Про один метод побудови точних розв'язків крайової задачі для диференціального рівняння еліптичного типу в областях складної форми
Досліджується метод побудови точних розв'язків еліптичних крайових задач для областей складної форми. В основі методу лежать оператори сплайн-інтерлінації функцій двох змінних на системі прямих інтерлінації, паралельних осям координат. The method of construction of exact solutions of elliptic b...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38162 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про один метод побудови точних розв'язків крайової задачі для диференціального рівняння еліптичного типу в областях складної форми / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 37-41. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859602742182412288 |
|---|---|
| author | Литвин, О.М. Лобанова, Л.С. |
| author_facet | Литвин, О.М. Лобанова, Л.С. |
| citation_txt | Про один метод побудови точних розв'язків крайової задачі для диференціального рівняння еліптичного типу в областях складної форми / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 37-41. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Досліджується метод побудови точних розв'язків еліптичних крайових задач для областей складної форми. В основі методу лежать оператори сплайн-інтерлінації функцій двох змінних на системі прямих інтерлінації, паралельних осям координат.
The method of construction of exact solutions of elliptic boundary-value problems is investigated for the areas of complicated forms. The method is based on the operators of spline-interlineation of functions of two variables on the system of lines parallel to the coordinate axes.
|
| first_indexed | 2025-11-28T00:31:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.6
© 2011
О.М. Литвин, Л. С. Лобанова
Про один метод побудови точних розв’язкiв крайової
задачi для диференцiального рiвняння елiптичного
типу в областях складної форми
(Представлено академiком НАН України I. В. Сергiєнком)
Дослiджується метод побудови точних розв’язкiв елiптичних крайових задач для облас-
тей складної форми. В основi методу лежать оператори сплайн-iнтерлiнацiї функцiй
двох змiнних на системi прямих iнтерлiнацiї, паралельних осям координат.
Як вiдомо, загальний метод побудови функцiй, якi задовольняють неоднорiднi граничнi
умови Дiрiхле, Неймана та мiшанi, може бути реалiзований за допомогою R-функцiй, за-
пропонованих В.Л. Рвачовим [1–3]. Але, як вiдзначається у роботi [4], при використаннi
структурного методу iз застосуванням R-функцiй виникають певнi проблеми: проблема
продовження слiдiв функцiй i їх нормальних похiдних з границi у внутрiшнi точки областi
iнтегрування зi збереженням класу диференцiйовностi; проблема кутових точок; проблема
змiни типу граничних умов у деяких довiльних точках границi; проблема побудови струк-
тур наближених розв’язкiв iз заданими слiдами на лiнiях, якщо кiлька з них перетинаються
в однiй точцi тощо, якi можуть бути успiшно розв’язанi за допомогою методiв, що базуються
на iнтерлiнацiї функцiй двох змiнних, iнтерфлетацiї функцiй трьох або бiльше змiнних [4, 5].
У роботах [6, 7] запропоновано загальний метод побудови функцiй двох змiнних iз за-
даними слiдами на системi взаємно перпендикулярних прямих, якi задовольняють заданi
граничнi умови на границях областей складної форми, обмеженi дугами вiдомих кривих.
Метод iстотно використовує оператори сплайн-iнтерлiнацiї функцiй двох змiнних. Нижче
пропонується загальний метод побудови точних розв’язкiв крайових задач для диференцi-
альних рiвнянь з частинними похiдними другого порядку в областях складної форми. Необ-
хiднiсть вирiшення такої задачi виникає при розробцi нових чисельних методiв розв’язання
крайових задач для областей складної форми, коли тестування запропонованого методу
бажано проводити не тiльки на реальних задачах, для яких точний розв’язок невiдомий,
але також i на тестових задачах, для яких вiдомий точний розв’язок i можливе проведення
аналiзу похибки наближення. Розглянуто приклад для рiвняння Пуассона у випадку, коли
область iнтегрування мала форму “кутка”.
