
−→ f ∈ E) тогда и только
тогда, когда {fn, n > 1} (o)-ограничено в E и последовательность {fn}
∞
n=1 (o)-сходится в L0.
Последнее условие означает, что fn → f почти всюду на (Ω, µ).
Далее будут рассмотрены две взаимосвязанные задачи.
Проблема 1. Описать подмножество
E
T := {f ∈ E : {An,T f}
∞
n=1 порядково сходится в E},
где E — п. и. пространство и T ∈ PAC.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 23
Проблема 2. Описать подкласс всех п. и. банаховых пространств таких, что E
T = E
для всех T ∈ PAC, т. е. таких, что последовательность чезаровских средних {An,T f}
∞
n=1
сходится порядково в E для всех f ∈ E и T ∈ PAC.
Последовательность {An,T f}n>1 (o)-сходится в E тогда и только тогда, когда BT f =
= sup
n>1
An,T |f | принадлежит E, и {An,T f}n>1 сходится почти всюду на (Ω, µ). Это означает,
что приведенная постановка задачи включает как доминантную эргодическую теорему, так
и индивидуальную эргодическую теорему в случае классических пространств Lp, 1 6 p <
< +∞ и классов Зигмунда Zr = L logr L (см. [1, 2]).
В случае, когда (Ω, µ) = (R+,m), п. и. пространство E = E(R+,m) будем называть
стандартным. Для п. и. пространства E(Ω, µ) на произвольном пространстве с мерой (Ω, µ)
существует единственное стандартное п. и. пространство E(R+,m) на (R+,m) (называ-
емое стандартной реализацией E) такое, что f ∈ E(Ω, µ) тогда и только тогда, когда
f∗ ∈ E(R+,m).
Мы будем использовать максимальную функцию Харди–Литлвуда, которая определяет-
ся для f ∈ (L1 + L∞)(Ω, µ) следующим образом:
f∗∗(x) =
1
x
x
∫
0
f∗(s) ds, x ∈ (0,+∞).
Обозначим
EH = EH(Ω, µ) = {f ∈ (L1 + L∞)(Ω, µ) : f∗∗ ∈ E(R+,m)}
и положим ‖f‖EH
= ‖f∗∗‖E. Тогда пространство (EH, ‖ · ‖EH
) — п. и. и EH — замкнутое
подпространство в E.
В случае, когда (Ω, µ) = (R+,m), пространство EH(R+,m) является наибольшим п. и.
пространством, для которого оператор Харди
(Hf)(x) :=
1
x
x
∫
0
f(u) du, x ∈ (0,∞)
является положительным сжатием из EH(R+,m) в E(R+,m) (см. [3]).
Следует отметим, что T (EH) ⊆ EH для любого п. и. пространства E и T ∈ PAC и суже-
ние T |EH
: EH → EH является сжатием. Действительно, по теореме Калдерона–Митягина
(Tf)∗∗ 6 f∗∗ для всех f ∈ L1+L∞ (см., например, [4, 5] или [3, гл. 2, § 3.4]). Отсюда следует
‖Tf‖EH
= ‖(Tf)∗∗‖E 6 ‖f∗∗‖E = ‖f‖EH
.
Таким образом, каждое п. и. пространство вида EH является интерполяционным относи-
тельно банаховой пары (L1,L∞). С другой стороны, п. и. пространство не обязательно яв-
ляется интерполяционным. Существуют п. и. пространства E такие, что TE * E для не-
которого T ∈ PAC (см. [3, § 2.5]). Поэтому Tf и An,T f могут не принадлежать E при
некоторых f ∈ E и T ∈ PAC. С другой стороны, для любого f ∈ EH и T ∈ PAC, Tf
и An,T f принадлежат EH.
Пусть п. и. пространство R0 = R0(Ω, µ) определяется следующим образом:
R0 =
{
f ∈ L1 + L∞ : f∗(+∞) : = lim
x→+∞
f∗(x) = 0
}
.
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
Пространство R0 является ядром Орлича пространства (L1+L∞)(Ω, µ), рассматриваемого
как пространство Орлича (см. [6]).
Следующая теорема является решением проблемы 1.
Теорема 1. Пусть E — п.и. пространство. Тогда для всех f ∈ EH
⋂
R0 и T ∈ PAC
последовательность средних An,Tf порядково сходится в E.
Обратно, пусть E — такое п. и. пространство, что E 6= EH
⋂
R0. Тогда существуют
f ∈ E и T ∈ PAC такие, что последовательность An,T f не является порядково сходя-
щейся в E.
Из условия f ∈ EH следует, что BT f ∈ E, т. е. для всех f ∈ EH справедлива доминантная
эргодическая теорема.