Постановка задачi. В данiй роботi метод сплайн-iнтерлiнацiї функцiї двох змiнних за-
стосовується для побудови i дослiдження точних розв’язкiв неоднорiдних граничних задач
для диференцiального рiвняння елiптичного типу:
Lu = f(x, y), (x, y) ∈ D,
Lu = −
∂
∂x
(
a(x, y)
∂u
∂x
)
−
∂
∂y
(
b(x, y)
∂u
∂y
)
+ c(x, y)u, (1)
u(x, y) = u0(x, y), (x, y) ∈ ∂D. (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 37
Теорема 1. Нехай права частина диференцiального рiвняння (1) f(x, y) = LU(x, y), де
U(x, y) = U(x, y, {ϕk,p(x)}, {ψl,q(y)}, {uk,l,p,q}) визначається вiдповiдною формулою iнтерлi-
нацiї в кожному з елементiв (прямокутних, прямокутних з однiєю криволiнiйною, взагалi
кажучи, стороною, яка належить границi областi iнтегрування, трикутних, трикутних
з однiєю криволiнiйною, взагалi кажучи, гiпотенузою, яка належить границi областi iн-
тегрування) розбиття областi iнтегрування D прямими x = xk, y = yl (k = 0,m, l = 0, n).
Тодi iснують такi функцiї ϕk,p(x), ψl,q(y), k = 0, n, l = 0,m, 0 6 p, q 6 r та сталi uk,l,p,q
(k = 0,m, l = 0, n, p, q = 0, r), при яких U(x, y) ∈ Cr,r(D), r > 1, i є точним розв’язком кра-
йової задачi iз вказаною правою частиною та граничними умовами Дiрiхле або Неймана,
або мiшаними граничними умовами. Залежно вiд типу граничних умов i вiд значення r
функцiї ϕk,p(x), ψl,q(y), 0 6 p, q 6 r, що вiдповiдають границi областi iнтегрування, ви-
бираються рiвними заданим граничним функцiям.
Опис методу. Припустимо, що область D є прямокутним багатокутником i може бути
подiлена на прямокутнi елементи Πi,j = {(x, y) : xi 6 x < xi+1; yj 6 y < yj+1} прямими
x = xi, i = 0,m; y = yj, j = 0, n. Роз’вязок задачi (1)–(2) u(x, y) в кожному прямокутнику
Πi,j ⊂ D будемо шукати у виглядi
u(x, y) = ui,j(x, y) =
i+1
∑
k=i
1
∑
p=0
ϕk,p(x)hk,p(y) +
j+1
∑
l=j
1
∑
q=0
ψl,q(y)Hl,q(x)−
−
i+1
∑
k=i
1
∑
p=0
j+1
∑
l=j
1
∑
q=0
uk,l,p,qHl,q(x)hk,p(y), (x, y) ∈ Πi,j ⊂ D, (3)
Hl,q(x), hk,p(y) — кубiчнi сплайни з властивостями:
H
(qq)
l,q (xll) = δl,llδq,qq, l, ll ∈ {i, i + 1}, q, qq ∈ {0, 1},
h
(pp)
k,p (ykk) = δk,kkδp,pp, k, kk ∈ {j, j + 1}, p, pp ∈ {0, 1}
(δk,l — символ Кронеккера). Якщо виконуються умови:
ϕ
(q)
k,p(xl) = ψ
(p)
l,q (yk) = uk,l,p,q,
k ∈ i, i+ 1, l ∈ j, j + 1, p, q ∈ {0, 1},
функцiя u(x, y) ∈ C1,1(D) i має властивостi:
∂qu
∂xq
∣
∣
∣
∣
x=xl
= ψl,q(y), l = 0,m, q = 0, 1,
∂pu
∂yp
∣
∣
∣
∣
y=yk
= ϕk,p(x), k = 0, n, p = 0, 1,
незалежно вiд вибору функцiй ϕk,p(x) i ψl,q(y) в iнших точках iнтервалу їх визначення,
тобто ϕk,p(x) i ψl,q(y) є слiдами розв’язку та його частинних похiдних першого порядку на
вузлових лiнiях x = xl (l = 0,m) та y = yk (k = 0, n), а сталi uk,l,p,q (k = 0,m, l = 0, n,
p, q = 0, 1) є значеннями шуканого розв’язку та його частинних похiдних першого порядку
та мiшаних похiдних другого порядку у вузлових точках (xi, yj) (i = 0,m, j = 0, n).
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
Таким чином, формула (3) дозволяє будувати функцiю двох змiнних u(x, y), яка зберi-
гає потрiбний клас диференцiйовностi, задовольняє граничнi умови на границi областi D i
є розв’язком рiвняння (1), якщо f(x, y) = Lu(x, y).
Теорема 2. Якщо шукати наближений розв’язок сформульованої задачi методом скiн-
ченних елементiв, отримаємо точний розв’язок при умовi, що в кожному елементi роз-
биття розв’язок шукаємо у виглядi (3) з невiдомими uk,l,p,q.
Доведення. Як вiдомо, наближений розв’язок крайової задачi, знаходження якого ме-
тодом скiнченних елементiв зводиться до розв’язання систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
вiдносно невiдомих параметрiв uk,l,p,q, єдиний. Крiм того, згiдно з лемою Сеа [5], iснує така
стала C, не залежна вiд простору Uh, що похибка наближення точного розв’язку u(x, y)
наближеним розв’язком u∗h, знайденим методом скiнченних елементiв,
‖u− u∗h‖Wn
2
(G) 6 C inf
v∈Uh
‖u− v‖Wn
2
(G) = 0.
Теорема доведена.
Приклад застосування запропонованого методу. Розглянемо граничну задачу
∆u(x, y) = f(x, y), (x, y) ∈ Ω, (4)
u(x, y)|∂Ω = 0, (5)
де Ω — область, обмежена прямими, паралельними осям координат, i має форму “кутка”:
Ω = {(x, y)|a 6 x 6 b, c 6 y 6 c1; a 6 x 6 a1, c1 6 y 6 d}.
Подiлимо область Ω на три частини
Ω1 = {(x, y) | a = x0 6 x 6 x1 = a1, c = y0 6 y 6 y1 = c1},
Ω2 = {(x, y) | x1 6 x 6 x2, y0 6 y 6 y1},
Ω3 = {(x, y) | x0 6 x 6 x1, y1 6 y 6 y2 = d}
i введемо позначення
u(x, y)|y=yk = ϕk,0(x),
∂u
∂y
∣
∣
∣
∣
y=yk
= ϕk,1(x), k = 0, 2,
u(x, y)|x=xl
= ψl,0(y),
∂u
∂x
∣
∣
∣
∣
x=xl
= ψl,1(y), l = 0, 2,
Hi,0(x) = (x− xi+1)
2
[
1
(xi − xi+1)2
+
2(xi − x)
(xi − xi+1)3
]
, (6)
Hi,1(x) = (x− xi+1)
2 x− xi
(xi − xi+1)2
, (7)
Hi+1,0(x) = (x− xi)
2
[
1
(xi+1 − xi)2
+
2(xi+1 − x)
(xi+1 − xi)3
]
, (8)
Hi+1,1(x) = (x− xi)
2 x− xi+1
(xi+1 − xi)2
. (9)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 39
Для вiдрiзку [x0, x1] у формулах (6)–(9) покладаємо i = 0, а для вiдрiзку [x1, x2] у вка-
заних формулах приймаємо i = 1.
Зазначимо, що введенi функцiї Hk,s(x) задовольняють такi умови:
H
(p)
k,s(xq) = δk,qδp,s, p = 0, 1.
Аналогiчно визначаються функцiї hk,s(y), k = 0, 2, s = 0, 1, iз замiною змiнної x на змiнну y,
а вузлiв xi (i = 0, 2), вiдповiдно, на вузли yj (j = 0, 2).