Из условия f ∈ R0 следует, что последовательность An,T f сходится почти всюду на
(Ω, µ), т. е. на R0 имеет место индивидуальная эргодическая теорема.
Вторую часть теоремы 1 можно уточнить следующим образом. Пусть θ — обратимое,
сохраняющее меру преобразование пространства (Ω, µ) и T = Tθ ∈ PAC оператор вида:
Tθf = f ◦ θ. Тогда Tθ ∈ PAC и TθE = E для каждого п. и. пространства E.
Теорема 2. Пусть E — п.и. пространство и T = Tθ ∈ PAC, где θ — эргодическое,
консервативное, сохраняющее меру преобразование (Ω, µ). Тогда:
1) если f ∈ E и BT f ∈ E, то f ∈ EH ;
2) если E 6⊆ R0, то существует такая функция f ∈ E, что последовательность An,T f
не сходится почти всюду на (Ω, µ) и потому не является (o)-сходящейся в E.
Будем говорить, что в пространстве E выполнена порядковая эргодическая теорема (E ∈
∈ OET ), если последовательность чезаровских средних {An,T f}n>1 (o)-сходится в E для
всех f ∈ E и T ∈ PAC.
Из теорем 1 и 2 следует решение проблемы 2.
Теорема 3. Пусть E — п. и. пространство. Тогда
E ∈ OET ⇐⇒ E = EH и E ⊆ R0.
Отметим, что поскольку µ(Ω) = +∞, то
E ⊆ R0 ⇐⇒ 1 6∈ E ⇐⇒ E 6⊇ L∞.
В случае, когда µ(Ω) < ∞, E ∈ OET ⇐⇒ E = EH, т. е. {An,T f} (o)-сходится в E тогда
и только тогда, когда она (o)-ограничена в E [7].
Пусть для любой функции f ∈ L0 = L0(R+,m):
Dtf(x) := f(x/t), 0 < x, t < ∞.
Тогда {Dt, 0 < t < ∞} — группа ограниченных линейных операторов Dt : E → E на стан-
дартном п. и. пространстве E = E(R+,m), соответствующем E(Ω, µ). Отметим, что EH =
= E ⇐⇒ pE > 1 ⇐⇒
1
∫
0
dE(1/t) dt < ∞ ⇐⇒ dE(t) = o(t) при t → +∞, где dE(t) = ‖Dt‖E→E
и pE — нижний индекс Бойда пространства E (см. [3, 8]).
Случаи, когда пространство E является пространством Орлича или пространством Ло-
ренца, подробно рассмотрены в работах [9, 10].
Работа выполнена при частичной поддержке гранта ГФФИ, проект № 40.1/008.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 25
1. Dunford N., Schwarts J. T. Convergence almost everywhere of operator averages // J. Rat. Mech. Anal. –
1956. – No 5. – P. 129–178.
2. Krengel U. Ergodic theorems. – Berlin: de Gruyter, 1985. – 357 p.
3. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов – Москва: Наука,
1978. – 400 с.
4. Calderon A. P. Spaces between L
1 and L
∞ and the theorem of Marcinkewicz // Studia Math. – 1966. –
26. – P. 273–299.
5. Mityagin B. S. An interpolation theorem for modular spaces // Mat. Sb. – 1965. – 66. – P. 473–482.
6. Edgar G.A., Sucheston L. Stopping times and directed processes. – Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1992. – 430 p.
7. Braverman M., Rubshtein B., Veksler A. Dominated ergodic theorems in rearrangement invariant spaces //
Studia Math. – 1998. – No 128. – P. 145–157.
8. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. Spaces I. Sequence spaces. Spaces II. Function
spaces. – Berlin: Springer, 1979. – 327 p.
9. Муратов М.А., Пашкова Ю.С., Рубштейн Б.А. Порядковая сходимость в эргодических теоремах в
пространствах Орлича // Уч. зап. Таврич. нац. ун-та. – 2010. – 23(62), № 1. – С. 96–111.
10. Муратов М.А., Пашкова Ю.С., Рубштейн Б.А. Порядковая сходимость в эргодических теоремах в
пространствах Лоренца // Динамич. системы. – 2010. – Вып. 28. – С. 79–86.
Поступило в редакцию 29.10.2010Таврический национальный университет
им. В.И. Вернадского, Симферополь
M.A. Muratov, J. S. Pashkova, B.A. Rubshtein
Order convergence of ergodic theorems for permutatively invariant
spaces
We find necessary and sufficient conditions for the order convergence of Cesáro averages of positive
absolute contractions in permutatively invariant spaces. We study the case where the measure is
infinite. The investigation of the order convergence includes both dominated and individual ergodic
theorems. The classical dominated and individual ergodic theorems for spaces Lp and Zygmund
classes L logp L are obtained as particular cases.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
|