Враховуючи граничну умову (5), покладаємо ϕ0,0(x) = 0, ϕ2,0(x) = 0, ϕ1,0(x) = 0 при
x1 6 x 6 x2; ψ0,0(y) = 0, ψ2,0(y) = 0, ψ1,0(y) = 0 при y1 6 y 6 y2.
Розв’язок задачi (4), (5) в кожнiй з частин Ω1, Ω2, Ω3 областi Ω визначаємо вiдповiдно
рiвностями (10)–(12):
uI(x, y) =
1
∑
k=0
1
∑
p=0
ϕk,p(x)hk,p(y) +
1
∑
l=0
1
∑
q=0
ψl,q(y)Hl,q(x)−
−
1
∑
k=0
1
∑
p=0
1
∑
l=0
1
∑
q=0
u(q,p)(xl, yk)Hl,q(x)hk,p(y), (10)
uII(x, y) =
1
∑
k=0
1
∑
p=0
ϕk,p(x)hk,p(y) +
2
∑
l=1
1
∑
q=0
ψl,q(y)Hl,q(x)−
−
1
∑
k=0
1
∑
p=0
2
∑
l=1
1
∑
q=0
u(q,p)(xl, yk)Hl,q(x)hk,p(y), (11)
uIII(x, y) =
2
∑
k=1
1
∑
p=0
ϕk,p(x)hk,p(y) +
1
∑
l=0
1
∑
q=0
ψl,q(y)Hl,q(x)−
−
2
∑
k=1
1
∑
p=0
1
∑
l=0
1
∑
q=0
u(q,p)(xl, yk)Hl,q(x)hk,p(y) (12)
i функцiя
u(x, y) =
uI(x, y), (x, y) ∈ Ω1,
uII(x, y), (x, y) ∈ Ω2,
uIII(x, y), (x, y) ∈ Ω3,
(13)
u(x, y) ∈ C1(Ω), є розв’язком задачi (4), (5) при правiй частинi f(x, y) = ∆u(x, y), де u(x, y)
визначається рiвнiстю (13).
Безпосереднiми обчисленнями перевiряємо виконання граничної умови, а також умов
спряження на лiнiях x = x1, y = y1, якi забезпечують неперервнiсть самої функцiї u(x, y) та
її частинних похiдних першого порядку, при умовi, що неперервнi i диференцiйовнi функцiї
ϕk,s, ψk,s, k = 0, 2, s = 0, 1.
Функцiї ϕk,s, ψk,s, k, s = 0, 2, можна взяти у виглядi кубiчних ермiтових сплайнiв.
На рис. 1 наведено графiк отриманого запропонованим методом точного розв’язку зада-
чi (4), (5).
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7
Рис. 1
Таким чином, в роботi запропоновано загальний метод побудови i дослiдження точних
розв’язкiв неоднорiдних граничних задач для диференцiального рiвняння елiптичного типу
в областях складної форми. При цьому точний розв’язок може належати потрiбному класу
диференцiйовностi i задовольняти граничнi умови.
У подальшому автори планують застосувати запропонований метод для побудови точ-
них розв’язкiв в областях складної форми з криволiнiйними границями, а також поширити
його на випадок тривимiрних областей.
1. Рвачeв В.Л. Геометрические приложения алгебры логики. – Киев: Технiка, 1967. – 212 с.
2. Рвачeв В.Л. К вопросу о построении координатных последовательностей // Диф. уравнения. – 1970. –
№ 6. – С. 1034–1047.
3. Рвачeв В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. – Киев: Наук. думка, 1982. – 566 с.
4. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя та iнтерфлетацiя функцiй i структурний метод В. Л. Рвачова // Мат.
методи та фiз.-мех. поля. – 2007. – 50, № 4. – С. 1–22.
5. Литвин О.М. Iнтерлiнацiя функцiй та деякi її застосування. – Харкiв: Основа, 2002. – 544 с.
6. Гулiк Л. I. Точне задоволення умов Дiрiхле на границi тривимiрної областi складної форми за допо-
могою iнтерфлетацiї // Тези доп. мiждерж. науково-методичної конф. (26–28 травня 2004 p., Днiпро-
дзержинськ). – С. 14–15.
7. Гулiк Л. I., Литвин О.М. Точне задоволення граничних умов для тривимiрної областi складної
форми за допомогою iнтерфлетацiї // Працi мiжнар. конф. “Питання оптимiзацiї обчислень (ПОО-
XXXII)”, 19–23 вересня 2005 p., с. Кацивелi (Крим). – С. 66.
Надiйшло до редакцiї 29.09.2010Українська iнженерно-педагогiчна академiя, Харкiв
O.M. Lytvyn, L. S. Lobanova
About one method of construction of exact solutions of a
boundary-value problem for a differential equation of elliptic type in the
areas of complicated forms
The method of construction of exact solutions of elliptic boundary-value problems is investigated
for the areas of complicated forms. The method is based on the operators of spline-interlineation of
functions of two variables on the system of lines parallel to the coordinate axes.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 41
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-38162 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T00:31:00Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Литвин, О.М. Лобанова, Л.С. 2012-10-31T14:34:22Z 2012-10-31T14:34:22Z 2011 Про один метод побудови точних розв'язків крайової задачі для диференціального рівняння еліптичного типу в областях складної форми / О.М. Литвин, Л.С. Лобанова // Доп. НАН України. — 2011. — № 7. — С. 37-41. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38162 519.6 Досліджується метод побудови точних розв'язків еліптичних крайових задач для областей складної форми. В основі методу лежать оператори сплайн-інтерлінації функцій двох змінних на системі прямих інтерлінації, паралельних осям координат. The method of construction of exact solutions of elliptic boundary-value problems is investigated for the areas of complicated forms. The method is based on the operators of spline-interlineation of functions of two variables on the system of lines parallel to the coordinate axes. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Про один метод побудови точних розв'язків крайової задачі для диференціального рівняння еліптичного типу в областях складної форми About one method of construction of exact solutions of a boundary-value problem for a differential equation of elliptic type in the areas of complicated forms Article published earlier |
| spellingShingle | Про один метод побудови точних розв'язків крайової задачі для диференціального рівняння еліптичного типу в областях складної форми Литвин, О.М. Лобанова, Л.С. Інформатика та кібернетика |
| title | Про один метод побудови точних розв'язків крайової задачі для диференціального рівняння еліптичного типу в областях складної форми |
| title_alt | About one method of construction of exact solutions of a boundary-value problem for a differential equation of elliptic type in the areas of complicated forms |
| title_full | Про один метод побудови точних розв'язків крайової задачі для диференціального рівняння еліптичного типу в областях складної форми |
| title_fullStr | Про один метод побудови точних розв'язків крайової задачі для диференціального рівняння еліптичного типу в областях складної форми |
| title_full_unstemmed | Про один метод побудови точних розв'язків крайової задачі для диференціального рівняння еліптичного типу в областях складної форми |
| title_short | Про один метод побудови точних розв'язків крайової задачі для диференціального рівняння еліптичного типу в областях складної форми |
| title_sort | про один метод побудови точних розв'язків крайової задачі для диференціального рівняння еліптичного типу в областях складної форми |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/38162 |
| work_keys_str_mv | AT litvinom proodinmetodpobudovitočnihrozvâzkívkraiovoízadačídlâdiferencíalʹnogorívnânnâelíptičnogotipuvoblastâhskladnoíformi AT lobanovals proodinmetodpobudovitočnihrozvâzkívkraiovoízadačídlâdiferencíalʹnogorívnânnâelíptičnogotipuvoblastâhskladnoíformi AT litvinom aboutonemethodofconstructionofexactsolutionsofaboundaryvalueproblemforadifferentialequationofelliptictypeintheareasofcomplicatedforms AT lobanovals aboutonemethodofconstructionofexactsolutionsofaboundaryvalueproblemforadifferentialequationofelliptictypeintheareasofcomplicatedforms |